倍数和因数（讲义）-2026-2027学年五年级上册数学北师大版

该小学数学讲义通过知识框架图系统构建“倍数和因数”单元体系，涵盖定义、特征、找法、数的分类等核心内容，用对比表格呈现奇数偶数与质数合数的分类标准，思维导图梳理倍数因数相互关系，突出2、5、3倍数特征及质数合数等重难点。 讲义亮点在于“情境化问题解决”练习设计，如例题3长方形划分正方形求最大边长（最大公因数应用），真题拔高洒水器同时洒水时间（最小公倍数），培养应用意识与推理意识。核心口诀强化记忆，易错指引精准突破薄弱点，分层练习适配不同学生，助力教师实施精准复习教学。

单元复习讲义：专题07 倍数和因数（知识梳理 例题讲解 提升练习） 知识精讲 一、单元学习概述 《倍数和因数》是北师大版五年级上册核心数论基础单元，是整数知识的深度拓展，也是小学阶段数与代数的重难点内容。本单元系统学习倍数与因数的定义、相互关系、找因数与倍数的方法、2、5、3的倍数特征、奇数与偶数、质数与合数，同时掌握数的分类方法。本单元是后续约分、通分、最大公因数、最小公倍数、分数运算的基础，概念细碎、辨析性强，是期末填空、判断、选择高频考点，对培养数感与严谨数学思维至关重要。 二、倍数与因数的核心定义（必背） 1. 适用范围：只针对非0自然数（1、2、3、4……），小数、分数、0均不研究倍数与因数。 2. 定义：在非0自然数除法中，如果a÷b=c（a、b、c均为非0自然数，无余数），那么a是b和c的倍数，b和c是a的因数。 3. 核心关系：倍数和因数相互依存、成对出现，不能单独说某个数是倍数或某个数是因数，必须说明谁是谁的倍数、谁是谁的因数。 示例：12÷3=4，只能说12是3和4的倍数，3和4是12的因数，禁止单独表述“12是倍数、3是因数”。 三、因数与倍数的特征 1. 因数的特征 一个数的因数个数是有限的；最小因数是1，最大因数是它本身。 2. 倍数的特征 一个数的倍数个数是无限的；最小倍数是它本身，没有最大的倍数。 3. 重要结论 一个非0自然数的最大因数 = 最小倍数 = 它本身。 四、找因数与倍数的规范方法 1. 找一个数的因数（有序成对找） 方法：从1开始，一对一对列举乘积等于这个数的两个自然数，做到不重复、不遗漏。 示例：找18的因数，1×18、2×9、3×6，因此18的因数有1、2、3、6、9、18。 2. 找一个数的倍数 方法：用这个数依次乘1、2、3……得到的积就是它的倍数，倍数无限，列举后加省略号。 示例：4的倍数：4、8、12、16、20…… 五、2、5、3的倍数特征（必考） 1. 2的倍数特征 个位上是0、2、4、6、8的非0自然数，都是2的倍数。 2. 5的倍数特征 个位上是0或5的非0自然数，都是5的倍数。 3. 同时是2和5的倍数 个位上只能是0，是整十数。 4. 3的倍数特征 一个数各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数，与个位数字无关。 易错提醒：不能凭个位数字判断3的倍数，必须计算数位和。 六、奇数与偶数 1. 偶数：是2的倍数的数，个位为0、2、4、6、8，0是最小的偶数。 2. 奇数：不是2的倍数的数，个位为1、3、5、7、9，1是最小的奇数。 3. 奇偶运算规律（熟记秒杀）： 奇数±奇数=偶数、偶数±偶数=偶数、奇数±偶数=奇数； 奇数×奇数=奇数、偶数×任意数=偶数。 七、质数与合数（重难点） 分类标准：根据因数的个数对非0自然数分类。 1. 质数（素数）：只有1和它本身两个因数的数，质数只有2个因数。 2. 合数：除了1和它本身，还有其他因数的数，合数至少有3个因数。 3. 特殊数辨析：1既不是质数，也不是合数。 必背100以内核心质数 最小质数是2（唯一的偶质数），最小合数是4；20以内质数：2、3、5、7、11、13、17、19。 八、数的分类汇总（易混辨析） 1. 按是否为2的倍数分：奇数、偶数； 2. 按因数个数多少分：1、质数、合数； 核心误区：质数合数和奇数偶数无对应关系，如2是偶质数，9是奇合数。 易错指引 九、单元高频易错点（扣分重灾区） 1. 忽略研究范围，对小数、分数讨论倍数与因数，概念误用； 2. 单独描述倍数、因数，忘记二者相互依存的关系； 3. 找因数无序列举，出现重复、遗漏，书写不完整； 4. 判断3的倍数只看个位，不计算数位和； 5. 混淆最小质数、最小合数，忘记2是唯一偶质数； 6. 误认为奇数都是质数、偶数都是合数，概念混淆； 7. 记错1的分类，将1归为质数或合数； 8. 混淆最大因数、最小倍数的规律，记错核心结论。 十、单元必背核心口诀 因数倍数非零然，相互依存成对谈； 因数有限最大本，倍数无限最小全； 二五倍数看个位，三数求和判周全； 偶零二八四六一，奇数单尾记心间； 质数两因合多三，数一非质非合篇； 唯二偶质要牢记，数论基础稳如山。 十一、单元核心考点清单 1. 掌握倍数与因数的定义、适用范围及相互依存关系，规范表述； 2. 熟练有序找一个数的全部因数、任意倍数，做到不重不漏； 3. 熟记因数、倍数的核心特征，掌握最大因数、最小倍数结论； 4. 精准掌握2、5、3的倍数特征，快速判断、组数、填空； 5. 区分奇数、偶数，熟记奇偶四则运算规律； 6. 精准区分质数、合数，牢记特殊数字的分类与特征； 7. 掌握自然数两种分类标准，规避概念混淆误区； 8. 能解决组数、判断、填空、辨析等各类基础题型，夯实数论基础。 例题讲解 【例题1】 既是16的因数，又是16的倍数的数是( )。 【答案】 【分析】一个数的最大因数是它本身，最小倍数也是它本身。 【详解】的因数有：、、、、 的倍数有：、、 既是的因数，又是的倍数的数是。 【例题2】 偶数＋偶数＝( )，奇数＋奇数＝( )，奇数＋偶数＝( )。（填“奇数”或“偶数”） 【答案】 偶数 偶数 奇数 【分析】整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。偶数＋偶数＝偶数，奇数＋奇数＝偶数，奇数＋偶数＝奇数。据此分析。 【详解】例如：2和4均为偶数，2＋4＝6，6为偶数，所以偶数＋偶数＝偶数； 例如：1和3均为奇数，1＋3＝4，4为偶数，所以奇数＋奇数＝偶数； 例如：3为奇数，4为偶数，3＋4＝7，7为奇数，所以奇数＋偶数＝奇数。 【例题3】 2025年4月24日17时17分，神舟二十号载人飞船在长征二号F遥二十运载火箭的有力托举下，从酒泉卫星发射中心起飞升空。为了纪念这一时刻，希望小学要做一面航天宣传黑板报——在一块长120厘米、宽80厘米的长方形中，划分出若干个相同的正方形小版面制作各部分航天宣传内容。每个正方形小版面的边长最长是多少厘米？可以分成多少个这样的正方形小版面？ 【答案】40厘米 6个 【分析】（1）要在长方形中划分若干相同正方形且边长最长，因为正方形边长需要同时整除长方形的长和宽，所以实际是求长和宽的最大公因数；120和80的最大公因数等于它们公有质因数的乘积，即为正方形小版面的最长边长； （2）计算可以分成的正方形数量：已知长方形长是120厘米，宽是80厘米，结合所求的正方形的边长，那么分别用长和宽除以正方形的边长，得到长边和宽边分别能划分的正方形个数，将两个数相乘，即可得到正方形版面的总个数。 【详解】（1）和的最大公因数： 分解质因数：， 公有质因数的乘积为：，即和的最大公因数是 答：每个正方形小版面的边长最长是厘米。 （2）长方向可分的个数：（个） 宽方向可分的个数：（个） 总个数：（个） 答：可以分成个这样的正方形小版面。 【例题4】 有一堆糖果，数量在100到200之间。如果每20颗装一袋，最后剩5颗；如果每30颗装一袋，最后也剩5颗。这堆糖果最少有多少颗？最多有多少颗？ 【答案】125颗；185颗 【分析】先列出100到200之间，所有20的倍数，再列出100到200之间，所有30的倍数，找两个列表里共同出现的数，就是同时能被20和30整除的数，再把之前减去的5加回来，即可得到糖果数。 【详解】20的倍数：100、120、140、160、180、200、… 30的倍数：120、150、180、… 找两个列表里共同出现的数：120、180，这就是同时能被20和30整除的数； 再把之前减去的5加回来，得到糖果数：120＋5＝125，180＋5＝185。 答：最少有125颗，最多有185颗。 真题拔高 一、填空题 1．如果＝3，那么a和b的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【答案】 【分析】两个数为倍数关系，最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数；据此解答。 【详解】＝3，说明a是b的3倍，所以a和b的最大公因数是b，最小公倍数是a。 2．自然数x除自然数y，商是24，x与y的最小公倍数是( )。 【答案】 【分析】区分“除”和“除以”的差异，正确确定被除数和除数；“除”，“除”表示除数在前被除数在后，所以可转化为除以，即：，得到，判断是的整数倍；两个数为倍数关系时最小公倍数是较大的那个数，依此判断是、的最小公倍数。 【详解】自然数x除自然数y，商是24，x与y的最小公倍数是y。 3．A和B都是自然数，已知A＝2×5×M，B＝3×5×M，如果A和B的最大公因数是15，那么它们的最小公倍数是( )。 【答案】 90 【分析】A和B公有质因数的乘积就是A和B的最大公因数，先确定A和B的公有质因数，据此求出M；再根据公有质因数和独有质因数的乘积是A和B的最小公倍数计算。 【详解】A和B的公有质因数是5和M，所以M＝15÷5＝3； A和B的最小公倍数为：15×2×3＝90。 4．5和6的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【答案】 1 30 【分析】5和6只有公因数1，是互质的关系，两个数互质，则它们的最大公因数是1，最小公倍数是这两个数的乘积。 【详解】5×6＝30 5和6的最大公因数是1，最小公倍数是30。 5．如果A＝2×3×5，B＝2×5×11，那么A和B的最大公因数是( )，A和B的最小公倍数是( )。 【答案】 10 330 【分析】两个数的最大公因数是它们所有公有质因数的乘积，最小公倍数是它们所有公有质因数与各自独有质因数的乘积。 【详解】A和B共有的质因数是2和5，所以最大公因数是：； A和B的最小公倍数是公有质因数与各自独有质因数的乘积，所以最小公倍数是：。 6．下图是欢欢家密码锁设置的信息，开锁密码是( )。 【答案】 【分析】整数中，是2的倍数的数是偶数；一个数，如果只有和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。当两个数是互质数时，最大公因数是，当两个数是倍数关系时，最大公因数是较小的数，图片已知密码中间的数字为，由此求出密码即可。 【详解】既是偶数又是质数。3和的最大公因数就是，中间的数字为，开锁密码是。 7．a和b都是非0自然数，且，a和b的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【答案】 b a 【分析】求两个数的最大公因数和最小公倍数，首先判断两个数之间的关系，如果两个数是倍数关系，那么较小的数就是它们的最大公因数，较大的数就是它们的最小公倍数。 【详解】因为，所以最大公因数是，最小公倍数是。 8．2345□是一个五位数，当□里填( )时，这个五位数既是2的倍数，又是5的倍数；当□里填( )时，这个五位数既是2的倍数，又是3的倍数。 【答案】 0 4 【分析】同时是2和5的倍数的数，个位上必须是0；2的倍数的个位只能是0、2、4、6、8；所有数位上的数字加起来的和能被3整除的数是3的倍数。 【详解】根据既是2的倍数又是5的倍数的特征：当□里填0时，这个五位数既是2的倍数，又是5的倍数； 要是2的倍数，方框里能填0，2，4，6，8，因为2＋3＋4＋5＝14，所以 14＋0＝14，不是3的倍数； 14＋2＝16，不是3的倍数； 14＋4＝18，是3的倍数； 14＋6＝20，不是3的倍数； 14＋8＝22，不是3的倍数； 所以当□里填4时，这个五位数既是2的倍数，又是3的倍数。 二、选择题 9．下面各数中，既是奇数又是合数的是（    ）。 A．11 B．36 C．27 D．19 【答案】C 【分析】明确奇数、合数的定义：不是2的倍数的数是奇数；除了1和它本身外，还有其他因数的数是合数，对各选项逐一判断即可。 【详解】A．11是奇数，因数只有1和11，是质数，不符合要求； B．36是2的倍数，是偶数，不符合要求； C．27不是2的倍数，是奇数，因数有1、3、9、27，是合数，符合要求； D．19是奇数，因数只有1和19，是质数，不符合要求。 10．如果5a＝b（a、b均不为0），那么a和b的最小公倍数是（    ）。 A．a B．b C．5 D．ab 【答案】B 【分析】两个非零自然数如果成倍数关系，它们的最小公倍数是其中较大的数，判断a和b的倍数关系即可。 【详解】由5a＝b可知：b÷a＝5。所以b是a的5倍，即a和b成倍数关系，且b＞a，所以a和b的最小公倍数是b。 11．下面说法正确的有（    ）个。 ①0是最小的自然数；                                ②大于0.8小于1.2的小数有3个； ③0.4和0.40的大小相等，但计数单位不同；            ④（为整数，）的所有因数都小于。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】①表示物体个数的数叫自然数，自然数由0开始；②大于0.8小于1.2的小数，可以是一位小数、两位小数、三位小数……；③小数的末尾添上“0”或去掉“0”，小数的大小不变，但计数单位会改变；④一个数（0除外）的最大因数是它本身。 【详解】①自然数从0开始计数，0是最小的自然数，说法正确； ②大于0.8小于1.2的小数没有限定小数位数，有无数个，说法错误； ③0.4＝0.40，0.4的计数单位是0.1，0.40的计数单位是0.01，二者大小相等，计数单位不同，说法正确； ④大于1的整数的因数包含本身，等于本身，所以不是所有因数都小于，说法错误。 所以正确的说法有①③共2个。 12．从2，0，5，7四个数字中任选三个数字组成一个三位数，使它既是3的倍数，又是5的倍数。这个三位数最大是（    ）。 A．705 B．720 C．750 D．752 【答案】C 【分析】5的倍数特征是：个位为0或5；3的倍数特征是：各数位上数字之和能被3整除。因此当所组成三位数个位上的数是0或5且各数位上的数字相加之和能被3整除，要得到最大的三位数，优先让高位数字尽可能大，据此找到最大的数即可。 【详解】因为三位数是5的倍数，所以个位为0或5。当个位是0时，百位最大为7，若要是3的倍数，十位最大为5，这个三位数为750；当个位是5时，百位最大为7，若要是3的倍数，十位最大为0，这个三位数为705；750＞705，所以这个三位数最大为750。 13．学校购入135本图书。清点这批图书时，选择以下哪种方式数，既能确保刚好数完又最为简便高效？（    ） A．1本1本地数 B．2本2本地数 C．5本5本地数 D．10本10本地数 【答案】C 【分析】判断哪种数法能使135本图书刚好数完说明135能被每次数的数量整除，数的次数越少，越简便高效。 【详解】A．135÷1＝135（次），能整除但效率低； B．能被2整除的数是偶数，135是奇数，135÷2＝67（次）⋯⋯1（本），有余数不能刚好数完； C．能被5整除的数的特征是个位是0或5。135÷5＝27（次），能数完且每次数5本较高效； D．能被10整除的数的特征是个位是0。135÷10＝13（次）⋯⋯5（本），有余数不能刚好数完。 所以5本5本地数既能确保刚好数完又最为简便高效。 三、判断题 14．最小的完全数不是3的倍数。( ) 【答案】× 【分析】完全数的定义是除自身外的所有因数之和等于它本身的数。最小的完全数是6，用6除以3看结果是否为3的倍数即可判断。 【详解】最小的完全数是6，它除自身外的因数有1、2、3，，符合完全数的定义。，余数为0，因此6是3的倍数，原题说法错误。 故答案为：× 15．在大于5的自然数中，个位上是0、2、4、5、6、8的数都是合数。( ) 【答案】√ 【分析】个位是0、2、4、6、8的数都是2的倍数；大于5的自然数中，个位是0或5的数都是5的倍数；一个数，除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫作合数。据此解答。 【详解】大于5的自然数中，个位是0、2、4、6、8的数都是2的倍数，除了1和它本身外，至少还有因数2，属于合数；大于5的自然数中，个位是0或5的数都是5的倍数，除了1和它本身外，至少还有因数5，属于合数。 因此原题说法正确。 故答案为：√ 16．18是6和18的最小公倍数，也是这两个数的最大公因数。( ) 【答案】× 【分析】用列举法，分别求出6和18的最小公倍数和最大公因数，再对比题干描述判断即可。 【详解】6的倍数有6、12、18、24…… 18的倍数有18、36、54…… 所以6和18的最小公倍数是18； 6的因数有1、2、3、6； 18的因数有1、2、3、6、9、18； 所以6和18的最大公因数是6，不是18。 故答案为：× 17．的和是奇数。( ) 【答案】√ 【分析】根据偶数＋偶数＝偶数，不管有多少个偶数相加，结果都是偶数；奇数个奇数相加等于奇数，偶数个奇数相加等于偶数。据此解答。 【详解】在1、2、3、4……2025中，偶数有2、4、6……2024，从2到2024，一共有2024÷2＝1012（个），1012个偶数相加的和是偶数； 奇数的个数为：2025－1012＝1013（个），1013是奇数，奇数个奇数相加的和是奇数； 偶数＋奇数＝奇数。 所以的和是奇数。 原题说法正确。 故答案为：√ 18．一个长方形的长是奇数，宽是偶数，它的周长一定是奇数。( ) 【答案】× 【分析】长方形的周长＝（长＋宽）×2，任意自然数乘2的结果都是偶数，所以周长一定是偶数，题目说法错误。 【详解】根据长方形周长公式：（其中表示长，表示宽）。已知是奇数，是偶数，奇数＋偶数＝奇数，所以的和是奇数。任意自然数乘2的积都是偶数，所以的积是偶数，即周长是偶数，原题说法错误。 故答案为：× 四、计算题 19．用短除法求下面每组数的最大公因数。 13和17        18和48        81和27        26和91 【答案】 ；；； 【分析】用短除法求两个数的最大公因数和最小公倍数时，除以两个数的公因数，一直除下去，直到除得的两个商互质为止。把所有的除数连乘起来就得到它们的最大公因数，把所有的除数和最后的两个商连乘起来就是它们的最小公倍数。 【详解】 和都是质数，只有公因数； 和的最大公因数：； 和的最大公因数：； 和的最大公因数是：。 五、解答题 20．小轩和小颖在操场上练长跑，小轩2分钟跑一圈，小颖3分钟跑一圈，两人同时在同一起点起跑，至少几分钟后两人在起点再次相遇？当小轩跑完8圈后，他们在起点相遇了几次（不包含起跑时的相遇）？ 【答案】 6分钟；2次 【分析】两人在起点相遇时，所用时间既是2的倍数也是3的倍数，求最少时间就是求2和3的最小公倍数；先算出小轩跑8圈的总时间，再看总时间里有多少个最小公倍数，对应的数量就是不含起跑的相遇次数。 【详解】2和3的最小公倍数： （分钟） 小轩跑完8圈的总时间： （分钟） 16分钟内包含几个6分钟： ， 商为2，即相遇2次。 答：至少6分钟后两人在起点再次相遇；当小轩跑完8圈后，他们在起点相遇了2次（不包含起跑时的相遇）。 21．小区里有两个洒水器同时启动洒水，甲洒水器每8分钟完成一次小区洒水，乙洒水器每10分钟完成一次小区洒水。若它们早上8:00同时启动，下次同时洒水的时间是早上几点几分？ 【答案】早上8时40分。 【分析】要找两个洒水器下次同时洒水的时间就是求8和10的最小公倍数，利用分解质因数法求出8和10的最小公倍数；再用起始时间8:00加上间隔时间，即可得到时刻。 【详解】因为8＝2×2×2，10＝2×5，所以8和10 的最小公倍数是2×2×2×5＝40。 8时＋40分钟＝8时40分钟 答：下次同时洒水的时间是早上8时40分。 22．晨晨每6天去健身房锻炼一次，苗苗每9天去同一家健身房锻炼一次，两人在周一同时去了健身房，她们下次同一天去锻炼是多少天后？ 【答案】18天 【分析】两人下次同时去锻炼的天数需同时是6和9的倍数，因此求6和9的最小公倍数即可。 【详解】6＝2×3 9＝3×3 6和9的最小公倍数是2×3×3＝6×3＝18（天） 答：她们下次同一天去锻炼是18天后。 23．插花师计划用6朵百合和15朵玫瑰制作花束。如果要求每束花中都要有百合和玫瑰，且每束花中百合的朵数相同，玫瑰的朵数也相同，所有的花朵正好全部用完，那么最多可以做多少束花？这时每束花中有多少朵花？ 【答案】3束；7朵 【分析】要使花朵正好全部用完，且每束花中百合、玫瑰的朵数分别相同，花束数量必须是6和15的公因数；求最多的花束数，就是求6和15的最大公因数，两个数的公有质因数的连乘积，就是两个数的最大公因数；再分别计算每束中两种花的数量，相加得到每束总花数。 【详解】6＝2×3 15＝3×5 6和15的最大公因数是3，最多可以做3束花。 6÷3＝2（朵） 15÷3＝5（朵） 2＋5＝7（朵） 答：最多可以做3束花，这时每束花中有7朵花。 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 单元复习讲义：专题07 倍数和因数（知识梳理 例题讲解 提升练习） 知识精讲 一、单元学习概述 《倍数和因数》是北师大版五年级上册核心数论基础单元，是整数知识的深度拓展，也是小学阶段数与代数的重难点内容。本单元系统学习倍数与因数的定义、相互关系、找因数与倍数的方法、2、5、3的倍数特征、奇数与偶数、质数与合数，同时掌握数的分类方法。本单元是后续约分、通分、最大公因数、最小公倍数、分数运算的基础，概念细碎、辨析性强，是期末填空、判断、选择高频考点，对培养数感与严谨数学思维至关重要。 二、倍数与因数的核心定义（必背） 1. 适用范围：只针对非0自然数（1、2、3、4……），小数、分数、0均不研究倍数与因数。 2. 定义：在非0自然数除法中，如果a÷b=c（a、b、c均为非0自然数，无余数），那么a是b和c的倍数，b和c是a的因数。 3. 核心关系：倍数和因数相互依存、成对出现，不能单独说某个数是倍数或某个数是因数，必须说明谁是谁的倍数、谁是谁的因数。 示例：12÷3=4，只能说12是3和4的倍数，3和4是12的因数，禁止单独表述“12是倍数、3是因数”。 三、因数与倍数的特征 1. 因数的特征 一个数的因数个数是有限的；最小因数是1，最大因数是它本身。 2. 倍数的特征 一个数的倍数个数是无限的；最小倍数是它本身，没有最大的倍数。 3. 重要结论 一个非0自然数的最大因数 = 最小倍数 = 它本身。 四、找因数与倍数的规范方法 1. 找一个数的因数（有序成对找） 方法：从1开始，一对一对列举乘积等于这个数的两个自然数，做到不重复、不遗漏。 示例：找18的因数，1×18、2×9、3×6，因此18的因数有1、2、3、6、9、18。 2. 找一个数的倍数 方法：用这个数依次乘1、2、3……得到的积就是它的倍数，倍数无限，列举后加省略号。 示例：4的倍数：4、8、12、16、20…… 五、2、5、3的倍数特征（必考） 1. 2的倍数特征 个位上是0、2、4、6、8的非0自然数，都是2的倍数。 2. 5的倍数特征 个位上是0或5的非0自然数，都是5的倍数。 3. 同时是2和5的倍数 个位上只能是0，是整十数。 4. 3的倍数特征 一个数各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数，与个位数字无关。 易错提醒：不能凭个位数字判断3的倍数，必须计算数位和。 六、奇数与偶数 1. 偶数：是2的倍数的数，个位为0、2、4、6、8，0是最小的偶数。 2. 奇数：不是2的倍数的数，个位为1、3、5、7、9，1是最小的奇数。 3. 奇偶运算规律（熟记秒杀）： 奇数±奇数=偶数、偶数±偶数=偶数、奇数±偶数=奇数； 奇数×奇数=奇数、偶数×任意数=偶数。 七、质数与合数（重难点） 分类标准：根据因数的个数对非0自然数分类。 1. 质数（素数）：只有1和它本身两个因数的数，质数只有2个因数。 2. 合数：除了1和它本身，还有其他因数的数，合数至少有3个因数。 3. 特殊数辨析：1既不是质数，也不是合数。 必背100以内核心质数 最小质数是2（唯一的偶质数），最小合数是4；20以内质数：2、3、5、7、11、13、17、19。 八、数的分类汇总（易混辨析） 1. 按是否为2的倍数分：奇数、偶数； 2. 按因数个数多少分：1、质数、合数； 核心误区：质数合数和奇数偶数无对应关系，如2是偶质数，9是奇合数。 易错指引 九、单元高频易错点（扣分重灾区） 1. 忽略研究范围，对小数、分数讨论倍数与因数，概念误用； 2. 单独描述倍数、因数，忘记二者相互依存的关系； 3. 找因数无序列举，出现重复、遗漏，书写不完整； 4. 判断3的倍数只看个位，不计算数位和； 5. 混淆最小质数、最小合数，忘记2是唯一偶质数； 6. 误认为奇数都是质数、偶数都是合数，概念混淆； 7. 记错1的分类，将1归为质数或合数； 8. 混淆最大因数、最小倍数的规律，记错核心结论。 十、单元必背核心口诀 因数倍数非零然，相互依存成对谈； 因数有限最大本，倍数无限最小全； 二五倍数看个位，三数求和判周全； 偶零二八四六一，奇数单尾记心间； 质数两因合多三，数一非质非合篇； 唯二偶质要牢记，数论基础稳如山。 十一、单元核心考点清单 1. 掌握倍数与因数的定义、适用范围及相互依存关系，规范表述； 2. 熟练有序找一个数的全部因数、任意倍数，做到不重不漏； 3. 熟记因数、倍数的核心特征，掌握最大因数、最小倍数结论； 4. 精准掌握2、5、3的倍数特征，快速判断、组数、填空； 5. 区分奇数、偶数，熟记奇偶四则运算规律； 6. 精准区分质数、合数，牢记特殊数字的分类与特征； 7. 掌握自然数两种分类标准，规避概念混淆误区； 8. 能解决组数、判断、填空、辨析等各类基础题型，夯实数论基础。 例题讲解 【例题1】 既是16的因数，又是16的倍数的数是( )。 【例题2】 偶数＋偶数＝( )，奇数＋奇数＝( )，奇数＋偶数＝( )。（填“奇数”或“偶数”） 【例题3】 2025年4月24日17时17分，神舟二十号载人飞船在长征二号F遥二十运载火箭的有力托举下，从酒泉卫星发射中心起飞升空。为了纪念这一时刻，希望小学要做一面航天宣传黑板报——在一块长120厘米、宽80厘米的长方形中，划分出若干个相同的正方形小版面制作各部分航天宣传内容。每个正方形小版面的边长最长是多少厘米？可以分成多少个这样的正方形小版面？ 【例题4】 有一堆糖果，数量在100到200之间。如果每20颗装一袋，最后剩5颗；如果每30颗装一袋，最后也剩5颗。这堆糖果最少有多少颗？最多有多少颗？ 真题拔高 一、填空题 1．如果＝3，那么a和b的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 2．自然数x除自然数y，商是24，x与y的最小公倍数是( )。 3．A和B都是自然数，已知A＝2×5×M，B＝3×5×M，如果A和B的最大公因数是15，那么它们的最小公倍数是( )。 4．5和6的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 5．如果A＝2×3×5，B＝2×5×11，那么A和B的最大公因数是( )，A和B的最小公倍数是( )。 6．下图是欢欢家密码锁设置的信息，开锁密码是( )。 7．a和b都是非0自然数，且，a和b的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 8．2345□是一个五位数，当□里填( )时，这个五位数既是2的倍数，又是5的倍数；当□里填( )时，这个五位数既是2的倍数，又是3的倍数。 二、选择题 9．下面各数中，既是奇数又是合数的是（    ）。 A．11 B．36 C．27 D．19 10．如果5a＝b（a、b均不为0），那么a和b的最小公倍数是（    ）。 A．a B．b C．5 D．ab 11．下面说法正确的有（    ）个。 ①0是最小的自然数；                                ②大于0.8小于1.2的小数有3个； ③0.4和0.40的大小相等，但计数单位不同；            ④（为整数，）的所有因数都小于。 A．1 B．2 C．3 D．4 12．从2，0，5，7四个数字中任选三个数字组成一个三位数，使它既是3的倍数，又是5的倍数。这个三位数最大是（    ）。 A．705 B．720 C．750 D．752 13．学校购入135本图书。清点这批图书时，选择以下哪种方式数，既能确保刚好数完又最为简便高效？（    ） A．1本1本地数 B．2本2本地数 C．5本5本地数 D．10本10本地数 三、判断题 14．最小的完全数不是3的倍数。( ) 15．在大于5的自然数中，个位上是0、2、4、5、6、8的数都是合数。( ) 16．18是6和18的最小公倍数，也是这两个数的最大公因数。( ) 17．的和是奇数。( ) 18．一个长方形的长是奇数，宽是偶数，它的周长一定是奇数。( ) 四、计算题 19．用短除法求下面每组数的最大公因数。 13和17        18和48        81和27        26和91 五、解答题 20．小轩和小颖在操场上练长跑，小轩2分钟跑一圈，小颖3分钟跑一圈，两人同时在同一起点起跑，至少几分钟后两人在起点再次相遇？当小轩跑完8圈后，他们在起点相遇了几次（不包含起跑时的相遇）？ 21．小区里有两个洒水器同时启动洒水，甲洒水器每8分钟完成一次小区洒水，乙洒水器每10分钟完成一次小区洒水。若它们早上8:00同时启动，下次同时洒水的时间是早上几点几分？ 22．晨晨每6天去健身房锻炼一次，苗苗每9天去同一家健身房锻炼一次，两人在周一同时去了健身房，她们下次同一天去锻炼是多少天后？ 23．插花师计划用6朵百合和15朵玫瑰制作花束。如果要求每束花中都要有百合和玫瑰，且每束花中百合的朵数相同，玫瑰的朵数也相同，所有的花朵正好全部用完，那么最多可以做多少束花？这时每束花中有多少朵花？ 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $