4.1 函数 一课一练 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 初中数学 八年级上册 4.1函数 同步练。以基础概念辨析为起点，通过情境化问题设计实现从单一知识到综合应用的梯度进阶，培养数学抽象与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|函数概念、自变量范围、简单表达式|单选题1-5直接考查定义辨析，填空题9-10强化列表/关系式表示| |中档|图像信息提取、实际问题建模|单选题6-7结合行程/放水情境分析图像，填空题11-13通过表格/动点图像提取数据| |提升|复杂动点与多过程问题|解答题16-17综合几何动点与行程问题，需结合图像分段推理，发展推理能力与空间观念|

4.1 函数 一课一练2026-2027学年北师大版 八年级数学上册 一、单选题 1．下列各曲线中，不能表示y是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 2．某剧院观众的座位数按下列方式设置： 排数（x） 1 2 3 4 … 座位数（y） 30 33 36 39 … 根据表格中两个变量之间的关系，当时y的值为（    ） A．49 B．51 C．53 D．55 3．对于函数，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C．且 D． 4．若每6个台阶就升高1米，则上升高度（米）与上升的台阶数（个）之间的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 5．根据如图所示的程序计算函数的值，若输入的值是，则输出的值是（   ） A．9 B．7 C． D． 6．甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行1200米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发2分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离（米）与甲出发的时间（分）之间的关系如图所示．有以下结论：①甲步行的速度为50米/分；②乙出发后5分钟追上甲；③乙步行的速度为70米/分；④乙到达终点时，甲离终点还有200米．其中正确的结论有（    ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 7．如图是某蓄水池横截面的示意图，现将满池的水匀速全部放出，能刻画蓄水池中水的高度h（米）与放水时间t（时）的函数关系的图象大致是（     ） A． B． C． D． 8．如图①，在四边形中，，动点P从点B出发，沿B→C→D方向运动，运动至点D停止．设点P运动的路程为x，的面积为y，如果y关于x的函数图象如图②所示，则的周长是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．现有300本图书借给学生阅读，每人5本，则剩下的本数y与学生人数x之间的函数解析式为 ______ ，自变量x的取值范围为 ______ ． 10．变量间关系的表示方法：_________；________ ；_________ 11．如图1，中，，D是边上的动点．设B、D两点之间的距离为x，A、D两点之间的距离为y，表示y与x的函数关系的图象如图2所示，则线段长为___，线段的长为___． 12．如图，把一些相同规格的碗整齐地叠放在水平桌面上，这摞碗的高度随着碗的数量变化的情况如表格所示：    碗的数量（只） 1 2 3 4 5 … 碗的高度（） 4 … 上述两个变量之间的关系中，自变量是_______________ ，因变量是_______________ 13．某服装售出的件数与总售价的关系如下表： 售出的件数（件） 1 2 3 4 ．．． 总售价（元） 50 100 150 200 ．．． 若总售价为1000元，则售出的件数为__________件． 三、解答题 14．拖拉机开始工作时，油箱中有油，每小时耗油． (1)写出油箱中的剩余油量（）与工作时间（）之间的函数表达式，并求出自变量的取值范围； (2)当拖拉机工作时，油箱内还剩余油多少升？ 15．小亮想了解一根弹簧的长度是如何随所挂物体质量的变化而变化的，他把这根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，下表是小亮测得的弹簧的长度y与所挂物体质量x的几组对应值． 所挂物体质量x/kg 0 1 2 3 4 5 弹簧长度y/cm 18 22 26 30 34 38 (1)由表格可知，弹簧不挂物体时的长度为______cm； (2)请直接写出y与x的关系式______； (3)当弹簧长度为50cm（在弹簧承受范围内）时，求所挂重物的质量．（写出求解过程） 16．动点H以每秒1厘米的速度沿图①的边框（边框拐角处都互相垂直）按的路径匀速运动，相应的的面积S（平方厘米）与时间t（s）的关系图象如图②所示，已知，设点H的运动时间为t秒． (1)图②中反映了两个变量之间的关系，其中自变量为______，因变量为______． (2)______，______，______． (3)当的面积为8平方厘米时，求点H的运动时间t的值． 17．如图，A，B两地之间有M，C两个景点，秋假期间小云，小敏相约分别从A，B两地同时出发，驾车开往C景点游玩．小云从A地驾车1小时到M景点，先游玩2小时后，又驾车按原速度行驶3小时到达C景点．小敏从B地出发，先以90千米/小时的速度行驶，后又加速，以原速的速度行驶至C景点，比小云早到小时．小云、小敏离C景点的距离S（千米）与行驶的时间t（小时）之间的函数图象如图2所示． (1)两地的距离为______ 千米，图2中______ ，______ ； (2)请求出小敏加速后，S与t的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)当小云与小敏之间的距离为450千米时，求t的值； (4)当小云与小敏之间的距离在千米（包括端点）时，请直接写出t的取值范围． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B A D D A A B 1．【答案】C 【知识点】函数的概念、函数图象识别 【分析】本题考查了函数图象的识别，熟练掌握函数的概念（对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应）是解题的关键．根据函数的概念逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：A、满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，所以能表示y是x的函数，故不符合题意； B、满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，所以能表示y是x的函数，故不符合题意； C、存在给自变量x一个值，y没有唯一的值与之对应，所以不能表示y是x的函数，故符合题意； D、满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，所以能表示y是x的函数，故不符合题意． 故选：C． 2．【答案】B 【知识点】函数的三种表示方法、求自变量的值或函数值 【分析】找出排数x与座位数y之间的变量关系，然后代入即可求得y的值． 【详解】解：当x＝1时，y＝30， 当x＝2时，y＝30＋3， 当x＝3时，y＝30＋3×2， 当x＝4时，y＝30＋3×3， ∴当x＝8时，y＝30＋3×7＝51， 故选：B． 【点睛】本题考查了函数的表示方法，通过例举，总结归纳出规律是解题的关键． 3．【答案】A 【知识点】求自变量的取值范围 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握分母不为0是解题的关键．根据分母不为0，可得，然后进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： ， ， 故选：A． 4．【答案】D 【知识点】函数解析式 【分析】本题考查函数解析式，根据题意直接写出数量关系即可得到答案． 【详解】解：∵每6个台阶就升高1米， ∴当上升的台阶数是m个时，上升的高度为（米）， 即， 故选：D． 5．【答案】D 【知识点】求自变量的值或函数值 【分析】本题主要考查了求函数值，当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数解析式，给出函数值时，求相应的自变量的值就是解方程． 依据题意，输入的值是时，输出的值即可． 【详解】解：∵， 当时，， 故选：D． 6．【答案】A 【知识点】从函数的图象获取信息 【分析】①根据速度路程时间计算即可判断；②观察图象即可判断；③求出相遇时行驶的路程，根据速度路程时间计算即可；④根据“起点与终点之间的距离当乙到达终点时，甲走过的路程”列式计算即可． 【详解】解：甲步行的速度为（米/分），故①正确，符合题意； 乙用（分）追上甲，故②正确，符合题意； 相遇时步行的路程为（米） ∴乙的速度为（米/分），故③正确，符合题意； ∴乙走完全程用了（分）， 乙到达终点时，甲离终点还有（米），故④不正确，不符合题意． 综上，正确的结论有①②③． 7．【答案】A 【知识点】函数图象识别 【分析】蓄水池中水的高度随放水时间的增大而减小，最后为0，而水池上宽下窄，则一开始水面的高度下降得更慢，后来下降的更快，据此结合函数图象可得答案． 【详解】解：∵将满池的水匀速全部放出， ∴蓄水池中水的高度随放水时间的增大而减小，最后为0， 又∵蓄水池上宽下窄， ∴一开始水面的高度下降得更慢，后来下降的更快， ∴四个选项中，只有A选项中的函数图象符合题意． 8．【答案】B 【知识点】动点问题的函数图象、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，勾股定理， 先设，再结合图象可知点P在边上运动时，可知，再根据点P在运动路程时，可得，然后根据勾股定理求出，则此题可解． 【详解】解：设边上的高为h． ∴， 当动点P沿边上运动时，， ∴，对应图象为部分， 由图象可知：点P在边上运动的路程为； 当点P沿边上运动时，为定值，对应图象部分，由图象可知，点P在运动路程为． 如图，连接， ∵在四边形中，， ∴， 根据勾股定理，得， ∴． 9．【答案】 【知识点】函数解析式、求自变量的取值范围 【分析】根据总本数减去借出的本数等于余下的本数，可得函数关系式，根据总本数除以每人借的本数，可得答案．本题考查了一次函数的应用，利用了总本数减去借出的本数等于余下的本数． 【详解】解：∵现有300本图书借给学生阅读，每人5本 ∴余下的本数和学生人数之间的函数表达式为， 其中自变量是， 故答案为：，． 10．【答案】 列表法 关系式法 图象法 【知识点】函数的三种表示方法 【解析】略 11．【答案】 【知识点】从函数的图象获取信息、动点问题的函数图象、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，解题关键是弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解． 先根据，，可得，，再根据当时，，可得，C、D重合，此时求得，从而可得，再当时，为以点A为顶点腰长为的等腰三角形，进而求解． 【详解】解：从图象看，∵当时，， ∴当时，， ∵当时，， ∴当时，C、D重合， 此时，则CD=6， ∴当时，为以点A为顶点腰长为的等腰三角形， 如图： 过点A作于点H， 在中，，， ∴， 在中，， 故答案为：7，． 12．【答案】 碗的数量 碗的高度 【知识点】函数的概念、用表格表示变量间的关系 【分析】在变化过程中，主动变化的量是自变量，随另一个量变化而被动改变的量是因变量． 【详解】解：碗的数量自主增减，碗的高度随着碗的数量而发生变化， 碗的数量是自变量，碗的高度是因变量． 13．【答案】20 【知识点】求自变量的值或函数值 【分析】本题考查函数关系式，读懂题意，找到道等量关系是关键； 先找出总售价与售出件数的函数关系，再据此计算总售价为1000元时售出的件数． 【详解】解：观察表格，售出件时总售价50元，售出件时总售价100元， 发现总售价（元）与售出件数（件）满足（为正整数）． 当时，代入，可得， 解得． 所以，若总售价为1000元，则售出的件数为20件． 故答案为：20． 14．【答案】(1)（） (2)升 【知识点】函数解析式、求自变量的取值范围、求自变量的值或函数值 【分析】本题主要考查根据题意列函数解析式和自变量的取值范围，掌握数量关系“油箱中的余油量=油箱中原有油量-消耗的油量”，是解题的关键． （1）根据“油箱中的余油量=油箱中原有油量-消耗的油量”，即可列出函数解析式和自变量的取值范围； （2）把代入函数解析式，即可得到答案． 【详解】（1）解：， 当时，即， 解得， 与之间的函数表达式及自变量的取值范围为． （2）当时，． 答：当拖拉机工作时，油箱内还剩余油升． 15．【答案】(1)18 (2)y＝4x+18 (3)所挂物体质量为8kg 【知识点】函数的三种表示方法、求自变量的值或函数值 【分析】（1）根据表格可知时弹簧长度即为不挂物体时弹簧长度； （2）利用表格中数据的变化求解； （3）将y＝50代入y与x的函数关系式求解． 【详解】（1）解：（1）根据表格可知，当时，， ∴弹簧不挂物体时的长度为18cm； 故答案为：18． （2）由表格可得所挂物体每增加1千克，弹簧长度增加4cm，不挂物体时，弹簧长度为18cm， 则y与x的关系为y＝4x+18， 故答案为：y＝4x+18． （3）把y＝50代入y＝4x+18得 50＝4x+18， 解得x＝8， ∴所挂物体质量为8kg． 【点睛】本题考查函数的表示方法，解题关键是掌握函数的定义，根据题干中表格信息写出函数表达式． 16．【答案】(1)t；S (2) (3)点H的运动时间t为或 【知识点】函数的概念、动点问题的函数图象 【分析】本题主要考查动点问题的函数图象，理解题意是解题的关键． （1）根据题意及函数的定义即可作答； （2）根据三角形的面积及图象即可得出答案； （3）分点H在上运动和点H在上运动时两种情况． 【详解】（1）解：的面积S随着时间t的改变而改变． 故答案为：t；S． （2）由图象可得， ∴，． 故答案为：． （3）当点H在上运动时，， ∴， ∴， ∴， 当点H在上运动时，， ， ∴， 故当的面积为时，点H的运动时间t为或． 17．【答案】(1)；240； (2) (3) (4) 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)、从函数的图象获取信息、用关系式表示变量间的关系 【分析】（1）根据时的函数值可得的长，进而可得的长；根据速度等于路程除以时间可求出小云的速度，进而求出小云1小时行驶的路程可得a的值；根据小敏比小云早到小时可求出b的值； （2）设小敏加速前行驶了小时，则小敏加速后行驶了小时，根据路程等于速度乘以时间分别表示出加速前和加速后小敏的路程，进而建立方程求出的值即可得到答案； （3）求出和时二人的距离，可确定当小云与小敏之间的距离为450千米时，，据此建立方程求解即可； （4）求出时二人的距离，可确定当二人相距时，，据此求出当二人相距时t的值即可得到答案． 【详解】（1）解：由函数图象可知，， ∴； 由题意得，小云一共花了小时到达C景点，且驾车的时间为小时， ∴小云的速度为， ∴小云驾车1小时的路程为， ∴； ∵小敏比小云早到小时， ∴小敏一共花了小时到达C景点， ∴； （2）解：设小敏加速前行驶了小时，则小敏加速后行驶了小时， 由题意得，， 解得， ∴小敏加速前行驶了2小时， ∴小敏加速前一共行驶了， ∴小敏加速后，S与t的函数关系式为； （3）解：当时，小云行驶的路程为，小敏行驶的路程为，此时二人相距； 当时，小云行驶的路程为，小敏行驶的路程为，此时二人相距； 当时，小云行驶的路程为，小敏行驶的路程为，此时二人相距； ∴当小云与小敏之间的距离为450千米时，， ∴， 解得； （4）解：当时，小云行驶的路程为，小敏行驶的路程为，此时二人相距； ∴由（2）可知，当二人相距时，， 则当二人相距时， 解得， ∴当小云与小敏之间的距离在千米（包括端点）时． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $