5.3 直角三角形全等的判定 教学设计 2026--2027学年湘教版八年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦直角三角形全等的“斜边、直角边”定理，通过复习SAS、ASA、AAS、SSS等已有判定方法搭建知识支架，引导学生思考直角三角形添加边的条件，自然过渡到HL定理的探究。 以问题链驱动探究，用勾股定理证明HL定理培养推理意识，结合作图与滑梯角度等实例发展几何直观，课堂练习多样化题型巩固应用。帮助学生提升逻辑推理与问题解决能力，为教师提供结构化流程与实例，提升教学效率。

第五章 直角三角形 5.3 直角三角形全等的判定 一、教学目标 1.熟练并掌握直角三角形全等的判定-“斜边、直角边”定理； 2.能正确应用“斜边、直角边”定理证明两个三角形全等； 3.已知斜边、直角边会画直角三角形，经历画直角三角形探究得到“斜边、直角边”定理，体会“斜边、直角边”定理的合理性； 4.经历探索三角形全等的条件的过程，体会运用操作、归纳获取数学结论的方法，初步形成解决问题的基本策略． 二、教学重难点 重点：熟练并掌握直角三角形全等的判定-“斜边、直角边”定理． 难点：能正确应用“斜边、直角边”定理证明两个三角形全等. 三、教学用具 电脑、多媒体、课件、教学用具等． 四、教学过程设计 【复习回顾】 到目前为止，我们已学过哪些方法判定两三角形全等？ 预设： 边角边(SAS)：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等. 角边角(ASA)：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等. 角角边(AAS)：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等. 边边边(SSS)：三边分别相等的两个三角形全等. 师生活动：教师提出问题，学生思考后尝试回答． 设计意图：通过回顾已学的三角形全等判定方法，引导学生梳理知识，为后续教学做铺垫，同时促进师生互动. 【探究新知】 【思考】 (1)对于两个直角三角形，已有一个直角相等，要判定这两个直角三角形全等，可以添加哪些条件呢？ 预设： ①添加一个锐角和一边分别相等，则由角角边或角边角就可以判定两个直角三角形全等； ②添加两直角边分别相等，则由边角边也可以判定两个直角三角形全等. (2)若有一条直角边和斜边分别相等，这两个三角形全等吗？ 预设：已知两个直角三角形的一条直角边和斜边分别相等，根据勾股定理可求出另外一条直角边也相等，故利用边边边可证明两直角三角形全等. 你能根据上述思路，证明一条直角边和斜边分别相等的两个三角形全等吗？ 已知：如图，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C=∠C'=90°，AB=A'B'，AC=A'C'. 求证：△ABC≌△A'B'C'. 证明：在Rt△ABC中，由勾股定理得， BC²=AB²-AC², 同理，在Rt△A'B'C'中，B'C'²=A'B'²-A'C'². 由于AB=A'B'，AC=A'C'， 因此BC²＝B'C'²，从而BC＝B'C'. 在△ABC与△A'B'C'中，AB=A′B′，BC=B′C′，AC=A′C′ 因此△ABC≌△A'B'C'（SSS）. 【抽象】 由此可得判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理： 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等. 简写成“斜边、直角边”或“HL”. 几何语言：如图，在Rt△ABC与Rt△A'B'C'中， 所以Rt△ABC≌Rt△A'B'C'(HL). 注意：“斜边、直角边”是判定直角三角形全等的特有方法，两个“△”前要加“Rt”. 师生活动：教师引导学生思考讨论，并让学生尝试用几何语言说一说所得到的定理． 设计意图：通过引导学生思考直角三角形全等的条件，进而探究并证明“斜边、直角边”定理，意在让学生掌握直角三角形全等的特有判定方法，培养逻辑推理能力. 【应用新知】 教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程. 教材例题 例1 如图，BD，CE 是△ABC 的高，且BE = CD. 求证：Rt△BEC≌Rt△CDB. 分析：由三角形的高得到直角三角形，再由斜边、直角边定理证全等即可. 证明：因为BD，CE是△ABC的高， 所以∠BEC = ∠CDB = 90°. 在Rt△BEC和Rt△CDB中， 所以Rt△BEC ≌ Rt△CDB（斜边、直角边）. 注意：找到隐藏的公共边是解决此题的关键. 例2 已知一直角边和斜边作直角三角形. 如图，已知线段a，c（c>a）.求作Rt△ABC，使得斜边AB=c，一条直角边BC=a. 作法: (1)作一条直线l，在直线l上截取BC=a； (2)过点C作直线l的垂线CD； (3)以点B为圆心，以c为半径画圆弧，交CD于点A，连接AB，于是△ABC为所求作的直角三角形. 典型例题 例3如图，AB=CD，BF⊥AC，DE⊥AC，AE=CF.求证：BF=DE. 证明: 因为 BF⊥AC，DE⊥AC， 所以∠BFA=∠DEC=90 °. 因为AE=CF， 所以AE+EF=CF+EF，即AF=CE. 在Rt△ABF和Rt△CDE中， AB=CD， AF=CE. 所以Rt△ABF≌Rt△CDE(HL). 所以BF=DE 注意：一定要注意HL只能用于证明直角三角形的全等. 师生活动：学生先独立思考再作答. 设计意图：通过不同类型例题，让学生运用“斜边、直角边”、定理证明直角三角形全等、进行几何作图及解决线段相等问题，巩固定理应用，培养逻辑推理和动手操作能力，提升分析解决几何问题的素养，体会数学在证明与作图中的工具性. 【课堂练习】 教材习题 1.下面说法是否正确?为什么? (1)两个锐角对应相等的两个直角三角形全等; (2)两条直角边对应相等的两个直角三角形全等. 解：(1)两个锐角对应相等，加上一对直角，三个角对应相等不能得到两个三角形全等; (2)两条直角边对应相等，根据勾股定理可得斜边相等，故利用直角边、斜边定理证两个直角三角形全等. 2. 如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度 AC 与右边滑梯水平方向的长度 DF 相等，且AC⊥AB，DE⊥DF，两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠DFE的大小有什么关系？ 解：因为AC⊥AB，DE⊥DF，所以△ABC 和△DEF是直角三角形. 在Rt△ABC和Rt△DEF中，BC = EF，AC = DF， 所以Rt△ABC≌Rt△DEF (HL). 所以∠ABC = ∠DEF（全等三角形对应角相等）. 因为∠DEF +∠F = 90°，所以∠ABC +∠DFE= 90°. 自选习题 3.如图，AB⊥CD，垂足为 O，添加下列一组条件后，不能判定Rt△AOC ≌Rt△BOD的是（ ） A. AC = BD，OA = OB B. OA = OD，∠A =∠B C. AC = BD，OC = OD D. AC = BD，AC // BD 答案：B. 4.如图，在△ABC中，点D为BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，点E、F为垂足，DE=DF.求证：Rt△BED≌Rt△CFD. 证明：因为点D为BC的中点，所以BD=CD 因为DE⊥AB，DF⊥AC，所以∠BED=∠CFD=90°， 即△BED和△CFD都是直角三角形 在Rt△BED和Rt△CFD中， 因为 BD=CD(斜边)，DE=DF(直角边)， 所以Rt△BED ≌Rt△CFD(HL). 5.如图，点E在BC上，AC⊥CB，DB⊥BC，且AC=BE，AB=DE．求证：CE=BD-AC． 证明：因为AC⊥CB，DB⊥BC， 所以∠C=∠DBC=90°， 所以△ABC和△EDB都是直角三角形 在Rt△ABC和Rt△EDB中， AC=EB，AB=ED. 所以Rt△ABC≌Rt△EDB(HL). 所以BC=BD 所以CE=BC-BE=BD-AC. 6.如图，∠C=90°，AC=4，BC=3，射线AP⊥AC，点D和E分别在线段AC和射线AP上运动，且DE=AB.当AE=_____时，△ABC与△ADE全等. 分析：△ABC与△ADE全等，根据∠C=∠EAC=90°，可知Rt△ABC≌Rt△DEA或Rt△ACB≌Rt△EAD，由此根据全等三角形的性质，求线段AE的长. 答案：3或4. 师生活动：学生独立完成课堂练习，教师巡视指导，了解学生的掌握情况，然后对练习题进行讲解和分析，让学生说出解题思路和方法，教师进行点评和总结． 设计意图：通过多样化习题，让学生辨析直角三角形全等条件、解决实际几何问题，巩固“斜边、直角边”定理应用，提升知识运用和问题解决能力. 【总结归纳】 思维导图的形式呈现本节课的主要内容： 设计意图：通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识. 学科网（北京）股份有限公司 $