第十三章《三角形》单元水平测试2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 初中数学《三角形》单元同步练习，以“基础巩固-综合应用-探究拓展”分层设计，覆盖三角形核心知识点，通过跨学科情境、数学文化及动态问题提升抽象能力、推理意识与创新意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层（选择填空）|三角形三边关系、高、内角和等单一知识点|跨学科（团徽五角星角度）、数学文化（《周礼》欘角计算）| |中档层（解答一）|角平分线、中线作图、角关系推理|作图实践与基础推理结合（画中线及高）| |提升层（解答二）|直角三角形高、等腰三角形分类讨论|动态问题（细绳围等腰三角形）与操作探究（旋转三角尺）| |拓展层（解答三）|折叠角度综合、角平分线模型变式|多情境探究（折叠角度关系）与模型构建（角平分线拓展应用）|

第十三章《三角形》单元水平测试 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的. 1.下列每组数分别表示三根木棒的长，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是( ) A.1,2,3 B.1,2,4 C.2,3,4 D.2,2,4 2.如图,在△ABC中,BC边上的高是( ) A. BD B. CE C. BE D. AF 3.在一个直角三角形中，有一个锐角等于35°，则另一个锐角的度数是( ) A.75° B.65° C.55° D.45° 4.如图，AD⊥BC于点D，则图中以AD为高的三角形有( ) A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 5.若三角形的三个内角的度数之比为1：2：3，则这个三角形一定是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 6.我国建造的港珠澳大桥全长55公里，集桥、岛、隧于一体，是世界最长的跨海大桥.如图，这是港珠澳大桥中的斜拉索桥，那么你能推断出斜拉索桥中运用的数学原理是( ) A.三角形的内角和为180° B.三角形的稳定性 C.两点之间线段最短 D.垂线段最短 7.如图,点D在△ABC边BC的延长线上,CE平分∠ACD,∠A=80°,∠B=40°,则∠ACE=( ) A.30° B.40° C.50° D.60° 8.在综合实践课上，同学们进行折纸活动，根据下列折纸的示意图(其中点C'是点 C 的对应点)，其中线段AD一定是△ABC 的中线的是( ) 9.如图是两直线l，m与△ABC相交的情形，其中l，m分别与BC，AB 平行.根据图中标示的角度，则∠B的度数为( ) A.65° B.60° C.55° D.70° 10.(跨学科融合)中国共产主义青年团团徽是由团旗的五角星(五个角相等)和环绕它的圆圈、旗边、旗杆、齿轮、麦穗、初升的太阳及其光芒以及写有“中国共青团”五个字的绶带构成.如图，其中五角星的锐角A 的度数为( ) A.25° B.36° C.30° D.54° 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分. 11.已知三角形的两边长分别是3和5，则第三边长a的取值范围是 . 12.已知△ABC的三个内角的数量关系为∠A-∠B=∠C,则△ABC是 三角形.(填“锐角”“直角”或“钝角”) 13.如图，三角形中的x的值是 . 14.(创新题)如图,已知∠AON=40°,点 P 是射线 ON上一动点,当△AOP 为直角三角形时,∠A= . 15.(数学文化)《周礼·考工记》中记载有：“半矩谓之宣(xuān)，一宣有半谓之欘(zhú)”.意思是：“直角的一半的角叫作宣，一宣半的角叫作欘”，即1宣 矩， 宣(其中,1矩=90°).图1为中国古代一种强弩图，图2为这种强弩图的部分组件的示意图，若∠A=1矩，∠B=1欘，则∠C= 度. 三、解答题(一)：本大题共3 小题，每小题7分，共21分. 16.如图,在△ABC中,∠ABC=∠C=70°,BD平分∠ABC,求∠ADB 的度数. 17.如图,已知△ABC. (1)画中线AD; (2)画△ABD 的高BE 及△ACD的高CF. 18.如图,在△ABC中,D是BC边上一点,∠1=∠2,∠3=∠4,∠BAC=69°,求∠DAC 的度数. 四、解答题(二)：本大题共3 小题，每小题9分，共27分. 19.如图,在△ACB中,∠ACB=90°,∠1=∠B. (1)求证:CD是△ABC的高; (2)若AC=8,BC=6,AB=10,求CD的长. 20.用一条长为28 cm的细绳围成一个等腰三角形. (1)如果腰长是底边长的3倍，那么三边长分别是多少? (2)能围成有一腰长为6 cm的等腰三角形吗?若能，写出等腰三角形的三边长；若不能，请说明理由. 21.综合与实践. 【问题情境】在数学实践活动课上，小亮同学利用一副三角尺探索与研究共直角顶点的两个直角三角形中的位置关系与数量关系.已知在 和 中， 【实践操作】操作一：将一副直角三角尺按如图1所示叠放在一起； 操作二：小亮固定其中一块三角尺 COD 不变，绕点O 顺时针转动另一块三角尺AOB，从OA与OD重合开始，到OB 与 OD 重合时结束. 【问题解决】(1)①如图1,∠AOD与. 的大小关系是 ； ②求图1中∠BOD 与∠AOC 的数量关系; (2)如图2,在旋转过程中,当AB∥CD时,求∠AOC 的大小. 五、解答题(三):本大题共2小题,第22题13分,第23 题14分,共27 分. 22.(1)如图1,若∠A=100°,求∠1+∠2 的度数和; (2)如图2,把三角形纸片ABC 的∠A沿DE 折叠,点A 落到点A'处,记∠A'DB 为∠1,∠A'EC 为∠2,求∠1,∠2与∠A的数量关系; (3)如图3，把一个三角形纸片ABC的三个角分别向内折叠之后，3个顶点不重合，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数. 23.综合探究. 【基本模型】(1)如图1,在△ABC中,BP平分∠ABC,CP平分外角∠ACD,求证: 【变式探究】(2)如图2,∠MON=90°,A,B分别是射线ON,OM 上的两个动点,∠ABO与∠BAN的平分线的交点为P，则在点A，B运动的过程中，∠P 的大小是否会发生变化?若不发生变化，请求出∠P 的度数；若发生变化，请说明理由； 【拓展应用】(3)如图3,∠MON=90°,作∠MON的平分线OD,A 是射线OD上的一定点,B 是直线OM上的任意一点(不与点O重合)，连接AB，设∠ABO 的平分线与∠BAO 的邻补角的平分线的交点为 P，请求出∠P 的度数. 第十三章《三角形》单元水平测试 1. C 2. D 3. C 4. D 5. B 6. B 7. D 8. A 9. C 10. B 11.2<a<8 12.直角 13.54 14.50°或90°15.22.5 16.解:∵∠ABC=70°,BD平分∠ABC,∴∠DBC=35°, ∵∠C=70°, ∴∠ADB=∠C+∠DBC=70°+35°=105°. 17.解:(1)如图,AD即为所求. (2)如图,BE,CF即为所求. 18.解: 而∠3=∠1+∠2, 在△ADC中,∠DAC+∠3+∠4=180°, ∴∠DAC+4∠1 =180°,即∠DAC=180°-4∠1, ∵∠BAC=∠1+∠DAC=69°, ∴∠1+180°-4∠1=69°,解得∠1=37°, ∴∠DAC=∠BAC-∠1=69°-37°=32°. 19.(1)证明:∵∠1+∠BCD=90°,∠1=∠B, ∴∠B+∠BCD=90°, ∴△BDC 是直角三角形,即CD⊥AB, ∴CD是△ABC的高. (2)解:∵∠ACB=∠CDB=90°, ∴AC=8,BC=6,AB=10, 20.解：(1)设所围成的等腰三角形的底边长为a，则腰长为3a，依题意得a+2×3a=28,解得a=4,∴3a=12, ∵4+12>12，符合构成三角形的条件， ∴该等腰三角形的三边长分别为12 cm,12 cm,4 cm. (2)不能围成有一腰长为6cm的等腰三角形，理由如下： 当6cm是等腰三角形的腰时,底边长为28-2×6=16(cm),此时该等腰三角形的三边长分别为6cm，6cm，16cm，∵6+6<16，不符合构成三角形的条件， ∴不能围成有一腰长为6cm的等腰三角形. 21.解:(1)①∠AOD=∠BOC ②∵∠DOC=90°,∠AOB=∠BOC+∠AOC=90°, ∴∠BOD+∠AOC=∠COD+∠BOC+∠AOC=180°. (2)如图,过点O作OE∥AB, ∵AB∥CD,∴AB∥CD∥OE, ∴∠AOE=∠A=30°, ∠COE=∠C=45°, ∴∠AOC=∠AOE+∠COE=75°. 22.解:(1)∵在△ABC中, 100°, ∴∠ABC+∠ACB=80°, (∠ABC+∠ACB)=360°-80°=280°. (2)由折叠得∠ADE=∠A'DE,∠AED=∠A'ED, 360°-2∠ADE-2∠AED, ∴∠1+∠2=2(180°-∠ADE-∠AED)=2∠A. (3)由(2)知∠1+∠2=2∠A, 同理得∠3+∠4=2∠B,∠5+∠6=2∠C, ∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=2∠A+2∠B+2∠C= 23.(1)证明:∵∠PBC+∠P=∠PCD,∠A+∠ABC=∠ACD,∴∠P=∠PCD-∠PBC,∠A=∠ACD-∠ABC. 又∵CP平分∠ACD,BP平分∠ABC, ∴∠ACD=2∠PCD,∠ABC=2∠PBC, ∴∠A=2∠PCD-2∠PBC=2∠P, (2)解:∠P的大小不变. ∵∠ABP+∠P=∠BAC,∠ABO+∠O=∠NAB, ∴∠P=∠BAC-∠ABP,∠O=∠NAB-∠ABO. 又∵BP平分∠ABO,AC平分∠NAB, ∴∠NAB=2∠BAC,∠ABO=2∠ABP, ∴∠O=2∠BAC-2∠ABP=2∠P, (3)解:∵∠ABP+∠P=∠BAC,∠ABO+∠AOB=∠DAB,∴∠P=∠BAC-∠ABP,∠AOB=∠DAB-∠ABO. 又∵BP平分∠ABO,AC平分∠DAB, ∴∠DAB=2∠BAC,∠ABO=2∠ABP, ∴∠AOB=2∠BAC-2∠ABP=2∠P, ··∠MON=90°,OD平分∠MON, ∴∠MOD=45°,∴∠P=22.5°. 学科网（北京）股份有限公司 $