江苏徐州市第一中学2025-2026学年高三第一学期12月检测数学试题

**基本信息** 高三12月数学检测通过解三角形探究、数列存在性问题、随机数列概率应用等设计，实现基础巩固与创新能力的梯度考查，凸显数学思维与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|集合运算、复数几何意义、立体几何位置关系、向量投影、正态分布|基础题（1-2）与能力题（3-8）分层，多选9考查三角函数性质，体现推理与运算能力| |填空题|3题15分|二项式定理、椭圆离心率、不等式恒成立求参数|14题结合导数与三角函数求最值，考查模型构建与数学语言表达| |解答题|5题77分|解三角形证明与探究（15）、数列证明与求和（17）、随机数列概率应用（19）|19题以抛掷骰子为情境，用数学眼光观察随机现象，解答题从证明到探究，培养创新意识|

徐州一中2025—2026学年度第一学期高三年级12月检测 数 学 试 题 说明： 1. 请在答题卡/纸的相应位置内填写学校、班级、姓名、考号等。 2. 请将所有答案均按照题号填涂或填写在答题卡/纸相应的答题处，超出答题区域不得分。 3. 如书写凌乱，影响阅读，将从总分中扣除卷面分。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合M={x|-3<x<1}，N={x|-1≤x<4}，则M∪N等于 (　　) A.{x|-1≤x<1} B.{x|x>-3} C.{x|-3<x<4} D.{x|x<4} 2. 已知复数z满足(1-i)z=3+i，则z在复平面内对应的点位于(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3. 已知m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，下列说法错误的是(　　) A.若m⊥α，则“n∥α”是“m⊥n”的必要不充分条件 B.若m⊄α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件 C.若m⊥α，则“m⊥β”是“α∥β”的充要条件 D.若m∥α，则“m∥n”是“n∥α”的既不充分也不必要条件 4. 设a，b为单位向量，a在b方向上的投影向量为-b，则|a-2b|等于(　　) A. B. C. D. 5. 已知随机变量ξ~N(1，σ2)，且P(ξ≤0)=P(ξ≥a)，则+(0<x<a)的最小值为(　　) A.9 B. C.4 D.6 6.设抛物线C：y2=4x的焦点为F，C的准线与x轴交于点A，过A的直线与C在第一象限的交点为M，N，且|FM|=3|FN|，则直线MN的斜率为(　　) A. B. C. D. 7. 已知圆柱OO1的下底面在半球O的底面上，上底面圆周在半球O的球面上，记半球O的底面圆面积与圆柱OO1的侧面积分别为S，S1，半球O与圆柱OO1的体积分别为V，V1，则当的值最小时，的值为(　　) A. B. C. D. 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，P为双曲线C第一象限上一点，的角平分线为l，过点O作的平行线，分别与，l交于M，N两点，若，则的面积为（ ） A. 20 B. 12 C. 24 D. 10 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数f(x)=2sin xcos x-2cos2x，则下列说法正确的是(　　) A.f(x)的值域为[-2-，2-] B.f(x)的对称中心为，k∈Z C.f(x)在上的单调递减区间为 D.f(x)在上的极值点个数为1 10. 已知函数f(x)=ax-ln x，g(x)=aln x+，a为实数，下列说法正确的是(　　) A.当a=1时，f(x)与g(x)有相同的极值点和极值 B.存在a∈R，使f(x)与g(x)均有2个零点 C.当a∈(0，1)时，f(x)-g(x)≤1对x∈[1，e]恒成立 D.若函数f(x)-g(x)在[1，e]上单调递减，则a的取值范围为 11. 如图所示，有一个棱长为4的正四面体PABC容器，D是PB的中点，E是CD上的动点，则下列说法正确的是(　　) A.直线AE与PB所成的角为 B.平面PAC与平面ABC所成角的余弦值为 C.△ABE周长的最小值为4+ D.如果在这个容器中放入4个小球(全部放入)，则小球半径的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12在(x+1)n的展开式中，若各项系数和为32，则展开式中x2的系数为　　　　.  13设F1，F2分别为椭圆C：+=1(a>b>0)的左、右焦点，B为椭圆C的上顶点，直线BF1与椭圆C的另一个交点为A.若·=0，则椭圆C的离心率为　　　　.  14.已知关于x的不等式aexx-2ln x-2x-2≥0恒成立，a的最小值为m，则f(x)=msin x+sin 2x的最小值为　　　　　.(其中e为自然对数的底数)  四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在△ABC中，角A，B，C所对边的边长分别为a，b，c，且满足sin B+sin C=2sin Acos B. （1）证明：a2-b2=bc； （2）如图，点D在线段AB的延长线上，且AB=3，BD=1，当点C运动时，探究CD-CA是否为定值？ 16. 如图，在三棱锥中，平面，为的中点． （1）求证：； （2）求与平面所成角的正弦值． 17. 已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn=an-4an+1，a1=-1. （1）证明：数列{2an+1-an}为等比数列； （2）设bn=，求数列{bn}的前n项和； （3）是否存在正整数p，q(p<6<q)，使得Sp，S6，Sq成等差数列？若存在，求p，q；若不存在，说明理由. 18. 已知椭圆的离心率，过点作直线与椭圆交于两点（在上方），当的斜率为时，点恰与椭圆的上顶点重合． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知，设直线，的斜率分别为，设的外接圆圆心为，点关于轴的对称点为． （ⅰ）求的值； （ⅱ）求证：． 19. 通过抛掷骰子产生随机数列，具体产生方式为：若第次抛掷得到点数，则．记数列的前n项和为为除以4的余数． （1）若，求的概率； （2）若，比较与的大小，说明理由； （3）若，设，试确定该展开式中各项系数与事件的联系，并求的概率． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 徐州一中2025—2026学年度第一学期高三年级12月检测 数学试题参考答案 说明： 1. 请在答题卡/纸的相应位置内填写学校、班级、姓名、考号等。 2. 请将所有答案均按照题号填涂或填写在答题卡/纸相应的答题处，超出答题区域不得分。 3. 如书写凌乱，影响阅读，将从总分中扣除卷面分。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合M={x|-3<x<1}，N={x|-1≤x<4}，则M∪N等于 (　　) A.{x|-1≤x<1} B.{x|x>-3} C.{x|-3<x<4} D.{x|x<4} 答案　C 2. 已知复数z满足(1-i)z=3+i，则z在复平面内对应的点位于(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案　A 解析　由题意知z===1+2i， 所以z在复平面内对应的点位于第一象限. 3. 已知m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，下列说法错误的是(　　) A.若m⊥α，则“n∥α”是“m⊥n”的必要不充分条件 B.若m⊄α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件 C.若m⊥α，则“m⊥β”是“α∥β”的充要条件 D.若m∥α，则“m∥n”是“n∥α”的既不充分也不必要条件 答案　A 解析　对于A，若m⊥α，n∥α，则m⊥n，反之，若m⊥α，m⊥n，则n⊂α或n∥α， 则“n∥α”是“m⊥n”的充分不必要条件，故A错误； 对于B，若m⊄α，n⊂α，m∥n，则m∥α，反之，若m⊄α，n⊂α，m∥α，则m，n平行或异面， 所以“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件，故B正确； 对于C，若m⊥α，m⊥β，则α∥β，反之，若m⊥α，α∥β，则m⊥β， 则“m⊥β”是“α∥β”的充要条件，故C正确； 对于D，若m∥α，m∥n，则n∥α或n⊂α， 反之，若m∥α，n∥α则m，n相交、平行或异面， 所以“m∥n”是“n∥α”的既不充分也不必要条件，故D正确. 4. 设a，b为单位向量，a在b方向上的投影向量为-b，则|a-2b|等于(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　因为a在b方向上的投影向量为-b， 所以-b=·，a·b=-， 所以有|a-2b|= ===. 5. 已知随机变量ξ~N(1，σ2)，且P(ξ≤0)=P(ξ≥a)，则+(0<x<a)的最小值为(　　) A.9 B. C.4 D.6 答案　B 解析　因为随机变量ξ~N(1，σ2)，且P(ξ≤0)=P(ξ≥a)，则=1，可得a=2， +=+ =[x+(2-x)] = ≥ =， 当且仅当x=时，等号成立，所以+(0<x<a)的最小值为. 6.设抛物线C：y2=4x的焦点为F，C的准线与x轴交于点A，过A的直线与C在第一象限的交点为M，N，且|FM|=3|FN|，则直线MN的斜率为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　根据题意可得抛物线C：y2=4x的焦点F(1，0)，准线方程为x=-1， 则A(-1，0)，设直线MN的方程为y=k(x+1)，k>0， 联立 可得k2x2+(2k2-4)x+k2=0， 则Δ=(2k2-4)2-4k2·k2=-16(k-1)(k+1)>0，得-1<k<1，故0<k<1. 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，0<x2<x1，x1+x2=，x1x2=1， M到准线的距离为|MM'|，N到准线的距离为|NN'|，又|FM|=3|FN|，有|MM'|=3|NN'|， 即1+x1=3(1+x2)，得x1=2+3x2， ∴x1x2=(2+3x2)x2=1， 又0<x2<x1，解得x2=，x1=3， ∴x1+x2==3+，又k>0，∴k=. 7. 已知圆柱OO1的下底面在半球O的底面上，上底面圆周在半球O的球面上，记半球O的底面圆面积与圆柱OO1的侧面积分别为S，S1，半球O与圆柱OO1的体积分别为V，V1，则当的值最小时，的值为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　设圆柱底面圆半径为r，高为h，球的半径为R， 则R2=h2+r2，S=πR2，S1=2πrh，V=·πR3=R3，V1=πr2h， 所以== =+≥2=1， 当且仅当r=h时等号成立，此时R=r， 所以===. 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，P为双曲线C第一象限上一点，的角平分线为l，过点O作的平行线，分别与，l交于M，N两点，若，则的面积为（ ） A. 20 B. 12 C. 24 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】因为，故为的中位线，,由此得到，再利用得到，推出，结合角平分线定理，找出，进而得解； 【详解】如图，记l与轴交于点， 由双曲线的定义，，, 因为，为中点，故为的中位线，, , 易知，,故,故， 由的角平分线为l，由角平分线的性质得：, 所以, 故为直角三角形，面积为. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数f(x)=2sin xcos x-2cos2x，则下列说法正确的是(　　) A.f(x)的值域为[-2-，2-] B.f(x)的对称中心为，k∈Z C.f(x)在上的单调递减区间为 D.f(x)在上的极值点个数为1 答案　AD 解析　f(x)=2sin xcos x-2cos2x=sin 2x-cos 2x-=2sin-， sin∈[-1，1]， 则f(x)∈[-2-，2-]，故A正确； 令2x-=kπ，k∈Z， 解得x=+，k∈Z， 故f(x)的对称中心为，k∈Z，故B错误； 令+2kπ≤2x-+2kπ，k∈Z， 解得+kπ≤x≤+kπ，k∈Z， 则f(x)在上的单调递减区间为，故C错误； 令2x-=+kπ，k∈Z， 即x=+，k∈Z， 则f(x)在上的极值点为，只有一个，故D正确. 10. 已知函数f(x)=ax-ln x，g(x)=aln x+，a为实数，下列说法正确的是(　　) A.当a=1时，f(x)与g(x)有相同的极值点和极值 B.存在a∈R，使f(x)与g(x)均有2个零点 C.当a∈(0，1)时，f(x)-g(x)≤1对x∈[1，e]恒成立 D.若函数f(x)-g(x)在[1，e]上单调递减，则a的取值范围为 答案　AC 解析　对于A，当a=1时， f(x)=x-ln x，g(x)=ln x+，x>0， f'(x)=1-=，g'(x)=-=， 当0<x<1时，f'(x)<0，g'(x)<0，此时f(x)，g(x)均单调递减， 当x>1时，f'(x)>0，g'(x)>0，此时f(x)，g(x)均单调递增， 所以当x=1时，f(x)，g(x)均各自取到相应的极值，且f(1)=g(1)=1， 所以当a=1时，f(x)与g(x)有相同的极值点和极值，故A正确； f(x)=ax-ln x=0⇔a=(x>0)， g(x)=aln x+=0⇔a=-(x>0，x≠1)， 令u(x)=(x>0)，则u'(x)=， 当0<x<e时，u'(x)>0，u(x)单调递增， 当x>e时，u'(x)<0，u(x)单调递减， 当x→0时，u(x)→-∞，当x→+∞，u(x)→0， 当x=e时，u(x)有极大值u(e)=， 在同一平面直角坐标系中，画出直线y=a的图象与函数u(x)的图象，如图所示， 所以当且仅当0<a<时，方程a=(x>0)有两个根. 令v(x)=-(x>0，x≠1)， 则v'(x)=， 当0<x<时，v'(x)<0，v(x)单调递减， 当<x<1时，v'(x)>0，v(x)单调递增， 当x从1的左边趋于1时，v(x)趋于正无穷，当x从1的右边趋于1时，v(x)趋于负无穷， 当x>1时，v'(x)>0，v(x)单调递增， 令x=et，t→-∞，则x→0，v(x)=-→+∞，当x→+∞时，v(x)→0， 所以当x=时，v(x)有极小值，v=e， 在同一平面直角坐标系中，画出直线y=a的图象与函数v(x)的图象，如图所示， 当且仅当a>e时，方程a=-(x>0，x≠1)有两个根. 综上所述，不存在a∈R，使f(x)与g(x)均有2个零点，故B错误； 设F(x)=f(x)-g(x)=ax-ln x-aln x-，x∈[1，e]，a∈(0，1)， F(1)=a-1<0<1， F(e)=ae-ln e-aln e- =a(e-1)-1-<e-1-1- =e-2-<1， F'(x)=a-+= =， 当x∈[1，e]，a∈(0，1)时，显然>1. 若1<<e，即<a<1， 当1<x<时，F'(x)<0，F(x)单调递减， 当<x<e时，F'(x)>0，F(x)单调递增， F=a·-ln-aln- =1+(a+1)ln a-a≤F(x)≤max{F(1)，F(e)}<1， 所以当<a<1时，f(x)-g(x)≤1对x∈[1，e]恒成立；若≥e，即0<a≤， 当1<x<e时，F'(x)<0，F(x)单调递减， 所以F(x)<F(1)<0<1， 所以当0<a≤时，f(x)-g(x)≤1对x∈[1，e]恒成立， 综上所述，当a∈(0，1)时，f(x)-g(x)≤1对x∈[1，e]恒成立，故C正确； 对于D，若函数f(x)-g(x)在[1，e]上单调递减， 则F'(x)=≤0对x∈[1，e]恒成立， 即ax-1≤0对x∈[1，e]恒成立，即a≤对x∈[1，e]恒成立， 又y=在[1，e]上单调递减，所以a≤，所以a的取值范围为，故D错误. 11. 如图所示，有一个棱长为4的正四面体PABC容器，D是PB的中点，E是CD上的动点，则下列说法正确的是(　　) A.直线AE与PB所成的角为 B.平面PAC与平面ABC所成角的余弦值为 C.△ABE周长的最小值为4+ D.如果在这个容器中放入4个小球(全部放入)，则小球半径的最大值为 答案　ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12在(x+1)n的展开式中，若各项系数和为32，则展开式中x2的系数为　　　　.  答案　10 解析　由题意得2n=32，所以n=5， 则(x+1)5的展开式的通项Tr+1=x5-r1r=x5-r， 令5-r=2，得r=3， 所以展开式中x2的系数为=10. 13设F1，F2分别为椭圆C：+=1(a>b>0)的左、右焦点，B为椭圆C的上顶点，直线BF1与椭圆C的另一个交点为A.若·=0，则椭圆C的离心率为　　　　.  答案　 解析　由题意得F2(c，0)，B(0，b)，F1(-c，0)， 则=(c，-b)， 直线BF1的斜率为，即y=x+b， 联立方程组 可得(b2c2+a2b2)x2+2a2b2cx=0， 而xA+0=-=-， 故xA=-， 代入直线方程中得yA=-， 故A， 可得=， 由题意得·=0， 可得c·+(-b)·=0， 化简得=0， 即3a2c2+c4-b4=0，化简得5a2c2-a4=0， 同除以a4得5e2-1=0，且e>0，解得e=. 14.已知关于x的不等式aexx-2ln x-2x-2≥0恒成立，a的最小值为m，则f(x)=msin x+sin 2x的最小值为　　　　　.(其中e为自然对数的底数)  答案　- 解析　不等式aexx-2ln x-2x-2≥0(x>0)恒成立， 等价于=， 令t=g(x)=x+ln x，g'(x)=1+>0， 所以g(x)=x+ln x是增函数， 且x→0时，g(x)→-∞，x→+∞时，g(x)→+∞，即t∈R. 令h(t)=，则h'(t)=， 当t∈(-∞，0)时，h'(t)>0，h(t)单调递增， 当t∈(0，+∞)时，h'(t)<0，h(t)单调递减， 所以h(t)max=h(0)=1， 所以≥1，即a≥2，故m=2. 所以f(x)=2sin x+sin 2x， f'(x)=2cos x+2cos 2x=2(cos x+1)(2cos x-1)， 因为cos x+1≥0，所以当cos x≥时，f(x)单调递增，当cos x≤时，f(x)单调递减， 即当cos x=时，f(x)=2sin x+sin 2x取得最小值，此时sin x=±， 当sin x=-时，sin 2x=2sin xcos x=-， 此时f(x)=2sin x+sin 2x=-； 当sin x=时，sin 2x=2sin xcos x=， 此时f(x)=2sin x+sin 2x=. 综上可知，f(x)的最小值为-. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在△ABC中，角A，B，C所对边的边长分别为a，b，c，且满足sin B+sin C=2sin Acos B. 5分(1)证明：a2-b2=bc； 8分(2)如图，点D在线段AB的延长线上，且AB=3，BD=1，当点C运动时，探究CD-CA是否为定值？ (1)证明　因为sin B+sin C=2sin Acos B， 由正弦定理可得b+c=2acos B， 再由余弦定理得b+c=2a·， 整理得a2-b2=bc. (2)解　因为∠ABC，∠CBD互补， 所以cos∠ABC+cos∠CBD=0， 结合余弦定理可得 +=0， 因为c=AB=3，BD=1， 则+=0， 整理得4a2-b2+12-3CD2=0， 又a2=b2+bc=b2+3b， 则CD2=a2-b2+4 =(b2+3b)-b2+4=b2+4b+4=(b+2)2， 从而CD=b+2， 故CD-CA=2为定值. 16. 如图，在三棱锥中，平面，为的中点． 6分（1）求证：； 9分（2）求与平面所成角的正弦值． 【小问1详解】 取的中点为，连接， 因为为的中点，所以， 因为平面，所以平面，又平面 所以， 因为，所以， 因为，平面， 所以平面，且平面， 所以； 【小问2详解】 以点为坐标原点，以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为， 所以， 所以，则， 所以， 平面的法向量为， 所以， 即与平面所成角的正弦值为． 17. 已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn=an-4an+1，a1=-1. 4分(1)证明：数列{2an+1-an}为等比数列； 5分(2)设bn=，求数列{bn}的前n项和； 6分(3)是否存在正整数p，q(p<6<q)，使得Sp，S6，Sq成等差数列？若存在，求p，q；若不存在，说明理由. (1)证明　Sn=an-4an+1，n∈N*， 当n≥2时，Sn-1=an-1-4an， 两式相减得an=an-an-1-4an+1+4an， 即4an+1=4an-an-1， 则有2(2an+1-an)=2an-an-1. 当n=1时，S1=a1-4a2，则a2=0，即2a2-a1=1≠0， 所以数列{2an+1-an}是以1为首项，为公比的等比数列. (2)解　由(1)得2an+1-an=， 则2nan+1-2n-1an=1， 所以数列{2n-1an}是等差数列， 于是2n-1an=n-2，解得an=. 则bn==， 所以数列{bn}的前n项和 Tn= =-. (3)解　由(2)知，Sn=-4×=-， 由Sp，S6，Sq成等差数列，得-=--， 整理得+=， 则<. 又1≤p<6，p∈N*， =>>>，当p=5时不等式成立， 因此+=， 即=. 令dn=， 则dn+1-dn=≤0， 从而d1=d2>d3>d4>d5>…， 显然d8=，即q=8， 所以存在p=5，q=8，使得Sp，S6，Sq成等差数列. 18. 已知椭圆的离心率，过点作直线与椭圆交于两点（在上方），当的斜率为时，点恰与椭圆的上顶点重合． 4分（1）求椭圆的标准方程； （2）已知，设直线，的斜率分别为，设的外接圆圆心为，点关于轴的对称点为． 6分（ⅰ）求的值； 7分（ⅱ）求证：． 【答案】（1） （2）（ⅰ）0；（ⅱ）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据条件求出椭圆上顶点坐标即可得到的值，利用离心率可得椭圆标准方程. （2）（ⅰ）联立直线与椭圆方程，借助韦达定理可得的值. （ⅱ）根据外心为三角形三边垂直平分线的交点表示点的坐标，计算直线的斜率，利用斜率之积为可证明结论. 【小问1详解】 当l的斜率为时，直线，与轴交点为，故， ∵，∴， ∴椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 （ⅰ）由题意得，直线斜率存在且不为，设直线， 联立方程消去得：， ∴． ∴， ∵， ∴． （ⅱ）解法一：∵，中点坐标为， ∴垂直平分线方程为， 由得，垂直平分线方程为①． 同理得，垂直平分线方程为②． 由可得，即， ①+②得：， ∴， 由②-①得：， ∵直线过点，∴，即， ∴，故， ∴， ∵，∴，故． 解法二：设圆， ∵在圆上，∴ ∵直线与圆交于， ∴联立得（*），其中是方程（*）的两根． 由（ⅰ）可知是方程的两根， 此两方程为同解方程，则有， 解得， ∴圆心， ∴， ∵，∴， ∴． 【点睛】关键点点睛：解决第（2）问（ⅱ）的关键是掌握三角形外心的特征，根据三角形两边垂直平分线的交点计算外心坐标，表示直线的斜率即可证明结论. 19. 通过抛掷骰子产生随机数列，具体产生方式为：若第次抛掷得到点数，则．记数列的前n项和为为除以4的余数． 4分（1）若，求的概率； 6分（2）若，比较与的大小，说明理由； 7分（3）若，设，试确定该展开式中各项系数与事件的联系，并求的概率． 【答案】（1） （2），理由见解析 （3）答案见解析， 【解析】 分析】（1）应用独立事件概率乘积公式计算； （2）应用独立事件概率乘积公式及互斥事件和概率公式计算； （3）结合二项式系数和计算求出概率. 【小问1详解】 因为， 所以； 【小问2详解】 的情形有：， 因此，， 的情形有：， 因此，， 所以； 【小问3详解】 ， 事件表示20个式子相乘后得到的组合方式的数量， ，其中， 令，得到， 令，得到， 因此，， 令，得到， 又因为， 所以， 因此，， 所以，． 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是对二项式展开式的应用. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $