上海市杨浦区复旦大学附属中学2027届高三上学期模拟测试（1）数学试卷

**基本信息** 2027届复旦附中高三数学模拟卷，以多方法融合（如导数与向量解函数最值）、文化情境（传统建筑房梁截面优化）及新定义问题（非负增长性质）为特色，全面考查数学眼光、思维与语言。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|12/54|集合、复数、抛物线、线性回归等|1-6题基础巩固，7-12题如单位圆内接四边形周长范围，体现几何直观与创新意识| |选择题|4/18|概率分布、直线与圆位置关系等|15题展开式常数项判断，考查运算能力与推理意识| |解答题|5/78|函数多法求解、正四棱台几何证明、房梁截面优化、双曲线综合、新定义论证|17题要求两种方法解题（导数/向量/方差），19题结合传统建筑考截面优化，21题新定义“非负增长性质”论证，突出应用意识与理性精神|

2027届复旦大学附属中学高三数学模拟测试（1） 参考答案： 填空题（1~12题） 1． 2. -3 3． 4． -1 5． 36 6． 0 7． 8． 1 9. 【详解】根据题意，从10个数中任取5个数，则基本事件的总数为， 又由这5个数的中位数是5的基本事件为， 所以这5个不同的数的中位数为5的概率为. 10. 11. （合理即可） 12. 28 选择题（13~16题） 13. A 14. B 15. C 16. A 解答题（17~21题） 17． 若选提示1： 由题意，函数的定义域为 （2分） （1分） 列表可得：（2分） x 极大值 所以在时取得极大值也为最大值 （2分） 若选提示2： 设 （3分） 故， （2分） 当且仅当，即时取等 （2分） 所以最大值为 若选提示3： 构造随机变量X的分布 （3分） 则； （2分） ，代入解得：，又 （2分） 所以最大值为 18． （1） 设下底面中心为原点，下底面平面，上底面在平面建系 令 （1分） 可得平面法向量为，， （2分） 则 （1分） ∴平面 （1分） 由正棱台性质,与上下底面均垂直,则， 因为，平面， 所以平面,所求三棱锥体积可拆分成两个小三棱锥的体积之和, 即： （2分） （2） 由题意可得，设， （2分） 又三点共线，则存在使 （1分） 联立： （1分） 解得： （1分） 则，， （2分） 19． （1） 假设截面面积均为正常数， 可得：，，， 所以，（3分） 又因为，所以，所以, （3分） 综上，，于是矩形截面的梁的截面形状最好． （1分） （其他做法合理均给分） （2） 由，（1分） 可得：，（1分） 列表如下： （3分） 极大值 所以，当时，取得极大值也为最大值， （1分） 此时，当，于是时抗弯截面系数最大． （1分） 20． （1） 对于双曲线， （1分） 双曲线开口越开阔即双曲线离心率更大 （1分） 又等轴双曲线离心率为 （1分） ∴，解得： （1分） （2） 双曲线渐近线为，斜率分别为， （2分） ∴ （1分） 解得： （1分） ∴双曲线的标准方程为：或 （2分） （注意标准方程的形式） （3） 设 联立消去得： （1分） ∴ （1分）， （1分） 由题意得： （2分） 令，则，于是： （1分） 当时，；当 （1分） ∴ （1分） 21． （1） ∵在R上具有“非负增长性质” ∵ （1分） ∴在R上恒成立 （1分） ∴ （1分） 解得： （1分） （2） 具有（1分），证明如下： ∵，定义域：，则 （1分） 令 列表如下： （2分） ∴ （1分） 即在上恒成立，故在定义域上具有“非负增长性质” （1分） （3） ∵具有“非负增长性质”，则：，且 ∴ ∴，则 联立①②解得： （2分） 设存在使，由知： 不妨考虑，构造 （2分） 则： ∵＞0，，则 ∴在上单调减，又，故有 （1分） 同理对于，可构造证明 （1分） 故在R上成立 充分性：若在R上具有“非负增长性质”，则：恒成立， 即，（1分） 重合，充分性成立 必要性：若，则 此时，则在R上具有“非负增长性质”，必要性成立 （1分） 综上：的充要条件为． ___________________________________________________________________________________________________ （3）思路提示：优先考虑具有“非负增长性质” ，可知本题的关键在于推导 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届复旦大学附属中学高三数学模拟测试（1） 数学 试卷 （考试时间120分钟 满分150分 考号：____________） 考生注意： 1. 本试卷的选择题均为单选题 1. 解答题需要写出必要的计算说明过程 1. 试卷共4页，请作答在答题纸上 1. 请自备科学计算器（卡西欧）并准确填写考号 一、填空题（12题，共54分，1~6题每题4分，7~12题每题5分） 1．设集合，，则 ． 2．若复数，则 ． 3．已知点在抛物线上，则点到抛物线焦点的距离为 ． 4．根据如表所示的样本数据，用最小二乘法求得线性回归方程为，则回归系数的值为 ． x 6 8 9 10 12 y 6 5 4 3 2 5．已知实数满足，则的最小值为 ． 6．若两个事件既互斥，又独立，，则 ． 7．若单位圆的内接四边形ABCD有一组对角相等，则四边形ABCD周长的取值范围为 ． 8．若函数，则 ． 9．从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这10个数中任取5个不同的数，则这5个不同的数的中位数为5的概率为__________． 10．已知椭圆C的离心率为，其左右焦点分别为，上顶点为，若的外接圆半径为，则椭圆C的方程为 ． 11．请写出一个定义域为R的函数，使其存在区间和，使得在上严格减，在上严格增，且处不可导： ． 12．已知等差数列共有5项，公差为，函数的对称轴为，其中，则有序实数对的个数为__________． 二、选择题（4题，共18分，13~14每题4分，15~16每题5分） 13．若随机变量，，若，，则（ ） A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8 14．直线与圆的位置关系为（ ） A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定 15．若的展开式中不存在常数项，则可能的取值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 16．已知数列满足，且对任意正整数，关于的实系数方程都有两个相等的实根，若，则满足条件的不同实数的个数为（ ） A． B． C． D． 三、解答题（5题，共78分，17~19每题14分，20~21每题18分） 17．（本题共14分） 【问题】：求：函数的最大值． 【提示1】：导数是判断函数单调性的重要工具； 【提示2】：向量可以直观的从几何角度解决函数的最值； 【提示3】：任何数据的方差都非负； 请你选择其中两个提示，运用两种不同的方法解决问题． 18．（本大题共14分，每小问均为7分） 如图所示正四棱台，其中，，棱台高为3． （1）证明：；求：三棱锥的体积； （2）设是中点，在直线、上各取一个点，使得三点共线，求：的长． 19．（本大题共14分，每小问均为7分） 中国历史悠久，积累了许多房屋建筑的经验．房梁为柱体，或取整根树干而制为圆柱形状，或作适当裁减而制为长方体形状，例如下图所示． 材质确定的梁的承重能力取决于截面形状，现代工程科学常用抗弯截面系数W来刻画梁的承重能力．对于两个截面积相同的梁，称W较大的梁的截面形状更好．三种不同截面形状的梁的抗弯截面系数公式，如下表所列： 圆形截面 正方形截面 矩形截面 条件 r为圆半径 a为正方形边长 h为矩形的长，b为矩形的宽， 抗弯截面系数 （1）假设上表中的三种梁的截面面积相等，试判断哪一种梁的截面形状最好并说明理由； （2）考虑梁取材于圆柱形的树木，设矩形截面的外接圆的直径为常数D，如下图所示，求：为何值时，其抗弯截面系数取得最大值． 20．（本题共18分，（1）小问4分，（2）小问6分，（3）小问8分） 设与双曲线相交于不同两点． （1）若双曲线的开口比等轴双曲线的开口更开阔，求：实数的取值范围； （2）若双曲线的两条渐近线的夹角为，求：双曲线的标准方程； （3）若＞，且两点都在双曲线的右支上，设线段的中点为，斜率为的直线经过点，设直线在轴上的截距为，求：的取值范围． 21．（本题共18分，（1）小问4分，（2）小问6分，（3）小问8分） 设函数在区间上可导，若对任意，都有，则称函数在区间上具有 “非负增长性质”． （1）设，若函数在R上具有“非负增长性质”，求：的取值范围； （2）试判断在其定义域上是否具有“非负增长性质”并说明理由； （3）已知函数与定义域均为R，是具有零点的偶函数且满足在R上有“非负增长性质”， ，求证：的充要条件为． 第 1 页 共 2 页 复旦大学附属中学 走向卓越 高考数学模拟测试 学科网（北京）股份有限公司 $2027届复旦大学附属中学高三数学模拟测试 数 学·答题卡 姓名： 学校： 注 意 事 项 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 缺考标记 贴条形码区 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．____________________ 2．____________________ 3．____________________ 4．____________________ 5．____________________ 6．____________________ 7．____________________ 8．____________________ 9．____________________ 10．____________________ 11．____________________ 12．____________________ 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13．[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 14．[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 15．[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 16．[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] （选择2个提示，在（1）和（2）答题处分别解答1种） 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．（14分） （1） （2） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（14分） （1） （2） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 数 学 第1页（共6页） 数 学 第2页（共6页） 数 学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 19． （14分） （1） （2） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20． （18分） （1） （2） （3） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21． （18分） （1） （2） （3） 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页）1 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $Sheet1 2027届复旦大学附属中学上海高三数学模拟1双向细目表 题号 题目满分 知识点 能力水平 得分率 1 4 集合与逻辑 识记 2 4 复数 识记 3 4 抛物线 识记 4 4 一元线性回归 识记 5 4 基本不等式 识记 6 4 事件的独立性 识记 7 5 三角函数 辅助角公式 理解 8 5 指数函数 函数的周期性 理解 9 5 概率统计 中位数 排列组合 应用 10 5 椭圆 离心率 正弦定理 应用 11 5 导数 极值与最值 应用 12 5 计数原理 等差数列 集合与逻辑 综合 13 4 随机变量及其分布 识记 14 4 直线与圆 三角 理解 15 5 二项式定理 应用 16 5 等比数列 函数的对称性 综合 17 14 导数 平面向量 期望与方差 应用 18（1） 7 线面平行的证明 常见几何体的体积 理解 18（2） 7 空间向量的应用 补形法 理解 19（1） 7 不等式 指对幂的运算 理解 19（2） 7 导数 函数的单调性 理解 20（1） 4 双曲线 识记 20（2） 6 双曲线的渐近线 识记 20（3） 8 直线与圆锥曲线 应用 21（1） 4 不等式的恒成立问题 识记 21（2） 6 导数 对数函数 理解 21（3） 8 函数的奇偶性 零点 复合函数的导数 常用逻辑用语 综合 $