第4章 4.4 简单的三角恒等变换-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮课件PPT（人教A版）

该高中数学高考复习课件聚焦“简单的三角恒等变换”专题，依据高考考试要求梳理二倍角公式、升幂降幂变形及半角公式应用，对接高考评价体系，明确化简、给角求值、给值求角等常考题型权重，构建系统备考框架。 课件亮点在于融合2024新课标Ⅰ卷给值求值真题解析，通过“三看”化简原则、给值求角步骤等技巧指导，以例2-2推导培养数学思维（推理、运算），结合矩形面积最值问题发展数学语言（模型意识），助力学生掌握得分技巧，为教师提供精准复习教学指导。

第四章　三角函数与解三角形 §4.4　简单的三角恒等变换 下一页 上一页 返回导航 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 复盘 必备知识 01 跃升 关键能力 02 课时冲关 03 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 复盘 必备知识 下一页 上一页 返回导航 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 跃升 关键能力 下一页 上一页 返回导航 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 课时作业 下一页 上一页 返回导航 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 ★[考试要求] 能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，并进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆)． 1．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)公式S2α：sin 2α＝　2sin αcos α　. (2)公式C2α：cos 2α＝　cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α　. (3)公式T2α：tan 2α＝　eq \f(2tan α,1－tan2α)　. 2．半角公式(不要求记忆) sineq \f(α,2)＝±eq \r(\f(1－cos α,2))；coseq \f(α,2)＝±eq \r(\f(1＋cos α,2))；taneq \f(α,2)＝±eq \r(\f(1－cos α,1＋cos α)).符号由eq \f(α,2)所在象限决定． 1．二倍角公式的变形公式 (1)1－cos α＝2sin2eq \f(α,2)，1＋cos α＝2cos2eq \f(α,2).(升幂公式) (2)1±sin α＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(α,2)±cos\f(α,2)))2.(升幂公式) (3)sin2α＝eq \f(1－cos 2α,2)，cos2α＝eq \f(1＋cos 2α,2)，tan2α＝eq \f(1－cos 2α,1＋cos 2α).(降幂公式) 2．半角正切公式的有理化 taneq \f(α,2)＝eq \f(sin α,1＋cos α)＝eq \f(1－cos α,sin α). 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)tan eq \f(α,2)＝eq \f(sin α,1＋cos α)＝eq \f(1－cos α,sin α).( √ ) (2)设eq \f(5π,2)<θ<3π，且|cos θ|＝eq \f(1,5)，那么sin eq \f(θ,2)的值为eq \f(\r(15),5).( × ) (3)半角的正弦、余弦公式实质就是将倍角的余弦公式逆求而得来的．( √ ) (4)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.( √ ) 2．sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°＝(　　) A.eq \f(1,2)　　　 B.eq \f(\r(2),2) C.eq \f(\r(3),2)　　　 D．1 解析：B　[sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58° ＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58°)＋sin 77°cos 58° ＝(－cos 77°)·(－sin 58°)＋sin 77°cos 58° ＝sin 58°cos 77°＋cos 58°sin 77°＝sin(58°＋77°)＝sin 135°＝eq \f(\r(2),2).] 3．化简eq \r(1＋cos 4)的结果是(　　) A．sin 2 B．－cos 2 C.eq \r(2)cos 2 D．－eq \r(2)cos 2 解析：D　[因为eq \r(1＋cos 4)＝eq \r(2cos22)，又cos 2<0，所以可得选项D正确．] 4．已知tan α＝3，则tan 2α＝________. 解析：tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α)＝eq \f(2×3,1－32)＝－eq \f(3,4). 答案：－eq \f(3,4) 三角函数式的化简 [例1]　(1)已知函数f(x)＝eq \f(tan θ－tanx＋θ,1－3tanx＋θ)是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2026)，\f(π,2026)))上的奇函数，则tan θ＝(　　) A．－3　　 B．－eq \f(1,3) C.eq \f(1,3)　　 D．3 [解析]　f(x)＝eq \f(tan θ－tanx＋θ,1－3tanx＋θ) ＝eq \f(tan θ－\f(tan x＋tan θ,1－tan x·tan θ),1－3×\f(tan x＋tan θ,1－tan x·tan θ)) ＝eq \f(tan θ1－tan x·tan θ－tan x＋tan θ,1－tan x·tan θ－3tan x＋tan θ) ＝eq \f(－tan2θ＋1·tan x,1－3tan θ－tan θ＋3·tan x)， ∵f(x)是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2026)，\f(π,2026)))上的奇函数， 又y＝－(tan2θ＋1)·tan x为奇函数，则分母上的函数需为偶函数， ∴tan θ＋3＝0，∴tan θ＝－3. [答案]　A (2) 已知0<θ<π，则eq \f(1＋sin θ＋cos θ\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(θ,2)－cos\f(θ,2))),\r(2＋2cos θ))＝________. [解析]　由θ∈(0，π)得0<eq \f(θ,2)<eq \f(π,2)，所以coseq \f(θ,2)>0， 所以eq \r(2＋2cos θ)＝eq \r(4cos2\f(θ,2))＝2coseq \f(θ,2). 又(1＋sin θ＋cos θ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(θ,2)－cos\f(θ,2))) ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2sin\f(θ,2)cos\f(θ,2)＋2cos2\f(θ,2))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(θ,2)－cos\f(θ,2))) ＝2coseq \f(θ,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin2\f(θ,2)－cos2\f(θ,2)))＝－2coseq \f(θ,2)cos θ. 故原式＝eq \f(－2cos\f(θ,2)cos θ,2cos\f(θ,2))＝－cos θ. [答案]　－cos θ (1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征． (2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的联系点． 1．化简：eq \f(sin 2α－2cos2α,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4))))＝________. 解析：原式＝eq \f(2sin αcos α－2cos2α,\f(\r(2),2)sin α－cos α)＝2eq \r(2) cos α. 答案：2eq \r(2)cos α 2．已知tan α＝eq \f(1,2)，则eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2)))－cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α)),cos－α－sinπ－α)＝(　　) A．－1 B．1 C．－3 D．3 解析：D　[由三角函数的诱导公式和弦切关系化简可得． eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2)))－cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α)),cos－α－sinπ－α)＝eq \f(cos α＋sin α,cos α－sin α)＝eq \f(1＋tan α,1－tan α)＝eq \f(1＋\f(1,2),1－\f(1,2))＝3.] 三角函数式的求值 ►[角度1]　给角求值　 [例2－1]　黄金三角形有两种，一种是顶角为36°的等腰三角形，另一种是顶角为108°的等腰三角形．已知在顶角为36°的黄金三角形中，36°角对应边与72°角对应边的比值为eq \f(\r(5)－1,2)≈0.618，这个值被称为黄金比例．若t＝eq \f(\r(5)－1,2)，则eq \f(1－2sin227°,2t\r(4－t2))等于(　　) A.eq \f(\r(5)＋1,4) B.eq \f(\r(5)－1,4) C.eq \f(1,2) D.eq \f(1,4) [解析]　依题意，得t＝eq \f(sin 36°,sin 72°)＝eq \f(sin 144°,sin 72°)＝2cos 72°， 则eq \f(1－2sin227°,2t\r(4－t2))＝eq \f(cos 54°,4cos 72°\r(4－2cos 72°2)) ＝eq \f(cos 54°,4cos 72°\r(4sin272°))＝eq \f(cos 54°,4cos 72°·2sin 72°) ＝eq \f(sin 36°,4sin 144°)＝eq \f(1,4). [答案]　D ►[角度2]　给值求值　 [例2－2]　(2024·新课标Ⅰ卷，T4)已知cos(α＋β)＝m，tan αtan β＝2，则cos(α－β)＝(　　) A．－3m B．－eq \f(m,3) C.eq \f(m,3) D．3m [解析]　由tan αtan β＝2，得sin αsin β＝2cos αcos β，cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝－cos αcos β＝m，故cos αcos β＝－m，所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝3cos αcos β＝－3m. [答案]　A 　上面2024年新课标Ⅰ卷T4源于人教A版必修一P255，习题T15 (1)已知cos(α＋β)＝eq \f(1,5)，cos(α－β)＝eq \f(3,5)， 求tan αtan β的值； (2)已知cos(α＋β)＝eq \f(1,2)，sin α＋sinβ＝eq \f(1,3)， 求cos(α－β)的值． 解：(1)由题意，cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝eq \f(1,5)① cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝eq \f(3,5)② ①＋②得cos αcos β＝eq \f(2,5)，②－①得sin αsin β＝eq \f(1,5) 所以tan αtan β＝eq \f(sin αsin β,cos αcos β)＝eq \f(1,2). (2)由题意，(cos α＋cos β)2＝cos2α＋2cos αcos β＋cos2β＝eq \f(1,4)① (sin α＋sin β)2＝sin2α＋2sin αsin β＋sin2β＝eq \f(1,9)① ①＋②得 2＋2(cos αcos β＋sin αsin β)＝2＋2cos(α－β) ＝eq \f(1,4)＋eq \f(1,9)＝eq \f(13,36) 所以cos(α－β)＝－eq \f(59,72). ►[角度3]　给值求角　 [例2－3]　已知cos α＝eq \f(2\r(5),5)，sin β＝eq \f(\r(10),10)，且α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，则α＋β的值是(　　) A.eq \f(3π,4) B.eq \f(π,4) C.eq \f(7π,4) D.eq \f(5π,4) [解析]　∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴sin α＝eq \r(1－cos2α)＝eq \f(\r(5),5)，cos β＝eq \r(1－sin2β)＝eq \f(3\r(10),10)， ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝eq \f(2\r(5),5)×eq \f(3\r(10),10)－eq \f(\r(5),5)×eq \f(\r(10),10)＝eq \f(\r(2),2)，又α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝eq \f(π,4). [答案]　B (1)给值求值问题一般是将待求式子化简整理，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入即可． (2)给角求值问题一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角之间总有一定的关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除特殊角三角函数而得解． (3)给值求角问题一般先求角的某一三角函数值，再求角的范围，最后确定角．遵照以下原则： ①已知正切函数值，选正切函数；已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，选正、余弦皆可； ②若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，选正弦较好． 1．已知coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x))＝eq \f(1,3)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,4)－x))＝(　　) A．－eq \f(1,3)　　　　　　　　 B.eq \f(1,3) C.eq \f(2\r(2),3) D．－eq \f(2\r(2),3) 解析：A　[根据eq \f(5π,4)－x＝eq \f(3π,2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x))结合诱导公式求解即可．sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,4)－x))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x))))＝－coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x))＝－eq \f(1,3).] 2．已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，且2cos 2α＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))，则sin 2α的值为(　　) A.eq \f(1,8) B．－eq \f(1,8) C.eq \f(7,8) D．－eq \f(7,8) 解析：C　[由题意可得2(cos2α－sin2α)＝cos eq \f(π,4)cos α＋sin eq \f(π,4)sin α，即2(cos α＋sin α)(cos α－sin α)＝eq \f(\r(2),2)(cos α＋sin α)．由α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，可得cos α＋sin α≠0，所以cos α－sin α＝eq \f(\r(2),4)，等式两边平方，可得1－sin 2α＝eq \f(1,8)，所以sin 2α＝eq \f(7,8).] 3．已知α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，2tan α＝eq \f(sin 2β,sin β＋sin2β)，则2α＋β＝(　　) A.eq \f(π,3) B.eq \f(π,2) C.eq \f(2π,3) D．π 解析：B　[因为2tan α＝eq \f(sin 2β,sin β＋sin2β)，所以eq \f(2sin α,cos α)＝eq \f(2sin βcos β,sin β＋sin2β)＝eq \f(2cos β,1＋sin β)， 所以sin α＋sin αsin β＝cos αcos β， 所以sin α＝cos αcos β－sin αsin β＝cos(α＋β)， 所以coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝cos(α＋β)， 因为α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以eq \f(π,2)－α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，α＋β∈(0，π)， 所以eq \f(π,2)－α＝α＋β，所以2α＋β＝eq \f(π,2).] 三角恒等变换的综合应用 [例3]　如图，有一块以点O为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD开辟为绿地，使其一边AD落在半圆的直径上，另两点B，C落在半圆的圆周上．已知半圆的半径长为20 m，如何选择关于点O对称的点A，D的位置，可以使矩形ABCD的面积最大，最大值是多少？ [解]　连接OB，设∠AOB＝θ，则AB＝OBsin θ＝20sin θ，OA＝OBcos θ＝20cos θ，且θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).因为A，D关于原点对称，所以AD＝2OA＝40cos θ. 设矩形ABCD的面积为S，则S＝AD·AB＝40cos θ×20sin θ＝400sin 2θ.因为θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以当sin 2θ＝1，即θ＝eq \f(π,4)时，Smax＝400 m2.此时AO＝DO＝10eq \r(2) m. 故当A，D距离圆心O为10eq \r(2) m时，矩形ABCD的面积最大，其最大面积是400 m2. 利用三角恒等变换解决实际问题的思路 (1)结合具体图形引进角为参数，利用三角函数的有关公式进行化简，解决最优化问题． (2)解决三角函数应用问题和解决一般应用性问题一样，先建模，再讨论变量的范围，最后作出结论并回答问题． [注意]　注意恰当选择自变量，并利用解直角三角形等知识表示有关线段． 如图，矩形OABC中，AB＝1，OA＝2，以B为圆心，BA为半径在矩形内部作弧，点P是弧上一动点，PM⊥OA，垂足为M，PN⊥OC，垂足为N，则四边形OMPN的周长的最小值为　________. 解析：连接BP，设∠CBP＝α，其中0≤α<eq \f(π,2)，则PM＝1－sin α，PN＝2－cos α，四边形OMPN的周长C＝6－2(sin α＋cos α)，因为(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋sin 2α，所以要让周长最小，即让(sin α＋cos α)最大，即sin 2α最大，因为sin 2α在α＝eq \f(π,4)时取到最大值1，所以当α＝eq \f(π,4)时，周长有最小值为6－2eq \r(2). 答案：6－2eq \r(2) $