25.2.4根据一元二次方程根的情况求参数、一元二次方程根与系数的关系讲义2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学讲义通过表格梳理“根据根的情况求参数”“根与系数关系”两大考点，以“核心知识点-解题思路-高频易错点”分层解析，构建清晰知识脉络，突出判别式应用、韦达定理等重难点及内在逻辑联系。 讲义亮点在于例题与变式训练的梯度设计，如例4“方程有实数根求参数范围”强化分类讨论，培养推理意识和运算能力。变式题分层覆盖选择、填空、解答，基础生掌握方法，优秀生深化思维，助力教师实施精准教学与学生自主复习。

一元二次方程：根据一元二次方程根的情况求参数、一元二次方程根与系数的关系讲义 一元二次方程：根据一元二次方程根的情况求参数、一元二次方程根与系数的关系讲义 考点目录 根据一元二次方程根的情况求参数 一元二次方程根与系数的关系 考点一 根据一元二次方程根的情况求参数 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 核心判断依据：判别式 对于一元二次方程的标准形式 ，称 为一元二次方程根的判别式，根的情况与判别式的符号一一对应： · 方程有两个不相等的实数根 · 方程有两个相等的实数根（重根） · 方程没有实数根 · 方程有两个实数根（含相等、不等两种情况） 1. 前提条件辨析（高频易错来源） · 若题目明确表述为“一元二次方程”：必须同时满足二次项系数 和对应判别式条件，二者缺一不可。 · 若题目仅表述为“关于 的方程有实数根”：方程类型未限定，需分类讨论： ① 当 时，方程退化为一元一次方程，只要一次项系数不为0，就有且只有一个实数根； ② 当 时，方程为一元二次方程，由判别式 判断是否有实根。 · 若题目表述为“方程没有实数根”：等价于方程为一元二次方程且 （一次方程必有实根，因此无实根只能是二次方程的情形）。 1. 常见题干表述对应条件 · 有两个不相等的实数根： 且 · 有两个相等的实数根： 且 · 有两个实数根： 且 · 有实数根：分 （一次方程有解）和 且 · 没有实数根： 且 二、解题思路 1. 审题定性 先抓取题干关键词，明确方程是否限定为一元二次方程，确定是否需要分类讨论一次方程的情形。 1. 化标准形式 将方程整理为 的标准形式，准确写出含参数的二次项系数 、一次项系数 、常数项 。 1. 列约束条件 · 限定为一元二次方程：先写 ，再根据根的情况写出判别式对应的不等式或方程。 · 未限定方程类型：分 和 两类，分别列出满足根的情况的条件。 1. 求解参数 解不等式或方程，得到参数的取值范围或具体取值。 1. 回代检验 · 验证二次项系数是否为0，排除使方程退化为一次方程的增根； · 验证判别式条件是否成立； · 若参数出现在分母、根号中，需保证原式有意义，剔除使表达式无意义的取值。 三、高频易错点 1. 忽略“一元二次方程”的前提，直接用判别式列条件，漏掉 的限制，导致参数范围扩大。 1. 题目仅说“有实根”时，默认按二次方程处理，漏掉 的一次方程情况，导致参数范围缩小。 1. 判别式计算错误，尤其是系数含负号时，平方运算、乘法运算的符号出错，或漏乘系数。 1. 混淆根的情况对应的判别式符号，如“两个不等实根”错用 ，“两个实根”错用 。 1. 求出参数后不回代检验，得到使方程无意义、或不满足判别式条件的增根。 【例题分析】 例1．（2026·云南昆明·二模）一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（   ） A． B．4 C． D．3 【答案】D 【详解】解：对于一元二次方程 ， 可得 ， ∵方程有两个相等的实数根 ， ∴ ， 即 ， 整理得 ， 解得 ． 例2．（25-26九年级下·河南洛阳·期中）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，解得， 故选项A、B、C不符合题意，选项D符合题意． 例3．（2026·广东潮州·一模）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是____________． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程根的个数与判别式的关系，列出不等式求解即可． 【详解】解：由题意得，方程 是关于的一元二次方程，且有两个不相等的实数根， 因此根的判别式满足 其中，，， 代入得： ． 解得． 例4．（25-26九年级上·山东临沂·期末）如果关于x的方程有实数根，那么a的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式，根据当时当时两种情况求解. 【详解】解：对于方程 ， 当时，方程为，解得，符合题意； 当时， 判别式． 由于方程有实数根， 因此， 即， 解得且． 综上：. 故答案为． 【变式训练】 变式1．（2026·云南临沧·二模）若关于x的一元二次方程有实数根，则k的值可能是（   ） A．8 B．1 C． D． 【答案】C 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴，， 解得，， ∴只有C选项符合题意． 变式2．（2026·河南南阳·一模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的最小整数值是（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【分析】本题根据一元二次方程定义可得二次项系数不为0，结合方程有两个不相等的实数根，可得判别式，联立两个条件求出的取值范围，即可得到的最小整数值． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 其中 ，代入得， 解得， 结合，得的取值范围为且， 因此的最小整数值是， 故选：D． 变式3．（25-26九年级上·四川成都·阶段检测）如果关于x的方程有实数根，那么m的取值范围是_________． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，掌握相关知识是解决问题的关键．一元二次方程有实数根时，根的判别式为非负数，据此解答即可． 【详解】解：∵关于x的方程 有实数根， ∴， 即， ， 解得：． 故答案为：． 变式4．（25-26九年级上·广东深圳·期末）关于x的方程有两个不相等的实数根，则m可取的最大整数是______． 【答案】1 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，由方程有两个不相等的实数根，得到判别式大于零，据此建立不等式求出m的取值范围，再取最大整数，即可解题． 【详解】解：关于x的方程有两个不相等的实数根， 判别式， 解得， 因此m可取的最大整数为1， 故答案为：1． 考点二 一元二次方程根与系数的关系 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 定理内容 对于一元二次方程 ，若方程的两个根为 、，则两根与方程系数满足如下关系： 即两根之和等于一次项系数与二次项系数比值的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数的比值。 1. 定理本质 无需单独求解每个根，通过系数直接刻画两根的整体对称关系，实现“不解方程而知根的整体性质”。仅适用于两根的对称式运算，非对称式不能直接套用。 1. 高频对称变形公式 韦达定理的核心应用是将两根的对称代数式，转化为只含 和 的形式，整体代入求值。常用变形如下： · 平方和： · 倒数和：（） · 根差绝对值： · 立方和： · 带常数展开：（ 为常数） · 比值和：（） 1. 常见应用场景 · 已知一个根，求另一个根及方程中的参数； · 求两根的对称代数式的值； · 已知两根的数量关系，反求方程中的参数； · 已知两根，构造对应的一元二次方程； · 结合根的符号、根的分布，求解参数的取值范围。 二、解题思路 题型1：求两根对称式的值 1. 将方程化为标准形式，确定 ，实数范围内先验证 ； 1. 直接写出 和 的值； 1. 将目标代数式变形为只含 、 的对称形式； 1. 整体代入计算，得到结果。 题型2：已知根的关系反求参数 1. 将题干给出的根的关系（和、差、积、平方和、倒数和等），通过对称变形转化为含 、 的等式； 1. 代入韦达定理，得到关于参数的方程（或不等式）； 1. 解方程得到参数的候选值； 1. 回代双检验：必须同时满足 和 （实数范围），舍去增根。 题型3：已知两根构造一元二次方程 1. 计算两根之和 ，两根之积 ； 1. 写出二次项系数为1的最简一元二次方程：； 1. 若要求特定二次项系数，在方程两边同乘对应非零常数即可。 题型4：已知一根求另一根 优先利用两根之积 ，代入已知根直接求解另一根；也可结合两根之和验证结果。 三、高频易错点 1. 符号记忆错误：两根之和 极易遗漏负号，是韦达定理最高频的计算错误。 1. 忽略前提条件：实数范围内应用时，不检验 ，在方程无实根的情况下仍使用韦达定理运算；或忽略 的前提。 1. 非对称式误用：韦达定理仅适用于两根的对称式；对于 、 等非对称式，不能直接套用，需结合求根公式或根的定义单独处理。 1. 方程非标准形式：方程未整理为标准形式就直接对应系数，导致符号、分母对应错误。 1. 变形公式记错：如平方和漏写系数2、根差公式中乘积项的系数混淆，导致计算结果出错。 1. 求参数不检验：求出参数后不回代验证判别式和二次项系数，得到增根。 【例题分析】 例1．（25-26九年级上·河北邯郸·阶段检测）若关于x的一元二次方程的两实数根互为相反数，则k的值为（   ） A．0 B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．根据方程两根互为相反数，得出，代入系数，即可求出答案． 【详解】解：∵方程的两实数根互为相反数， 设两个根为a，b， 则， ∴， 故选：A. 例2．（25-26九年级上·天津·期中）关于x的一元二次方程的两个根是，，则的值为（   ） A．8 B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，． 根据根与系数的关系得到，，代入计算即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的两个根是，， ∴，， ∴． 故选：A． 例3．（2026·广东梅州·二模）已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为a和b，则的值为______． 【答案】 【详解】解：因为是方程的根， 所以，即； 由根与系数的关系得， 则 例4．（2026·山东德州·一模）两个非零实数，满足，，且，则的值为______． 【答案】 【分析】根据题意，可知，是一元二次方程的两个不相等的实数根，利用根与系数的关系得到两根和与两根积，再将所求式子变形，代入计算即可． 【详解】解：由题意得，，满足方程，且，因此，是一元二次方程的两个不相等的实数根． 根据根与系数的关系可得：，． ，． ． 对所求式子变形得：． 将，，代入得：． 例5．（2026·江西九江·一模）若是关于的一元二次方程的两个实数根． (1)求出实数的取值范围； (2)若方程的两个实数根满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式，即可求解； （2）利用一元二次方程根与系数的关系可得，再结合题意即可求解． 【详解】（1）解：由题意得， ， 解得； （2）解：由题意得，， ∵ ， 解得，符合题意． 例6．（25-26九年级上·四川宜宾·阶段检测）已知关于的方程有两个不相等的实数根． (1)直接写出实数的取值范围： (2)若，求的值及两实根的值． 【答案】(1)或 (2)的值为5，的值为2，的值为3 【分析】（1）根据题意得到，进而建立关于k的不等式组，解出k的取值范围即可； （2）根据一元二次方程的根与系数的关系，得到，推导出，得到，将代入，得到，即，求出，则，，即可解答． 【详解】（1）解：∵关于的方程0有两个不相等的实数根， ∴， ， ， ， ∴或 解得或． （2）解：∵关于的方程0有两个不相等的实数根， ∴， ∵，且， ∴， ∴，即， ∵， ∴将代入得 ， 展开并移项整理，得 ， ， ， ， ∵恒成立， ∴，即， 将代入，得 ， ∴， ∵，满足k的取值范围， ∴符合题意． 答：的值为5，的值为2，的值为3． 【变式训练】 变式1．（25-26九年级上·河北衡水·阶段检测）已知一元二次方程的两个实数根分别为，，则 的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，分式化简求值，解题关键是熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系． 将方程化为标准形式后，利用根与系数的关系求出两根之和与积，再代入所求表达式计算即可． 【详解】解：∵方程， ∴两边乘以，得， 即． ∵、分别为方程的两个实数根， ∴，． ∴． 故选：B． 变式2．（25-26九年级上·山西晋城·阶段检测）若一元二次方程的两个根为，，则代数式的值为（   ） A．0 B．2 C．2026 D．2028 【答案】B 【分析】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，．也考查了一元二次方程的解． 利用一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与积，然后代入代数式化简计算即可． 【详解】解：∵ 方程 的两根为 , ， ∴ , ， ∵ ， 代入得：． ∴ 原式的值为 2． 故选：B． 变式3．（26-27九年级上·重庆沙坪坝·开学考试）若，是一元二次方程的两个根，则的值为_______． 【答案】 8 【分析】利用一元二次方程根的定义对所求式子降次，再结合根与系数的关系代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵是一元二次方程的根， ∴， 整理得． ∴． ∵， 是一元二次方程的两个根， ∴由根与系数的关系得， ∴原式． 变式4．（25-26九年级上·山东枣庄·阶段检测）已知一元二次方程的两根为、，则_____． 【答案】 【详解】解：一元二次方程的两根为、， ，， ． 变式5．（25-26九年级上·福建泉州·期末）已知，是两个不相等的实数，且满足，． (1)求式子的值； (2)若与两数异号，求实数k的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可知，可看成方程的两个根，利用根与系数的关系求出两根之和即可； （2）根据方程有两个不相等的实数根得到判别式，再结合，求出实数k的取值范围． 【详解】（1）解：由题意可知，，可看成方程的两个根， 由根与系数的关系得：； （2）解：方程有两个不相等的实数根， 判别式, 解得, 与两数异号, , 解得, 综上所述，的取值范围是． 变式6．（25-26九年级上·广东江门·期中）设是关于x的方程的两个实数根． (1)求k的取值范围； (2)若，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及一元二次方程根与系数的关系． （1）根据题意可知，方程有两个实数根，则有，从而求出k的取值范围；（2）因为是关于x的方程的两个实数根，所以，，再由，可得，从而求得k的值． 【详解】（1）解：∵方程有两个实数根， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵是关于x的方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 2 学科网（北京）股份有限公司 $一元二次方程：根据一元二次方程根的情况求参数、一元二次方程根与系数的关系讲义 一元二次方程：根据一元二次方程根的情况求参数、一元二次方程根与系数的关系讲义 考点目录 根据一元二次方程根的情况求参数 一元二次方程根与系数的关系 考点一 根据一元二次方程根的情况求参数 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 核心判断依据：判别式 对于一元二次方程的标准形式 ，称 为一元二次方程根的判别式，根的情况与判别式的符号一一对应： · 方程有两个不相等的实数根 · 方程有两个相等的实数根（重根） · 方程没有实数根 · 方程有两个实数根（含相等、不等两种情况） 1. 前提条件辨析（高频易错来源） · 若题目明确表述为“一元二次方程”：必须同时满足二次项系数 和对应判别式条件，二者缺一不可。 · 若题目仅表述为“关于 的方程有实数根”：方程类型未限定，需分类讨论： ① 当 时，方程退化为一元一次方程，只要一次项系数不为0，就有且只有一个实数根； ② 当 时，方程为一元二次方程，由判别式 判断是否有实根。 · 若题目表述为“方程没有实数根”：等价于方程为一元二次方程且 （一次方程必有实根，因此无实根只能是二次方程的情形）。 1. 常见题干表述对应条件 · 有两个不相等的实数根： 且 · 有两个相等的实数根： 且 · 有两个实数根： 且 · 有实数根：分 （一次方程有解）和 且 · 没有实数根： 且 二、解题思路 1. 审题定性 先抓取题干关键词，明确方程是否限定为一元二次方程，确定是否需要分类讨论一次方程的情形。 1. 化标准形式 将方程整理为 的标准形式，准确写出含参数的二次项系数 、一次项系数 、常数项 。 1. 列约束条件 · 限定为一元二次方程：先写 ，再根据根的情况写出判别式对应的不等式或方程。 · 未限定方程类型：分 和 两类，分别列出满足根的情况的条件。 1. 求解参数 解不等式或方程，得到参数的取值范围或具体取值。 1. 回代检验 · 验证二次项系数是否为0，排除使方程退化为一次方程的增根； · 验证判别式条件是否成立； · 若参数出现在分母、根号中，需保证原式有意义，剔除使表达式无意义的取值。 三、高频易错点 1. 忽略“一元二次方程”的前提，直接用判别式列条件，漏掉 的限制，导致参数范围扩大。 1. 题目仅说“有实根”时，默认按二次方程处理，漏掉 的一次方程情况，导致参数范围缩小。 1. 判别式计算错误，尤其是系数含负号时，平方运算、乘法运算的符号出错，或漏乘系数。 1. 混淆根的情况对应的判别式符号，如“两个不等实根”错用 ，“两个实根”错用 。 1. 求出参数后不回代检验，得到使方程无意义、或不满足判别式条件的增根。 【例题分析】 例1．（2026·云南昆明·二模）一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（   ） A． B．4 C． D．3 例2．（25-26九年级下·河南洛阳·期中）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 例3．（2026·广东潮州·一模）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是____________． 例4．（25-26九年级上·山东临沂·期末）如果关于x的方程有实数根，那么a的取值范围是______． 【变式训练】 变式1．（2026·云南临沧·二模）若关于x的一元二次方程有实数根，则k的值可能是（   ） A．8 B．1 C． D． 变式2．（2026·河南南阳·一模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的最小整数值是（    ） A． B． C．0 D．1 变式3．（25-26九年级上·四川成都·阶段检测）如果关于x的方程有实数根，那么m的取值范围是_________． 变式4．（25-26九年级上·广东深圳·期末）关于x的方程有两个不相等的实数根，则m可取的最大整数是______． 考点二 一元二次方程根与系数的关系 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 定理内容 对于一元二次方程 ，若方程的两个根为 、，则两根与方程系数满足如下关系： 即两根之和等于一次项系数与二次项系数比值的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数的比值。 1. 定理本质 无需单独求解每个根，通过系数直接刻画两根的整体对称关系，实现“不解方程而知根的整体性质”。仅适用于两根的对称式运算，非对称式不能直接套用。 1. 高频对称变形公式 韦达定理的核心应用是将两根的对称代数式，转化为只含 和 的形式，整体代入求值。常用变形如下： · 平方和： · 倒数和：（） · 根差绝对值： · 立方和： · 带常数展开：（ 为常数） · 比值和：（） 1. 常见应用场景 · 已知一个根，求另一个根及方程中的参数； · 求两根的对称代数式的值； · 已知两根的数量关系，反求方程中的参数； · 已知两根，构造对应的一元二次方程； · 结合根的符号、根的分布，求解参数的取值范围。 二、解题思路 题型1：求两根对称式的值 1. 将方程化为标准形式，确定 ，实数范围内先验证 ； 1. 直接写出 和 的值； 1. 将目标代数式变形为只含 、 的对称形式； 1. 整体代入计算，得到结果。 题型2：已知根的关系反求参数 1. 将题干给出的根的关系（和、差、积、平方和、倒数和等），通过对称变形转化为含 、 的等式； 1. 代入韦达定理，得到关于参数的方程（或不等式）； 1. 解方程得到参数的候选值； 1. 回代双检验：必须同时满足 和 （实数范围），舍去增根。 题型3：已知两根构造一元二次方程 1. 计算两根之和 ，两根之积 ； 1. 写出二次项系数为1的最简一元二次方程：； 1. 若要求特定二次项系数，在方程两边同乘对应非零常数即可。 题型4：已知一根求另一根 优先利用两根之积 ，代入已知根直接求解另一根；也可结合两根之和验证结果。 三、高频易错点 1. 符号记忆错误：两根之和 极易遗漏负号，是韦达定理最高频的计算错误。 1. 忽略前提条件：实数范围内应用时，不检验 ，在方程无实根的情况下仍使用韦达定理运算；或忽略 的前提。 1. 非对称式误用：韦达定理仅适用于两根的对称式；对于 、 等非对称式，不能直接套用，需结合求根公式或根的定义单独处理。 1. 方程非标准形式：方程未整理为标准形式就直接对应系数，导致符号、分母对应错误。 1. 变形公式记错：如平方和漏写系数2、根差公式中乘积项的系数混淆，导致计算结果出错。 1. 求参数不检验：求出参数后不回代验证判别式和二次项系数，得到增根。 【例题分析】 例1．（25-26九年级上·河北邯郸·阶段检测）若关于x的一元二次方程的两实数根互为相反数，则k的值为（   ） A．0 B． C． D．不能确定 例2．（25-26九年级上·天津·期中）关于x的一元二次方程的两个根是，，则的值为（   ） A．8 B． C． D．2 例3．（2026·广东梅州·二模）已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为a和b，则的值为______． 例4．（2026·山东德州·一模）两个非零实数，满足，，且，则的值为______． 例5．（2026·江西九江·一模）若是关于的一元二次方程的两个实数根． (1)求出实数的取值范围； (2)若方程的两个实数根满足，求的值． 例6．（25-26九年级上·四川宜宾·阶段检测）已知关于的方程有两个不相等的实数根． (1)直接写出实数的取值范围： (2)若，求的值及两实根的值． 【变式训练】 变式1．（25-26九年级上·河北衡水·阶段检测）已知一元二次方程的两个实数根分别为，，则 的值为（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26九年级上·山西晋城·阶段检测）若一元二次方程的两个根为，，则代数式的值为（   ） A．0 B．2 C．2026 D．2028 变式3．（26-27九年级上·重庆沙坪坝·开学考试）若，是一元二次方程的两个根，则的值为_______． 变式4．（25-26九年级上·山东枣庄·阶段检测）已知一元二次方程的两根为、，则_____． 变式5．（25-26九年级上·福建泉州·期末）已知，是两个不相等的实数，且满足，． (1)求式子的值； (2)若与两数异号，求实数k的取值范围． 变式6．（25-26九年级上·广东江门·期中）设是关于x的方程的两个实数根． (1)求k的取值范围； (2)若，求k的值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $