1.1 多项式的因式分解 课时作业 2026-2027学年湘教版数学八年级 上册

**基本信息** 本同步练习以“基础巩固-能力提升-拓展探究”三层设计为主线，覆盖因式分解的意义、关系、应用等核心知识点，通过梯度化题型培养数学抽象、推理能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组基础达标|因式分解意义、与整式乘法关系、基本应用|选择/填空/解答题结合，聚焦概念辨析与简单计算，如判断因式分解正误、基础计算| |B组能力提升|综合应用、整体思想、整除性说明|含参数问题、整体代入求值，如多项式分解求参数值，培养推理能力| |C组拓展探究|图形与代数结合、新定义运算|通过面积模型验证公式、新定义运算应用，发展几何直观与创新意识|

1.1　多项式的因式分解 湘教版八年级上册　第1章　课时作业 班级：____________　姓名：____________　学号：________　得分：________ 　一、知识梳理 知识点1　因式分解的意义 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。 例如：，，都是因式分解。 理解因式分解要抓住以下三个要点： （1）变形的对象是一个多项式，即等号左边必须是多项式（不能是单项式，也不能是数字的乘法）； （2）变形的结果是几个整式的积，即等号右边必须是"积"的形式，而且每一个因式都必须是整式（不能出现分式）； （3）因式分解是恒等变形，分解前后两个式子的值恒相等，因此可以用整式乘法进行检验。 知识点2　因式分解与整式乘法的关系 因式分解与整式乘法是互为逆向的变形：整式乘法是把"积"化为"和（差）"，因式分解是把"和（差）"化为"积"。 图1-1　因式分解与整式乘法互为逆变形 温馨提示：因式分解不是等式的恒等变形之外的新运算，它只是"改写形式"。检验分解是否正确，只要把结果乘开，看是否与原多项式相同即可。 知识点3　用面积模型理解因式分解 把两个高都是 、底边分别是 、 的长方形拼在一起，得到一个大长方形。分别计算面积可得 。从右往左看，就是因式分解。 图1-2　用面积模型理解 ma+mb=m(a+b) 知识点4　判断因式分解的四类常见错误 错误一：结果不是乘积形式。如 ，右边是"积与数的和"，不是因式分解。 错误二：结果中出现分式。如 ，因式 不是整式，不是因式分解。 错误三：左边不是多项式。如 ，左边是单项式，不是因式分解。 错误四：分解不彻底。如 ，括号里的 还能继续分解，必须分解到每个因式都不能再分解为止。 知识点5　因式分解的一般步骤 因式分解通常按"一提、二套、三检查"的顺序进行： 第一步（提）：观察各项有没有公因式，若有，先提取公因式； 第二步（套）：剩下的因式若符合平方差公式或完全平方公式，就套用公式继续分解； 第三步（查）：检查每一个因式能不能再分解，直到不能分解为止；再把结果乘开，验证是否与原多项式相同。 本节先学习"是什么"，具体方法将在 1.2 提公因式法与 1.3 公式法中逐一学习。 知识点6　因式分解的应用 （1）简便计算：如 。 （2）整体代入求值：如已知 ，，则 。 （3）说明整除性：把式子分解出所需要的因数（因式），即可说明整除关系。 　二、典例精析 例1　识别因式分解 下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　） A．　　B． C．　　D． 【解析】A 是整式乘法（积化和），方向相反；C 的结果不是积的形式；D 中 不是整式。只有 B 把多项式化成了两个整式的积。 【答案】B 例2　利用整式乘法写出因式分解 已知 ，请把 分解因式。 【解析】因式分解与整式乘法互逆，把已知等式左右两边交换位置即可。 【答案】 例3　用因式分解进行简便计算 计算：。 【解析】两项都含有因数 ，把 提出来。 例4　整体思想求值 已知 ，，求 的值。 【解析】直接求 、 很麻烦，观察到 的两项都含有 ，先分解因式再整体代入。 例5　用因式分解说明整除性 说明： 能被 20 整除。 【解析】要说明一个数能被 20 整除，只要把它写成 20 与某个整数的乘积。 因为 是整数，所以 能被 20 整除。 　三、课时作业 A组　基础达标 （一）选择题（每小题 3 分，共 24 分） 1．下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（　　） A．　　B． C．　　D． 2．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（　　） A．　　B． C．　　D． 3．若 ，则 的值为（　　） A．1　　B．-1　　C．5　　D．-5 4．下列因式分解正确的是（　　） A．　　B． C．　　D． 5．已知多项式 可以分解为 ，则 的值是（　　） A．-7　　B．7　　C．13　　D．-13 6．计算 的结果是（　　） A．990　　B．9900　　C．9009　　D．99000 7．下列因式分解中，分解不彻底的是（　　） A．　　B． C．　　D． 8．若 ，，则 的值是（　　） A．8　　B．15　　C．30　　D．45 （二）填空题（每小题 3 分，共 24 分） 9．把一个多项式化成几个整式的________的形式，叫做多项式的因式分解。 10．因式分解与整式乘法是________变形（填"互逆"或"相同"）。 11．因为 ，所以 ________。 12．若 ，则 ________。 13．计算：________。 14．已知 ，，则 ________。 15．多项式 分解因式的结果是________。 16．一个长方形的面积为 ，若它的一边长为 ，则另一边长为________。 （三）解答题（共 52 分） 17．（12分）判断下列各式从左到右的变形是不是因式分解，并简要说明理由。 （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）。 18．（9分）根据整式乘法填空。 （1）因为 ，所以 ____________； （2）因为 ，所以 ____________； （3）因为 ，所以 ____________。 19．（12分）利用因式分解计算： （1）； （2）； （3）； （4）。 20．（8分）已知 ，，求下列各式的值： （1）；　　（2）。 21．（5分）一个长方形的长与宽分别是 、，它的周长为 20，面积为 24。求 的值。 22．（6分）说明： 能被 6 整除。 B组　能力提升 23．（6分）若多项式 可以分解为 ，求 、 的值。 24．（6分）当 时，求 的值。（要求先分解因式，再计算） 25．（8分）已知 ，求 的值。 26．（8分）已知 、、 是 的三边长，且满足 ，试判断 的形状，并说明理由。 27．（10分）【阅读理解】把 看作一个整体，则 。这种"把某个式子看作一个整体"的方法叫做整体思想。请仿照上面的方法把下列各式分解因式： （1）；　　（2）；　　（3）。 C组　拓展探究 28．（10分）【图形探究】如图，用两个边长分别为 、 的正方形和两个长为 、宽为 的长方形，恰好拼成一个大正方形。 第 28 题图 （1）用两种不同的方法表示大正方形的面积； （2）由（1）写出一个等式，并说明这个等式从右到左是因式分解； （3）若 ，，求 的值。 29．（8分）【新定义】对于任意两个数 、，定义一种新运算：""。 （1）求 的值； （2）若 ，，求 的值。 　四、参考答案与解析 A组　基础达标 （一）选择题 1．B。【解析】A 是把积化成和，属于整式乘法；C 的右边是"积 + 单项式"，不是积的形式；D 中 是分式而不是整式。只有 B 把多项式化成了两个整式的积，故选 B。 2．C。【解析】A 的左边 是单项式，不是多项式；B 的右边不是积的形式；D 是整式乘法。C 把多项式 化成 与 的积，符合定义，故选 C。 3．A。【解析】，与 对照，得 ，故选 A。 4．B。【解析】B 中 ，正确；A 显然错误（）；C 分解不彻底，应为 ；D 的右边不是积。故选 B。 5．A。【解析】，所以 ，，，故选 A。 6．B。【解析】，故选 B。 7．B。【解析】B 中 还可以继续分解为 ，即应分解为 ，分解不彻底，故选 B。 8．B。【解析】，故选 B。 （二）填空题 9．积。【解析】由因式分解的定义直接得出。 10．互逆。【解析】整式乘法是"积化和"，因式分解是"和化积"，二者方向相反。 11．。【解析】把已知等式左右两边交换位置即可。 12．6。【解析】，对照可得 。 13．31.4。【解析】。 14．-8。【解析】。 15．。【解析】因为 ，逆过来即得。 16．。【解析】，长方形面积等于两边长之积，故另一边长为 。 （三）解答题 17．（1）不是。左边是积、右边是和，这是整式乘法，方向与因式分解相反。 　　（2）是。左边是多项式，右边是两个整式的积，符合定义。 　　（3）是。左边是多项式，右边是单项式 与多项式 的积。 　　（4）不是。右边是 与 3 的和，不是积的形式。 　　（5）不是。右边仍是两个式子的差，只是改写了形式，没有化成积。 　　（6）不是。因式 中含有分式，不是整式。 18．（1）；（2）；（3）。 　　【解析】因式分解与整式乘法互逆，把已知乘法等式的左右两边交换位置即可，注意（3）中提出的公因式带负号。 19．【解析】各题都存在相同的因数（因式），先分解因式再计算。 　　（1）原式 ； 　　（2）原式 ； 　　（3）原式 ； 　　（4）原式 。 20．（1）； 　　（2）。 　　【解析】本题若先求 、 的值会很麻烦，应观察式子结构，先分解因式再整体代入。 21．240。【解析】由周长为 20 得 ，即 ；由面积为 24 得 。所以 。 22．【解析】。 　　又 ，其中 是整数，所以 能被 6 整除。 B组　能力提升 23．，。【解析】，与 对照，得 ，。 24．4094552。【解析】。当 时，原式 。先分解因式可以把"平方后再相减"变成"两数相乘"，运算量大大减少。 25．2025。【解析】由 得 ，即 。 　　。 　　所以原式 。 26． 是等腰三角形。【解析】由 得 ， 　　，即 。 　　因为 、 是三角形的边长，所以 ，从而 ，即 。所以 是等腰三角形。 27．（1）；（2）；（3）。 　　【解析】（3）中 ，注意结果要写成幂的形式。 C组　拓展探究 28．（1）方法一：大正方形边长为 ，面积为 ； 　　方法二：大正方形由四块拼成，面积为 。 　　（2）。从右到左看，即 ，把一个多项式化成了两个相同整式的积，所以是因式分解。 　　（3）由 得 。 29．（1）； 　　（2）。 　　【解析】新定义问题的关键是"照章办事"：先按定义写出式子，再用因式分解与整体代入求值。 　五、易错警示与课堂小结 易错点1　混淆因式分解与整式乘法的方向 如把 当作因式分解。判断口诀："左多项、右乘积"，方向反了就不是因式分解。 易错点2　结果中出现分式 如 。因式分解要求每个因式都是整式，只要出现 、 这样的分式，就一定不是因式分解。 易错点3　分解不彻底 如 ，其中 还可以分解，正确结果是 。做完一定要再看一遍每个因式能否继续分解。 易错点4　把和当成积 如 ，右边最后一步是加法，整体不是积，所以不是因式分解。 课堂小结 （1）因式分解：多项式 几个整式的积； （2）与整式乘法互为逆变形，可用"乘开检验"； （3）三个必须：左边必须是多项式、右边必须是积、每个因式必须是整式； （4）常见用途：简便计算、整体代入求值、说明整除性。 本课时小结：因式分解的定义可以概括为"多项式 → 整式的积"。判断时只需盯住三点——左边是不是多项式、右边是不是积、每个因式是不是整式。具体的分解方法（提公因式法、公式法）将在 1.2、1.3 中学习。 　六、中考链接（选做） 1．（202X·湖南）下列变形中，属于因式分解的是（　　） A．　　B． C．　　D． 2．（202X·长沙）若 ，则 ________。 3．（202X·常德）已知 ，，则 的值为________。 4．（202X·益阳）计算：________。 5．（202X·怀化）说明： 能被 20 整除。 【参考答案】 1．B。只有 B 把多项式化成了整式的积。 2．。因为 ，所以 ，，。 3．8。。 4．76。原式 。 5．，因为 是整数，所以能被 20 整除。 第 页　共 页 学科网（北京）股份有限公司 $