4.4　三角恒等变换 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“三角恒等变换”专题，依据课标要求覆盖两角和差、二倍角、辅助角公式的推导与应用，对接高考评价体系分析公式逆用、角的拆分、化简求值等高频考点，归纳给角求值、给值求值等常考题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于“公式溯源+分层训练+素养提升”，如例5通过辅助角公式与二倍角公式化简“sin50°(1+√3tan10°)”，培养数学思维与运算能力，结合半角公式符号判断等易错点分析，助力学生掌握角的变换技巧，教师可据此实施精准复习，提升备考效率。

4.4　三角恒等变换 第四章 2027 课标要求 1.经历推导两角差的余弦公式的过程,知道两角差余弦公式的意义. 2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系. 3.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式,这三组公式不要求记忆). 备考指导 三角恒等变换是求解三角函数问题的重要工具,很多问题都需要先对已知函数进行恒等变形,化为适合于解答的形式,变形的方向是关键.复习时要牢记各个公式及公式的变形,理解公式之间的关联,会应用公式转化和解决问题,提升数学运算素养. 内容索引 01 02 03 第一环节　必备知识落实 第二环节　关键能力形成 第三环节　学科素养提升 第一环节　必备知识落实 【知识筛查】 1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式 2.二倍角的正弦、余弦和正切公式 (1)sin 2α=2sin αcos α;  (2)cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α; 温馨提示1.二倍角公式就是两角和的正弦、余弦、正切中α=β的特殊情况. 3.辅助角公式 【知识巩固】 × × √ √ × D sin 20°sin 80°-cos 160°cos 80° =sin 20°cos 10°+cos 20°sin 10° =sin(10°+20°)=sin 30°= C 4.函数f(x)=sin(x+2φ)-2sin φcos(x+φ)(φ∈R)的最大值为　　　　　.  1 ∵f(x)=sin(x+2φ)-2sin φcos(x+φ) =sin [(x+φ)+φ]-2sin φcos(x+φ) =sin(x+φ)cos φ+cos(x+φ)sin φ-2sin φcos(x+φ) =sin(x+φ)cos φ-cos(x+φ)sin φ =sin [(x+φ)-φ]=sin x, ∴f(x)max=1. 第二环节　关键能力形成 能力形成点1 三角函数公式的直接应用 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 能力形成点4 能力形成点5 解题心得三角函数公式对使公式有意义的任意角都成立.使用中要注意观察角之间的和、差、倍、互补、互余等关系. 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 能力形成点4 能力形成点5 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 能力形成点4 能力形成点5 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 能力形成点4 能力形成点5 能力形成点2 三角函数公式的逆用及变形应用 B 原式=sin(65°-x)cos(x-20°)+cos(65°-x)cos [90°-(x-20°)] =sin(65°-x)cos(x-20°)+cos(65°-x)sin(x-20°) =sin [(65°-x)+(x-20°)] =sin 45°= 故选B. 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 能力形成点4 能力形成点5 B B 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 能力形成点4 能力形成点5 解题心得运用两角和与差的三角函数公式时,不但要熟悉公式的直接应用,还要熟悉公式的逆用及变形应用,如tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等.公式的逆用和变形应用更能拓展思路,培养从正向思维向逆向思维转化的能力. 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 能力形成点4 能力形成点5 对点训练2 (1)若α+β= ,则cos α+cos β的最小值为　　　　　.  能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 能力形成点4 能力形成点5 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 能力形成点4 能力形成点5 能力形成点3 三角函数公式运用中角的变换 C 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 能力形成点4 能力形成点5 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 能力形成点4 能力形成点5 解题心得求角的三角函数值的一般思路是把“所求角”用“已知角”表示. (1)当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式; (2)当“已知角”只有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”. 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 能力形成点4 能力形成点5 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 能力形成点4 能力形成点5 cos(30°-2α)=cos(180°-150°-2α)=-cos(150°+2α) =-2cos2(75°+α)+1 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 能力形成点4 能力形成点5 能力形成点4 三角函数式的化简 -cos θ 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 能力形成点4 能力形成点5 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 能力形成点4 能力形成点5 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 能力形成点4 能力形成点5 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 能力形成点4 能力形成点5 解题心得1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则 2.三角函数式化简的方法 弦切互化,异名化同名,异角化同角,降幂或升幂. 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 能力形成点4 能力形成点5 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 能力形成点4 能力形成点5 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 能力形成点4 能力形成点5 能力形成点5 三角函数的求值 命题角度1 给角求值问题 例5　求值: 1 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 能力形成点4 能力形成点5 命题角度2 给值求值问题 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 能力形成点4 能力形成点5 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 能力形成点4 能力形成点5 命题角度3 给值求角问题 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 能力形成点4 能力形成点5 解题心得1.“给角求值问题”:解决给角求值问题的关键是两种变换:一是角的变换,注意各角之间是否具有和差关系、互补(余)关系、倍半关系,从而选择相应公式进行转化,把非特殊角的三角函数相约或相消,从而转化为特殊角的三角函数;二是结构变换,在熟悉各种公式的结构特点、符号特征的基础上,结合所求式子的特点合理地进行变形. 2.“给值求值问题”:给值求值的关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异,一般可以适当变换已知式,求得另外某些函数式的值,以备应用.同时也要注意变换待求式,便于将由已知式求得的函数值代入,从而达到解题的目的. 3.“给值求角问题”:实质上也可转化为“给值求值”,关键是变角,把所求角用含已知角的式子表示,由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角,有时要缩小角的取值范围. 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 能力形成点4 能力形成点5 D 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 能力形成点4 能力形成点5 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 能力形成点4 能力形成点5 能力形成点1 能力形成点2 能力形成点3 能力形成点4 能力形成点5 第三环节　学科素养提升 半角公式及其应用 1.半角公式及其推导 温馨提示应用半角公式时, (1)若没有给出决定符号的条件,则在根号前保留正、负两个符号; 答案:D 本 课 结 束 名称 公式 简记符号 公式特点 两角和与 差的正弦 sin(α±β)= sin αcos β±cos αsin β S(α±β) 异名相乘、 加减一致 两角和与 差的余弦 cos(α∓β)= cos αcos β±sin αsin β C(α±β) 同名相乘、 加减相反 两角和与 差的正切 tan(α±β)= T(α±β) 两式相除、 上同下异 (3)tan 2α= . 2.二倍角是相对的,如的2倍,3α是的2倍. asin x+bcos x=sin(x+φ), 其中sin φ=,cos φ=. 1.公式的常用变式:tan α±tan β=tan(α±β)(1∓tan αtan β); tan αtan β=1--1. 2.降幂公式:sin2α=;cos2α=;sin αcos α=sin 2α. 3.升幂公式:1+cos α=2cos2;1-cos α=2sin2; 1+sin α=(sin+cos)2;1-sin α=(sin-cos)2. 4.常用拆角、拼角技巧:例如,2α=(α+β)+(α-β);α=(α+β)-β=(α-β)+β; β==(α+2β)-(α+β);α-β=(α-γ)+(γ-β);15°=45°-30°;+α=-(-α)等. 1.下列说法正确的画“√”,错误的画“×”. (1)y=3sin x+4cos x的最大值是7.(　　) (2)当α是第一象限角时,sin.(　　) (3)在斜三角形ABC中,tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C.(　　) (4)半角的正弦、余弦公式实质就是将倍角的余弦公式逆求而得来的.(　　) (5)公式asin x+bcos x=sin(x+φ)中φ的取值与a,b的值无关.(　　) 2.sin 20°sin 80°-cos 160°cos 80°等于(　　) A.- B. C.- D. 3.已知sin α+cos α=1,则cos=(　　) A.- B.- C. D.- 由sin α+cos α=1,可得sin, 故cos=1-2sin2 例1　已知cos(x-)=,x∈(). (1)求sin x的值; (2)求cos(2x+)的值. 解 (1)因为x∈(), 所以x-(),sin(x-)= sin x=sin[]=sin(x-)cos+cos(x-)sin (2)因为x∈(), 所以cos x=-=-=-, sin 2x=2sin xcos x=-,cos 2x=2cos2x-1=- 所以cos2x+=cos 2xcos-sin 2xsin =- 对点训练1 (1)已知sin α=,α∈,则=　　　　　.  - ∵sin α=,, ∴cos α=- =cos α-sin α=- (2)若tan,则tan α=　　　　　.  (方法一)tan α=tan = (方法二)∵tan, ∴tan α= 例2　(1)sin(65°-x)cos(x-20°)+cos(65°-x)·cos(110°-x)的值为(　　) A. B. C. D. (2)已知sin α+cos α=,则sin2=(　　) A. B. C. D. (3)在△ABC中,若tan Atan B=tan A+tan B+1,则cos C的值为(　　) A.- B. C. D.- ∵sin α+cos α=, ∴(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α=,∴sin 2α=-, ∴sin2 由tan Atan B=tan A+tan B+1,可得=-1,即tan(A+B)=-1, 又A+B∈(0,π),∴A+B=,∴C=π-,即cos C= - 因为α+β=, 所以cos α+cos β=cos α+cos=cos α+coscos α+sinsin α =cos α+sin α=sin, 所以cos α+cos β的最小值为- (2)在△ABC中,已知三个内角A,B,C成等差数列, 则tan+tantantan的值为　　　　　. 因为三个内角A,B,C成等差数列,且A+B+C=π, 所以A+C=,tan, 所以tan+tantantan =tan()(1-tantan)+tantan (1-tantan)+tantan 例3　(1)若0<α<,-<β<0,cos,cos,则cos等于(　　) A. B.- C. D.- cos=cos[] =coscos+sinsin(). ∵0<α<,+α<,∴sin 又-<β<0,则,∴sin 故cos故选C. (2)已知cos=-,sin,且<α<π,0<β<,则cos(α+β)= 　　　　　. - 由已知得<α-<π,0<-β<, ∴sin,cos, ∴cos=cos =cos(α-)·cos+sinsin 则cos(α+β) =2cos2-1=- 对点训练3 (1)已知锐角α,β满足cos α=,sin(α-β)=-,则sin β的值为　　　　　. 因为α,β是锐角,即0<α<,0<β<,所以-<α-β< 因为sin(α-β)=-<0,所以cos(α-β)= 因为cos α=,所以sin α=, 故sin β=sin[α-(α-β)]=sin αcos(α-β)-cos αsin(α-β) = (2)若cos(75°+α)=,则cos(30°-2α)的值为　　　　　.  =-2+1= 例4　(1)已知0<θ<π,则=　　　　　.  原式= =cos ∵0<θ<π,∴0< ∴cos>0,∴原式=-cos θ. (2)化简:=　　　　　.  cos 2x 原式==cos 2x. (3)已知sin α=+cos α,且α∈,则的值为　　　　　.  - (方法一)∵sin α=+cos α,∴sin α-cos α=, sin,∴sin(α-)= 又,∴α-,∴cos, ∴cos 2α=-sin =-2sincos=-2=-, ∴=- (方法二)∵sin α=+cos α,∴sin α-cos α=, ∴(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=,∴2sin αcos α= ∵, ∴sin α+cos α=, ∴=-(sin α+cos α)=- 对点训练4 (1)化简:=　　　　　.  2cos α 原式==2cos α. (2)设α为锐角,若cos,则sin(2α+)的值为　　　　　.  ∵α为锐角,cos,∴sin ∴sin=2sincos, cos=2cos2-1=, ∴sin=sin = sin 50°(1+tan 10°)=　　　　　.  sin 50°(1+tan 10°)=sin 50° =sin 50°=sin 50° ==1. 例6　已知sin,α∈. 求:(1)cos α的值; (2)sin的值. 解 (1)sin,即sin αcos+cos αsin, 化简,得sin α+cos α=,① 又sin2α+cos2α=1,② ∴cos α=-或cos α= 又,∴cos α=- (2),cos α=-, ∴sin α=, ∴cos 2α=1-2sin2α=-,sin 2α=2sin αcos α=-, ∴sin=sin 2αcos-cos 2αsin=- 例7　已知cos α=,cos(α-β)=,且0<β<α<,则β=　　　　　.  ∵0<β<α<,∴0<α-β<,sin α= 又cos(α-β)=,∴sin(α-β)= ∴cos β=cos[α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β) = 又0<β<,∴β= 对点训练5 (1)求值:=(　　) A.1 B. C. D.2 原式= =2 (2)已知cos(+x)=,若<x<,则的值为　　　　　.  - 由<x<,得<x+<2π. 因为cos(+x)=,所以sin(+x)=-, 所以cos x=cos[]=cos(+x)cos+sin(+x)sin ==-, 从而sin x=-,tan x=7. 则==- 对点训练6 已知α,β∈(0,π),且tan(α-β)=,tan β=-,求2α-β的值. 解 ∵tan α=tan[(α-β)+β]=>0,α∈(0,π), ∴0<α< 又tan 2α=>0,∴0<2α< ∴tan(2α-β)==1. ∵tan β=-<0,<β<π,-π<2α-β<0.∴2α-β=- (2)若给出了角α的具体范围,则先求所在范围,再根据所在范围确定符号. 典例1　若sin θ=<θ<3π,则sin=　　　　　.  答案:- 解析:若sin θ=<θ<3π,则,cos θ=-=-, 故sin=-=-. 2.用tan表示sin α,cos α及tan α sin α=2sincos, cos α=cos2-sin2, tan α=. 典例2　已知sin θ=,sin 2θ<0,则tan的值为(　　) A. B.- C. D.3 解析:∵sin θ=>0,sin 2θ=2sin θcos θ<0, ∴cos θ=-<0, ∴tan=3. 解题心得1.有了半角公式,只需知道cos α的值及相关的角的条件便可求的正弦、余弦、正切的值. 2.对于,α∈R,但是使用时,要保证α≠(2k+1)π(k∈Z). $