专题02 空间向量的应用大题（36题）（举一反三专项训练）高二数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦空间向量工具性应用，通过36题系统覆盖平行、垂直、距离、线面角、二面角及探索性六大题型，以题载法构建立体几何问题的向量化解题逻辑链。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |平行证明|6题|含线面、面面平行，涉及中点、比例点|向量共线/法向量平行判定，体现几何关系代数化| |垂直证明|6题|含线线、线面、面面垂直，涉及折叠、动点|向量数量积为零判定，强化空间垂直转化| |距离问题|6题|点面距、线面距、异面直线距|向量模长公式应用，构建距离计算模型| |线面角|6题|含动态线面角、翻折后线面角|向量夹角公式，实现角与向量余弦值转化| |二面角|6题|含已知二面角求参数、折叠后二面角|法向量夹角计算，培养空间角量化思维| |探索性问题|6题|存在性探究（点位置、参数值）|参数设点列方程求解，发展数学推理与表达|

函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题02空间向量的应用大题（36题) (举一反三专项训练) 【人教A版】 姓名： 班级： 考号： 题型二 用空间向量研究直线、平面的平行 1.(25-26高二全国·课后作业)如图所示，ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD,PA=AD,M,N,Q 分别是PC,AB,CD的中点.求证： M (I)MN/平面PAD: (2)平面QMN/平面PAD】 2.(25-26高二上山东菏泽·阶段检测)如图，在长方体ABCD-A,BC1D1中， AB=4,BC=3,CC1=2 A B (1)求平面ACD1的法向量， (2)线段BC中点为点P,求证A1P∥平面ACD1 1/18 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3.(25-26高二上·全国·课后作业)如图，在四面体ABCD中，AD⊥平面BCD,BC⊥CD,AD=2, BD=22,M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ=3QC.证明：PQ∥平面BCD B∈ 4.(25-26高二上·吉林长春阶段检测)如图，已知在正方体ABCD-ABC1D1中，M,N,P分别是 AD1,BD,BC的中点.证明： 0 C B A M N、 B (I)MN∥平面CC1D1D: (2)平面MNP∥平面CC1D1D. 5.(25-26高二上·天津蓟州·阶段检测)如图，在长方体ABCD-A1BC1D1中，AB=4,BC=3, CC1=2. 2/18 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D B B (1)求证：平面A1C1B//平面ACD1 (②)线段B1C上是否存在点P,使得A1P/平面ACD1?若存在，求出点P的位置：若不存在，请说明理 由. 6.(25-26高二上：全国课后作业)在正方体ABCD-A,B,C,D,中，若0，为AC口中点，0，为AC中 点 D O D 求证： (0B0111D1O2 ②BO,/平面ACD, (3)平面ACD1/平面BA1C1. 3/18 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 题型三 用空间向量研究直线、平面的垂直 7.(25-26高二下江苏宿迁阶段检测)如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直， AB=V2,AF=1,M是线段EF的中点. D (1)求证：AM⊥BD: (2)求证：AM⊥平面BDF. 8.(25-26高二上浙江嘉兴阶段检测)在正四棱柱ABCD-A1BC1D1中，AB=2BB1=2,P为B1C1 的中点。 D M 4 B N (1)取A1D1中点M,AB中点N,求证：MN⊥平面APC: (2)求证：平面APC⊥平面BDD1B. 9.(25-26高二上全国·课后作业)如图，在直四棱柱ADD1A1-BCC1B1中，底面ADD1A1为直角梯 形，AD/IA1D1,E,F,G分别为AD,A1E,C1D1的中点，AD=2AB=2AA1=2A1D1=2,用向量法 证明：直线FG⊥平面A1BE 4/18 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A D B D A 10.(25-26高二上山东济宁期中)棱长为2的正方体ABCD-A1BC1D1中，E为DD1的中点，F为 BD中点，G为AA的中点. D C A E A B (1)证明：EF/平面ABC1D1: (2)证明：平面BDC1⊥平面BDG. 11. (25-26高二上·陕西咸阳阶段检测)如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CC1上的动 点 D C B D以 5/18 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)求证：A1E⊥BD (②)若平面A1BD⊥平面EBD,求证：E为CC1的中点. 12.(25-26高二下·全国·单元测试)如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形， ∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=PB=PC=2CD=2,侧面PBC⊥底面ABCD.求证： (I)PA⊥BD: (2)平面PAD⊥平面PAB. 题型三 利用空间向量研究点、线、面的距离问题 13.(25-26高二上·浙江杭州期中)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC,AB=AC=AA1=2, 如图，建立空间直角坐标系。 A C B D B C (1)求点B到平面ABC的距离： (2)求直线BC1与平面AB,C所成角的正弦值， 6/18 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 14.(25-26高二上新疆巴州·阶段检测)如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中， ∠ABC=90°，BC=2,CC1=4,点E在线段BB1上，且EB1=1,D、F、G分别为CC1,C1B1,C1A1的 中点。 B E (I)求证：平面EGF//平面ABD: (2)求平面EGF与平面ABD的距离. 15.(25-26高二上·河南开封阶段检测)如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别 为棱DD1,C1D1的中点 D B C C (1)求点F到直线B1A的距离： (2)求点F到平面A1BE的距离. 7/18 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 16.(25-26高二上·辽宁沈阳·阶段检测)如图，在三棱锥S-ABC中， SA=SB=BC=AC=V5,SC=AB=2,E,F分别为AB,SC的中点. B (①)求直线BF与平面ABC所成角的正弦值： (2)求异面直线SE,BF的距离d. 17.(25-26高二上·新疆乌鲁木齐·期末)如图，点P为正方形ABCD所在平面外一点，M为PA中点， DE=λDP0<1<1! D B (1)求证：PC/平面BDM: ②若平面ABCD⊥平面ABP,AB=BP=2,AB⊥BP,若点E到平面BDM的距离为43 ,求入的值 18.（25-26高二上福建莆田期末)如图，棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段DD1的 8/18 的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 中点，F为线段BB1的中点 D C B E: D (①)求点A1到直线B1E的距离： (②)证明：直线C1F/平面AB1E,并求直线C1F到平面AB1E的距离. 题型四 利用空间向量研究线面角 19.(25-26高二上·贵州铜仁·期末)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA=AB=BC=2,AD=4,PA⊥ 底面ABCD,AB⊥AD,BC//AD,E是PD的中点. (1)证明：CE/平面PAB: (2)求直线PD与平面ACE所成角的余弦值. 20.(25-26高二上：湖北十堰·期末)如图，四边形CDEF为矩形，平面ABCD⊥平面CDEF, AB//CD,AD L DC,AB=AD=DE=-DC=1. 9/18 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E D A B (1)求证：BC⊥平面BDE: (2)求直线BC与平面BEF所成角的大小. 21.(25-26高二上山东日照·期末)如图，在四棱锥P-ABCD中，PB⊥平面ABCD,AD‖BC, AB⊥BC,AB=AD=PB=1,BC=2,点E是棱PD上的一点，BE⊥PD. P D A (I)求证：平面EBC⊥平面PCD: (2)求直线PD与平面EBC所成角的正弦值. 22.(25-26高三上·安徽准北，期中)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形， PB=V6,且PA=PD=V2,设E,F分别为PC,BD的中点. 10/18 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D E (1)求证：EF∥平面PAD: (2)求证：平面PAB⊥平面PDC: (3)求直线EF与平面PBC所成角的正弦值大小. 23.(25-26高二上·重庆·期末)如图1，在直角梯形BCEF中，BFCE,BF⊥EF,且BF=2,CE=3 ,EF=1,在边BF和CE分别取点A,D,使得AF=DE=1,现沿边AD将四边形ADEF进行翻折，使平 面ADEF⊥平面ABCD,如图2. D D A B 图1 图2 (I)求证：BC⊥平面BDE: (2)求CD与平面BEC所成角的正弦值. 24.(25-26高二上·安徽阜阳·期末)阳马，中国古代算术中的一种几何形体，是底面为长方形，两个三角 面与底面垂直的四棱锥体如图，在阳马P-ABCD中，AL底面ABCD，,PA=AD=AB,E为线段PB 的中点，F为线段BC上的动点. 11/18 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E D --....C (1)证明：平面AEF⊥平面PBC; ②)若BF=)BC,求直线AP与平面AEF所成角的正弦值， 题型五 利用空间向量研究二面角 25.(25-26高二上·广东广州·阶段检测)在三棱锥S-ABC中，平面SAC⊥平面ABC,AB⊥BC, AC=AS=SC=2BC,D,E分别为AB,AC的中点. B (1)证明：AB⊥平面SDE: (2)求平面ASB与平面SCB夹角的余弦值. 26.(25-26高二上·四川宜宾·期末)如图1，等腰直角△ABC的斜边BC=4,D为BC的中点，沿BC上 的高AD折叠，使得二面角B-AD-C为60°，如图2，M为CD的中点. 12/18 的学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A D B 图1 图2 (1)求三棱锥D-ABC的体积. (2)求平面MAB和平面DAB所成角的余弦值， 27.(25-26高二上·浙江杭州期中)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，点E,F分别在棱 DD1,BB1上，且2DE=ED1,BF=2FB1. (1)证明：EA/1C1F: (2)若AB=2,AD=1,AA1=3,求二面角A-EF-A1的正弦值. 28.(25-26高二上·山东临沂·期末)如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD满足AD⊥AB, AD⊥CD,SA⊥底面ABCD,且SA=AD=CD=2,AB=1,M,N分别为SD,SC上的点，且 MW‖CD. 13/18 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 M D (1)若M,N分别为SD,SC的中点，证明：平面ABNM⊥平面SCD; (2)若平面ABNM与平面SBC的夹角的余弦值为 V30 .SM 10 ,求SD 的值， 29.(25-26高二上·云南保山·期末)如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥AC,AB⊥BC,D,E分别是 棱PC,AC的中点，PA=AB=6,AC=8,BD=5. B (1)证明：PA⊥平面ABC: (2)求点P到平面ABD的距离； (3)求平面PAB与平面ABD夹角的余弦值. 30.(25-26高二上·福建厦门·期末)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,AD⊥AB, AB/DC,PA=AD=DC=2,AB=1,点E为棱PC的中点。 14/18 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ()证明：BE⊥平面PCD: (2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值： (3)若Q为棱PC上一点，满足BQ⊥AC,求平面PAB与平面QAB夹角的正弦值， 题型六 利用空间向量研究探索性问题 31.(25-26高二上广东中山期末)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E在棱CD上. B y B (①)求证：EB1⊥AD: BM_2 ②设M在BB,上，且MB号，是香在CD上存在点E,使平面AD,EL平面AME,若存在，指出点E 的位置，若不存在，请说明理由， 32.(25-26高二上·河北石家庄·期末)如图，在多面体ABCDEF中，平面ABCD⊥平面ADEF, DA=成，ABCD,AD⊥CD,∠AD-DE=22,AB=EF=CD=2.P为EC的中点 15/18 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)求证：DF⊥平面ABCD: ②在线段BC上是否存在一点H,使得平面DHP与平面BEF的夹角的余弦值为2元？若存在， BH 35 BC的 值；若不存在，请说明理由. 33.（25-26高二上·北京·阶段检测)如图，在直角梯形AA1B1B中，∠A1AB=90°，A1B1/1AB, AB=AA1=2AB1=2.直角梯形AA,C1C通过直角梯形AA1B1B以直线AA1为轴旋转得到，且使平面 AAC1C⊥平面AA1B,B,M为线段BC的中点，P为线段BB1上的动点 B C (1)求证：AC⊥AB: (2)是否存在点P,使得直线A,C1/平面AMP?请说明理由 34.（25-26高二上·上海松江·期中)如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD,AD⊥DC, 16/18 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AB/IDC,AB=CD=AD=1,PD=1,M为棱PC的中点. (I)证明：BM/平面PAD: (2)求二面角P-BM-D的余弦值； ③)棱P1上是香存在点Q,使得点Q到平面BDM的距离是55，考存在，求出PQ的长：若不存在，说明理 18 由. 35.(25-26高二上·天津南开·阶段检测)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,AB‖CD, 且CD=2,AB=1,BC=2/2,PA=1,AB⊥BC,N为PD的中点. D (I)求证：AN∥平面PBC: (2)求平面PAD与平面PBC夹角的正弦值： (3)在线段PD上是否存在一点M,使得直线CM与平面PBC所成角的正弦值为 V26 若存在，求出 M 26 DP 的值；若不存在，说明理由. 17/18 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 36.(25-26高二上·云南昆明·期中)如图1，点E,F,G分别是边长为4的正方形ABCD三边 AB,CD,AD的中点，先沿着虚线段FG将等腰直角三角形FDG裁掉，再将剩下的五边形ABCFG沿着线 段EF折起，使得平面AEFG⊥平面EBCF,(如图2)，连接AB,CG,O是四边形EBCF对角线的交点 G A D G E B B- 图1 图2 (1)求证：AO/1平面GCF: (2)求直线AB与平面GCF所成角的正弦值； (3)在棱AG(含端点)上是否存在点P,使得平面EBP与平面GCF的夹角为45°？若存在，求出点P的位 置，若不存在，请说明理由 18/18 专题02 空间向量的应用大题（36题）（举一反三专项训练） 【人教A版】 姓名：___________班级：___________考号：___________ 题型一 用空间向量研究直线、平面的平行 1．（25-26高二·全国·课后作业）如图所示，为矩形，平面，，，，分别是，，的中点．求证： (1)平面； (2)平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解题思路】（1）由已知可证得两两垂直，所以以为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量证明； （2）证明平行于平面，结合面面平行判定定理证明结论. 【解答过程】（1）证明：因为平面，平面， 所以， 因为四边形为矩形，所以， 所以两两垂直， 所以以为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示， 设，，. 则，因为，，分别是，，的中点， 所以，，， 所以. 因为平面的一个法向量为， 所以，即. 又因为平面，所以平面. （2）因为， 所以，所以， 又平面，所以平面. 又因为，平面， 所以平面平面. 2．（25-26高二上·山东菏泽·阶段检测）如图， 在长方体中，.    (1)求平面的法向量. (2)线段中点为点，求证平面. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）以点为原点建立空间直角坐标系，根据法向量与平面垂直即可求出法向量； （2）证明直线的方向向量与平面的法向量垂直即可得证. 【解答过程】（1）如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 则， 故， 设平面的法向量为， 则有，令，则， 所以， 所以平面的法向量为； （2），则， 故， 因为， 所以， 又平面， 所以平面. 3．（25-26高二上·全国·课后作业）如图，在四面体ABCD中，AD⊥平面BCD，，AD＝2，，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且.证明：平面.    【答案】证明见解析 【解题思路】以为原点建系，设，计算的坐标，求出平面的一个法向量，证明即可. 【解答过程】因，则以为原点，所在直线为轴、轴，以垂直于平面的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，    因AD⊥平面BCD，则轴， 设，， 因M是AD的中点，P是BM的中点，则，， 因，则，则， 则， 又平面的一个法向量为，则，即， 又平面，则平面. 4．（25-26高二上·吉林长春·阶段检测）如图，已知在正方体中，，，分别是，，的中点．证明：    (1)平面； (2)平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解题思路】（1）建立空间直角坐标系，根据正方体性质可知为平面的一个法向量，然后证明即可得证； （2）证明也是平面MNP的一个法向量即可. 【解答过程】（1）证明：以D为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系. 设正方体的棱长为2，则，，，，，．    由正方体的性质，知平面， 所以为平面的一个法向量． 由于， 则， 所以． 又平面， 所以平面． （2）证明：因为为平面的一个法向量， 由于，， 则， 即也是平面MNP的一个法向量， 所以平面平面． 5．（25-26高二上·天津蓟州·阶段检测）如图，在长方体中，，，. (1)求证：平面平面. (2)线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，P为线段的中点 【解题思路】（1）根据题意，以D为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面与平面的法向量，由法向量平行，即可证明面面平行； （2）由空间向量的坐标运算，由与平面的法向量垂直，代入计算，即可求解. 【解答过程】（1）证明：以D为原点，DA，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， 则，，，. 设平面的法向量为， 则. 取，则，，所以平面的一个法向量为. 设平面的法向量为， 则. 取，则，，所以平面的一个法向量为. 因为，即，所以平面平面. （2）设线段上存在点P使得平面，. 由（1）得，，平面的一个法向量为， 所以. 所以，解得. 所以当P为线段的中点时，平面. 6．（25-26高二上·全国·课后作业）在正方体中，若为中点，为中点.    求证： (1)； (2)平面； (3)平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【解题思路】（1）以D为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，求出的坐标，利用，即可证明； （2）求出平面ACD1的法向量，及直线的方向向量，从而得到，即可证明； （3）可以利用平面，及平面，利用面面平行的判定定理证明，也可以求出两个平面的法向量，利用法向量平行来证明面面平行. 【解答过程】（1）以D为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1．    依题意知：，，，， ∴，， ∴， ∴，即. （2）设平面ACD1的法向量为， ∵，，， ∴，， 由可得，，即， 令，则，∴， 又， ∴，∴， 又平面，∴平面． （3）证法一  ∵， ∴，又， ∴，∴， 又平面，平面， ∴平面， 又由（2）知平面，而， 且平面，平面, ∴平面平面. 证法二  设平面的法向量为 则即∴ 令，得，∴， 由（2）知平面ACD1的一个法向量， ∴，∴， ∴平面平面. 题型二 用空间向量研究直线、平面的垂直 7．（25-26高二下·江苏宿迁·阶段检测）如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，是线段的中点. (1)求证：； (2)求证：平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解题思路】（1）利用面面垂直性质定理证明平面，然后以点为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量坐标法证明线线垂直； （2）先求出平面的法向量，然后利用直线AM的方向向量与法向量共线即可证明线面垂直. 【解答过程】（1）因为四边形为矩形，则， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又四边形为正方形， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴， 建立空间直角坐标系， 由，，得，，，， ，，. 所以，， 所以，所以， 所以； （2）由（1）知，，，. 设是平面的法向量，则，， 所以，得， 取，得，，则. 因为，所以，即与共线. 所以平面. 8．（25-26高二上·浙江嘉兴·阶段检测）在正四棱柱中，，P为的中点. (1)取中点，中点，求证：平面； (2)求证：平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解题思路】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的法向量再应用向量相等即可证明； （2）先应用线面垂直判定定理证明平面，再应用面面垂直判定定理证明. 【解答过程】（1）建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，. 设平面的法向量为，则. 令，解得，.. 又， 所以平面. （2）因为，又因为平面，平面， 所以平面， 所以平面，平面， 所以平面平面. 9．（25-26高二上·全国·课后作业）如图，在直四棱柱中，底面为直角梯形，分别为的中点，，用向量法证明：直线平面．    【答案】证明见解析 【解题思路】以为原点，建立空间直角坐标系，求出和平面的一个法向量的坐标，可得与平面的法向量共线，则得直线平面． 【解答过程】由题意知，以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，    则，， ， 设平面的一个法向量为， 则即， 令，则， 所以，故直线平面． 10．（25-26高二上·山东济宁·期中）棱长为2的正方体中，为的中点，为中点，为的中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面平面． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【解题思路】（1）构建合适的空间直角坐标系，标注出相关点坐标，法一：求出平面的法向量，再证，即可证；法二：根据坐标得到，再由线面平行的判定证明结论. （2）首先分别求出平面、平面的法向量，再证法向量垂直，即可证结论. 【解答过程】（1）以为原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系， 则， 法一：， 设平面的一个法向量为，由， 取，得，所以，故， 又平面，所以平面； 法二：，所以，故， 又平面，平面，所以平面； （2）由（1）知， 设平面的一个法向量为， 由，令，得， 设平面的一个法向量为， 由，令，得， 由，得， 故平面平面. 11．（25-26高二上·陕西咸阳·阶段检测）如图，已知正方体中，E为棱上的动点． (1)求证：； (2)若平面平面，求证：E为的中点． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【解题思路】（1）以D为原点，、、为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，计算即可证明； （2）求出面与面EBD的法向量，根据法向量垂直计算即可． 【解答过程】（1）以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图， 设正方体的棱长为a，则． 设，， ， ∴，即； （2）设平面和平面EBD的法向量分别为，． ， ，即，令，则，则， ，即，令，则，则． 由平面平面，得. ，即. ∴当E为的中点时，平面平面. 12．（25-26高二下·全国·单元测试）如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，侧面底面．求证： (1)； (2)平面平面. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【解题思路】（1）建立空间直角坐标系，求出，再由，即可证明； （2）求出平面和平面的法向量，由，即可证明. 【解答过程】（1）取的中点为，连接， 因为， 所以， 因为侧面底面，侧面底面，平面， 所以底面， 又因为四棱锥的底面是直角梯形， 所以以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，， 所以，， 所以，即. （2），，，， 设平面的法向量为， 则， 令，则，，可以求得面的一个法向量； 设平面的法向量为，则， 令，则，，可以求得面的一个法向量， 又因为，所以， 所以平面平面. 题型三 利用空间向量研究点、线、面的距离问题 13．（25-26高二上·浙江杭州·期中）在直三棱柱中，，，如图，建立空间直角坐标系． (1)求点B到平面的距离； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）建立空间直角坐标系，求得平面法向量，由点到平面的距离公式即可求解； （2）由空间向量的线面夹角公式即可求解. 【解答过程】（1）如图，建立空间直角坐标系， ， 取平面内两个向量：，， 设平面的法向量为， 则 令，得， 即，又， 则点B到平面的距离； （2）设直线与平面所成角为，， 则， 且，， 则， 即直线与平面所成角的正弦值是. 14．（25-26高二上·新疆巴州·阶段检测）如图所示，在直三棱柱中，，点E在线段上，且，D、F、G分别为的中点.    (1)求证：平面EGF平面ABD； (2)求平面EGF与平面ABD的距离. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【解题思路】（1）根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置的向量证明推理即得. （2）由（1）中信息，利用点到平面的距离公式计算即得. 【解答过程】（1）在直三棱柱中，，则直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，设， 则， ，于是， 即，因此直线， 而平面，则平面； 又，则，直线， 而平面，则平面，又点平面， 所以平面平面.    （2）由（1）得，平面的一个法向量为，而， 则点到平面的距离， 由平面平面，得平面与平面的距离等于点到平面的距离， 所以平面与平面的距离为. 15．（25-26高二上·河南开封·阶段检测）如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为棱，的中点.    (1)求点到直线的距离； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1) (2) 【解题思路】建立空间直角坐标系，利用计算距离的方式计算即可. 【解答过程】（1）建立如图所示空间直角坐标系，    得,, ,,， 所以,， 所以点到直线的距离为； （2）设平面的一个法向量为， 由（1）可知,,， 易知， 令，得， 所以， 所以点到平面的距离为. 16．（25-26高二上·辽宁沈阳·阶段检测）如图，在三棱锥中，分别为的中点. (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)求异面直线的距离. 【答案】(1)； (2) 【解题思路】（1）连接，，由题意可证得平面，平面，作平面，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. （2）利用空间向量求解，先求出异面直线，的公垂线的方向向量，然后利用数量积的几何意义求解即可. 【解答过程】（1）连接，，由题知，是等腰三角形底边上的中线， 同理，. 因为，平面，， 平面，又平面，. 同理，平面. 作平面，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系. 由题知，，，，，，，，. 设是平面的法向量， 则，即，取 ， 直线与平面所成角的正弦值为 （2）设是异面直线，的公垂线的方向向量，由， 同（1）可得 由题知，异面直线，的距离等于在方向上的投影长，即. 异面直线，的距离 17．（25-26高二上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，点为正方形所在平面外一点，为中点，. (1)求证：平面； (2)若平面平面，，.若点到平面的距离为，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2)； 【解题思路】（1）利用线面平行判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，根据点到面的向量法建立方程求解即可. 【解答过程】（1）连接，交于点，连接，如图所示： 因为四边形为正方形，所以为的中点， 又为中点，所以为的中位线，所以， 又平面，平面，所以平面. （2）因为平面平面，，平面平面， 平面，所以平面， 所以以点为坐标原点，分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系： 由，则， 设，所以， 由，所以， 即，所以， 由， 设平面的一个法向量为：， 由，令，则，所以， 又， 所以点到平面的距离为： ， 又，解得：. 18．（25-26高二上·福建莆田·期末）如图，棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点． (1)求点到直线的距离； (2)证明：直线平面，并求直线到平面的距离． 【答案】(1) (2)证明见解析， 【解题思路】（1）建立空间直角坐标系如下，使用空间中点到直线距离公式即可求得点到直线的距离； （2）由且A，E，F，四点不共线，所以，由线面平行的判定即可求证直线平面，再使用空间中点到平面距离公式即可求得到平面的距离. 【解答过程】（1）以D为原点，DA，DC，所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 因为，，， 所以， 所以点到直线的距离为． （2），又A，E，F，四点不共线，所以， 又平面，平面，所以平面， 可知直线到平面的距离等于到平面的距离， 因为， 设是平面的法向量，则， 所以，所以，取，则， 于是是平面的法向量． 又因为所以，点到平面的距离为， 即直线到平面的距离为． 题型四 利用空间向量研究线面角 19．（25-26高二上·贵州铜仁·期末）如图，在四棱锥中，，，底面，，，是的中点． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【解题思路】（1）取的中点通过题中条件证得四边形为平行四边形，从而得到，利用线面平行判定定理得到平面. （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，设与平面所成的角为，利用向量的数量积求出，利用公式求出，即为直线与平面所成角的余弦值. 【解答过程】（1）证明：取的中点，连接，. 为的中点，且， 又，，，，且， 四边形为平行四边形，， 平面，平面，平面. （2）以为原点，直线为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， ，， ，，，，，， ，， ，， 设平面的法向量为， 则有，取，则，， 则平面的法向量为， 则，. 设与平面所成的角为， 则有， ， ， 直线与平面所成角的余弦值为. 20．（25-26高二上·湖北十堰·期末）如图， 四边形为矩形， 平面平面， ，， (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的大小. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【解题思路】（1）利用面面垂直的性质推导出平面，可得出，利用余弦定理结合勾股定理证明，利用线面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的大小. 【解答过程】（1）因为四边形为矩形，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 在平面中，因为，，所以， 又因为，故为等腰直角三角形，则， 所以，且， 由余弦定理可得， 所以，则， 因为，、平面，所以平面. （2）因为平面，， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 则，取，可得， ， 设直线与平面所成角为，则. 又，所以直线与平面所成角的大小为. 21．（25-26高二上·山东日照·期末）如图，在四棱锥中，平面，，，，点是棱上的一点，．    (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【解题思路】（1）连接，取中点F，连接，根据线面垂直的性质和判定定理推出平面，再根据面面垂直的判定定理可得平面平面； （2）先确定，再以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，利用线面角的向量公式可求出结果． 【解答过程】（1）连接，取中点F，连接，如图所示．    因为，，所以，，所以四边形为平行四边形． 所以，则，所以，即． 因为平面，平面，所以， ，，平面，所以平面， 又平面，所以． 又，，，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面． （2）因为平面，平面，所以， 又因为，，所以， 则，， ，， 则，即， 以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示．    所以，，，，， 所以，， 因为，所以，又， 所以，又， 设平面的一个法向量， 所以，得，令，得， 所以平面的一个法向量． 设与平面的夹角为， 所以． 即与平面的夹角的正弦值为． 22．（25-26高三上·安徽淮北·期中）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，且，设，分别为，的中点. (1)求证：∥平面； (2)求证：平面平面； (3)求直线与平面所成角的正弦值大小. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3) 【解题思路】（1）连接交于，由即可求证； （2）通过勾股定理得到，，即可求证； （3）建系，求得平面法向量，由线面夹角公式即可求解. 【解答过程】（1）证明：连接交于， 又，分别为，的中点，则， 又平面，平面，则平面. （2）证明：连接交于， 又，分别为，的中点，则， 又平面，平面，则平面. （3）取中点记为连接，中，，，则， 又，所以， 则平面，平面，， 又，以为轴建系，如图： 则，，，，， 则， 设平面的法向量为， 则，令，得， 可得，， 设直线与平面所成角为， 则. 23．（25-26高二上·重庆·期末）如图1，在直角梯形中，，，且，，，在边和分别取点，使得，现沿边将四边形进行翻折，使平面平面，如图2． (1)求证：平面； (2)求与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【解题思路】（1）先利用面面垂直的性质定理得出平面，再利用线面垂直的性质定理和判定定理即可求证； （2）以为原点建系，计算平面的法向量，利用向量法计算线面角. 【解答过程】（1）依题意可得，四边形为正方形，故， 又平面平面，且平面平面平面， 平面， 又平面，则， 在直角梯形中，，得， 在中，，则，则， 平面， 平面； （2）以为原点，分别为轴建立如图所示空间直角坐标系， 所以， 则，， 设平面的一个法向量为， 所以，即，取，则， 设与平面所成角为， 则． 所以与平面所成角的正弦值为． 24．（25-26高二上·安徽阜阳·期末）阳马，中国古代算术中的一种几何形体，是底面为长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥体.如图，在阳马中，PA⊥底面为线段的中点，F为线段上的动点. (1)证明：平面⊥平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【解题思路】（1）利用空间垂直关系和正方形可证明线面垂直，再证明面面垂直； （2）利用空间向量法来求解线面角的正弦值即可. 【解答过程】（1）证明：因为底面，且底面所以， 因为为正方形，所以，又平面，所以平面， 因为平面，所以. 由为线段的中点，可知， 因为且平面，所以平面， 因为平面，所以平面⊥平面. （2）因为底面，且，所以以A为坐标原点，以所在的直线分别为x轴、y轴和z轴，建立空间直角坐标系如图所示. 设，则， 所以，，. 设平面的法向量为，则, 取，可得所以 设直线与平面所成的角为θ， 所以=， 即直线与平面所成角的正弦值为. 题型五 利用空间向量研究二面角 25．（25-26高二上·广东广州·阶段检测）在三棱锥中，平面平面，，，分别为的中点． (1)证明：平面； (2)求平面ASB与平面SCB夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】（1）由已知的面面垂直证明，再证，可证得平面； （2）建立空间直角坐标系，向量法求两个平面夹角的余弦值. 【解答过程】（1） ，为中点， ，又平面平面，平面平面，平面， 平面，而平面， ，又为的中点， ，又， ．又平面， 平面． （2）过作交于点，设， 以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 故，，，． 设为平面的法向量，则，即， ，取，则， 是平面的一个法向量． 设为平面的法向量，则，即， ，取，则， 是平面的一个法向量． 设平面ASB与平面SCB夹角为， 则. 26．（25-26高二上·四川宜宾·期末）如图1，等腰直角的斜边，D为BC的中点，沿BC上的高AD折叠，使得二面角为60°，如图2，M为CD的中点． (1)求三棱锥的体积． (2)求平面MAB和平面DAB所成角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据题意，证得平面，得到，再由平面，得到，利用等体积法计算即可得出结果； （2）以为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的法向量为和，结合向量的夹角公式，即可求解. 【解答过程】（1）在图1中的等腰直角中，为的中点，可得， 所以在图2中，可得， 因为，且平面，所以平面， 所以是二面角的平面角，即， 所以为等边三角形，所以. 所以. （2）以为原点，垂直于的直线为轴，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则， 则， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 所以， 所以平面和平面所成角的余弦值为. 27．（25-26高二上·浙江杭州·期中）如图，在长方体中，点E，F分别在棱上，且． (1)证明：； (2)若，求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【解题思路】（1）建立空间直角坐标系，设出长方体的棱长并写出相关点的坐标，再利用空间位置关系的向量证明推理得证. （2）由（1）中坐标系，求出平面与平面的法向量，再利用面面角的向量法求解. 【解答过程】（1）在长方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，依题意，， 则，即，，而点直线， 所以. （2）由及（1）得， 则， 设平面的法向量为，则，取，得， 设平面的法向量为，则，取，得， 设二面角大小为， 则， 所以二面角的正弦值为. 28．（25-26高二上·山东临沂·期末）如图，在四棱锥中，底面满足，，底面，且，，，分别为，上的点，且. (1)若，分别为，的中点，证明：平面平面； (2)若平面与平面的夹角的余弦值为，求的值. 【答案】(1)证明见解析； (2)或 【解题思路】（1）先证明出平面，可得，结合，再证得平面，然后由面面垂直的判定定理得证； （2）以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，设，利用向量法求面面角的余弦，再解方程即可求出，得解. 【解答过程】（1）平面，平面，， ，，平面，平面， 平面，， ，为的中点，， 平面，平面， 平面，平面平面. （2）平面，且，所以三线两两垂直. 以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系， ，，，，， 设，（），，即得， ，，，. 设为平面的法向量， 由，得， 令，则，，， 设为平面的法向量， 由，得， 令，则，， 由，得， ， 即，化简得， 解得或，即的值为或. 29．（25-26高二上·云南保山·期末）如图，在三棱锥中，，，，分别是棱，的中点，，，． (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离； (3)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3) 【解题思路】（1）根据已知得、，再由线面垂直的判定证明结论； （2）构建合适的空间直角坐标系，求出对应平面的法向量，应用向量法求点面距离； （3）结合（2）求出平面的法向量，应用向量法求面面角的余弦值. 【解答过程】（1）因为，分别是棱，的中点，所以，， 因为，所以， 因为，是线段的中点，，所以， 因为，所以，所以， 因为平面，平面，且，所以平面， 因为，所以平面； （2）以为原点，，所在直线分别为轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 由题中数据得，，，， 则，，， 设平面的法向量为，则， 令，得， 故点到平面的距离是； （3）由（2）可得，． 设平面的法向量为，则， 令，得． 设平面与平面的夹角为， 则， 即平面与平面夹角的余弦值是. 30．（25-26高二上·福建厦门·期末）如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)若为棱上一点，满足，求平面与平面夹角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【解题思路】（1）建立空间直角坐标系，利用向量数量积来证明， （2）先求平面的法向量，然后利用公式求直线与平面所成角的正弦值； （3）先利用向量的垂直关系求出向量，然后求出平面和平面的一个法向量，再利用公式来求平面与平面夹角的余弦值，从而得到其正弦值. 【解答过程】（1）依题意，以点为原点建立空间直角坐标系（如图）， 可得，， 由点为棱的中点，得． 向量，，故， 所以，即， 向量，，故， 所以，即， 又因为平面， 所以平面. （2）向量， 设为平面的法向量， 则，即，不妨令，则， 所以平面的一个法向量为． 因为，所以， ∴直线与平面所成角的正弦值为． （3）， 由点在棱上，故设， 由，得，解得， 即． 设为平面的法向量， 则，即， 不妨令，则，即平面的一个法向量为． 又取平面的法向量， 则． 所以平面与平面夹角的余弦值为， 所以平面与平面夹角的正弦值为. 题型六 利用空间向量研究探索性问题 31．（25-26高二上·广东中山·期末）如图，正方体中，点在棱上. (1)求证：； (2)设在上，且，是否在上存在点，使平面平面，若存在，指出点的位置，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)存在，点为的中点. 【解题思路】（1）建立空间直角坐标系，利用直线方向向量数量积即可得证； （2）求出两个平面的法向量，根据数量积为0计算是否有解即可. 【解答过程】（1）以点为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示： 设正方体的棱长为1，则，,， 设，则,， 所以，所以， 故. （2）设满足条件的点，设平面的一个法向量， 因为,， 则，即， 取，得， 由M在上，且，则， 设平面的一个法向量， ,， 则即， 取，得， 平面⊥平面，则，解得或（舍）， 所以当，即为的中点时，平面⊥平面. 32．（25-26高二上·河北石家庄·期末）如图，在多面体中，平面平面，，，，，，，为的中点. (1)求证：平面； (2)在线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为?若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【解题思路】（1）先由余弦定理求解得出，再应用面面垂直性质定理证明； （2）建立空间直角坐标系，设，分别求出平面与平面的法向量，最后计算二面角余弦值列式求解参数即可. 【解答过程】（1）因为，所以四边形为平行四边形. 因为，，所以，，又， 由余弦定理得， 则，因此； 又平面平面，平面平面，平面， 因此平面. （2）由（1）平面， 又因为，所以直线，，两两垂直， 以点为原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 由是平行四边形，得，则. 设平面的法向量， 则取，得， 假设线段上存在一点， 使得平面与平面的夹角的余弦值为， ，，，， 设，则， 设平面的法向量， 则取，得， 设平面与平面的夹角为， 则， 而，解得， 所以存在点，使得平面与平面的夹角的余弦值为， 此时. 33．（25-26高二上·北京·阶段检测）如图，在直角梯形中，，，.直角梯形通过直角梯形以直线为轴旋转得到，且使平面平面，M为线段BC的中点，P为线段上的动点. (1)求证：； (2)是否存在点P，使得直线平面？请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)存在，理由见解析. 【解题思路】（1）根据给定条件，利用直二面角的定义推理得证. （2）以为原点建立空间直角坐标系，设，求出平面的法向量，利用空间位置关系的向量证明列式求解. 【解答过程】（1）在直角梯形中，，即， 由直角梯形绕直线旋转得到直角梯形，得， 则是平面与平面所成二面角的平面角， 而平面平面，即平面与平面所成二面角是直角， 因此，所以. （2）由（1）知，直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， 假设在线段上存在点P，使得直线平面，设， 则，，设平面的法向量， 于是，取，得，而， 由直线平面，得，则，解得， 所以在线段上存在点P，使得直线平面，点为线段上靠近的三等分点. 34．（25-26高二上·上海松江·期中）如图，在四棱锥中，平面，，，，，为棱的中点． (1)证明：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)棱上是否存在点，使得点到平面的距离是?若存在，求出的长；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)存在点， 【解题思路】（1）取的中点，连接，由中位线性质以及线面平行判定定理即可证明出结论； （2）以为原点建立空间直角坐标系，求出平面平面的法向量，即可求得二面角的余弦值； （3）假设存在点到平面的距离是，设可得，利用点到平面距离的向量求法计算可得，即可求出. 【解答过程】（1）证明：取的中点，连接，如下图： 因为为棱的中点，所以， 又，所以， 所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面； （2）由题意知平面，且，可知两两垂直， 以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图， 易知 则， 设平面的一个法向量为， 则，令，可得，可得； 又， 设平面的一个法向量为， 可得，令，可得，即， 所以， 由图可知二面角为锐角， 所以二面角的余弦值为； （3）假设在棱上存在点，使得点到平面的距离是， 设，，即，可得, 所以， 则点到平面的距离是，又，可得, 所以，， 即存在点到平面的距离是,. 35．（25-26高二上·天津南开·阶段检测）如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点.    (1)求证：∥平面； (2)求平面与平面夹角的正弦值； (3)在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3) 【解题思路】（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和直线的方向向量，从而可证明线面平行； （2）利用两个平面夹角的向量公式即可求解； （3）令，，设，求出，结合已知条件可列出关于的方程，从而可求出的值. 【解答过程】（1）    过作于点，则. 以为原点，所在的直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 则 ，， ∵为的中点．∴， 则，. 设平面的法向量为，则,即， 令，则，∴ ． ∴ ，又平面．∴∥平面. （2）由（1）知. 设平面的法向量为， 则,即，令，则， 所以. 所以平面与平面夹角的正弦值为 （3）令，.设，∴ ， ∴，  . 由（1）知，平面的法向量为. ∵ 直线与平面所成角的正弦值为， ∴ ， 化简得， ∵，∴，故． 36．（25-26高二上·云南昆明·期中）如图1，点分别是边长为4的正方形三边的中点，先沿着虚线段将等腰直角三角形裁掉，再将剩下的五边形沿着线段折起，使得平面平面，（如图2），连接是四边形对角线的交点. (1)求证： 平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在棱（含端点）上是否存在点，使得平面与平面的夹角为？若存在，求出点的位置，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)存在，P点在A点处时平面与平面的夹角为. 【解题思路】（1）利用中位线和平行四边形证明线线平行，然后得到线面平行； （2）证明三线两两垂直，然后建立空间直角坐标系，利用空间向量求得面的法向量，然后由直线所在向量与法向量的夹角的余弦值的绝对值求得线面角的正弦值； （3）由（2）求出平面的法向量，设点坐标，由空间向量求得平面的法向量，由两个面的法向量夹角的余弦值的绝对值求等于面面角的余弦值建立方程，解得点坐标，即可知道点的位置. 【解答过程】（1）取中点，连接， ∵四边形为矩形，∴点为中点， ∴且， 又∵且，∴且， ∴四边形为平行四边形，即， ∵平面，∴平面. （2）∵，且平面平面，平面平面， ∴平面， 又∵平面，∴， 故以为坐标原点，如图建立空间直角坐标系， ∴，，，，， ，，， 设为平面的一个法向量， 则，解得，即， 设直线与平面所成角为， 则； （3）由（2）可知平面的一个法向量为， 设存在，则，， 设平面的一个法向量为， 则，解得，即， 则， ∴，即， 所以存在符合题意的点P，当P点在A点处时平面与平面的夹角为. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $