第七章 证明 单元测试2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 北师大版八年级数学上册第七章“证明”单元卷，以世界杯积分、定向越野等真实情境为载体，覆盖命题与证明、平行线性质、全等三角形等核心知识，梯度设计兼顾基础巩固与创新应用，适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|12题/36分|命题结构、反例判断、平行线判定|第3题结合世界杯积分考查逻辑推理，体现数学思维| |填空题|8题/24分|命题改写、点到直线距离|第18题以平面镜反射为背景，融合平行线性质与实际应用| |解答题|5题/40分|全等证明、筝形性质探究|第25题通过角平分线与平行线规律探究，培养创新意识与数学表达能力|

第七章 证明 单元测试2026-2027学年北师大版 八年级数学上册 一、单选题 1．命题“如果，那么”的条件是（   ） A． B． C． D． 2．下列选项中a的值，可以作为命题“对于任何实数a，”是假命题的是（　　） A． B． C． D． 3．卡塔尔世界杯已经结束，阿根廷捧得大力神杯！我们知道，世界杯小组赛分成8个小组，每小组4个队，小组内进行单循环赛（两支球队间只比赛一场），已知胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分，小组赛结束后，积分前两名（相同积分比较净胜球）进入16强． 下表是世界杯E组积分表： 排名 球队 积分 1 日本 6 2 西班牙 4 3 德国 4 4 哥斯达黎加 ？ 如果本小组比赛中只有一场战平，根据此表，可以推断哥斯达黎加的积分是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．下列选项中，能说明命题“任何偶数都是的整数倍”是假命题的反例是（     ） A． B． C． D． 5．下列命题中，是真命题的是（     ） A．每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示 B．0没有平方根 C．若，则 D．实数包括有理数、0和无理数 6．劳动人民具有无穷无尽的智慧．如图，这是艺术灯安装师傅安装灯管时使用的工具，利用这个工具既能保证灯管间的距离相等，又能保证灯管相互平行，灯管相互平行的依据是（    ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．平行于同一条直线的两条直线平行 7．如图，下列条件能判定的是（    ） A． B． C． D． 8．如图，，直线与、分别交于点、，是的角平分线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 9．某校举行“定向越野比赛”，将参赛人员分成若干小组，每组四人，四人需完成各自对应的挑战任务．比赛规则如下： ①出发规则：每次需两名队员从起点同时出发，沿路线完成挑战任务到达终点，耗时以两人中较慢者的挑战完成时间为准(例如甲完成他的挑战需1分钟，乙完成他的挑战需2分钟，则两人同时出发耗时2分钟)； ②返程规则：到达终点后，一人留在终点，另一人必须立即返回起点(返程也需完成对应的挑战任务，耗时与原挑战时间相同，即甲返程仍需1分钟)； ③重复规则：已到达终点的队友可多次参与后续往返； ④结束规则：当四人全部到达终点时，比赛结束． 某组的甲、乙、丙、丁四位队员完成单程挑战任务所需时间(单位：分钟)分别为1，2，3，5，则该组队员完成比赛所需的最短时间为(    ) A．12分钟 B．13分钟 C．14分钟 D．15分钟 10．如图，在和中，点B，E，C，F在同一条直线上，和交于点G．若，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 11．如图①，是一款护眼灯的实物图，图②为示意图，其中，垂足为B，可绕点A旋转，可绕点D旋转．当时，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 12．如图，直线，的平分线交直线于点，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 13．把命题“在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行”改写成“如果．．．．．．，那么．．．．．．”的形式 ________________________________________． 14．若，则A，B，C三点共线，理由是_______________________． 15．在讨论“对顶角不相等”是不是命题的问题时，甲说：“这不是命题，因为这句话是错误的．”乙说：“这是命题，因为它作出了判断，只不过这一判断是错误的，所以它是假命题．”由此可判断______的说法是正确的． 16．判断命题“如果，那么”是假命题，只需举一个反例，反例中的的值可以是__________． 17．如图，直线、被直线所截，交点分别为点F、D，添加一个条件，使得，你添加的是________．（添加一个即可） 18．平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图1，一束光线射到平面镜上，被平面镜反射后的光线为，则．如图2，一束光线先后经平面镜、反射后，反射光线与平行．若，则的大小为______． 19．如图，点E，F分别在，上，，垂足为O，．若，，则点F到直线的距离为__________．    20．金乡县某中学七年级共有四个班，每班各选5名同学组成一个代表队，这四支代表队（分别用A，B，C，D表示）进行数学知识应用竞赛，前三名将参加金乡县数学知识竞赛，甲，乙，丙三位同学预测的结果分别为：甲：C得亚军；D得季军；乙：D得冠军；A得亚军；丙：C得冠军；B得亚军．已知每人的预测都是半句正确，半句错误，则冠，亚，季，殿军分别为______． 三、解答题 21．完成下面证明． 如图，三角形，，为上一点，，，点、分别在、上，且． 求证：． 证明：，， _________．（依据：___________） ， _________°． ， _________． ．（依据：_______________） 22．春天是放风筝的季节，清朝诗人高鼎在《村居》中用两句诗描绘了春天放风筝的场景：“草长莺飞二月天”，“忙趁东风放纸鸢”．我们研究的四边形中有一种叫筝形，如图1所示． 【筝形的定义】 两组邻边分别相等的四边形．即：若四边形满足且，则四边形为筝形． （）【任务】如图2是由小正方形组成的网格图，在网格中仅用无刻度的直尺和笔，画出一个顶点在格点的筝形； 【任务】某数学活动小组在探究筝形的角、对角线的性质过程中，得出以下命题： 命题：筝形有一组对角相等． 命题：筝形一条对角线垂直平分另一条对角线． 命题：筝形的每一条对角线平分一组对角． （）以上命题是真命题的有______个． （）选择其中的一个真命题，结合图1写出已知求证并对这个命题进行证明． 23．证明：全等三角形对应角的平分线相等． 我们在证明文字命题时，通常应遵循这样的步骤： （1）首先，要弄清命题的条件和结论，那么这个命题的 条件是：____________； 结论是：____________． （2）其次，要结合命题的条件和结论，画出符合题意的图形． 如图①所示，线段是的角平分线，请用尺规作图，作出图②中的角平分线交于点（保留作图痕迹，不写作法）． （3）最后，结合所画图形和这个命题的条件和结论写出已知和求证，并进行证明． 已知：如图，______≌______，线段，分别是和的角平分线． 求证：____________． 证明：（要求：证明时写清每一步推理的依据．） 24．王欣同学沿一段笔直的人行道行走，在由A步行到达处的过程中，通过隔离带的空隙，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语，其具体信息汇集如下：如图，∥，∥，，相交于点，点到直线，的距离，均为9m，．请根据上述信息求标语的长度． 25．小明学习了角平分线的定义以及平行线的判定与性质的相关知识后，对角之间的关系进行了拓展探究．如图，直线，直线是直线，的第三条截线，，分别是，的平分线，并且相交于点K．   问题解决： （1），的平分线，所夹的的度数为______； 问题探究： （2）如图2，，的平分线相交于点，请写出与之间的等量关系，并说明理由； 拓展延伸： （3）在图3中作，的平分线相交于点K，作，的平分线相交于点，依此类推，作，的平分线相交于点，求出的度数． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A C D C A C B B A C C C 1．【答案】A 【知识点】写出命题的题设与结论 【分析】本题考查命题的结构组成，在命题“如果P，那么Q”中，P是条件，Q是结论，据此即可解答． 【详解】解：∵命题是“如果，那么 ”， ∴ 条件部分是， 故选A． 2．【答案】C 【知识点】举例说明假（真）命题 【分析】本题考查举反例判断假命题，将各选项中的数值分别代入，判断是否成立即可． 【详解】解：A．，即时，成立，不合题意； B．，即时，成立，不合题意； C．，即时，不成立，符合题意； D．，即时，成立，不合题意； 故选：C． 3．【答案】D 【知识点】以代数为背景的推理与论证 【分析】根据题意可得小组内每个队进行3场比赛，一共进行了场，再由表格可得日本队，西班牙队，德国队的胜负情况，即可求解． 【详解】解：根据题意得：小组内每个队进行3场比赛，一共进行了场， ∵日本队得6分， ∴日本队胜2场，负1场， ∵西班牙队得4分， ∴西班牙队胜1场，平1场，负1场， ∵德国队得4分， ∴德国队胜1场，平1场，负1场， ∴哥斯达黎加队可以是胜1场，负2场，也可以是平2场，负1场， ∵本小组比赛中只有一场战平，那就是西班牙队和德国队战平， ∴斯达黎加队胜1场，负2场， ∴哥斯达黎加的积分是3分． 故选：D 【点睛】本题主要考查了逻辑推理，明确题意，准确得到日本队，西班牙队，德国队的胜负情况是解题的关键． 4．【答案】C 【知识点】举反例 【详解】解：反例需满足是偶数且不是的整数倍，是奇数，不满足偶数条件， 排除B， ，均为偶数，且，，都是的整数倍， 排除A，D， 是偶数，且，不是的整数倍， 符合反例要求， 故选：C． 5．【答案】A 【知识点】平方根概念理解、实数与数轴、实数的分类、判断命题真假 【分析】根据数轴与实数的对应关系，平方根定义，绝对值性质，实数分类逐一判断命题真假即可． 【详解】解：对于A选项，∵实数与数轴上的点是一一对应的，∴每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，A是真命题； 对于B选项，∵0的平方根是0，∴B是假命题； 对于C选项，∵若，则或，例如但，∴C是假命题； 对于D选项，∵实数分为有理数和无理数，0属于有理数，该分类存在重复，∴D是假命题． 6．【答案】C 【知识点】同旁内角互补两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定，根据同旁内角互补，两直线平行，即可得出结果． 【详解】解：∵工具的两个同旁内角均为， ∴两个角的和为180度， ∴两直线平行； 故选C． 7．【答案】B 【知识点】内错角相等两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判断方法，是解题的关键，根据平行线的判定方法，进行求解即可． 【详解】解：A、，不能判定，不符合题意； B、，内错角相等，两直线平行，得到，符合题意； C、，不能判定，不符合题意； D、，内错角相等，两直线平行，得到，不符合题意； 故选B． 8．【答案】B 【知识点】两直线平行同旁内角互补、角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查平行线的性质，根据两直线平行，同旁内角互补，角平分线定义解答即可． 【详解】解：∵，， ∴ ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 9．【答案】A 【知识点】逻辑推理与论证 【分析】本题考查了推理，有理数的计算，通常在这种问题中，最优策略是让最快的两个人(甲和乙)多次往返，以减少返程时间．具体策略先让最快的两人(甲和乙)一起出发，然后让最快的(甲)返回．然后让最慢的两人(丙和丁)一起出发，让次快的(乙)返回．最后让最快的两人(甲和乙)一起出发．结合题意求得最短时间，即可求解． 【详解】解：∵甲、乙、丙、丁四位队员完成单程挑战任务所需时间(单位：分钟)分别为1，2，3，5， 要使得该组队员完成比赛所需的最短时间， ∴让最快的两个人(甲和乙)多次往返，以减少返程时间， 第一次出发：甲(1)和乙(2)一起出发．耗时：分钟． 第一次返程：甲(1)返回．总时间：2 + 1 = 3分钟 第二次出发：丙(3)和丁(5)一起出发．耗时：分钟． 总时间：分钟 第二次返程：乙(2)返回．耗时：2分钟． 总时间：分钟 第三次出发：甲(1)和乙(2)一起出发．耗时：分钟． 总时间：分钟 总计：分钟． 故选：A． 10．【答案】C 【知识点】两直线平行同位角相等、全等三角形的性质 【分析】本题考查全等三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，由等腰三角形的性质得到，由全等三角形的性质推出，判定，推出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 11．【答案】C 【知识点】平行公理推论的应用、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据题意，结合图形，得到，，代入已知条件中，，即可得到结果． 【详解】解：如图，过A点作， ， ∴， ， ， ， 即， ，， ， 故选：C． 12．【答案】C 【知识点】两直线平行内错角相等、根据平行线的性质求角的度数、角平分线的有关计算 【分析】根据平行线的性质得出，结合角平分线的定义求出的度数，再利用邻补角的定义即可求解． 【详解】解：， ， 平分， ， ， ． 13．【答案】如果在同一平面内有两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行　（“在同一平面内”写在“如果”前也给分） 【知识点】写出命题的题设与结论 【分析】本题考查命题的改写，运用命题结构分析思想，易错点是题设或结论表述不完整、不准确；明确题设（“如果” 后）为 “在同一平面内，两条直线都垂直于同一条直线”，结论（“那么” 后）为 “这两条直线平行”． 【详解】解：原命题的题设是“在同一平面内，两条直线垂直于同一条直线”，结论是“这两条直线平行”．因此，改写成“如果……，那么……”的形式为：如果在同一平面内有两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行． 故答案为：如果在同一平面内有两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行． 14．【答案】在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【知识点】在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 【分析】本题考查了垂线的性质，根据在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直即可解答． 【详解】解：理由是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原因如下： ， 这是过同一个点作同一条直线的垂线． 、一定重合． 则、、三点共线． 故答案为：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 ． 15．【答案】乙 【知识点】判断命题真假、判断是否是命题 【分析】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式；有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．根据命题的定义对两种说法进行判断． 【详解】解：乙的说法正确．因为“对顶角不相等”是一个判断语句，所以它是命题，根据对顶角的性质可得到它是假命题． 故答案为：乙． 16．【答案】（答案不唯一） 【知识点】举反例 【分析】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．反例中的满足，使，据此求解即可． 【详解】解：当时，满足，但， 所以判断命题“如果，那么”是假命题，举出． 故答案为：（答案不唯一）． 17．【答案】（答案不唯一，正确即可） 【知识点】同位角相等两直线平行、内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定，掌握平行线的判定方法是解题的关键． 根据平行线的判定方法即可求解． 【详解】解：添加的条件，根据“同旁内角互补，两直线平行”可得． 故答案为：（答案不唯一） 18．【答案】 【知识点】两直线平行同旁内角互补、根据平行线判定与性质求角度、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线的性质，平面镜反射光线的规律，熟练掌握两直线平行，同旁内角互补是解题的关键． 由题意得，，根据平角的定义可求出的度数，再根据两直线平行，同旁内角互补求出的度数，从而求出的度数． 【详解】解：由题意得，，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 19．【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、点到直线的距离、根据平行线判定与性质证明 【分析】首先证明，再证明，利用勾股定理求出，最后运用面积法可求出点到直线的距离． 【详解】解：∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 设点到直线的距离为，且，，， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质及点到直线的距离，勾股定理，熟练应用平行线的判定与性质和点到直线的距离计算方法进行计算是解决本题的关键． 20．【答案】C，A，D，B 【知识点】根据给出的论断组命题并证明 【分析】因为三人都猜对了一半，假设甲说的前半句正确，来看看后面的说法有没有矛盾，有矛盾就是错误的没矛盾就是正确的． 【详解】解：①假设甲说的：C是亚军正确，则他说D是季军错误， 于是乙说：D是殿军正确，则乙说的A得亚军就错误， 故丙说：B得亚军正确，与假设甲说的：C是亚军正确互相矛盾， 所以：甲说的：C是亚军错误； ②假设甲说的：C是亚军错误，则他说D是季军正确， 于是乙说：D是冠军错误，则乙说的A得亚军就正确， 故丙说：B得亚军错误，C是冠军正确； 没有矛盾， 故：冠，亚，季，殿军分别为：C，A，D，B． 故答案为：C，A，D，B． 【点睛】本题主要考查了推理能力，往往假设一个正确或错误，来推看看有没有矛盾． 21．【答案】证明：，， ．（两直线平行，内错角相等） ， ． ， ． ．（同位角相等，两直线平行） 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】根据平行线的性质得出，利用角的和差关系求出，即可得出，根据平行线的判定定理即可得出答案． 【详解】略 22．【答案】（）画图见解析（答案不唯一）； （）； （）选择命题． 已知：如图①，筝形中，，； 求证：； 证明：如图①，连接， 在和中， ， ∴， ∴； 选择命题． 已知：如图②，筝形中，，，对角线相交于点； 求证：且． 证明：在和中， ， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴且． 【知识点】格点作图题、判断命题真假、写出一个命题的已知、求证及证明过程、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了筝形的定义，全等三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （）根据筝形的定义画图即可； （）根据筝形的特征判断即可求解； （）根据全等三角形的判定和性质即可求证； 【详解】（）解：如图所示，四边形即为所求；（答案不唯一） （）解：命题：筝形有一组对角相等，是真命题； 命题：筝形一条对角线垂直平分另一条对角线，是真命题； 命题：筝形的每一条对角线平分一组对角，是假命题； ∴以上命题是真命题的有个， 故答案为：； （）略 23．【答案】（1）三角形全等；对应角的平分线相等； （2）如图所示： （3）已知：如图，，线段，分别是和的角平分线． 求证：， 故答案为：，； 证明：（已知）， （全等三角形的性质） 线段，分别是和的角平分线（已知）， （角平分线的定义） （等量代换）， ， （全等三角形的性质）． 【知识点】作角平分线(尺规作图)、全等三角形综合问题、写出命题的题设与结论 【分析】本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图（作已知角的角平分线）．根据证明全等三角形是解决问题的关键． （1）根据命题判断条件与结论即可； （2）利用基本作图作的平分线即可； （3）根据全等三角形的判定和性质解答即可． 【详解】解：（1）这个命题的 条件是：三角形全等， 结论是：对应角的平分线相等； 故答案为：三角形全等；对应角的平分线相等； （2）略 （3）略 24．【答案】20m 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、平行公理的应用、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】根据AAS，证明△≌△，进而得出结论． 【详解】解：∵∥，∥ ∴∥ ∴， ∵点到直线，的距离，均为9m ∴ ∴△≌△(AAS) ∴m（全等三角形的对应边相等) ∴标语的长度是20m 【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，平行公理的运用以及平行线的性质，熟练地掌握以上内容是解决问题的关键． 25．【答案】（1）； （2）． 理由：如图，过点作．   ，， ， ，． ，的平分线相交于点， ，， ． 由（1），知， ． （3） 【知识点】平行公理推论的应用、角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查利用平行线的性质和平行公理的推论探究角的关系(拐点问题)，角平分线的相关计算等知识，掌握平行线的性质是解题的关键． （1）证明过点K作，则，利用平行线的性质推出，继而推出，从而得到； （2）与（1）同理可得：，继而得解； （3）由（2）得，同理得，，继而总结规律得，从而得解． 【详解】解：（1）如图，过点K作，则， ∴，    ∵，分别是，的平分线，并且相交于点K， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． （2）略 （3）由（2），可知． 同理，可得， ， …… ． 当时， ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $