1.1生活中的立体图形培优专项训练2026-2027学年北师大版七年级数学上册

**基本信息** 聚焦立体图形核心概念，通过概念辨析-分类应用-规律探究的递进设计，系统培养空间观念与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|选择1-9、12|抓几何体核心特征（如棱柱两平行底面）；反例验证法|从具体几何体（圆柱/棱柱等）到抽象定义，建立“面-顶点-棱”关联认知| |分类应用|选择4、10、解答22|多重标准分类（柱锥球/曲面平面）；交叉特征判断|通过对比分类深化对几何体本质区别的理解，培养数学思维的严谨性| |组合计算|选择7、13、填空18-19、解答24|“总面数-2×重合面对数”计算可见面|从单一几何体到组合体，实现空间想象向量化计算的转化| |规律探究|填空14-17、20-21、解答25|归纳n棱柱/棱锥的顶点-面-棱数量关系；推导“顶点数+面数-棱数=2”规律|从特殊到一般，渗透数学抽象与推理意识，建立空间图形的量化模型|

北师版七年级上册数学 1.1《生活中的立体图形》 培 优 专 项 训 练 满分：100分 建议用时：75分钟 一、选择题（本大题共13小题，每小题2分，共26分） 每小题只有一个选项符合题意。 图1 1．图1中的六个几何体中，同时满足“表面全部由平面围成”和“有顶点”这两个条件的共有（ ）个。 A．2 B．3 C．4 D．5 2．下列对生活实物与几何体的近似对应中，最合理的是（ ） A．足球—圆柱 B．漏斗主体—圆锥 C．粉笔盒—球 D．纸巾筒—棱锥 3．判断一个几何体是棱柱，下面哪组信息最具有决定性？（ ） D．所有面都是四边形 C．所有棱的长度都相等 B．有两个互相平行且形状、大小相同的多边形底面，其余各面为平行四边形 A．有两个大小相同的面 4．小明把圆柱、圆锥、球分为一组，把长方体、三棱柱、四棱锥分为另一组。他最可能采用的分类标准是（ ） A．有无顶点 B．是否含曲面 C．底面个数 D．是否属于柱体 5．一个几何体共有6个面、6个顶点、10条棱，且各个面都是平面图形。根据本节所学，它最可能是（ ） A．五棱锥 B．四棱柱 C．五棱柱 D．圆锥 6．一个五棱柱与一个棱锥的面数相同，则这个棱锥的底面是（ ） A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形 7．把一个四棱锥的底面与一个正方体的一个面完全重合粘合。若只数组合体外部可见的面，结果是（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 8．下列说法中，错误的是（ ） A．球的表面只有一个曲面 B．圆柱没有顶点 C．圆锥的侧面是平面 D．棱锥的侧面都是三角形 9．下列条件中，不能据此唯一确定为某一种常见几何体的是（ ） D．有两个大小相同的平面 C．有两个互相平行且形状、大小相同的多边形底面，其余各面均为平行四边形 B．有一个圆形底面、一个曲面和一个顶点 A．只有一个曲面，没有平面，也没有顶点 图2 10．图2中的甲、乙两个模型，若按“组成它们的基本几何体”来描述，正确的是（ ） D．甲、乙都只由一种基本几何体组成 C．甲：棱锥与圆锥；乙：棱柱与圆柱 B．甲：两个棱柱；乙：两个圆柱 A．甲：棱柱与棱锥；乙：圆柱与圆锥 11．一个棱柱的面数比顶点数少4。这个棱柱的底面是（ ） A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形 12．甲说：“有曲面的几何体一定没有顶点。”要说明甲的说法错误，下面最合适的反例是（ ） A．圆柱 B．圆锥 C．球 D．长方体 13．把两个完全相同的正方体用一个面完全重合粘合，再把第三个正方体也只用一个面与已有组合体粘合，且不产生其他面重合。所得组合体外部可见的正方形面数是（ ） A．12 B．14 C．16 D．18 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 14．请完成下表：三棱柱有5个面、6个顶点、9条棱；五棱锥有____个面、____个顶点、____条棱。 15．一个棱锥的棱数比面数多5，则它是____棱锥。 16．圆柱、圆锥、球、五棱柱、四棱锥中，含曲面的有____个；有顶点的有____个；所有面都是平面的有____个。 17．一个几何体有两个互相平行且形状、大小相同的五边形底面，其余各面都是平行四边形。它是____棱柱，共有____个面。 图3 18．6个完全相同的小正方体搭成图3所示组合体。若相邻小正方体共有5对面完全重合，则组合体外部可见的正方形面共有____个。 19．用4个相同正方体拼成连通组合体。若有3对面重合，外部可见面数为____；若有4对面重合，外部可见面数为____。 20．一个n棱柱与一个m棱锥的面数相同，则m与n的关系是m=____。 21．观察四面体(4个顶点、4个面、6条棱)、长方体(8个顶点、6个面、12条棱)和五棱柱(10个顶点、7个面、15条棱)，计算“顶点数＋面数－棱数”，三个结果都等于____。 三、解答题（本大题共4小题，共50分） 22．（12分）多重标准分类与交叉判断 如图4，A～F表示六种常见立体图形，请按要求完成分类与判断。 图4 （1）按“柱体、锥体、球体”分类，并分别写出对应字母；（4分） （2）分别找出“表面全部由平面组成”的几何体和“含曲面”的几何体；再从中找出同时满足“有顶点且表面全部由平面组成”的几何体。（4分） （3）有人说：“只要一个几何体含曲面，它就一定没有顶点。”请结合图4判断这一说法是否正确，并说明理由。（4分） 23．（12分）概念辨析——给错误说法找“证据” 甲：“只要有两个大小相同的面，就是棱柱。” 乙：“圆柱和棱柱都有两个底面，所以二者没有本质区别。” 丙：“n棱锥的顶点数总比底面边数多2。” 丁：“棱锥的侧面数与底面边数相等。” （1）四人中，谁的说法正确？并说明理由。（4分） （2）其余三种说法均有错误。请逐一指出错误之处，并分别举出反例或把原说法改写成正确说法。（8分） 24．（12分）组合立体图形——从“看图数面”到“结构计数” 图3由6个完全相同的小正方体搭成，相邻小正方体之间只有面与面完全重合。已知图中共有5对重合面。 （1）6个小正方体完全分开时共有多少个正方形面？图3中有5对重合面，求组合体外部可见的正方形面数。（3分） （2）说明为什么每出现1对重合面，组合体外部可见面数就减少2个。（4分） （3）若仍用这6个小正方体搭成另一个连通组合体，使重合面增加到6对，求新组合体外部可见面数，并说明它比图3少多少个外部可见面。（5分） 25．（14分）阅读与规律探究——从具体几何体到一般关系 小组同学把若干棱柱、棱锥的数据整理如下（n表示底面边数）： 几何体 顶点数 棱数 面数 n棱柱 2n 3n n+2 n棱锥 n+1 2n n+1 （1）根据棱柱、棱锥的结构规律，分别写出六棱柱的顶点数、棱数、面数；再写出六棱锥的顶点数、棱数、面数。（4分） （2）某棱锥的面数与一个五棱柱的面数相同，求这个棱锥的底面边数；并分别计算该棱锥和五棱柱的“顶点数＋面数－棱数”。（5分） （3）设n≥3。分别用含n的式子表示n棱柱、n棱锥的顶点数、面数和棱数，并由此归纳“顶点数＋面数－棱数”的共同规律。若一个多面体有12个顶点、18条棱且也满足这一规律，求它的面数。（5分） 参考答案与详细解析 一、选择题答案与解析 1．B A、D、E表面全部由平面围成且都有顶点，共3个。B圆柱和F球没有顶点；C圆锥虽然有顶点，但含曲面。 2．B 漏斗的主体通常近似为圆锥形。足球近似球，粉笔盒近似长方体，纸巾筒近似圆柱。 3．B 棱柱的核心结构是有两个互相平行且形状、大小相同的多边形底面，其余各面为侧面。仅“两个面大小相同”远远不够。 4．B 圆柱、圆锥、球都含曲面；长方体、三棱柱、四棱锥的表面全部由平面围成，因此分类标准是“是否含曲面”。 5．A 五棱锥有1个五边形底面和5个三角形侧面，共6个面；有5个底面顶点和1个锥顶，共6个顶点；底边5条、侧棱5条，共10条棱，完全吻合。 6．B 五棱柱有5+2=7个面。若棱锥底面为m边形，则面数为m+1。m+1=7，得m=6，所以底面是六边形。 7．B 正方体6个面，四棱锥5个面。粘合时有一对面变为内部面，不再可见，所以外部面数为6+5-2=9。 8．C 圆锥的侧面是曲面，不是平面。A、B、D均符合本节基本特征。 9．D “有两个大小相同的平面”并不能唯一确定几何体，许多几何体都可能满足。A对应球；B对应圆锥；C给出了棱柱的结构特征，因此可判定为棱柱。 10．A 甲由一个棱柱和一个棱锥组成；乙由一个圆柱和一个圆锥组成。 11．C 设为n棱柱。面数为n+2，顶点数为2n。“面数比顶点数少4”即2n-(n+2)=4，得n=6，所以底面是六边形。 12．B 要反驳“有曲面→没有顶点”，只需找一个“有曲面但有顶点”的几何体。圆锥正好满足：有曲面，也有1个顶点。 13．B 3个正方体分开共有18个面。第一次粘合减少2个外部面，第二次也只粘合1对面，再减少2个，所以18-4=14。 二、填空题答案与解析 14．6，6，10 五棱锥有5个三角形侧面和1个底面，共6个面；顶点数为5+1=6；棱数为5条底边加5条侧棱，共10条。 15．六 设底面为n边形。棱数2n，面数n+1。由2n-(n+1)=5，得n=6。 16．3，3，2 含曲面：圆柱、圆锥、球，共3个；有顶点：圆锥、五棱柱、四棱锥，共3个；所有面都是平面：五棱柱、四棱锥，共2个。 17．五，7 底面是五边形，所以是五棱柱；棱柱的面由2个底面和5个侧面组成，共7个面。 18．26 6个正方体分开有36个面。5对重合面使10个面变为内部面，所以外部可见面数36-10=26。 19．18，16 4个正方体分开有24个面。3对重合面时为24-2×3=18；4对重合面时为24-2×4=16。 20．n+1 n棱柱面数为n+2；m棱锥面数为m+1。由n+2=m+1，得m=n+1。 21．2 四面体：4+4-6=2；长方体：8+6-12=2；五棱柱：10+7-15=2。 三、解答题参考答案 22．解： （1）柱体：A、B、D；锥体：C、E；球体：F。 （2）表面全部由平面组成：A、D、E；含曲面：B、C、F。其中同时满足“有顶点且表面全部由平面组成”的是A、D、E。 （3）不正确。图4中的C是圆锥，它含有曲面，但同时有1个顶点。因此“含曲面”不能推出“没有顶点”。 23．解： （1）丁正确。若棱锥底面是n边形，就有n个三角形侧面，所以侧面数等于底面边数。 （2）甲错误：“有两个大小相同的面”不能判定为棱柱。例如正四棱锥的4个侧面形状、大小相同，但它不是棱柱。正确判定还需抓住“有两个互相平行且形状、大小相同的多边形底面，其余各面为平行四边形”等结构特征。 乙错误：圆柱和棱柱虽都有两个底面，但圆柱含曲面，而棱柱的各个面都是平面，二者的表面构成不同。 丙错误：n棱锥的底面有n个顶点，再加1个锥顶，共n+1个顶点，只比底面边数多1。例如四棱锥有5个顶点。 24．解： （1）6个小正方体完全分开时共有6×6=36（个）面。图3有5对重合面，所以外部可见面数为36-2×5=26（个）。 （2）一对重合面由两个相邻小正方体各提供1个面。它们重合后都处在组合体内部，不再属于外部可见面，所以每增加1对重合面，外部可见面数减少2个。 （3）有6对重合面时，外部可见面数为36-2×6=24（个）。图3有26个外部可见面，因此新组合体比图3少26-24=2（个）。 25．解： （1）六棱柱：顶点数2×6=12，棱数3×6=18，面数6+2=8。六棱锥：顶点数6+1=7，棱数2×6=12，面数6+1=7。 （2）五棱柱有5+2=7个面。设棱锥底面为m边形，则m+1=7，得m=6，所以是六棱锥。六棱锥：7+7-12=2；五棱柱：10+7-15=2。 （3）n棱柱：顶点数2n，面数n+2，棱数3n，所以2n+(n+2)-3n=2。n棱锥：顶点数n+1，面数n+1，棱数2n，所以(n+1)+(n+1)-2n=2。共同规律为“顶点数＋面数－棱数=2”。若某多面体有12个顶点、18条棱，设面数为F，则12+F-18=2，得F=8，所以它有8个面。 校对说明：本卷已逐题复核题干条件、选项唯一性、图形对应关系及答案计算。n棱柱的顶点数、棱数、面数分别为2n、3n、n+2；n棱锥分别为n+1、2n、n+1；组合正方体采用“6×小正方体个数－2×重合面总对数”核对。第9题的棱柱判定条件已明确为“其余各面均为平行四边形”，确保选项唯一；第16题顶点计数已复核为3。所有选择题均为单一正确答案，第22—25题题干与参考答案已逐问对应复算。 ） 学科网（北京）股份有限公司 $