精品解析：山东青岛市2026-2027学年高三期初调研检测数学试题

2026年高三年级期初调研检测 数学试题 本试卷共4页，19题．全卷满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷与答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知等差数列，则等于（ ） A. B. 0 C. 2 D. 5 3. 双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，.若，则可能是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数在 处有极大值，则 的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 6 6. 嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列：，，，…，依此类推，其中．则（ ） A. B. C. D. 7. 若点是圆上的任一点，直线与轴、轴分别相交于、两点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，集合．若对任意，都有，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则（ ） A. B. C. ， D. ， 10. 设等比数列的公比， ，，记其前项和为，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知椭圆的左右焦点分别为，，上下顶点分别为，，左顶点为是椭圆上除顶点外的关于原点对称的两点，则下列四点可能共圆的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 底面直径和母线长均为1的圆锥的体积为__________． 13. 已知复数的实部和虚部都不为0，满足①；②.则_____，_____.（写出满足条件的一组和） 14. 如图，图1为边长为2的正方形剪去一个边长为1的正方形所得到的图形，图2为边长为2的正方形，且这两种图形均可随意旋转．若用若干个图1和图2可无重叠地拼成一个边长为7的正方形，则用到的图1的个数为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设． （1）求A； （2）若，求sinC． 16. 设，是曲线在点处的切线与x轴交点的横坐标. （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）记，证明. 17. 如图，是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，直线平面，点E，F分别是，的中点．记平面与平面的交线为l． （1）证明：平面 （2）设直线l与圆O的另一个交点为D，且点Q满足．记直线与平面所成的角、异面直线与所成的角、平面和平面的夹角分别为θ、α与β．证明：． 18. 已知动点到点的距离等于它到直线的距离，记动点的轨迹为曲线． （1）求的方程； （2）为坐标原点，过点且斜率存在的直线与相交于两点，直线与直线相交于点，过点且与相切的直线交轴于点． （i）证明：直线； （ii）满足四边形的面积为12的直线共有多少条？说明理由． 19. 甲社区有n个女生和n个男生，且每个女生都认识所有男生；乙社区有n个女生，，…，和个男生，，…，，其中女生认识男生，但不认识其他男生．现从甲社区和乙社区分别选出队选手参加社区比赛，每队选手均为2人． （1）若，，求所有参赛选手性别相同的概率； （2）若要求每队选手必须是男、女组队，且女生认识男生，分别记甲社区和乙社区选出的m队的不同的选法种数为和． （i）求，并证明：当时，； （ⅱ）若从乙社区中随机选出个女生和个男生，并将他们随机组成个男、女搭配的队,求组队结果满足参赛要求的概率． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高三年级期初调研检测 数学试题 本试卷共4页，19题．全卷满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷与答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出集合，，按交集的定义求解即可. 【详解】因为, 所以由，得, 由指数函数的性质可知， 所以， 又， 所以. 2. 已知等差数列，则等于（ ） A. B. 0 C. 2 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】设出等差数列的公差为，建立等量关系求解即可. 【详解】设等差数列的公差为， 因为，所以， 解得：，. 故选：B. 3. 双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先写出双曲线的标准方程再求出的值即可求离心率的值. 【详解】双曲线，即，实半轴长，半焦距， 故所求离心率． 4. 已知向量，.若，则可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得向量的位置，根据向量单位化以及加法的几何意义，结合共线定理，可得答案. 【详解】由，则平行于平分线所在的直线， 所以，当时，. 且不存在使得等于. 故选：C. 5. 已知函数在 处有极大值，则 的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 6 【答案】D 【解析】 【详解】由可得， 令，解得和， 若，则，函数在上单调递增，无极值点； 若，则和均为负数，极值点不可能为2，不符合题意； 当时，，当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 故为函数的极大值点，故，则. 6. 嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列：，，，…，依此类推，其中．则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据，再利用数列与的关系判断中各项的大小，即可求解. 【详解】[方法一]:常规解法 因为， 所以，，得到， 同理，可得， 又因为， 故，； 以此类推，可得，，故A错误； ，故B错误； ，得，故C错误； ，得，故D正确. [方法二]：特值法 不妨设则 故D正确. 7. 若点是圆上的任一点，直线与轴、轴分别相交于、两点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作出图形，分析可知当直线与圆相切，且切点位于轴下方时，取最小值，求出、的大小，可求得的最小值. 【详解】如下图所示： 直线的斜率为，倾斜角为，故， 圆的标准方程为，圆心为，半径为， 易知直线交轴于点，所以，， 由图可知，当直线与圆相切，且切点位于轴下方时，取最小值， 由圆的几何性质可知，且，则， 故. 故选：A. 8. 已知函数，集合．若对任意，都有，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题知当时，，当时，，进而分，，三种情况，数形结合求解即可. 【详解】当时，， 当时，， 所以，当，即，作出函数的图象，如图， 显然，当，都有，且， 所以, 当，即时，作出函数的图象，如图， 当，都有，且 所以， 当，即时，作出函数的图象，如图， 当时，则需满足，即，解得， 所以， 综上，，即的取值范围为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则（ ） A. B. C. ， D. ， 【答案】AC 【解析】 【分析】根据正弦型三角函数的周期性、对称性、值域及导数符号判断，需结合三角函数基本性质逐一验证判断可得. 【详解】选项A：函数的最小正周期，因此恒成立，正确. 选项B：代入计算得， 而，所以与不恒等， 如时，B错误. 选项C：当时，，此时， 因此，显然恒成立，C正确. 选项D：求导得， 当时，，， 即，因此不恒成立，D错误. 10. 设等比数列的公比， ，，记其前项和为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，根据条件列出关于的方程，求解可得的值，判断A；利用特值法可判断B；根据等比数列的前n项和公式，求得，，化简可判断C；求出，由的取值情况，结合不等式的性质，判断D. 【详解】由等比数列的公比为，则，即. 因为，所以，即. 因为，所以，所以，即，所以A正确. 因为，则，所以B错误. ， ，所以C正确. ， 当n为奇数时，； 当n为偶数时，因为；所以， 所以，即，所以D正确. 11. 已知椭圆的左右焦点分别为，，上下顶点分别为，，左顶点为是椭圆上除顶点外的关于原点对称的两点，则下列四点可能共圆的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】结合椭圆的几何性质，可判定A正确，B不正确；设圆的方程为，将代入求得 ，结合，求得圆的方程，可判定C正确；取点，求得过点圆的方程，可判定D正确. 【详解】由椭圆，可得，则， 对于A，由，则以为直径的圆与椭圆有4个交点，所以A正确； 对于B，以为直径的圆与椭圆仅有两个交点，所以B错误； 对于C，设圆的方程为， 将代入得，解得 ， 则圆的方程为, 设，则，则， 两式相加，可得，两式相减，可得， 联立方程组，可得， 又因为，联立可得，则， 将其代入，可得， 即，此时方程有解，所以C正确； 对于D，设直线的斜率为，则直线的方程为， 因为关于原点对称，则中垂线的方程为， 因为，可得线段中垂线的方程为， 联立方程组，可得，可得， 因为关于原点对称，不等式，则， 联立方程组，可得 ，即圆心， 若，即， 可得，即， 即，即，所以，解得， 所以当的斜率为，可得， 此时四点共圆，所以D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 底面直径和母线长均为1的圆锥的体积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】求出圆锥的高，再由体积公式求解即可. 【详解】由题意可知圆锥的底面半径， 所以其高， 所以圆锥的体积. 13. 已知复数的实部和虚部都不为0，满足①；②.则_____，_____.（写出满足条件的一组和） 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】设，根据复数的乘除法运算，结合复数的模的计算公式，求出的关系即可. 【详解】设， 则， ， 由， 整理得，即， 所以， 可取， 所以. 故答案为：.（答案不唯一，只要满足即可） 14. 如图，图1为边长为2的正方形剪去一个边长为1的正方形所得到的图形，图2为边长为2的正方形，且这两种图形均可随意旋转．若用若干个图1和图2可无重叠地拼成一个边长为7的正方形，则用到的图1的个数为__________． 【答案】15 【解析】 【分析】关键抓住面积相等的等量关系,以及实际应用问题的每种图形数量必须是自然数的限定条件. 【详解】,,， 设需要图1数量为x个, 需要图2数量为y(, ), 则，故,,()， 因为N ,当时,;当时, ;当时, ;当时, , 的可能取值为. 把网格按坐标编号， {1, 2，…，7}, 定义奇奇格为都为奇数的格子，即{1,3,5,7},奇奇格共有4×4=16个. 现在看两类图形覆盖奇奇格的规律： 图2( 完整 2× 2正方形):任意位置的2×2块，其4格中恰好有1个奇奇格. 证明：2×2块的左上角坐标,按奇偶性有4种情况， 逐一列出四种情形为（奇,奇）、（奇,偶）、（偶,奇）、（偶,偶），块内4格的偶奇组合都恰好包含一个” 奇奇“格. 图1(形=某个2×2块挖掉1格): 该2×2块里也恰好有1个奇奇格. 图1要么把那个奇奇格保留了(覆盖1个),要么偏偏挖掉的就是它(覆盖0个). 所以每个图1覆盖的奇奇格数只能是0或1. 7×7网格被图2覆盖个(每个图2恰1个奇奇格),被图1覆盖至多个(每个图1至多1个奇奇格). 故，结合前面所求最终只有满足条件. 【点睛】考查了学生发现数学问题和解决数学问题的能力. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设． （1）求A； （2）若，求sinC． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化简已知边角关系式可得：，从而可整理出，根据可求得结果； （2）[方法一]由题意利用正弦定理边化角，然后结合三角形内角和可得，然后结合辅助角公式可得，据此由两角和差正余弦公式可得． 【详解】（1）， 即：， 由正弦定理可得：， ， ，. （2）[方法一]正弦定理+两角和差正余弦 由（1）知，，所以由， 得， 整理得，即． 又，所以，即， 则． [方法二]正弦定理+方程思想 由，得， 代入， 得， 整理得，则． 由，得， 所以． [方法三]余弦定理 令．由，得． 将代入中，可得， 即，解得或（舍去）． 所以， 从而． [方法四]射影定理 因为，所以， 由射影定理得， 所以． 【整体点评】方法一：首先由正弦定理边化角，然后由两角和差正余弦公式求解的值； 方法二：首先由正弦定理边化角，然后结合题意列方程，求解方程可得的值； 方法三：利用余弦定理求得的值，然后结合正弦定理可得的值； 方法四：利用摄影定理求得的值，然后由两角和差正余弦公式求解的值； 【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，涉及到两角和差正弦公式、同角三角函数关系的应用，解题关键是能够利用正弦定理对边角关系式进行化简，得到余弦定理的形式或角之间的关系. 16. 设，是曲线在点处的切线与x轴交点的横坐标. （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）记，证明. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）. 【解析】 【详解】试题分析：（Ⅰ）对题中所给曲线的解析式进行求导，得出曲线在点处的切线斜率为.从而可以写出切线方程为.令.解得切线与轴交点的横坐标. （Ⅱ）要证，需考虑通项，通过适当放缩能够使得每项相消即可证明.思路如下：先表示出，求出初始条件当时，.当时，单独考虑，并放缩得，所以 ，综上可得对任意的，均有. 试题解析：（Ⅰ）解：，曲线在点处的切线斜率为. 从而切线方程为.令，解得切线与轴交点的横坐标. （Ⅱ）证：由题设和（Ⅰ）中的计算结果知 . 当时，. 当时，因为， 所以. 综上可得对任意的，均有. 考点：1.曲线的切线方程；2.数列的通项公式；3.放缩法证明不等式. 17. 如图，是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，直线平面，点E，F分别是，的中点．记平面与平面的交线为l． （1）证明：平面 （2）设直线l与圆O的另一个交点为D，且点Q满足．记直线与平面所成的角、异面直线与所成的角、平面和平面的夹角分别为θ、α与β．证明：． 【答案】（1） （2） 根据圆的知识可知四边形为矩形，由(1)知, 平面 平面与平面所成二面角的平面角 (线与线所成的角为), , (直线与平面所成的角为), . 【解析】 【分析】（1）通过,反复应用线面平行的性质定理与判定定理 （2）通过平面,既解决了异面直线与所成的角正弦值,也解决了平面和平面的夹角正弦值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了小问1学生对于线线平行线面平行的转化关系;小问2很好的考查了异面直线成角、线面角、二面角的解决策略,学生要想顺利解决这题,必须有扎实的基本功. 18. 已知动点到点的距离等于它到直线的距离，记动点的轨迹为曲线． （1）求的方程； （2）为坐标原点，过点且斜率存在的直线与相交于两点，直线与直线相交于点，过点且与相切的直线交轴于点． （i）证明：直线； （ii）满足四边形的面积为12的直线共有多少条？说明理由． 【答案】（1） （2）（i）证明：由题可知，直线的斜率存在且不为0，故设直线的方程为，则直线的斜率为， 设直线与相交于两点，不妨设， 由得，，则， 由得，，则点处的斜率为， 则点处的切线方程为， 令，得，即点， 直线的方程为，令，得，即， 所以直线的斜率， 所以，即直线． （ii）连接， 由（i）得，，所以， 又因为，所以轴，即四边形为平行四边形， 由得， ， 若四边形的面积为12，则， 整理得， 令，则， 设，则， 所以在单调递增，又， 所以存在，使得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又，， 所以有2个零点，即有2个根， 其中时，直线AB的斜率不存在，舍去，另一根属于； 由对称性可得，交换AB点的位置也符合题意，所以四边形的面积为12的直线共有2条． 【解析】 【分析】（1）由抛物线得定义即可求解； （2）（i）由题可知，直线的斜率存在且不为0，故设直线的方程为，设直线与相交于两点，不妨设，由直线方程与抛物线方程联立，求得，求出直线的斜率，即可证明；（ii）由（i）得出四边形为平行四边形，根据四边形的面积为12列出关于的方程，根据导数判断方程解的个数即可． 【小问1详解】 由抛物线的定义得动点的轨迹为以为焦点，直线为准线的抛物线， 所以，即． 【小问2详解】 （i）略 （ii）略 19. 甲社区有n个女生和n个男生，且每个女生都认识所有男生；乙社区有n个女生，，…，和个男生，，…，，其中女生认识男生，但不认识其他男生．现从甲社区和乙社区分别选出队选手参加社区比赛，每队选手均为2人． （1）若，，求所有参赛选手性别相同的概率； （2）若要求每队选手必须是男、女组队，且女生认识男生，分别记甲社区和乙社区选出的m队的不同的选法种数为和． （i）求，并证明：当时，； （ⅱ）若从乙社区中随机选出个女生和个男生，并将他们随机组成个男、女搭配的队,求组队结果满足参赛要求的概率． 【答案】（1） （2）（i），证明如下： 因为甲社区中女生和男生全都认识，因此 ， 当时，， ， 所以， ， ， 因为， 两边同乘以，得； （ⅱ） 【解析】 【分析】（1）先设事件，表示出事件“所有参赛选手性别相同”，利用互斥事件的概率加法公式与独立事件的概率乘法公式计算即得； （2）（i）分别用组合数与排列数表示，与，再计算即可得证； （ⅱ）先考虑的递推关系式，对于乙社区中的女生，分为①女生被选中时，共有种选法；②女生没被选中时，共有种选法，于是即得，推理得到，再考虑乙社区中各选m个男生和m个女生时，共有种情况，利用古典概型概率公式计算即得. 【小问1详解】 设事件表示“甲社区的参赛选手都是女生”，事件表示“乙社区的参赛选手都是女生， 事件表示“甲社区的参赛选手都是男生”，事件表示“乙社区的参赛选手都是男生， 则，，， 则所有参赛队伍的参赛选手性别相同只有两种情况，都是男生或者都是女生， 即，因为，所以，即事件与互斥， 又事件与互相独立，事件与互相独立， 故所求事件的概率为． 【小问2详解】 （i）略 （ⅱ）先考虑的递推关系式． 当时，考虑乙社区中的女生，有以下两种情况： ①当女生被选中时，其余队共有种不同的选法，可在余下个男生中任选一人， 有种选法，因此由乘法计数原理可知，共有种选法； ②当女生没被选中时，此时从，，…，中选出m个女生，从，，…，中选出m个男生组队，共有种选法； 所以当时，， 当时，由前述分析可得， 由（i）可知满足相同的递推公式， 因为，，， 所以和有相同的递推关系和初始值，故对任意和，均有， 设乙社区中各选m个男生和m个女生，组成m个队，共有种情况，且， 因此满足组队要求的概率． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $