25.2（4）一元二次方程根与系数的关系 （重难点突破+过关检测） 2026-2027学年人教版数学九年级上册

人教版 九上讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测） 专题25.2（4） 一元二次方程根与系数的关系 知识点导航 题型导航 目标导航 题型1 公式的探究 题型2不解方程求两根代数式的值 题型3已知一根求另一根与参数 题型4 参数综合题型 · 结合求根公式自主推导韦达定理，明确公式：对于，当时，两根满足，；能快速写出简化方程的两根和与积。 · 牢记定理使用两大硬性前提：二次项系数不为 0、方程存在实数根；养成先判断前提再计算的解题步骤。 · 熟练三类基础运用：不解方程求两根代数式的值；已知一个根求另一根与参数；结合判别式求解参数取值范围。 知识点讲解 1.一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） 一元二次方程 当时，两根满足：； 简化形式（二次项系数 a=1） 方程当时，两根满足： 2.两根常见对称式： · 平方和： · 倒数和： · 两根差平方： · 两根差绝对值： 【易错点睛】 使用定理必备条件：（方程有两个实数根） 若，无实数根，不能用韦达定理。 题型归纳 题型1 公式的探究 【例1】求下列方程的两根，并计算的值 ①； ②； ③； ④． 【详解】解：①， 解得：，； 所以 ②， 解得：，； 所以 ③， 解得：，； 所以 ④， 解得：，． 所以 【变式练习】 1. 求下列方程的两根，并计算的值 ① ②（） 【详解】解：① 当时 解得： 所以，； 所以 ②， 当时 解得： 所以， 所以 题型2 不解方程求两根的对称式 【例1】1．不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积． (1)； (2)； (3)． 【详解】（1）解：， ，； （2）解：， ，； （3）解：， ，． 【例2】已知方程的两根为和，求： (1)； (2)； (3) 【详解】（1）解：由根与系数的关系可知，， （2）解：由根与系数的关系可知，， ∴； （3）∵， ∴． 【变式练习】 1．求下列方程两根的和与两根的积： (1)； (2)； (3)； (4)． 【详解】（1）解：设，是方程的两根， 则，； （2）解：设，是方程的两根， 则，； （3）解：变形为， 设，是方程的两根， 则，； （4）解：变形为的两根， 设，是方程的两根， 则，． 2．已知是方程的两个根，求下列代数式的值． (1)； (2)． 【详解】（1）解：因为是方程的两个根， 所以，， ． （2）解：因为是方程的两个根， 所以，， ． 3．关于的方程有两个实数根，请求下列各式的值： (1)填空：_____；_____； (2)； 【详解】（1）解：关于x的方程有两个实数根， ∴， 故答案为：5；； （2）解：∵ ∴原式． 4．已知是一元二次方程的两个实数根． (1)求的值； (2)求的值． 【详解】（1）解：是一元二次方程的两个实数根， ， ； （2）解：． 5．关于的方程有两个实数根、，请求下列各式的值： (1)填空：________；________； (2)； (3)． 【详解】（1）解：关于的方程有两个实数根、， ∴， 故答案为：； （2）解： ； （3）解：∵， ∴原式． 6．已知，是方程的两个实数根，求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 【详解】（1）解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴； （2）解：∵，， ∴； （3）解：∵，， ∴． 题型3 已知一根求另一根及参数 【例1】已知方程有两个不相等的实数根，方程的一个根是4，求的值，并求出方程的另一个根． 【答案】，方程的另一个根为 【分析】设方程的另一个根为，利用根与系数的关系得，，然后解一次方程组即可． 【详解】解：设方程的另一个根为，根据根与系数的关系得 ，， 解得，． 即，方程的另一个根为． 【例2】已知，在等腰三角形中，．、的长是关于x的方程的两个整数根，请求出的周长． 【答案】 16 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，等腰三角形的性质， 先根据一元二次方程根与系数的关系得，再分两种情况讨论得出答案． 【详解】解：∵的长是关于x的方程， ∴． 当时，， ∴的周长为； 当时，， ∴的周长为． 所以这个三角形的周长为16． 【变式练习】 1．关于x的一元二次方程有一个根是，求b的值及方程的另一个根． 【详解】解：设方程的另一个根为， 对于一元二次方程，根据根与系数的关系： ， 解得， 即，方程的另一个根为． 2．关于的一元二次方程有一个根是，求的值及方程的另一个根． 【详解】解：设方程的另一个根为， 由题意，得：， 解得，； 故m的值为，方程的另一个根为． 3．若是关于的方程的一个根，求的值和方程的另一根． 【详解】解：设，是关于的一元二次方程的两个实数根，其中， ∴，即， 解得：， ∴的值为，另一根为． 4．已知关于的一元二次方程． (1)若是该方程的两个实数根，且该方程有一个根是，求的值． (2)若该方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． 【详解】（1）解：设=3， 对于一元二次方程根据根与系数的关系： ∴解得， ∴原方程为， ∴，， ∴； （2）解：方程有两个不相等的实数根， ∴，即， 解得． 题型4 参数综合题型 【例1】已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若该方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． ∴， 即， 整理得：， 解得：； （2）解：该方程的两个实数根分别为，， ，， ， ， 即， 整理得：， 解得：或， 由（1）得， 则． 【例2】已知，是关于的一元二次方程的两实数根． (1)若，求的值； (2)已知等腰的一边长为7，若，恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长． 【详解】（1）解：，是关于的一元二次方程的两实数根， ， ，， ∴， ，即， ， 整理得， 解得，， ， 的值为6； （2）解：当腰长为7时，则是一元二次方程的一个解， 把代入方程得， 整理得， 解得，， 当时，，解得，而，不能构成三角形，故舍去； 当时，，解得，则三角形周长为； 当7为等腰三角形的底边时，则， ∴， ∴， 方程化为，解得， 则，不能构成三角形，故舍去， 所以这个三角形的周长为． 【例3】一元二次方程是初中数学代数板块的核心内容，也是中考的重点考查模块．现以“单元整体”的视角，从定义、解法、根与系数的关系等核心维度，尝试解答下列问题： (1)【概念辨析】若关于的方程是一元二次方程，则的值是____． (2)【解法实践】请从以下三个一元二次方程中任选一个你喜欢的方程进行求解： ①用配方法解：； ②用公式法解：； ③用因式分解法解：． (3)【综合应用】已知，是一元二次方程的两根，请尝试计算的值． 【详解】（1）解：由题意，得且，解得； （2）选择方程① 由方程；得： ， ， ， ， ， ∴，； 选择方程② ，，， ， ，； 选择方程③ 或 ，； （3），是一元二次方程的两根， 代入得：，，且，， ． 【变式练习】 1．已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，若，则的值为（     ） A．1 B． C．1或 D．不存在 【详解】解：，是关于的一元二次方程的两个实数根， 判别式， 对于任意实数，方程都有两个不相等的实数根， 由根与系数的关系得 , ， ， ， 整理得：， 解得：或， 的值为或1． 2．若是方程的两个根，则的值为________． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴． 3．若一元二次方程的两个根为，，则代数式的值为________． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴，， ∴， ∴ ． 4．若是关于的一元二次方程的两个实数根． (1)求出实数的取值范围； (2)若方程的两个实数根满足，求的值． 【详解】（1）解：由题意得， ， 解得； （2）解：由题意得，， ∵ ， 解得，符合题意． 5．已知，是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根． (1)求的取值范围． (2)若，满足，求的值． 【详解】（1）解：∵方程有两个不相等实数根， ∴， 解得：； （2）解：由题意得：，， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：，． ∵， ∴． 一、单选题过关练习 1．若关于的方程有一个根为2，则另一个根为（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】设另一个根为，利用一元二次方程根与系数关系求解即可． 【详解】解：设另一个根为a， ∵关于的方程有一个根为2， ∴， 解得． 2．已知方程的两个实数根分别为，，则（     ） A． B．8 C． D．3 【答案】A 【详解】解：∵， ∴． 3．关于的方程的两个实数根分别为，，且，则的值为（     ） A． B． C．3 D．5 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，先根据根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再代入已知等式求解，最后验证方程有实根即可． 【详解】对于一元二次方程，其中，，， 因为方程有两个实数根，， 所以由根与系数的关系可得： ， ， 又因为 ， 将上述结果代入等式得 ， 解得 ， 验证判别式：，符合方程有两个实数根的条件， 因此． 4．若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】先求解一元二次方程得到两个根，计算两根之和与两根之积，再根据点的横纵坐标符号判断所在象限． 【详解】解：对一元二次方程， ， 解得方程两根为：，， ∵两根之和， 两根之积， ∴点即为， ∵点的横坐标小于，纵坐标小于， ∴该点位于第三象限． 5．把方程的两个实数根分别记为m，n，则的值是（    ） A．10 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到，，代入计算即可． 【详解】解：原方程为 ∴， ∴． 6．若，是方程的两个实数根，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用一元二次方程根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再代入因式分解后的表达式计算即可． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴． 7．若的两直角边长a，b分别为一元二次方程的两个实数根，则的面积为（   ） A．5 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可得，再根据直角三角形面积公式计算面积，即可得到答案． 【详解】解：∵的两直角边长a，b分别为一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴ 的面积． 8．已知一个三角形的三条边的长度均为整数，其中一条边长为5，另外两条边长是关于x的一元二次方程的两个根，则k的值为（     ） A． B． C．14 D． 【答案】A 【分析】设另外两条边长为正整数，根据方程因式分解对比系数得到和与的关系，再利用三角形三边关系筛选出符合条件的，即可求出． 【详解】解：设另外两条边长分别为，，均为正整数， ∵是方程的两个根， ∴， 根据三角形三边关系，得， 列出乘积为的所有正整数对：， 逐一验证可知，前四组两数差得绝对值均大于，不符合三边关系； 仅满足，，符合条件， ∴，得． 9．已知方程的两根分别是和，则代数式的值为（     ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用一元二次方程根的定义对所求代数式降次，再结合一元二次方程根与系数的关系计算即可得到结果． 【详解】解：∵是方程的根， ∴ ， 即， ∵是方程 的两根， ∴， ∴ ． 10．已知、是关于的方程的两个实数根，若，则等于（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】先根据一元二次方程有两个实根，要求判别式非负，再利用完全平方公式将变形，结合根与系数的关系列方程求解，最后根据判别式范围舍去不符合的解即可． 【详解】解：∵方程有两个实数根， ∴判别式 即 解得： 由根与系数的关系，得， ∵，且 ∴ 整理得 解得或 ∵，，舍去，符合要求 ∴． 二、填空题 11．关于的一元二次方程的其中一个根是，则另一个根______． 【答案】1 【分析】根据根与系数的关系得到两根之和的等式，代入已知根即可求解另一个根． 【详解】解：对于一元二次方程，其中二次项系数，一次项系数， 根据根与系数的关系可得：， 将代入等式得：， 解得：． 12．已知是方程的两个实数根，则的值为__________． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根的定义得 ，，进而求得，，再结合根与系数的关系代入求值即可． 【详解】解：，是方程 的两个实数根 由根的定义得 ， ∴ ，， 由根与系数的关系得， 原式 ． 13．已知关于的一元二次方程有两个实数根，，且满足，则的值为______． 【答案】4 【分析】本题考查一元二次方程根的定义和根与系数的关系，先将原方程整理为一般形式，利用根与系数的关系求出的值，再利用方程根的定义对所求代数式降次，最后代入计算得到结果． 【详解】解：将原方程整理为一般形式得， 方程的两个实数根为，， 根据根与系数的关系可得，， 已知， ∴， 解得， ∴， 是方程的根，将代入原方程得， 整理得， 将代入得， 将，，代入所求代数式得 ， ． 14．已知菱形的两条对角线的长分别是方程的两个根，则该菱形的面积为_____． 【答案】 【分析】先利用根与系数的关系得到两条对角线的乘积，再代入面积公式计算即可． 【详解】解：设菱形的两条对角线的长分别为， 是一元二次方程的两个根， 由根与系数的关系可得， 菱形的面积． 15．一元二次方程的两根为，则的值为__________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，将所求代数式通分变形后，代入计算即可． 【详解】解：一元二次方程的两根为，， ∴，， ∴． 16．已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为_______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，求出和的值，再代入所求代数式计算即可得到结果． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴ ． 17．已知，是一元二次方程的两个根，若，则的值为______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的定义和根与系数的关系，得到以及，将用含和的式子表示后代入已知等式整理，即可求出的值. 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， ∵， ∴， 展开得， 整理得， 将代入得， 解得. 18．若一个等腰三角形三边的长分别为，，，且，是关于的一元二次方程的两个根，则该等腰三角形的周长为______． 【答案】或 【分析】分类讨论，的取值情况，根据方程根情况确定的取值，然后计算三角形周长． 【详解】解：当腰长为时，此时或， 把代入，得，解得， 方程为，解得，， 此时等腰三角形的周长为． 当底边长为4时，此时，∴方程有相等的实数根， ∴，解得， 当时，方程为，解得， 此时，等腰三角形的周长为． 当时，方程为，解得（不合题意，舍去）， 综上所述，等腰三角形的周长为或． 三、解答题 19．不解方程，求出方程的两根之和与两根之积： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查一元二次方程的根与系数的关系． （1）先找出a，b，c，再根据，，代值计算即可； （2）先找出a，b，c，再根据，，代值计算即可． 【详解】（1）解：， ∵，，， ∴，； （2）解：， ∵，，， ∴，． 20．已知是方程的两根，求下列两个代数式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的求值，熟知根与系数的关系是解题的关键． （1）根据根与系数的关系得到，再由计算求解即可； （2）根据根与系数的关系得到，再把所求式子去括号得到，据此计算求解即可． 【详解】（1）解：∵是方程的两根， ∴， ∴； （2）解：∵是方程的两根， ∴， ∴ ． 21．已知一元二次方程： (1)方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围； (2)若方程一个根为2，求方程的另一根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查根的判别式，根与系数的关系； （1）根据根的判别式和已知条件得出，再求出不等式的解集即可； （2）设方程的另一个根是x，由根与系数的关系得出，再求出答案即可 【详解】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根 ∴， 解得， 即实数k的取值范围是； （2）设方程的另一个根是x， 则由根与系数的关系得： ， 解得， 即方程的另一个根是4． 22．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求a的取值范围． (2)若该方程的两个实数根分别为，，且，求a的值． 【答案】(1)且； (2)的值为． 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，完全平方公式的变形求值，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根、一元二次方程根的判别式得出、，进行求解即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，，再由完全平方公式的变形得到，由此解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，， 即， 解得， ∴且； （2）解：由根与系数的关系，得，， ∵， ∴， ， ， ∴或， 解得（且，故舍去），， ∴的值为． 23．已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)如果方程的两个实数根为，且求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了根的判别式，根与系数的关系，解题的关键是：（1）牢记“时，方程有两个实数根”，（2）根据根与系数的关系结合及（1）的结论来求解． （1）根据方程根与系数，结合方程根的判别式时，方程有两个实数根来求解； （2）先求出，，再结合及（1）的结论求解． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程有实数根， ， ． （2）解：方程的两个实数根为， ，， ． ， ， ． ， ． 24．已知关于的一元二次方程． (1)当方程有两个实数根时，求的取值范围． (2)当方程的两个根满足时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，掌握以上知识计算是关键． （1）根据方程有两个实数根得到，由此即可求解； （2）根据题意方程的两个根得到，，结合完全平方公式的变形得到，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程，方程有两个实数根， ∴， 整理得，， 解得，； （2）解：方程的两个根， ∴， ∵， ∴，整理得，， ∴， 整理得，， ∴， 解得，， 当时，， 解得，，符合题意； 当时，， ∵， ∴原方程无实数， ∴舍去， ∴． 25．如果关于的一元二次方程（）有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“倍根方程” (1)通过计算，判断是否是“倍根方程”． (2)已知关于的一元二次方程是“倍根方程”，求的值． (3)若关于的一元二次方程（、是常数）是“倍根方程”，且两根之和为6，请求出、的值． 【答案】(1)是 (2)0或3 (3)6，4 【分析】（1）利用因式分解法解方程得到两根，然后根据“倍根方程”新定义进行判断； （2）先利用因式分解法解方程，设方程的两根分别为，，根据“倍根方程”的根的两倍关系列方程，再计算对应的的值； （3）设方程的两根分别为，，再根据根与系数的关系即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， 解得，， ， ∴方程是“倍根方程”． （2）解：， ∴，    ，． 若，则，解得； 若，则，解得； 或． （3）解：设两根为、， 则， 解得， ∴， ∴方程的两根为2和4． 由根与系数的关系知，， 解得． 试卷第1页，共3页 1 学科网（北京）股份有限公司 $人教版 九上讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测） 专题25.2（4） 一元二次方程根与系数的关系 知识点导航 题型导航 目标导航 题型1 公式的探究 题型2不解方程求两根代数式的值 题型3已知一根求另一根与参数 题型4 参数综合题型 · 结合求根公式自主推导韦达定理，明确公式：对于，当时，两根满足，；能快速写出简化方程的两根和与积。 · 牢记定理使用两大硬性前提：二次项系数不为 0、方程存在实数根；养成先判断前提再计算的解题步骤。 · 熟练三类基础运用：不解方程求两根代数式的值；已知一个根求另一根与参数；结合判别式求解参数取值范围。 知识点讲解 1.一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） 一元二次方程 当时，两根满足：； 简化形式（二次项系数 a=1） 方程当时，两根满足： 2.两根常见对称式： · 平方和： · 倒数和： · 两根差平方： · 两根差绝对值： 【易错点睛】 使用定理必备条件：（方程有两个实数根） 若，无实数根，不能用韦达定理。 题型归纳 题型1 公式的探究 【例1】求下列方程的两根，并计算的值 ①； ②； ③； ④． 【变式练习】 1. 求下列方程的两根，并计算的值 ① ②（） 题型2 不解方程求两根的对称式 【例1】不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积． (1)； (2)； (3)． 【例2】已知方程的两根为和，求： (1)； (2)； (3) 【变式练习】 1．求下列方程两根的和与两根的积： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．已知是方程的两个根，求下列代数式的值． (1)； (2)． 3．关于的方程有两个实数根，请求下列各式的值： (1)填空：_____；_____； (2)； 4．已知是一元二次方程的两个实数根． (1)求的值； (2)求的值． 5．关于的方程有两个实数根、，请求下列各式的值： (1)填空：________；________； (2)； (3)． 6．已知，是方程的两个实数根，求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 题型3 已知一根求另一根及参数 【例1】已知方程有两个不相等的实数根，方程的一个根是4，求的值，并求出方程的另一个根． 【例2】已知，在等腰三角形中，．、的长是关于x的方程的两个整数根，请求出的周长． 【变式练习】 1．关于x的一元二次方程有一个根是，求b的值及方程的另一个根． 2．关于的一元二次方程有一个根是，求的值及方程的另一个根． 3．若是关于的方程的一个根，求的值和方程的另一根． 4．已知关于的一元二次方程． (1)若是该方程的两个实数根，且该方程有一个根是，求的值． (2)若该方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． 题型4 参数综合题型 【例1】已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若该方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 【例2】已知，是关于的一元二次方程的两实数根． (1)若，求的值； (2)已知等腰的一边长为7，若，恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长． 【例3】一元二次方程是初中数学代数板块的核心内容，也是中考的重点考查模块．现以“单元整体”的视角，从定义、解法、根与系数的关系等核心维度，尝试解答下列问题： (1)【概念辨析】若关于的方程是一元二次方程，则的值是____． (2)【解法实践】请从以下三个一元二次方程中任选一个你喜欢的方程进行求解： ①用配方法解：； ②用公式法解：； ③用因式分解法解：． (3)【综合应用】已知，是一元二次方程的两根，请尝试计算的值． 【变式练习】 1．已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，若，则的值为（     ） A．1 B． C．1或 D．不存在 2．若是方程的两个根，则的值为________． 3．若一元二次方程的两个根为，，则代数式的值为________． 4．若是关于的一元二次方程的两个实数根． (1)求出实数的取值范围； (2)若方程的两个实数根满足，求的值． 5．已知，是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根． (1)求的取值范围． (2)若，满足，求的值． 一、单选题过关练习 1．若关于的方程有一个根为2，则另一个根为（    ） A．1 B． C．3 D． 2．已知方程的两个实数根分别为，，则（     ） A． B．8 C． D．3 3．关于的方程的两个实数根分别为，，且，则的值为（     ） A． B． C．3 D．5 4．若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．把方程的两个实数根分别记为m，n，则的值是（    ） A．10 B．2 C． D． 6．若，是方程的两个实数根，则的值为（     ） A． B． C． D． 7．若的两直角边长a，b分别为一元二次方程的两个实数根，则的面积为（   ） A．5 B．3 C． D． 8．已知一个三角形的三条边的长度均为整数，其中一条边长为5，另外两条边长是关于x的一元二次方程的两个根，则k的值为（     ） A． B． C．14 D． 9．已知方程的两根分别是和，则代数式的值为（     ） A．0 B． C． D． 10．已知、是关于的方程的两个实数根，若，则等于（    ） A． B． C．或 D．或 二、填空题 11．关于的一元二次方程的其中一个根是，则另一个根______． 12．已知是方程的两个实数根，则的值为__________． 13．已知关于的一元二次方程有两个实数根，，且满足，则的值为______． 14．已知菱形的两条对角线的长分别是方程的两个根，则该菱形的面积为_____． 15．一元二次方程的两根为，则的值为__________． 16．已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为_______． 17．已知，是一元二次方程的两个根，若，则的值为______． 18．若一个等腰三角形三边的长分别为，，，且，是关于的一元二次方程的两个根，则该等腰三角形的周长为______． 三、解答题 19．不解方程，求出方程的两根之和与两根之积： (1)； (2)． 20．已知是方程的两根，求下列两个代数式的值： (1)； (2)． 21．已知一元二次方程： (1)方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围； (2)若方程一个根为2，求方程的另一根． 22．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求a的取值范围． (2)若该方程的两个实数根分别为，，且，求a的值． 23．已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)如果方程的两个实数根为，且求的取值范围． 24．已知关于的一元二次方程． (1)当方程有两个实数根时，求的取值范围． (2)当方程的两个根满足时，求的值． 25．如果关于的一元二次方程（）有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“倍根方程” (1)通过计算，判断是否是“倍根方程”． (2)已知关于的一元二次方程是“倍根方程”，求的值． (3)若关于的一元二次方程（、是常数）是“倍根方程”，且两根之和为6，请求出、的值． 试卷第1页，共3页 1 学科网（北京）股份有限公司 $