导数在数列不等式问题的处理策略讲义1-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦导数在数列不等式证明的核心考点，以理论基础为起点，通过逐项比较、合理放缩等策略构建解题框架，结合例题解析、变式训练及课后巩固真题，形成“考点梳理-方法指导-真题演练”的系统复习流程，助力学生突破压轴题难点。 讲义以“函数不等式构建局部不等式”为突破策略，通过例1中令x=1/n构造不等式累加、例2中证明加强命题等教学活动，培养学生的数学思维与逻辑推理能力。分层设置变式题与高考真题，确保复习针对性，帮助学生高效掌握解题技巧，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

导数在数列不等式问题的处理策略 理论基础 有一类导数解答题的最后一问为证明数列不等式∑<gn或a,<A(A为常数).这 类问题往往需要借助函数不等式来构建若干局部不等式来解决，综合性强，时常作 为压轴题下面结合具体例子剖析证明这类数列不等式的策略. 一、常用思路：逐项比较 对于不等式∑a<gln,一边是某个数列的前n项和，如果把另一边9n看作是另一个 数列的前n项和，可以计算该数列的通项公式b 9(1) n=1, gn-gn-1,n≥2.如果n∈N都有a,b:累加可证待证不等式. 例1.己知函数f()=n(-1)-k(x-)+1(keR). (1)求函数f()的单调区间： (2)若f()0在定义域内恒成立，求实数k的取值范围： (阴：++“ +n+i4（n≥2，m∈N） 变式1上：证明：1+号分-分nn+1 变式2：2ln2+3ln3++nlnm>nn-1 2 变式2+nn2到 变式4片+日mn2 2 二、类似可证 Ⅱa<gm或a<A对于不等式a<gm或Ⅱa<A,可以通过两边 取对数，转化为前面己经解决过的和式数列不等式.也可以构建局部不等式逐项比 较，累乘得到待证不等式。 安式5证明：+-1e 变式：证明：1+1+a2 n(n-1) 变式7：证明：nl<e2（n≥2) 3 nn+1>2e(n22) 变式8：证明：n(n 三、合理放缩 对于个等式0<A,可以考虑让明加强命题立aga旦m<A有时候需要对进 行合理放缩才能a获取gn). 2 例2.已知函数f(x)=alnx-x+ (1)若a=1,求函数f(x)在x=1处的切线方程： 2若f(x)≤二-1恒成立，求。的值； 3:对孩要数o2.客小：+-+》小。 课后巩固 1.(2023湖北模拟)建筑师高迪曾经说：直线属于人类，而曲线属于上帝，一切灵感来源于自然和幻想，灵活 生动的曲线和简洁干练的直线，在生活中处处体现了几何艺术美感，我们可以利用曲线和直线写出很多不等关 系。如由y=血在点(Q)处的切线)=-1写瑞不等式n≤-1小进而用”片苦换行到系列不等式，叠 加后有+1：分一叶分这些不兮式同样体现数学之关。运州关似方法推鲜，下百的不学式止瑞的 有( ) (n-l) A.n!<e? n c.++)-+se .+{+d 2.(2024安徽模拟)已知函数f(x)=(x+1)ln(x+1). 求正：当≥0时)号+， (2)若x>0时，f(x)>ar恒成立，求实数a的取值范围： 球证：对征意aeN,e<1+〔+)-（+是e. 3.(2022新高考全国Ⅱ卷)已知函数f(x)=xe-e. (1)当a=1时，讨论f(x)的单调性： (2)当x>0时，f(x)<-1,求a的取值范围： 1,1 1 ③设n∈N,证明：VP+i22+2Vm+n 十 In(n+1) 4.(2025宁波三模)已知函数f(x)=h(x+)+ar2-x(aeR). 6 (1)当a=1时，讨论f()的单调性： (2)当x≥0时，f()≥0恒成立，求a的取值范围： (球证：当n时，1+是+景++2<2n+ n2 例1.【答案】(1)答案见解析；(2)，+∞)；(3)证明见解析 【详解】解：(1)因为f()=l(x-)-k(x-)+1(keR), 所以了)的定义城为o）了()长 若k≤0，则'(x)>0,f(x)在(1，+∞)上为增函数： k>0 x-1 x-1 1 当1<x<+l时，f()>0,当x>+l时，∫()<0 综上，当k≤0时，f(x)的单调递增区间为(L,+∞)： 当，0时，了和的单调范始区间为+刊，单洞道波区间为 (2)由(1)知k,0时，f(x)在(L,+0)上是增函数， 而f(2)=1-k>0,fm0不成立，故k>0, 又由(1)知f(x)的最大值为(+，要使fx0恒成立， 则f+0即可，即-k0,得k1: (3)证明：当k=1时，有f(x,0在(0，+)恒成立， 且f)在(2，+∞)上是减函数，f(2)=0, 即h(x-I)<x-1-l在x∈(2，+oo)上恒成立， 令x-1=n2,则lnn2<n2-1, 即2lnn<(n-l(n+l), eD 分2…分” 十 .345 24 :(2)成立 即：3+45 例2【答案】(1)2x+y-3=0(2)a=1(3)见解析 课后巩固 1【答案】BC 【详解】令f)=x-1-nx,则f()=11-x- 当x>1时，f"(x)>0,当0<x<1时，∫(x)<0, 故f(x)=x-1-lnr在(0,1)上单调递减，在(L,+o∞)上单调递增， 故f(x)=x-l-lnx在x=1处取得极小值，也是最小值，f()m=0, 故nx≤x-1,当且仅当x=1时等号成立， A选项：n=l时不等式左右两端相等，故A错误； B选项：将nx≤x-1中的x替换为1-x,可得n(1-x)s1-x-1=-x,x<1, 当且仅当x=0时等号成立， 令0，可- 所以nr-ha-l小号 版h2-hl+h3-2+t+r-ha-l小分写t月 n I2-Inl+In3-In2+...+Inn-In(n-1)=Inn-Inl=Inn, 11 1 所以hn>2十方+元，B正确： 23 C选项：将1nr≤X-1中的x香换为+京，显然1+ . 2n2 当n≥2时， -六居引… 当n=1时，2=16<(e=e4显然成立， 数1：-ec D达顶：将r≤-的，昔换为”分，共neY日n之2则h分< 期hg1, 得（误改选e 2【答案】(1) 皮=/0-号=-(e+l0h(e+0-号xeo）. 则g'(x)=n(x+1)-x, 设m=n(+)-x,x∈0，)，则m()=s0, x+1 所以m(x)在0，+∞）上单调递减，又m(0)=0, 所以m()≤0在[0，+∞)上恒成立，即g'(x)≤0在[0，+∞)上恒成立， 所以g(x)在[0，+∞）上单调递减，且g(0)=0, 所以g(x)<0在(0，+0)上恒成立， 所以当x>0时，f)号+ (2(-0,] (3) 服命等于行宫会+刊小 由(2知h(x+)>x+x>0), k 3+1 k+n2n+n2. n(n+1) 小 1, n+n2-2 另一方面，由(1)m()≤0在[0，+o)上恒成立，即ln(x+1)<x, 容0存+小特- k= 当=时不大也成2，屑以空停小4eN, 综上所述，结论成立 【分折1（设g=了）号怎xe+o.利用号数证明g0在(Q,+女)上恒成立 即可； (2)设h()=f(x)-ax,x∈[0，+o),利用导数分a≤1和a>1讨论h(x)的单调性和取值： 10 】 k 3 (3)原命题等价于21 +小子，结合（山和2进行证明 k=1 【详解】(1)略 (2)设h(x)=f(x)-ax,x∈[0，+o),则h(x)=ln(x+l)+1-a, 当a≤l时，h'(x)≥0，则h(x)单调递增， 且h(0)=0,所以当x>0时，h(x)>0恒成立， 当a>1时，令h(x)=0,得x=e-1, 当x∈(0，xo)时，h(x)<0,则h(x)单调递减， 又h(O)=0,所以h(x)<0,不满足题意， 综上所述，a的取值范围为(-o,], (3)略 3【答案】(1)f(x)的减区间为(-o,0),增区间为(0，+0) 1 2)a≤23证明如下： 级a 1 2,则x>0:总有xe-e+1<0成立， 令t=e2,则t>l,t2=e,x=21nt, 放2znf<2-1即2h<1- 对任意的t>1恒成立。 所以对任意 n∈N,有2ln, n+1 /n+1 n n Vn+1' 整理得到：n(n+1)-lnn< √n2+n 11 =十…十 故P+12+2+n 1>I2-I1+In3-In2++ln(n+1)-Im =ln(n+1), 11 故不等式成立 【分析】(1)求出∫'(x),讨论其符号后可得f(x)的单调性， (2)设h(x)=xe-e+1,求出()，先讨论a>2时题设中的不等式不成立，再就 0<a≤2结合放缩法讨论h(x)符号，最后就4≤0结合放缩法讨论h(x)的范围后可得参数的 取值范围. (③市2)可得2<1-对任意的，>成立，从西可得hn+)血n中n对任定 的n∈N恒成立，结合裂项相消法可证题设中的不等式. 【详解】(1)当a=1时，f(x)=(x-1)e,则f'(x)=xe, 当x<0时，f'(x)<0,当x>0时，f'(x)>0, 故f(x)的减区间为(-0,0)，增区间为(0，+∞)。 (2)设h()=e“-e*+1,则h(0)=0, 又(x)=(1+ax)e-e,设g(x)=(1+ax)e-e, g'(x)=(2a+a'x)em-e", 若a>2,则g'(0)=2a-1>0 因为8(x)为连续不间断函数， 故存在，∈(0，+0)，使得x∈(0，x),总有8'(x)>0, 故g(x)在(0，x)为增函数，故g(x)>g(0)=0, 故h(x)在(0，)为增函数，故h(c)>h(0)=0,与题设矛盾. 若0<a≤分则=0+arje-e=enm-e, 下证：对任意x>0,总有l血(1+x)<x成立， 12 F现设5=h(0+,数=0. 故S(x)在(0，+)上为减函数，故S(x)<S(0)=0即l血(1+x)<x成立. 由上述不等式有e+lh+a网)-e'<er+ar-e=e2r-e'≤0， 故h(x)≤0总成立，即h(x)在(0，+o)上为减函数， 所以h(x)<(o)=0 当a≤0时，有h(x)=e“-e+axe“<1-1+0=0, 所以h(x)在(0，+∞)上为减函数，所以h(x)<h(O)=0. 综上，as{ (3)略 4【答案】1当1<x<,f)在-1宁上单调递增， 当<x<0,内在分0上单调递减。 当x>0,f()在(0，+o)上单调递增： ②分： ③由(2)取a,在0，m上e-h(x++号x0, 令x-名，eN,则是+小其京，即a+-n2, 所以公D-h小容装，则1+2ha.得证 n2 【并解】（山)由题设=h++-,则/=+2-1.2 =x+1且x>-1, 当-1<x<2,f)>0,即f)在-1,7上单调递增， 当<0，<0，即冈在分0上单调递减， 13 当x>0,f'()>0,即f(x)在(0，+)上单调递增： (2由题设了()=中+2a-l,令g=f,则g国=x+y+2, 对x≥0时，)20恒成立，且/0=fo)=0,只需g0=-1+2a≥0，即a 2 另方面，a22时，w-中+2a21中20， 所以8)=f'(x)在0，+∞)上单调递增，则f'()≥f'(0)=0, 所以f(x)在0，+∞)上单调递增，则f(x)≥f(O)=0,满足题设， 绿上， (3)略 14