三角函数模型的应用 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“三角函数模型的应用”专题，依据课标要求和高考评价体系，梳理了简谐运动参数（振幅、周期、频率）、模型建立步骤等核心考点，通过物理振动、生活周期现象、实际数据拟合等常考题型，突出数据分析、数学建模、数学运算素养的考查要求。 课件亮点在于“知识筛查+例题精讲+对点训练”的系统备考设计，如以游客人数周期变化为例，详解参数A、ω、φ的求解方法，培养数学思维和数学语言表达能力。特设“五点法作图”“不等式解实际问题”等应试技巧，通过高仿真训练帮助学生掌握建模步骤，教师可据此精准突破高频考点，提升复习效率。

★数学建模——三角函数模型的应用 2027 课标要求 会用三角函数解决简单的实际问题,体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型. 备考指导 现在高考越来越重视情境应用题,故三角函数模型在实际中的应用也会是命题的热点.复习时要理解实际问题的本质,通过题目已知条件建模,转化为三角函数的图象和性质问题.主要考查数据分析、数学建模和数学运算的素养,对数形结合思想渗透较多. 内容索引 01 02 03 第一环节　必备知识落实 第二环节　关键能力形成 第三环节　学科素养提升 第一环节　必备知识落实 【知识筛查】 1.函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的物理意义 y=Asin(ωx+φ),x∈[0,+∞),其中A>0,ω>0.物理中,描述简谐运动的物理量,如振幅、周期和频率等都与这个解析式中的常数有关: (1)A就是这个简谐运动的振幅,它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离; (2)这个简谐运动的周期是 ,这是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间; (3)这个简谐运动的频率由公式 给出,它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数; (4)ωx+φ称为相位;x=0时的相位φ称为初相. 2.三角函数模型的建立 【知识巩固】 × √ √ √ × 2.已知某人的血压随时间变化的函数解析式为f(t)=24sin 160πt+115,其中f(t)为血压,t为时间(单位:min),则此人每分钟心跳的次数为(　　) A.60 B.70 C.80 D.90 C C 第二环节　关键能力形成 能力形成点1 三角函数模型在物理中的应用 例1　已知弹簧上挂着的小球做上下振动时,小球离开平衡位置的位移s (单位:cm)随时间t(单位:s)的变化规律为 (1)用“五点法”作出这个函数的简图; (2)小球在开始振动(t=0)时的位移是多少? (3)经过多长时间小球往复振动一次? 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 解 (1)列表如下: 描点、连线,图象如图所示. 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 解题心得三角函数模型在物理中的应用主要体现在简谐运动中,其中对弹簧振子和单摆的运动等有关问题考查最多,解决这类问题时尤其要弄清振幅、频率、周期、平衡位置等物理概念的意义和表示方法. 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 对点训练1 单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置的距离s(单位:cm)和时间t(单位:s)的函数关系为 (1)作出它的图象; (2)单摆开始摆动(t=0)时,离开平衡位置多少厘米? (3)单摆摆动到最右边时,离开平衡位置多少厘米? (4)单摆来回摆动一次需要多长时间? 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 解 (1)列表如下: 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 能力形成点2 三角函数模型在生活中的应用 例2　某风景区宾馆的工作人员为了控制经营成本,减少浪费,合理安排入住游客的用餐,他们通过统计每个月入住的游客人数,发现每年各个月份来宾馆入住的游客人数会呈现周期性的变化,并且有以下规律: ①每年相同的月份,入住宾馆的游客人数基本相同; ②入住宾馆的游客人数在2月份最少,在8月份最多,相差约400人; ③2月份入住宾馆的游客约为100人,随后逐月增加直到8月份达到最多. (1)若入住宾馆的游客人数y与月份x之间的关系可用函数y=f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,|φ|<π)近似描述,求该函数的解析式; (2)请问哪几个月要准备不少于400人的用餐所需的食物? 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 解 (1)f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,|φ|<π),x∈N*,且x≤12, 由①可知,这个函数的周期是12. 由②可知,f(2)最小,f(8)最大,且f(8)-f(2)=400; 由③可知,函数y=f(x)在区间[2,8]上单调递增,且f(2)=100,则f(8)=500. 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 解得12k+6≤x≤12k+10(k∈Z). 因为1≤x≤12,且x∈N*,所以x=6,7,8,9,10,即在6月、7月、8月、9月、10月这5个月份要准备不少于400人的用餐所需的食物. 解题心得解决三角函数的实际应用问题必须按照一般应用题的解题步骤执行:(1)认真审题,理清问题中的已知条件与所求结论;(2)建立三角函数模型,将实际问题数学化;(3)利用三角函数的有关知识解决关于三角函数的问题,求得数学模型的解;(4)根据实际问题的意义,得出实际问题的解;(5)将所得结论返回、转译成实际问题的答案. 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 对点训练2 如图,某公园摩天轮的半径为40 m,圆心距地面的高度为50 m,摩天轮做匀速转动,每30 min转一圈,摩天轮上的点P的起始位置在最低点处. (1)已知在时刻t(单位:min)时点P距离地面的高度f(t)=Asin(ωt+φ)+h(A>0,ω>0,|φ|<π),求1 020 min时点P距离地面的高度; (2)当点P距离地面 以上时,可以看到公园的全貌,转一圈中有多长时间可以看到公园的全貌? 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 能力形成点3 建立三角函数模型解决实际问题 例3　已知某海滨浴场海浪的高度y(单位:米)是时间t(0≤t≤24,单位:时)的函数,记作y=f(t).下表是某日各时的浪高数据. (1)根据以上数据,求函数y=f(t)的函数解析式; (2)依据规定,当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放,请依据(1)的结论,判断一天内8:00至20:00之间,有多少时间可供冲浪爱好者进行运动? 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 解题心得在处理曲线拟合和预测的问题时,通常需以下几个步骤: (1)根据原始数据,绘出散点图; (2)通过散点图,作出“最贴近”的曲线,即拟合曲线; (3)根据所学函数知识,求出拟合曲线的函数解析式; (4)利用函数解析式,根据条件对所给问题进行预测,以便为决策和管理提供依据. 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 对点训练3 某动物种群数量在每年的1月1日低至700后增长,7月1日高至900,其数量在此两值之间依正弦型曲线变化. (1)作出种群数量y关于时间t变化的图象; (2)求出种群数量y关于时间t的函数解析式(其中t以年初以来的月为计量单位,并规定1月1日对应的t=0). 解 (1)种群数量y关于时间t变化的图象如图所示. 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 (2)设表示该曲线的函数解析式为y=Asin(ωt+φ)+b(A>0,ω>0,0≤t≤11). ∵平均数量为800,最高数量与最低数量之差为200,数量变化周期为12个月, 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 第三环节　学科素养提升 数据分析和数学建模素养的应用 典例　某帆板集训队在一海滨区域进行训练,该海滨区域的海浪高度y(单位:米)随着时间t(0≤t≤24,单位:时)呈周期性变化,每天时刻t的浪高数据的平均值如下表: (1)作散点图; (2)从y=at+b,y=Asin(ωt+φ)+b,y=Atan(ωt+φ)中选一个合适的函数模型,并求出该模型的解析式; (3)如果确定在一天内的7时到19时之间,当浪高不低于0.8米时才进行训练,试安排恰当的训练时间. 解:(1)散点图如图所示. 本 课 结 束 T= f= 1.下列说法正确的画“√”,错误的画“×”. (1)函数y=3sin的初相是.(　　) (2)一个简谐运动的周期是频率的倒数.(　　) (3)由图象求函数的解析式时,振幅A的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的.(　　) (4)若电流I(单位:A)随时间t(单位:s)变化的关系是I=2sin 100πt,t∈(0,+∞),则电流I变化的周期是.(　　) (5)函数y=3sin+2表示的简谐运动的振幅是5.(　　) 由题意得函数的周期为T=, 所以频率f==80,所以此人每分钟心跳的次数为80. 3.为了研究钟表与三角函数的关系,以9点与3点所在直线为x轴,以6点与12点所在直线为y轴,设秒针针尖指向位置P(x,y),若初始位置为P0,秒针从P0(注此时t=0)开始沿顺时针方向走动,则点P的纵坐标y与时间t(单位:秒)的函数关系为(　　) A.y=sin B.y=sin C.y=sin D.y=sin 由于秒针每60秒顺时针转一周,故转速ω=-=- 由于初始位置为P0,故经过t秒,秒针与x轴正半轴的夹角为-t+,再由秒针的长度为|OP|=1(O为原点),可得点P的纵坐标y与时间t的函数关系为y=sin,故选C. s=4sin(2t+),t∈[0,+∞). t 0 2t+ π 2π Sin(2t+) 1 0 -1 0 s 2 4 0 -4 0 (2)将t=0代入s=4sin(2t+),得s=4sin=2, 故小球开始振动时的位移是2 cm. (3)因为振动的周期是π,所以小球往复振动一次所用的时间是π s. s=6sin(2πt+). t 0 … 2πt+ π 2π … s 3 6 0 -6 0 … 描点并用光滑的曲线连接这些点,得函数s=6sin(2πt+)的图象,如图. (2)当t=0时,s=6sin=3,即单摆开始摆动时,离开平衡位置3 cm. (3)因为s=6sin2πt+的振幅为6,所以单摆摆动到最右边时,离开平衡位置6 cm. (4)因为s=6sin2πt+的周期T==1,所以单摆来回摆动一次需要的时间为1 s. 根据上述分析可得=12,故ω=, 且解得 根据分析可知,当x=2时,y=f(x)取最小值, 当x=8时,y=f(x)取最大值. 故sin(2+φ)=-1,且sin(8+φ)=1,得φ=-+2kπ(k∈Z). 因为|φ|<π,所以φ=-,所以入住宾馆的游客人数与月份之间的关系式为 f(x)=200sin+300,x∈N*,且x≤12. (2)令200sin+300≥400,化简得sin(x-), 即2kπ+x-2kπ+(k∈Z), (50+20)m 解 (1)依题意,A=40,h=50,周期T=30,则ω= 由f(0)=10,|φ|<π,可知φ=- 故在时刻t时点P距离地面的高度f(t)=40sin+50(t≥0). 因此f(1 020)=40sin+50=10, 即1 020 min时点P距离地面的高度为10 m. (2)由(1)知f(t)=40sin+50=50-40cost(t≥0). 依题意,令f(t)>50+20,即-40cost>20, 即cost<-,解得2kπ+t<2kπ+(k∈N), 即+30k<t<+30k(k∈N). 由+30k-(+30k)=5(k∈N), 可知转一圈中有5 min可以看到公园的全貌. t/时 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y/米 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 解 (1)由表中数据描出各点,并把这些点用平滑的曲线连接起来(如图). 由图知,可设f(t)=Acos ωt+b(0≤t≤24),并且周期T=12,则ω= 由t=0,y=1.5,得A+b=1.5;由t=3,y=1.0, 得b=1.0,解得A=0.5,b=1. 故y=cost+1(0≤t≤24). (2)由题知,当y>1时才可对冲浪爱好者开放, 即cost+1>1,即cost>0. 得2kπ-t<2kπ+(k∈Z),即12k-3<t<12k+3(k∈Z). 因为8≤t≤20,所以k=1,得9<t<15. 故在规定时间8:00至20:00之间,有6个小时的时间可供冲浪爱好者运动,即9:00至15:00. ∴A==100,ω=,b=800. 又7月1日种群数量达到最高, 6+φ=+2kπ(k∈Z),∴φ=-+2kπ(k∈Z). 取φ=-,则种群数量y关于时间t的函数解析式为y=800+100sin(0≤t≤11). t/时 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y/米 1.0 1.4 1.0 0.6 1.0 1.4 0.9 0.5 1.0 (2)由(1)知选择y=Asin(ωt+φ)+b较合适. 令A>0,ω>0,|φ|<π. 由图知,A=0.4,b=1,周期T=12,则ω=. 把t=0,y=1代入y=0.4sin(t+φ)+1,得φ=0. 故所求拟合模型的解析式为y=0.4sint+1(0≤t≤24). (3)由y=0.4sint+1≥0.8,得sint≥-, 则-+2kπ≤t≤+2kπ(k∈Z), 即12k-1≤t≤12k+7(k∈Z). 因为t∈[7,19],所以11≤t≤19, 故应安排在11时到19时训练较恰当. $