第二十七章反比例函数【章末复习】课件2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件系统梳理了反比例函数的概念、图像性质、k的几何意义及实际应用，通过知识框架图将概念定义、三种表达式、性质应用等核心内容串联，构建完整知识网络，体现知识点间的逻辑联系。 其亮点在于融合“易错点警示-经典题型复盘-实际建模”策略，如“万能五步建模法”引导学生从实际问题抽象函数关系，培养模型意识和应用意识，通过k的几何意义与图像结合题提升几何直观。分层题型设计让学生巩固基础并拓展思维，助力教师精准复习，提升教学效率。

人教版（新教材）数学九年级上册 第二十七章 反比例函数 章末小结 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/4 第二十七章 反比例函数 章末复习 本章是初中数学三大基础函数最后一章，承接一次函数、二次函数，重点考查函数概念、图象性质、几何意义、实际建模应用。本章知识点连贯性强，题型固定、套路清晰，是期末统考、中考基础题与应用题的必考模块。本次章末复习整合全章所有重难点、公式结论、易错点、对比辨析与经典题型，实现一章全覆盖、考前速复盘。 一、本章知识体系框架 概念定义→三种函数表达式→图象与核心性质→k的几何意义→函数大小比较→函数综合（一次函数+反比例）→实际应用建模→表格/图象自主建模 二、27.1 反比例函数的概念（基础核心） 1. 定义 一般地，形如$$y=\frac{k}{x}$$（$$k$$为常数，$$k eq0$$）的函数，叫做反比例函数。 2. 三种等价形式（可互化） 分式式：$$y=\frac{k}{x}(k eq0)$$ 乘积式：$$xy=k(k eq0)$$（判定函数关系首选） 负指数式：$$y=kx^{-1}(k eq0)$$（求参数次数专用） 3. 取值范围 自变量$$x eq0$$，函数值$$y eq0$$；实际问题中$$x>0，y>0$$。 4. 函数判定口诀 次数为负一，系数不为零；乘积是定值，即为反比例。 三、27.2.1 反比例函数的图象和性质 1. 图象特征 图象为双曲线，由两支曲线组成，永不与坐标轴相交，无限趋近坐标轴。 2. 图象分布与增减性（必考） 当k＞0时：图象位于第一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小。 当k＜0时：图象位于第二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大。 超级易错：增减性不能跨象限讨论，不可说“整个定义域内单调增减”。 3. 图象对称性 中心对称：关于原点对称，若$$(a,b)$$在图象上，则$$(-a,-b)$$也在图象上。 轴对称：关于直线$$y=x$$、$$y=-x$$对称。 4. k的几何意义（压轴考点） 双曲线上任意一点作x轴、y轴垂线：围成矩形面积$$S=|k|$$，围成直角三角形面积$$S=\frac{1}{2}|k|$$，面积与点的位置无关。 5. 图象疏密规律 |k|越大，双曲线越远离坐标轴；|k|越小，双曲线越靠近坐标轴。 四、27.2.2 图象性质的应用 1. 函数值大小比较解题步骤 先看k的正负定象限→再看点的横纵坐标正负定位置→同象限用增减性，异象限直接正负比较。 2. 一次函数与反比例函数综合 联立解析式求交点坐标；根据图象上下位置，判断函数值大小与x取值范围；正比例与反比例函数交点关于原点对称。 五、27.3 反比例函数的实际应用与建模 1. 核心建模依据 两个变量乘积为定值，即成反比例关系；比值为定值为正比例关系。 2. 四大经典实际模型 工程模型：工作总量一定，效率与时间成反比； 行程模型：路程一定，速度与时间成反比； 几何模型：面积一定，矩形长与宽、三角形底与高成反比； 物理模型：压力一定，压强与受力面积成反比。 3. 三种建模方式 文字情境建模、表格数据建模（验乘积）、图象建模（第一象限单支曲线）。 4. 万能五步建模法 判模型→设解析式→代点求k→确定自变量范围→利用性质解题（求值、范围、方案最值） 六、正比例、一次、反比例函数对比汇总（易混辨析） 1. 正比例函数：$$y=kx(k eq0)$$，比值定值，直线过原点，单调递增/递减。 2. 一次函数：$$y=kx+b(k eq0)$$，一次整式，直线不过原点（b≠0），整体单调。 3. 反比例函数：$$y=\frac{k}{x}(k eq0)$$，乘积定值，双曲线，分象限单调，无截距。 七、本章高频易错大全（扣分重点） 1. 忽略$$k eq0$$、自变量次数为-1的双重判定条件，参数求解漏解、错解。 2. 描述增减性遗漏“每个象限内”，造成概念性扣分。 3. k的几何意义忘记绝对值，面积计算符号出错。 4. 跨象限比较函数值，误用单一增减规律。 5. 实际应用题、建模题遗漏自变量$$x>0$$取值范围。 6. 表格数据混淆正比例、反比例，忘记“比值正比、乘积反比”判定规则。 7. 利用单调性求取值范围时，区间方向写反。 八、章末经典题型复盘 题型1：参数求解 若$$y=(m-1)x^{m^2-2}$$是反比例函数，求m的值。 解析：需满足$$m^2-2=-1$$且$$m-1 eq0$$，解得$$m=-1$$。 题型2：函数值大小比较 已知$$y=\frac{2}{x}$$，点$$A(-3,y_1)$$、$$B(-2,y_2)$$、$$C(1,y_3)$$，比较大小。 解析：k>0，A、B在第三象限，$$y_1、y_2$$为负；C在第一象限，$$y_3$$为正。第三象限内x增大y减小，$$-3<-2$$，故$$y_1>y_2$$。最终：$$y_3>y_1>y_2$$。 题型3：k的几何意义 反比例函数图象上一点作坐标轴垂线，矩形面积为9，求k。 解析：$$|k|=9$$，$$k=\pm9$$，结合图象象限可确定正负。 题型4：实际建模应用 总工程量一定，每天施工量x与施工天数y成反比，每天施工50单位，12天完成。求8天完成时每天施工量。 解析：总量$$k=50\times12=600$$，解析式$$y=\frac{600}{x}$$。代入$$y=8$$，得$$x=75$$，每天至少施工75单位。 九、全章总结 反比例函数全章核心可概括为：一个定义、两种性质、三个模型、四类题型。牢牢抓住“k的正负定象限增减、k的绝对值定面积、乘积定值定模型”三大核心，区分开一次、正比例函数，规避象限、单调性、取值范围易错点，即可攻克本章所有基础、中档、压轴题型，轻松应对期末与中考考查。 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 情境导入 实际问题 实际问题 的答案 利用反比例函数的图象和性质求解 反比例函数 y= 图象 性质 归纳 抽象 目标 2 知识点1 反比例函数的概念 反比例函数的概念： 一般地，形如 y=（k为常数，k≠0）的函数叫作反比例函数．其中x是自变量，其取值范围是不等于0的一切实数． 反比例函数的三种表示形式： ①y=（k为常数，k≠0）． ②（k为常数，k≠0）． ③xy=k（k为常数，k≠0）． 知识点2 用待定系数法求反比例函数的解析式 待定系数法： 在反比例函数 y= (k为常数，k≠0) 中，只有一个待定系数k，因此只要给出一对x，y的对应值，就可以求出待定系数 k 的值，从而确定反比例函数的解析式. 用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤： 一设：根据题意，设反比例函数的解析式为 （）； 二代：把 x，y 的一对对应值代入  中，得到一个关于 k 的方程； 三解：解方程，求出 k 的值； 四写：将 k 的值代入所设解析式中，即得到该反比例函数的解析式. 知识点2 用待定系数法求反比例函数的解析式 知识点3 反比例函数的图象和性质 反比例函数 y（k为常数，k≠0） k的符号 k>0 k<0 图象 图象形状 反比例函数的图象由两条曲线组成，它是双曲线. 图象位置 位于第一、第三象限 位于第二、第四象限 增减性 在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小. 在每一个象限内，y 随 x 的增大而增大. 对称性 反比例函数的图象既是中心对称图形又是轴对称图形，对称中心是原点O，对称轴是直线y=x和y=-x.（中心对称图形将在下一章学习） 反比例函数的图象和性质： 知识点3 反比例函数的图象和性质 借助函数图象解 k1x+b（）型不等式的方法 ① I，Ⅲ区域内： > ax+b，自变量的取值范围为 x<xB或 0<x<xA; ② Ⅱ，Ⅳ区域内： < ax+b，自变量的取值范围为 xB<x<0或 x>xA. （1）定点：确定两个函数图象的交点坐标. （2）分区：过两函数图象的交点分别作y轴的平行线，连同y轴，将坐标平面分为四部分（I，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ). （3）确定范围：根据图象在上方的函数值总比图象在下方的函数值大，在各区域内找相应的x的取值范围.（如图） 知识点4 实际问题与反比例函数 用反比例函数解决实际问题的一般步骤： 审：审清题意，找出题目中的常量、变量，并厘清常量与变量之间的关系. 设：根据常量与变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示. 列：由题目中的已知条件列出方程，求出待定系数. 写：写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围. 解：用反比例函数的图象与性质解决实际问题. 检：检验答案，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论. 答：写出实际问题的答案，保证解题的完整性. 实际问题 建立反比例函数模型求解 实际问题的解 一、核心考点巩固 考点1 反比例函数 1.下列不是关于 的反比例函数的是( ) C A. B. C. D. 返回 考试考法 9 2.如果函数是反比例函数，那么 的值是___. -1 返回 考试考法 10 3.已知一个水池内蓄水，设每小时放水量为 ，放完满池水的 时间为，则与之间的函数解析式是_______，与 成________函数 关系（填“一次”“二次”或“反比例”）. 反比例 返回 考试考法 11 考点2 反比例函数的图象和性质 4.关于反比例函数 ，下列说法不正确的是( ) C A.函数图象分别位于第一、三象限 B.函数图象经过点 C.函数图象过，，则 D.函数图象关于原点成中心对称 返回 考试考法 12 5.在同一平面直角坐标系中，函数与其中， 是常 数， 的大致图象可能是( ) C A. B. C. D. 返回 考试考法 13 6.[山东中考] 如图，在平面直角坐标系中，， 两点在 坐标轴上，四边形 是面积为4的正方形.若函数 的图象经过点，则满足的 的取值 范围为( ) A A. B. C. D. 返回 考试考法 14 7.反比例函数的图象上有， 两点，下列选项中 正确的是( ) A A.当时， B.当时， C.当时， D.当时， 返回 考试考法 15 8.[陕西中考] 如图，过原点的直线与反比例函数 的图象交 于，两点，则 的值为___. 9 返回 考试考法 16 9.如图，一次函数与反比例函数 的图象交于点 . （1）___， ____； 4 考试考法 17 （2）将直线向下平移个单位长度 后得直线 ，若直线与反比例函数 的图象的交 点为，求的值，并结合图象求当时，不等式 的 解集. 考试考法 18 解： 直线是由直线 向下平移得到的， 直线与直线平行，， . 把的坐标代入，得，解得 ， ， 把的坐标代入，得 ， ， . 考试考法 19 由题图易知当时，反比例函数 的图象在直线 的下方， 当时，不等式的解集为 . 返回 考试考法 考点3 反比例函数的实际应用 （第10题） 10. [长春中考] 在功 一定的条件下， 功率与做功时间成反比例，与 之 间的函数关系如图所示.当时， 的值可 以为( ) C A.24 B.27 C.45 D.50 返回 考试考法 21 11.［教材复习题变式］[南通中考] 如图，一块砖的，， 三个 面的面积比是.如果面向下放在地上，地面所受压强为 ，那 么面向下放在地上时，地面所受压强为____ . （第11题） 返回 考试考法 22 12.随着夏天的到来，天气变热，蚊子增多.某校 对教室采用药薰法进行灭蚊，药物燃烧时，室内 空气的含药量 与药物点燃后的时间 成正比例，药物燃尽后，室内空气的含 药量与时间 成反比例（如图）， （1）请直接写出药物燃尽后与 之间的函数解析式. 解： . 已知药物点燃后燃尽，此时室内空气的含药量为 . 考试考法 23 （2）点燃药物时，室内空气的含药量是___ . 2 （3）当室内空气的含药量不低于，且持续时间不低于 时，才能有效杀灭室内的蚊子，那么此次灭蚊是否有效？为什么？ 解：此次灭蚊有效，理由如下： 在中，当时，，解得 ， 由题图可知，当时， ， . ， 此次灭蚊有效. 返回 考试考法 24 二、思想方法演练 思想1 整体思想 13.如图，在反比例函数 的图象上有 点，，， ，它们的横坐标依次为1，2， 3，4，分别过这些点作轴、 轴的垂线，图中所 构成的阴影部分的面积从左到右依次为， ， ，则 __. 返回 考试考法 25 思想2 分类讨论思想 14.[淮北期中] 如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于点 ， . （1）一次函数的解析式为__________， ___； 4 考试考法 26 （2）已知点在轴上，点在反比例函数的图象上.若以，，， 为顶点的四边形是平行四边形，求点 的坐标. 解：设点，点 ， ①以， 为对角线， 则解得 ， ； 考试考法 27 ②以， 为对角线， 则解得 ， ； 考试考法 28 ③以， 为对角线， 则解得 ， . 综上，当点的坐标为或或时，以，，， 为 顶点的四边形是平行四边形. 返回 考试考法 29 谢谢观看 THANKS $