单元复习讲义：专题09 倍数与因数（考点梳理+例题讲解+举一反三+提升练习）-2026-2027学年数学五年级上册（北师大版·新教材）

该小学数学“倍数与因数”专题复习讲义通过考点分级构建知识框架，系统梳理倍数与因数定义、2/3/5倍数特征、奇数偶数、最大公因数与最小公倍数、质数合数及分解质因数等核心内容，清晰呈现知识脉络与重难点分布。 讲义亮点在于“典型例题+变式训练”的分层练习设计，如通过“24的因数有哪些”及变式巩固概念，结合“裁正方形铁板”等实际问题培养抽象能力与应用意识，助力不同层次学生提升，为教师精准教学提供支持。

专题09 倍数与因数 内容导航 考点梳理 1 考点一、倍数与因数 1 考点二、2、5的倍数特征 2 考点三、奇数与偶数的认识 2 考点四、3的倍数特征 2 考点五、2、3、5的倍数特征综合 3 考点六、最大公因数和最小公倍数 3 考点七、质数与合数 3 考点八、分解质因数 3 例题讲解 4 题型一、倍数与因数 4 题型二、2、5的倍数特征 5 题型三、奇数与偶数的认识 6 题型四、3的倍数特征 8 题型五、2、3、5的倍数特征综合 9 题型六、最大公因数和最小公倍数 11 题型七、质数与合数的认识 14 题型八、分解质因数 15 提升练习 18 考点梳理 考点一、倍数与因数 1. 定义理解 (1) 在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数。 (2) 注意：研究倍数和因数时，所说的数一般指非零自然数。 2. 相互依存关系 (1) 倍数和因数是相互依存的，不能单独存在。 (2) 错误示例：“3是因数，15是倍数。” (3) 正确表述：“3是15的因数，15是3的倍数。” 3. 找因数与倍数的方法 (1) 找因数：一对一对地找，直到两个因数接近或相等为止。一个数的因数个数是有限的，最小因数是1，最大因数是它本身。 (2) 找倍数：用这个数分别乘1, 2, 3... 一个数的倍数个数是无限的，最小倍数是它本身，没有最大倍数。 考点二、2、5的倍数特征 1. 2的倍数特征 (1) 个位上是 0, 2, 4, 6, 8 的数都是2的倍数。 (2) 2的倍数也叫偶数（0也是偶数）。 2. 5的倍数特征 (1) 个位上是 0 或 5 的数都是5的倍数。 3. 既是2又是5的倍数特征 (1) 个位上是 0 的数。 考点三、奇数与偶数的认识 1. 定义 (1) 偶数：是2的倍数的数叫做偶数（包括0）。 (2) 奇数：不是2的倍数的数叫做奇数。 2. 运算性质（重要结论） (1) 奇数 + 奇数 = 偶数 (2) 偶数 + 偶数 = 偶数 (3) 奇数 + 偶数 = 奇数 (4) 奇数 × 奇数 = 奇数 (5) 偶数 × 任何整数 = 偶数 考点四、3的倍数特征 1. 判定方法 (1) 一个数各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 (2) 示例：123 → 1+2+3=6，6是3的倍数，所以123是3的倍数。 2. 易错点提醒 (1) 只看个位无法判断是否为3的倍数（区别于2和5）。 (2) 9的倍数特征同理：各位数字之和是9的倍数。 考点五、2、3、5的倍数特征综合 1. 综合判定逻辑 (1) 同时是2和3的倍数：个位是0,2,4,6,8，且各位数字之和是3的倍数。 (2) 同时是3和5的倍数：个位是0或5，且各位数字之和是3的倍数。 (3) 同时是2、3、5的倍数： 1　 个位必须是 0（满足2和5）。 2　 各位数字之和必须是 3 的倍数。 3　 最小三位数：120；最大两位数：90。 考点六、最大公因数和最小公倍数 1. 基本概念 (1) 公因数：几个数公有的因数。其中最大的一个叫最大公因数。 (2) 公倍数：几个数公有的倍数。其中最小的一个叫最小公倍数。 2. 特殊关系速算 (1) 倍数关系：若大数是小数的倍数，则最大公因数是小数，最小公倍数是大数。 (2) 互质关系：若两个数只有公因数1，则最大公因数是1，最小公倍数是两数之积。 3. 短除法求解（通用方法） (1) 用公有的质因数连续去除，直到商互质为止。 (2) 最大公因数 = 所有除数的乘积。 (3) 最小公倍数 = 所有除数 × 最后所有的商。 考点七、质数与合数 1. 定义分类（按因数个数） (1) 质数：只有1和它本身两个因数的数。（如：2, 3, 5, 7, 11...） (2) 合数：除了1和它本身还有别的因数的数。（如：4, 6, 8, 9, 10...） (3) 1：既不是质数，也不是合数。 2. 关键记忆 (1) 最小的质数是 2（也是唯一的偶质数）。 (2) 最小的合数是 4。 (3) 20以内的质数：2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19。 考点八、分解质因数 1. 定义 (1) 把一个合数写成几个质数相乘的形式，叫做分解质因数。 2. 书写格式 (1) 必须写成连乘算式。 (2) 正确： (3) 错误： （4不是质数） (4) 错误： （格式不对，合数在左） 3. 操作方法 (1) 通常使用短除法，确保最终分解出的因数全部为质数。 例题讲解 题型一、倍数与因数 【典型例题】24的因数有( )；50以内13的倍数有( )。 【答案】 1、2、3、4、6、8、12、24 13、26、39 【分析】找24的因数：成对找出乘积等于24的自然数，从小到大排列； 找50以内13的倍数：用13依次乘1、2、3……，结果不超过50即可。 【详解】24的因数： 1×24＝24 2×12＝24 3×8＝24 4×6＝24 24的因数：1，2，3，4，6，8，12，24 50以内13的倍数： 13×1＝13 13×2＝26 13×3＝39 13×4＝52（52＞50，舍去） 50以内13的倍数：13，26，39 举一反三 【变式训练1】在除法算式32÷4＝8中，4是32的( )，32是4的( )。 【答案】 因数 倍数 【分析】根据定义：在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数。据此分析32、4、8之间的关系即可。 【详解】在除法算式32÷4＝8中，4是32的因数，32是4的倍数。 【变式训练2】28的因数有( )。 【答案】1、2、4、7、14、28 【分析】找一个数的因数，依次找出乘积等于这个数的两个自然数，按照从小到大顺序整理，不重复、不遗漏。 【详解】28＝1×28 28＝2×14 28＝4×7 由此得出28的因数有：1、2、4、7、14、28 【变式训练3】在3、8、16、48这四个数中，( )既是16的因数，又是16的倍数。 【答案】16 【分析】一个数最大的因数是它本身，一个数最小的倍数也是它本身。所以既是16的因数，又是16的倍数的数，只有它本身。 【详解】在3、8、16、48这四个数中，16既是16的因数，又是16的倍数。 题型二、2、5的倍数特征 【典型例题】下列各数中，既是2的倍数又是5的倍数的是（    ）。 A．185 B．270 C．962 D．777 【答案】B 【分析】2的倍数特征：个位上是0、2、4、6、8的数；5的倍数特征：个位上是0或5的数，因此同时是2和5的倍数的数，个位上一定是0。据此解答。 【详解】A．185的个位是5，是5的倍数，不是2的倍数，不符合题意； B．270的个位是0，既是2的倍数又是5的倍数，符合题意； C．962的个位是2，是2的倍数，不是5的倍数，不符合题意； D．777的个位是7，既不是2的倍数也不是5的倍数，不符合题意。 举一反三 【变式训练1】要使9□既是2的倍数，又是5的倍数，在□里可以填（    ）。 A．2、4、6、8 B．0 C．0、2、5 D．0、5 【答案】B 【分析】要使9□既是2的倍数又是5的倍数，需同时满足：2的倍数特征：个位数字是0、2、4、6、8；5的倍数特征：个位数字是0或5；据此求出□中的数。 【详解】9□是2的倍数，则这个数可以是90、92、94、96、98 9□是5的倍数，则这个数可以是90、95 所以要使9□既是2的倍数，又是5的倍数，这个数只能是90。 所以在□里可以填0。 【变式训练2】一个三位数37□，是5的倍数，□里可以填( )。 【答案】 或 【分析】5的倍数特征：个位上是0或5的数。据此解答。 【详解】一个三位数37□，是5的倍数，□里可以填0或5。 【变式训练3】382至少加上( )就能被5整除，至少减去( )就能被2、5整除。 【答案】 3 2 【分析】根据5的倍数的特征，个位上是0或5的数能被5整除；根据2和5的倍数的特征，个位上是0的数能同时被2和5整除。分别找出与382最接近的符合条件的数，计算差值即可。 【详解】要使382能被5整除，其个位上的数需要变为0或5，比382大且接近的5的倍数是385 385－382＝3 要使382能被2、5整除，其个位数字需变为0，比382小且接近的2、5的倍数是380 382－380＝2 因此，382至少加上3就能被5整除，至少减去2就能被2、5整除。 题型三、奇数与偶数的认识 【典型例题】4个奇数的和是( )；2个奇数的积是( )。（填“奇数”或“偶数”） 【答案】 偶数 奇数 【分析】不能被2整除的数是奇数，能被2整除的数是偶数；先看2个奇数相加的结果：奇数＋奇数＝偶数，那么4个奇数相加，可以拆成两组“奇数＋奇数”，也就是偶数＋偶数；看2个奇数相乘：奇数乘奇数的结果不能被2整除。 【详解】奇数＋奇数＝偶数，4个奇数相加为：偶数＋偶数，所以4个奇数的和是偶数； 奇数×奇数＝奇数 举一反三 【变式训练1】a是一个奇数，下面的结果一定是偶数的是（    ）。 A．4a B．23a C．a2 D．8a－1 【答案】A 【分析】偶数×任意整数＝偶数，奇数×奇数＝奇数，偶数－奇数＝奇数。根据奇偶数的运算性质判断即可。 【详解】A．4是偶数，a是奇数，4a＝4×a，所以结果是偶数； B．23是奇数，a是奇数，23a＝23×a，所以结果是奇数； C．a是奇数，a2＝a×a，所以结果是奇数； D．8是偶数，8a＝8×a，8a是偶数，1是奇数，所以8a－1的结果是奇数。 【变式训练2】五（1）班有39名学生，如果男生人数是偶数，那么女生人数是( )数；五（2）班有20名女生，如果男生人数是偶数，那么总人数是( )数。 【答案】 奇 偶 【分析】总人数男生人数女生人数，根据奇数奇数偶数，奇数偶数奇数，偶数偶数偶数进行分析。 【详解】总人数是奇数，男生是偶数。因为奇数偶数奇数，所以女生是奇数； 女生人数是偶数，男生人数是偶数 ，偶数偶数偶数，所以总人数是偶数。 【变式训练3】1＋3＋5…＋41的和是( )，1×3×5×…×41的积是( )。（括号里填“奇数”或“偶数”） 【答案】 奇数 奇数 【分析】是2的倍数的数是偶数，不是2的倍数的数是奇数。 （1）连续奇数相加，奇数个数＝（最后一个数－第一个数）÷2＋1。奇数个奇数相加，和为奇数；偶数个奇数相加，和为偶数。 （2）乘法奇偶规律：乘数里只要有一个偶数，积就一定是偶数；全部乘数都是奇数，积就是奇数。 【详解】（1）奇数个数：（41－1）÷2＋1 ＝40÷2＋1 ＝20＋1 ＝21（个） 一共有21个奇数相加，奇数个奇数相加，和是奇数。 （2）算式1×3×5×…×41中所有乘数全部都是奇数，没有偶数，所以式子的乘积一定是奇数。 题型四、3的倍数特征 【典型例题】下面（    ）不是3的倍数。 A．39 B．57 C．24 D．83 【答案】D 【分析】3的倍数的特征：一个数各数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数，据此判断即可。 【详解】，12是3的倍数，39是3的倍数； ，12是3的倍数，57是3的倍数； ，6是3的倍数，24是3的倍数； ，11不是3的倍数，83不是3的倍数。 举一反三 【变式训练1】从421中至少减去（    ）才是3的倍数。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据的倍数的特征：一个数各数位上的数字之和是的倍数，这个数就是的倍数，据此计算即可。 【详解】421各数位上的数字之和：， ， 所以至少减去，得到的数就是的倍数。 【变式训练2】若四位数14□5是3的倍数，则□中最大能填（    ）。 A．2 B．5 C．8 D．9 【答案】C 【分析】3的倍数的特征是：一个数各数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数，据此计算求解即可。 【详解】先计算已知数位的数字和： 1＋4＋5 ＝5＋5 ＝10 要使10＋□的和是3的倍数，且□是一位数： A．10＋2＝12，12÷3＝4，12是3的倍数。 B．10＋5＝15，15÷3＝5，15是3的倍数。 C．10＋8＝18，18÷3＝6，18是3的倍数。 D．10＋9＝19，19不是3的倍数。 12＜15＜18，所以，□中最大能填8。 【变式训练3】用0、1、5组成的所有三位数，一定是( )的倍数。 【答案】3 【分析】个位是0、2、4、6、8的数是2的倍数、个位是0、5的数是5的倍数、一个数的各个数位上数字的和是3的倍数，这个数是3的倍数。列举出组成的数，根据2、3、5倍数特征进行判断。 【详解】0、1、5组成的三位数有：105、150、510、501，共4个 其中150、510是2的倍数，105、501不是2的倍数， 105、150、510是5的倍数，501不是5的倍数， ，6是3的倍数， 105、150、510、501都是3的倍数， 所以用0、1、5组成的所有三位数，一定是3的倍数。 题型五、2、3、5的倍数特征综合 【典型例题】三位数42既是2的倍数，又是3的倍数，里最大填( )，最小填( )；如果三位数4同时是2、3、5的倍数，这个数最大是( )，最小是( )。 【答案】 9 0 840 240 【分析】2的倍数特征是个位上是0、2、4、6、8的数；3的倍数特征是各位上数字的和是3的倍数；一个数是5的倍数，末尾是0或5；据此写出符合要求的数字，最后根据最大或最小的要求确定答案。 【详解】 三位数42既是2的倍数，又是3的倍数，个位上是0、2、4、6、8且各位上的数字之和一定是3的倍数。 个位上是2，一定是2的倍数， 4＋2＝6，6÷3＝2，所以里可以填0，3，6，9，因此最大填9，最小填0。 三位数4同时是2、3、5的倍数，个位上一定是0且各位上的数字之和一定是3的倍数。 4＋0＝4，4÷3＝1……1，所以百位数字是2，5，8，因此这个数最大是840，最小是240。 举一反三 【变式训练1】同时是2、5、3的倍数的最大两位数是（    ）。 A．99 B．90 C．30 D．15 【答案】B 【分析】同时是2和5倍数的数个位一定是0，再结合3的倍数特征，数位相加和能被3整除，从最大个位为0的两位数依次验证，筛选出符合全部条件的数字。 【详解】A．99：个位是9，不是0，不满足2、5的倍数要求，排除； B．90：个位是0，满足2、5倍数，9＋0＝9，9是3的倍数，全部条件符合； C．30：个位是0，满足2、3、5倍数，但数值小于90，不是最大两位数，排除； D，15：个位是5，不满足2的倍数要求，排除。 【变式训练2】一个两位数既是5的倍数，又是3的倍数，而且是偶数，这个数最大是( )，5□0同时是2，3，5的倍数，□里可以填( )。 【答案】 90 1，4，7 【分析】（1）先明确同时是3、5的倍数且为偶数的数的特征，因为同时是2、3、5的倍数的数个位一定为0，且各位数字之和是3的倍数，所以先锁定两位数中个位为0的数，再从中找各位和是3的倍数的最大数。 （2）因为5□0的个位是0，已经满足2和5的倍数要求，所以只需满足5＋□的和是3的倍数即可，据此计算□可填的数字。 【详解】（1）个位为0的两位数：10、20、30、40、50、60、70、80、90，最大是90，且9＋0＝9，9是3的倍数，所以： 这个数最大是90。 （2），6是3的倍数，所以□里可以填1； ，7不是3的倍数，所以□里不可以填2； ，8也不是3的倍数，所以□里不可以填3； ，9是3的倍数，所以□里可以填4； ，10不是3的倍数，所以□里不可以填5； ，11不是3的倍数，所以□里不可以填6； ，12是3的倍数，所以□里可以填7； ，13不是3的倍数，所以□里不可以填8； ，14不是3的倍数，所以□里不可以填9； 所以□里可以填入：1、4、7这3个数。 【变式训练3】在四位数2□1□中的两个方框里分别填入数字，使得该数能同时被2、3、5整除，这样的四位数中最小的是( )，最大是( )。 【答案】 2010 2910 【分析】根据2和5的倍数特征确定个位数字一定是0，根据3的倍数特征可知各数位上的数字之和必须是3的倍数。这个四位数同时是2、3、5的倍数，则这个四位数的个位数字是0，且这个四位数各数位上数字之和是3的倍数。 【详解】由分析可知，个位上的数字必须是0。此时，该四位数变为2□10。 各数位上数字之和为：2＋□＋1＋0＝3＋□。因为3是3的倍数，所以□里的数字必须是3的倍数。□里可以填的数字有：0、3、6、9。 当百位填最小的数字0时，该四位数最小，是2010。当百位填最大的数字9时，该四位数最大，是2910。 因此这样的四位数中最小的是2010，最大是2910。 题型六、最大公因数和最小公倍数 【典型例题】求下列各组数的最大公因数和最小公倍数。 12和18     24和36     15和30     7和15 【答案】6、36；12、72；15、30；1、105 【分析】可用分解质因数法求最大公因数和最小公倍数，公有的质因数相乘的积就是这几个数的最大公因数，公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这几个数的最小公倍数； 如果两个数是倍数关系，则其中的较小数就是它们的最大公因数，其中的较大数就是它们的最小公倍数；如果两个数是互质关系，则它们的最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积。 【详解】12＝2×2×3 18＝2×3×3 12和18的最大公因数是：2×3＝6 12和18的最小公倍数是： 2×3×2×3 ＝6×2×3 ＝12×3 ＝36 所以12和18的最大公因数是6，12和18的最小公倍数是36； 24＝2×2×2×3 36＝2×2×3×3 24和36的最大公因数是： 2×2×3 ＝4×3 ＝12 24和36的最小公倍数是： 2×2×2×3×3 ＝4×2×3×3 ＝8×3×3 ＝24×3 ＝72 所以24和36的最大公因数是12，24和36的最小公倍数是72； 30÷15＝2 30是15的倍数，所以15和30的最大公因数是15，15和30的最小公倍数是30； 7和15互质，7×15＝105 7和15的最大公因数是1，7和15的最小公倍数是105。 举一反三 【变式训练1】9和8的最小公倍数是( )。36和54的最大公因数是( )。 【答案】 72 18 【分析】最大公因数：指两个数公有质因数的乘积（把相同的质因数乘起来）。最小公倍数：指两个数公有质因数与各自独有质因数的乘积（把相同的质因数和各自不同的质因数都乘起来）。 【详解】求9和8的最小公倍数：9和8是相邻的两个数，它们的公因数只有1，属于互质数，互质数的最小公倍数就是两个数的乘积，9×8＝72。 求36和54的最大公因数：可以分别列出两个数的所有因数，36的因数有1、2、3、4、6、9、12、18、36，54的因数有1、2、3、6、9、18、27、54，从中找出共有的最大的数，就是18。 【变式训练2】把长120厘米，宽100厘米的长方形铁板裁成面积相等，边长最大的正方形（边长为整厘米数）而且没有剩余，可以裁成多少块？ 【答案】30块 【分析】裁成的正方形边长需同时是120和100的因数，要使正方形边长最大且无剩余，应取120和100的最大公因数作为边长，再用长、宽分别除以边长得到两个方向的块数，相乘得总块数。 【详解】 120和100的最大公因数是： ＝ ＝ （个） （个） （块） 答：可以裁成30块。 【变式训练3】阳光小学无人机社团人数在40人以内，王老师把他们按6人一组或4人一组都可以正好分完。这个社团最多有多少人？ 【答案】36人 【分析】社团人数能同时被4和6整除，即人数是4和6的公倍数，需找出40以内的最大公倍数。 【详解】求和的最小公倍数： 2×2×3＝12 4和6的最小公倍数是12。 找40以内12的最大倍数： 12×3＝36（人） 12×4＝48（人） …… 48＞40，不符合人数要求。 答：这个社团最多有36人。 题型七、质数与合数的认识 【典型例题】在1、2、3、4、21、97这几个数中，质数有( )个，合数有( )个，奇数有( )个。 【答案】 【分析】质数是指只有和它本身两个因数的自然数（大于）；合数是指除了和它本身以外还有别的因数的自然数（大于）；既不是质数也不是合数；奇数是指不是的倍数的自然数。根据定义对给出的数、、、、、逐一进行分类，然后统计个数即可。 【详解】、、是质数，、是合数，、、、是奇数。 质数有个，合数有个，奇数有个。 举一反三 【变式训练1】20以内的质数有( )个，分别是( )。 【答案】 8 2，3，5，7，11，13，17，19 【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数（或素数）；一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。1既不是质数，也不是合数。 【详解】20以内的质数有8个，分别是2，3，5，7，11，13，17，19。 【变式训练2】自然数1~20中，偶数有( )个，质数有( )个，既是奇数又是合数的数有( )个，既不是质数又不是合数的有( )个。 【答案】 10 8 2 1 【分析】偶数：自然数中能被2整除的数；奇数：自然数中不能被2整除的数；质数：大于1的自然数中，只有1和它本身两个因数的数；合数：大于1的自然数中，除了1和它本身还有其他因数的数；只有1个因数，既不符合质数定义也不符合合数定义。 【详解】1~20中的偶数为2、4、6、8、10、12、14、16、18、20，共10个。 1~20中的质数为2、3、5、7、11、13、17、19，共8个。 1~20中既是奇数又是合数的数为9、15，共2个。 1~20中只有数字1既不是质数又不是合数，共1个。 【变式训练3】一个四位数，个位上的数既是质数又是偶数，百位上的数是最大的一位数，十位上的数是最小的合数，千位上的数既不是质数，也不是合数。这个数是( )。 【答案】 1942 【分析】既是质数又是偶数的数是2，最大的一位数是9，最小的合数是4，既不是质数也不是合数的数是1（0不能作四位数的最高位）由此写出此数。 【详解】个位上的数既是质数又是偶数是2； 百位上的数是最大的一位数是9； 十位上的数是最小的合数是4； 千位上的数既不是质数，也不是合数是1（0不能作四位数的最高位） 所以这个数是1942。 题型八、分解质因数 【典型例题】将下面各数分解质因数。 21      28      40       72       108 【答案】21＝3×7 28＝2×2×7 40＝2×2×2×5 72＝2×2×2×3×3 108＝2×2×3×3×3 【分析】分解质因数，即把一个合数写成几个质数相乘的形式。 【详解】 21＝3×7 28＝2×2×7 40＝2×2×2×5 72＝2×2×2×3×3 108＝2×2×3×3×3 举一反三 【变式训练1】四（1）班同学分组参加社会实践活动，每组5人或每组6人，都剩下2人，全班至少有( )人参加实践活动。把这个人数分解质因数是( )。 【答案】 32 32＝2×2×2×2×2 【分析】根据题意，每组5人或每组6人，都剩2人；说明四（1）班的总人数比5、6的公倍数还多2；求全班至少有多少人，求出5和6的最小公倍数，再加上2，即是全班至少的总人数。 【详解】5和6互为质数，最小公倍数是： 5×6＝30 30＋2＝32 分解质因数： 32＝2×2×2×2×2 【变式训练2】已知a＝2×2×3×5，b＝2×5×7，则a与b的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【答案】 10 420 【分析】根据最大公因数和最小公倍数的定义，最大公因数是两个数公有质因数的乘积，最小公倍数是两个数公有质因数与各自独有质因数的乘积。观察 a 和 b 的质因数分解式，找出公有质因数和独有质因数进行计算即可。 【详解】2×5＝10 a与b的最大公因数是10； 2×2×3×5×7＝420 最小公倍数是420。 【变式训练3】在括号里填上合适的质数。 ( )( )   ( )( ) ( )( )   ( )( )( ) 【答案】 3 5 5 7 3 7 2 3 7 【分析】质数是只有1和它本身两个因数的数，比如2、3、5、7…… 按照质数大小的顺序依次尝试填写。 【详解】        提升练习 1．42的因数一共有（    ）个。 A．2 B．3 C．5 D．8 【答案】D 【分析】找一个数的因数，从1和它本身一对一对地找，此题就是先找出1和42，再从2开始找起，最后数出个数即可。 【详解】42＝1×42＝2×21＝3×14＝6×7 42的因数有：1、2、3、6、7、14、21、42，42的因数一共有8个。 2．下列各数中，（    ）同时是3和5的倍数。 A．36 B．102 C．45 D．235 【答案】C 【分析】5的倍数特征是个位为0或5；3的倍数特征是各数位上数字之和是3的倍数，结合两个特征判断即可。 【详解】A．36个位是6，不是5的倍数，错误； B．102个位是2，不是5的倍数，错误； C．45个位是5，满足5的倍数特征，，9是3的倍数，同时满足3的倍数特征，正确； D．235个位是5，满足5的倍数特征，，10不是3的倍数，不满足3的倍数特征，错误。 3．如a和b是两个不同的自然数，且，那么下列说法正确的是（    ）。 A．a是倍数，b是因数。 B．b是a的因数，a是b的倍数。 C．a和b的最大公因数是a。 D．a和b都有因数3。 【答案】B 【分析】根据因数和倍数的依存关系，两个数成倍数关系时，最大公因数是较小的数，判断各选项。 【详解】A．因数和倍数是相互依存的，不能单独说某数是倍数或因数，说法错误； B．已知a÷b＝3，说明a能被b整除，因此b是a的因数，a是b的倍数，说法正确； C．两个数成倍数关系时，最大公因数是较小的数b，说法错误； D．举反例：若b＝1，a＝3，1的因数中没有3，说法错误。 4．下面说法不正确的是（    ）。 A．一个数是4的倍数，它一定是偶数 B．2是所有质数中唯一的偶数 C．一个数越大，它的因数的个数越多 D．1既不是质数也不是合数 【答案】C 【分析】先明确偶数、质数、合数、因数的基本定义，作为判断各选项的依据。 （）因为是的倍数，所以如果一个数是的倍数，那么它一定能被整除，结合偶数的定义判断即可。 （）根据质数的定义列出最小质数，判断是否只有是偶数。 （）如果要判断因数个数和数的大小的关系，那么只需举反例对比大小不同的数的因数个数即可。 （）根据质数和合数的定义，直接判断的归类。 【详解】．是的倍数的数一定能被整除，能被整除的数是偶数，该说法正确。 ．质数只有和它本身两个因数，所有大于的偶数都至少有、、它本身三个因数，都是合数，因此是所有质数中唯一的偶数，该说法正确。 ．举反例：，的因数有、、、、、共个，的因数只有、共个，可见因数个数和数的大小没有必然联系，该说法错误。 ．只有个因数，不符合质数（个因数）、合数（至少个因数）的定义，因此既不是质数也不是合数，该说法正确。 5．古希腊数学家认为：如果一个数恰好等于它的所有因数（本身除外）相加的和，这个数就是“完全数”。例如：6有四个因数1、2、3、6，除本身6以外，还有1、2、3三个因数，，所以6就是“完全数”。下面数中是“完全数”的是（    ）。 A．16 B．20 C．28 D．36 【答案】C 【分析】根据题目给出的“完全数”定义，分别找出每个数除本身以外的所有因数并求和。因数和等于原数的就是完全数。 【详解】A．16除本身外的因数有1、2、4、8，1＋2＋4＋8＝3＋4＋8＝7＋8＝15，15≠16，所以16不是完全数。 B．20除本身外的因数有1、2、4、5、10，1＋2＋4＋5＋10＝3＋4＋5＋10＝7＋5＋10＝12＋10＝22，22≠20，所以20不是完全数。 C．28除本身外的因数有1、2、4、7、14，1＋2＋4＋7＋14＝3＋4＋7＋14＝7＋7＋14＝14＋14＝28，所以28是完全数。 D．36除本身外的因数有1、2、3、4、6、9、12、18，1＋2＋3＋4＋6＋9＋12＋18＝3＋3＋4＋6＋9＋12＋18＝6＋4＋6＋9＋12＋18＝10＋6＋9＋12＋18＝25＋12＋18＝37＋18＝55，55≠36，所以36不是完全数。 所以符合“完全数”定义的是28。 6．哥德巴赫猜想：任何一个不小于4的偶数都可以写成两个质数相加的形式。下列选项符合“哥德巴赫猜想”的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数。例：2、3、5、7…偶数：能被2整除的数是偶数，数的个位是0、2、4、6、8是偶数。据此解答；根据哥德巴赫猜想的要求，需同时满足：等式左边是不小于4的偶数，等式右边两个数都是质数，据此逐项判断。 【详解】A．等号左边20是不小于4的偶数，但右边18除了1和自身外还有其他因数，是合数，不符合题意； B．等号左边9是奇数，不符合“不小于4的偶数”的要求； C．等号左边22是不小于4的偶数，等号右边的3和19都是质数，符合题意； D．等号左边98是不小于4的偶数，但右边1既不是质数也不是合数，不符合题意。 7．一个数的最大因数是12，这个数是( )，它有( )个因数。 【答案】 12 6 【分析】一个数的最大因数是它本身，据此求出12的因数即可解答。 【详解】由分析可得：一个数的最大因数是12，这个数是12；12的因数有：1、2、3、4、6、12，那么这个数的全部因数有6个。 8．在1、2、5、15、37、66中，奇数有( )，偶数有( )，质数有( )，合数有( )。 【答案】 、、、 、 、、 、 【分析】是的倍数的数是偶数，不是的倍数的数是奇数；只有和它本身两个因数的数是质数，除了和它本身还有别的因数的数是合数。特别注意既不是质数也不是合数，是唯一的偶质数，据此解答。 【详解】在、、、、、中， 奇数有：、、、； 偶数有：、； 质数有：、、； 合数有：、。 9．356至少加上( )才是5的倍数，至少减去( )才有因数3。 【答案】 4 2 【分析】5的倍数的特征：个位上是0或5的数。要使356加上一个数后是5的倍数，且加上的数最小，需找到比356大的最小的5的倍数。 3的倍数的特征：各位数字之和是3的倍数。要使356减去一个数后有因数3（即是3的倍数），且减去的数最小，需找到比356小的最大的3的倍数。 【详解】判断5的倍数：356的个位数字是6。比356大且个位是0或5的最小数是360。 至少加上的数为：360－356＝4。 判断3的倍数：计算356各位数字之和：3＋5＋6＝14。14不是3的倍数，14÷3＝4……2。要使结果有因数3，即各位数字之和需变为3的倍数。至少减去的数即为余数2（此时各位数字之和变为12，是3的倍数）。 10．16的因数有( )，28的因数有( )，16和28的公因数有( )，其中最大的是( )。 【答案】 、、、、 、、、、、 、、 【分析】根据因数的意义，如果整数a除以整数b（b≠0），商是整数且没有余数，b就是a的因数。两个数公有的因数叫作这两个数的公因数，公因数里面最大的那个数就是最大公因数。 【详解】1×16＝16，2×8＝16，4×4＝16，所以16的因数：1、2、4、8、16。 1×28＝28，2×14＝28，4×7＝28，所以28的因数：1、2、4、7、14、28。 16和28的公因数有：1、2、4，其中最大的数是4。 11．已知A＝2×3×3×5，B＝2×5×7，A和B的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【答案】 10 630 【分析】先计算出A、B的最终结果，然后再用短除法分别求出A和B的最大公因数和最小公倍数即可。 【详解】 A和B的最大公因数是： A和B的最小公倍数是： 12．有一个五位数243A，既是2的倍数，同时又有因数3、5，代表的数字最大是( )。 【答案】9 【分析】个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数；个位上是0或5的数都是5的倍数；各个数位上的数字之和能被3整除，这个数就能被3整除；根据题意可知，这个五位数是2、5的倍数，则个位数字A是0；同时这个五位数是3的倍数，则5个数字之和能被3整除；要使这个五位数最大，则代表的数字应最大；据此求出已知4个数字的和，再加上一个最大的数字，使和是3的倍数，即可解答。 【详解】根据分析可知： A＝0； 2＋4＋3＋0＝9 9＋9＝18 18是3的倍数，所以代表的数字最大是9。 13．23和46的最小公倍数是( )；30与18的最大公因数是( )。 【答案】 46 6 【分析】用两个数共有的质因数作为除数，连续去除这两个数，直到得出的两个商互质为止；所有除数相乘作为最大公因数；如果两个数成倍数关系，则它们的最小公倍数是其中较大的数。 【详解】46÷23＝2，即46和23成倍数关系，它们的最小公倍数是其中较大数46； 30和18的最大公因数是：2×3＝6。 14．三个连续奇数，其中最小的数是a，其它两个奇数分别是( )和( )。 【答案】 a＋2 a＋4 【分析】相邻的两个奇数之间相差2，据此求解。 【详解】三个连续奇数，其中最小的数是a，其它两个分别为： a＋2 a＋2＋2＝a＋4 15．豆豆的出生信息藏在“1－10”这几个数中，出生月既是质数又是偶数，出生日既是奇数又是合数，他是( )月( )日出生。 【答案】 2 9 【分析】质数：只有1和它本身两个因数；合数：除了1和它本身还有别的因数； 偶数：能被2整除；奇数：不能被2整除；据此判断符合题意的数字。 【详解】找出生月（1~10中，既是质数又是偶数） 1－10里的质数：2、3、5、7；其中只有2是偶数。 所以出生月是2。 找出生日（1~10中，既是奇数又是合数） 1－10里的奇数：1、3、5、7、9；其中合数只有9（因数：1、3、9）。 所以出生日是9。 综上：他是2月9日出生。 16．王老师电脑的开机密码是一个五位数“58ABC”，已知A是最小的质数，B是自然数范围内最小的偶数，C的最大因数是6，这个开机密码是( )。 【答案】58206 【分析】五位密码依次由5、8、A、B、C组成。根据最小的质数是2，自然数范围内最小的偶数是0； 一个数的最大因数是它本身，“C的最大因数是6”表示C＝6，依次代入三个数字即可。 【详解】由分析可知，A＝2，B＝0，C＝6。 所以这个开机密码是58206。 17．在3月14日学校数学节活动中，设置了数字谜题挑战、几何拼图大赛、数学故事演讲三个项目，参与人数分别是70、78和91。已知参加数字谜题挑战的人数既是3的倍数又是偶数，参加几何拼图大赛的人数既是奇数又是合数，那么参加数字谜题挑战的有( )人，参加几何拼图大赛的有( )人，参加数学故事演讲的有( )人。 【答案】 【分析】3的倍数：各位数字之和是3的倍数；偶数：个位是0、2、4、6、8；奇数：不能被2整除的数；合数：除了1和它本身外还有其他因数的数。 【详解】偶数有：70、78 7＋0＝7，不是3的倍数，排除； 7＋8＝15，是3的倍数 所以参加数字谜题挑战的有78人。 剩下数字：70、91 70是偶数，排除 91是奇数，91＝1×91＝7×13，是合数。 所以参加几何拼图大赛的有91人。 剩下70人为参加数学故事演讲的人。 18．用短除法分解质因数。 57         72         135 【答案】57＝3×19；72＝2×2×2×3×3；135＝3×3×3×5 【分析】分解质因数就是把一个合数用几个质数相乘的形式表示出来。求一个数分解质因数，要从最小的质数除起，一直除到结果为质数为止。 【详解】（1）57＝3×19 （2）72＝2×2×2×3×3 （3）135＝3×3×3×5 19．用短除法求下面各组数的最大公因数和最小公倍数。 18和27     60和12     36和24     40和60 【答案】18和27最大公因数9；最小公倍数54； 60和12最大公因数12；最小公倍数60； 36和24最大公因数12；最小公倍数72； 40和60最大公因数20；最小公倍数120 【分析】短除法是求最大公因数和最小公倍数的常用方法。 用短除法时，先用这几个数的公因数连续去除，一直除到所有的商互质为止。 最大公因数：把所有除数相乘。最小公倍数：把所有除数和最后的商相乘。 【详解】（1）18和27 最大公因数：33＝9 最小公倍数：33＝54 （2） 60和12 最大公因数：2＝12 最小公倍数：2＝60 （3） 36和24 最大公因数：2＝12 最小公倍数：2＝72 40和60 最大公因数：2＝20 最小公倍数：2＝120 20．妈妈打算用75元购买一种学习用品奖励明明，买下面哪种学习用品能正好把钱用完？写出你的想法。 学习用品 中性笔 荧光笔 尺子套装 笔记本 单价 3元/支 4元/支 5元/套 8元/本 【答案】 中性笔或尺子套装 【分析】5的倍数特征：个位数字是0或者5的数。3的倍数特征：各个数位上的数字之和能被3整除。偶数的倍数还是偶数。据此判断能够购买的学习用品类型，再根据“数量＝总价÷单价”计算。 【详解】根据表格单价可知： 因为7＋5＝12，12能被3整除，所以75是3的倍数，所以购买中性笔能正好把钱用完； 购买数量为：75÷3＝25（支） 因为75个位上的数字是5，所以75是5的倍数，所以购买尺子套装能正好把钱用完； 购买数量为：75÷5＝15（套） 4和8是偶数，它们的倍数不可能是75，所以购买荧光笔和笔记本不能正好把钱用完。 答：买中性笔或尺子套装都能正好把钱用完。 21．小轩家固定电话的号码有8位数字，用ABCDEFGH表示。其中，A是9以内最大的偶数；B是4的最小倍数；C是只有因数1和3的数；D是最小的质数；E是偶数但不是合数；F是最小的合数；G是6的最大因数；H既不是质数也不是合数。请问小轩家固定电话的号码具体是多少？ 【答案】84322461 【分析】是2的倍数的自然数是偶数；一个数的最小倍数和最大因数都是它本身；只有1和它本身两个因数的自然数是质数；除了1和它本身还有其他因数的自然数是合数，1既不是质数也不是合数。 【详解】9以内最大的偶数是8，因此A＝8；4的最小倍数是4，因此B＝4；只有因数1和3的数是3，因此C＝3；最小的质数是2，因此D＝2；非0自然数中，是偶数但不是合数的数是2，因此E＝2；最小的合数是4，因此F＝4；6的最大因数是6，因此G＝6；既不是质数也不是合数的数是1，因此H＝1。 答：小轩家固定电话的号码具体是84322461。 22．一个长方形的长和宽都是质数，面积是33平方米，这个长方形的周长是多少米？ 【答案】28米 【分析】长方形的面积＝长×宽，因为已知面积为33，且长和宽都是质数，所以首先要将33分解为两个质数的乘积，得到长和宽的数值。 长方形的周长＝2×（长＋宽），把长和宽代入该公式即可计算出周长。 【详解】 （米） 答：这个长方形的周长是28米。 23．中国是茶的故乡，直到现在我国还有以茶代礼的风俗。一款花茶以不同比例的绿茶、红茶作为茶坯，配以能够吐香的鲜花作为原料，采用窨（xūn）制工艺制作而成。如果把上述两种茶叶配制成相同质量的花茶包，每种茶叶都恰好用完，且配制成花茶包的数量尽可能地多。做了多少个花茶包？每包花茶里两种茶叶各有多少克？ 绿茶 红茶 60克 48克 【答案】12个；绿茶：5克，红茶：4克 【分析】（）要使花茶包数量最多且两种茶叶都恰好用完，需先求出60和48的最大公因数，即花茶包的数量； （）再用两种茶叶的总质量分别除以包数，得到每包中两种茶叶的质量。 【详解】 60和48的最大公因数为12，即最多做12个花茶包。 （克） （克） 答：做了12个花茶包。每包花茶里有绿茶5克，红茶4克。 24．学校进行班级队列展示。五（1）班学生可以8人一排，也可以12人一排，都正好分完。这班学生的总人数在40至50之间，可能是多少人？ 【答案】人 【分析】五（）班学生人一排或人一排都正好分完，说明总人数是和的公倍数，先用短除法找出和的最小公倍数，再找出和的公倍数中在至之间的数即可。 【详解】 （人） 答：可能是人。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 26 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 倍数与因数 内容导航 考点梳理 1 考点一、倍数与因数 1 考点二、2、5的倍数特征 2 考点三、奇数与偶数的认识 2 考点四、3的倍数特征 2 考点五、2、3、5的倍数特征综合 3 考点六、最大公因数和最小公倍数 3 考点七、质数与合数 3 考点八、分解质因数 3 例题讲解 4 题型一、倍数与因数 4 题型二、2、5的倍数特征 4 题型三、奇数与偶数的认识 4 题型四、3的倍数特征 5 题型五、2、3、5的倍数特征综合 5 题型六、最大公因数和最小公倍数 5 题型七、质数与合数的认识 6 题型八、分解质因数 6 提升练习 7 考点梳理 考点一、倍数与因数 1. 定义理解 (1) 在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数。 (2) 注意：研究倍数和因数时，所说的数一般指非零自然数。 2. 相互依存关系 (1) 倍数和因数是相互依存的，不能单独存在。 (2) 错误示例：“3是因数，15是倍数。” (3) 正确表述：“3是15的因数，15是3的倍数。” 3. 找因数与倍数的方法 (1) 找因数：一对一对地找，直到两个因数接近或相等为止。一个数的因数个数是有限的，最小因数是1，最大因数是它本身。 (2) 找倍数：用这个数分别乘1, 2, 3... 一个数的倍数个数是无限的，最小倍数是它本身，没有最大倍数。 考点二、2、5的倍数特征 1. 2的倍数特征 (1) 个位上是 0, 2, 4, 6, 8 的数都是2的倍数。 (2) 2的倍数也叫偶数（0也是偶数）。 2. 5的倍数特征 (1) 个位上是 0 或 5 的数都是5的倍数。 3. 既是2又是5的倍数特征 (1) 个位上是 0 的数。 考点三、奇数与偶数的认识 1. 定义 (1) 偶数：是2的倍数的数叫做偶数（包括0）。 (2) 奇数：不是2的倍数的数叫做奇数。 2. 运算性质（重要结论） (1) 奇数 + 奇数 = 偶数 (2) 偶数 + 偶数 = 偶数 (3) 奇数 + 偶数 = 奇数 (4) 奇数 × 奇数 = 奇数 (5) 偶数 × 任何整数 = 偶数 考点四、3的倍数特征 1. 判定方法 (1) 一个数各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 (2) 示例：123 → 1+2+3=6，6是3的倍数，所以123是3的倍数。 2. 易错点提醒 (1) 只看个位无法判断是否为3的倍数（区别于2和5）。 (2) 9的倍数特征同理：各位数字之和是9的倍数。 考点五、2、3、5的倍数特征综合 1. 综合判定逻辑 (1) 同时是2和3的倍数：个位是0,2,4,6,8，且各位数字之和是3的倍数。 (2) 同时是3和5的倍数：个位是0或5，且各位数字之和是3的倍数。 (3) 同时是2、3、5的倍数： 1　 个位必须是 0（满足2和5）。 2　 各位数字之和必须是 3 的倍数。 3　 最小三位数：120；最大两位数：90。 考点六、最大公因数和最小公倍数 1. 基本概念 (1) 公因数：几个数公有的因数。其中最大的一个叫最大公因数。 (2) 公倍数：几个数公有的倍数。其中最小的一个叫最小公倍数。 2. 特殊关系速算 (1) 倍数关系：若大数是小数的倍数，则最大公因数是小数，最小公倍数是大数。 (2) 互质关系：若两个数只有公因数1，则最大公因数是1，最小公倍数是两数之积。 3. 短除法求解（通用方法） (1) 用公有的质因数连续去除，直到商互质为止。 (2) 最大公因数 = 所有除数的乘积。 (3) 最小公倍数 = 所有除数 × 最后所有的商。 考点七、质数与合数 1. 定义分类（按因数个数） (1) 质数：只有1和它本身两个因数的数。（如：2, 3, 5, 7, 11...） (2) 合数：除了1和它本身还有别的因数的数。（如：4, 6, 8, 9, 10...） (3) 1：既不是质数，也不是合数。 2. 关键记忆 (1) 最小的质数是 2（也是唯一的偶质数）。 (2) 最小的合数是 4。 (3) 20以内的质数：2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19。 考点八、分解质因数 1. 定义 (1) 把一个合数写成几个质数相乘的形式，叫做分解质因数。 2. 书写格式 (1) 必须写成连乘算式。 (2) 正确： (3) 错误： （4不是质数） (4) 错误： （格式不对，合数在左） 3. 操作方法 (1) 通常使用短除法，确保最终分解出的因数全部为质数。 例题讲解 题型一、倍数与因数 【典型例题】24的因数有( )；50以内13的倍数有( )。 举一反三 【变式训练1】在除法算式32÷4＝8中，4是32的( )，32是4的( )。 【变式训练2】28的因数有( )。 【变式训练3】在3、8、16、48这四个数中，( )既是16的因数，又是16的倍数。 题型二、2、5的倍数特征 【典型例题】下列各数中，既是2的倍数又是5的倍数的是（    ）。 A．185 B．270 C．962 D．777 举一反三 【变式训练1】要使9□既是2的倍数，又是5的倍数，在□里可以填（    ）。 A．2、4、6、8 B．0 C．0、2、5 D．0、5 【变式训练2】一个三位数37□，是5的倍数，□里可以填( )。 【变式训练3】382至少加上( )就能被5整除，至少减去( )就能被2、5整除。 题型三、奇数与偶数的认识 【典型例题】4个奇数的和是( )；2个奇数的积是( )。（填“奇数”或“偶数”） 举一反三 【变式训练1】a是一个奇数，下面的结果一定是偶数的是（    ）。 A．4a B．23a C．a2 D．8a－1 【变式训练2】五（1）班有39名学生，如果男生人数是偶数，那么女生人数是( )数；五（2）班有20名女生，如果男生人数是偶数，那么总人数是( )数。 【变式训练3】1＋3＋5…＋41的和是( )，1×3×5×…×41的积是( )。（括号里填“奇数”或“偶数”） 题型四、3的倍数特征 【典型例题】下面（    ）不是3的倍数。 A．39 B．57 C．24 D．83 举一反三 【变式训练1】从421中至少减去（    ）才是3的倍数。 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练2】若四位数14□5是3的倍数，则□中最大能填（    ）。 A．2 B．5 C．8 D．9 【变式训练3】用0、1、5组成的所有三位数，一定是( )的倍数。 题型五、2、3、5的倍数特征综合 【典型例题】三位数42既是2的倍数，又是3的倍数，里最大填( )，最小填( )；如果三位数4同时是2、3、5的倍数，这个数最大是( )，最小是( )。 举一反三 【变式训练1】同时是2、5、3的倍数的最大两位数是（    ）。 A．99 B．90 C．30 D．15 【变式训练2】一个两位数既是5的倍数，又是3的倍数，而且是偶数，这个数最大是( )，5□0同时是2，3，5的倍数，□里可以填( )。 【变式训练3】在四位数2□1□中的两个方框里分别填入数字，使得该数能同时被2、3、5整除，这样的四位数中最小的是( )，最大是( )。 题型六、最大公因数和最小公倍数 【典型例题】求下列各组数的最大公因数和最小公倍数。 12和18     24和36     15和30     7和15 举一反三 【变式训练1】9和8的最小公倍数是( )。36和54的最大公因数是( )。 【变式训练2】把长120厘米，宽100厘米的长方形铁板裁成面积相等，边长最大的正方形（边长为整厘米数）而且没有剩余，可以裁成多少块？ 【变式训练3】阳光小学无人机社团人数在40人以内，王老师把他们按6人一组或4人一组都可以正好分完。这个社团最多有多少人？ 题型七、质数与合数的认识 【典型例题】在1、2、3、4、21、97这几个数中，质数有( )个，合数有( )个，奇数有( )个。 举一反三 【变式训练1】20以内的质数有( )个，分别是( )。 【变式训练2】自然数1~20中，偶数有( )个，质数有( )个，既是奇数又是合数的数有( )个，既不是质数又不是合数的有( )个。 【变式训练3】一个四位数，个位上的数既是质数又是偶数，百位上的数是最大的一位数，十位上的数是最小的合数，千位上的数既不是质数，也不是合数。这个数是( )。 题型八、分解质因数 【典型例题】将下面各数分解质因数。 21      28      40       72       108 举一反三 【变式训练1】四（1）班同学分组参加社会实践活动，每组5人或每组6人，都剩下2人，全班至少有( )人参加实践活动。把这个人数分解质因数是( )。 【变式训练2】已知a＝2×2×3×5，b＝2×5×7，则a与b的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【变式训练3】在括号里填上合适的质数。 ( )( )   ( )( ) ( )( )   ( )( )( ) 提升练习 1．42的因数一共有（    ）个。 A．2 B．3 C．5 D．8 2．下列各数中，（    ）同时是3和5的倍数。 A．36 B．102 C．45 D．235 3．如a和b是两个不同的自然数，且，那么下列说法正确的是（    ）。 A．a是倍数，b是因数。 B．b是a的因数，a是b的倍数。 C．a和b的最大公因数是a。 D．a和b都有因数3。 4．下面说法不正确的是（    ）。 A．一个数是4的倍数，它一定是偶数 B．2是所有质数中唯一的偶数 C．一个数越大，它的因数的个数越多 D．1既不是质数也不是合数 5．古希腊数学家认为：如果一个数恰好等于它的所有因数（本身除外）相加的和，这个数就是“完全数”。例如：6有四个因数1、2、3、6，除本身6以外，还有1、2、3三个因数，，所以6就是“完全数”。下面数中是“完全数”的是（    ）。 A．16 B．20 C．28 D．36 6．哥德巴赫猜想：任何一个不小于4的偶数都可以写成两个质数相加的形式。下列选项符合“哥德巴赫猜想”的是（    ）。 A． B． C． D． 7．一个数的最大因数是12，这个数是( )，它有( )个因数。 8．在1、2、5、15、37、66中，奇数有( )，偶数有( )，质数有( )，合数有( )。 9．356至少加上( )才是5的倍数，至少减去( )才有因数3。 10．16的因数有( )，28的因数有( )，16和28的公因数有( )，其中最大的是( )。 11．已知A＝2×3×3×5，B＝2×5×7，A和B的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 12．有一个五位数243A，既是2的倍数，同时又有因数3、5，代表的数字最大是( )。 13．23和46的最小公倍数是( )；30与18的最大公因数是( )。 14．三个连续奇数，其中最小的数是a，其它两个奇数分别是( )和( )。 15．豆豆的出生信息藏在“1－10”这几个数中，出生月既是质数又是偶数，出生日既是奇数又是合数，他是( )月( )日出生。 16．王老师电脑的开机密码是一个五位数“58ABC”，已知A是最小的质数，B是自然数范围内最小的偶数，C的最大因数是6，这个开机密码是( )。 17．在3月14日学校数学节活动中，设置了数字谜题挑战、几何拼图大赛、数学故事演讲三个项目，参与人数分别是70、78和91。已知参加数字谜题挑战的人数既是3的倍数又是偶数，参加几何拼图大赛的人数既是奇数又是合数，那么参加数字谜题挑战的有( )人，参加几何拼图大赛的有( )人，参加数学故事演讲的有( )人。 18．用短除法分解质因数。 57         72         135 19．用短除法求下面各组数的最大公因数和最小公倍数。 18和27     60和12     36和24     40和60 20．妈妈打算用75元购买一种学习用品奖励明明，买下面哪种学习用品能正好把钱用完？写出你的想法。 学习用品 中性笔 荧光笔 尺子套装 笔记本 单价 3元/支 4元/支 5元/套 8元/本 21．小轩家固定电话的号码有8位数字，用ABCDEFGH表示。其中，A是9以内最大的偶数；B是4的最小倍数；C是只有因数1和3的数；D是最小的质数；E是偶数但不是合数；F是最小的合数；G是6的最大因数；H既不是质数也不是合数。请问小轩家固定电话的号码具体是多少？ 22．一个长方形的长和宽都是质数，面积是33平方米，这个长方形的周长是多少米？ 23．中国是茶的故乡，直到现在我国还有以茶代礼的风俗。一款花茶以不同比例的绿茶、红茶作为茶坯，配以能够吐香的鲜花作为原料，采用窨（xūn）制工艺制作而成。如果把上述两种茶叶配制成相同质量的花茶包，每种茶叶都恰好用完，且配制成花茶包的数量尽可能地多。做了多少个花茶包？每包花茶里两种茶叶各有多少克？ 绿茶 红茶 60克 48克 24．学校进行班级队列展示。五（1）班学生可以8人一排，也可以12人一排，都正好分完。这班学生的总人数在40至50之间，可能是多少人？ 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 26 页 学科网（北京）股份有限公司 $