江西宜春市部分校2027届高三上学期开学考试数学试卷

高三数学参考答案 题序 1 10 11 12 13 14 答案 A AC ACD ABD 252 【评分细则】 【1】第1~8题，凡与答案不符的均不得分. 【2】第9题，全部选对的得6分，有选错的不得分，每选对一个得3分；第10,11题，全部选对的 得6分，有选错的不得分，每选对一个得2分， 【3第12,13,14题，其他结果均不得分. 1.A【解析】本题考查平面向量的坐标运算与模，考查数学运算的核心素养. 因为a-b=(-1,1),所以|a-b|=√(-1)2+12=√2. 2.C【解析】本题考查集合的交集运算，考查数学运算的核心素养， 因为A={x|x<-3或x>0},所以A∩B={1,2. 3.B【解析】本题考查分段函数的零点，考查数学运算的核心素养， 令x2-9=0,解得x=-3或z=3(舍去)令x2-8=0,解得x=2>0.故f(x)的零点个数 为2. 4.D【解析】本题考查球的表面积与几何性质，考查直观想象的核心素养 设球O的半径为R(R>0),则4πR=16π，解得R=2,所以该球球面上两点间距离的最大值 为2R=4. 5.B【解析】本题考查全概率公式，考查逻辑推理与数学运算的核心素养。 依题意可得所求概率P=0.8×0.9十0.2×0.5=0.82. 6.C【解析】本题考查函数的极值点，考查逻辑推理与数学运算的核心素养 依题意得fx)=4x-4=4x+1)x+1)(x-）.当x∈0,1)时，f)<0,当x∈1， m-1≥0， +oo)时，f'(x)>0.所以f(x)有唯一极值点1，则m-1<1,解得1≤m<2. m+1>1, 7.C【解析】本题考查三角恒等变换，考查数学运算的核心素养 根据题意可得8 sin acos2a=9sina(cos2a-sina),因为a为第四象限角，所以sina≠0，则 8aosa=9(ca&sne),即sina=6osa,得ana=解得tma=士子因为a为第四 象限角，所以tana=一弓，故tan(e十) 3+7 1-(-3)×1 【高三数学·参考答案第1页（共7页）】 ·JX· 8.A【解析】本题考查直线与圆的综合，考查直观想象与逻辑推理的核心素养， 根据题意可得点A在圆O内，圆O的半径为50√2，且直线AB过圆心O.若|AB|<100√2， 则根据圆的对称性可得符合要求的平行四边形不止1个，不符合题意.若|AB|≥1002，则 AB是这个平行四边形的一条对角线，所以线段AB的中点H(-m士，m士)在圆0 内.由AB|≥100√2，得2m-30|≥100√2，解得m≤-70或m≥130.由点H在圆O内， 得(-m支30)+(m支30)°<500，解得-130<m<70.故-130<m≤-70. 9.AC【解析】本题考查复数的概念与运算，考查数学运算的核心素养. 因为之=-3一6i,所以之=-3十6i,A正确.iz=i(一3-6i)=一3i-6i=6一3i,B错误.之 =V9+3丽=35，C正确条-之-436D+3+6i-1221D+3+6i- 1+i (1+i)(1-i) 12(-3-D+3+6i=-15,D错误. 2 10.ACD【解析】本题考查双曲线与解三角形，考查逻辑推理与数学运算的核心素养， 根据题意可得|PF1一PF2|=4.因为PF1|=3PF2|,所以2|PF2=4,得|PF2|=2, PR,=6.因为cos∠F,PF,-合，所以 4+36-F1F221 2×2×6 =6,解得FF,=6,即C的焦 距为6，A正确. 因为6=√9-4=5，所以C的渐近线方程为y= 2x,B错误 因为nPPE:V1(兮-管，所以△F,PF,的面积为X2X6×-V丽，C 6 正确。 P-2PF十21即为-羊-1，D正豫 x2 11.ABD【解析】本题考查空间向量与集合，考查数学抽象、逻辑推理及直观想象的核心素养. 因为Γ表示长方体内（包括表面）所有点的集合，所以O(0,0,0)∈Γ，又因为02十0=0≤0， 所以O∈2，A正确.因为集合M={(x,y,之)∈Tx2十y2≤之2,0≤之≤1}内所有点构成的 几何体K是底面半径为1的圆维OO1,且当z∈[0,1]时，x2≤x,所以M是2的真子集，C 错误K的体积为3×πX1×1=号，B正确.设P(红，y,2),因为P∈0，所以x2+y2≤， 且z∈[0,1]，所以OP=√x+y2+z≤√2+之≤√2，D正确. 12.4【解析】本题考查三角函数的最小正周期，考查数学运算的核心素养， 由0-，且w>0,得0=4 2π 13.3【解析】本题考查椭圆的离心率，考查逻辑推理与数学运算的核心素养 【高三数学·参考答案第2页（共7页）】 ·JX 根据题意可得m>0,则2m>m.当m十1>2，即m>1时，√1- 2 2m m十1，解得m =3,符合题意；当0<m十1<2，即0<m<1时√1 m m+1 2m ,解得m=0,不符合 题意，舍去.综上，m=3. 14.252【解析】本题考查排列组合的实际应用，考查逻辑推理的核心素养 先在关停的5个标准化驿站之间保留2个驿站，并分成5个关停段，如X(第1个关停段)， xxX(第2个关停段)，xxX(第3个关停段)，xxX(第4个关停段)，xxX(第5个关停段)，其 中x表示保留的驿站，X表示将关停的驿站，则还剩11个标准化驿站，这11个标准化驿站之 间共有10个空位，从中选5个位置作为5个关停段的位置，故所求方案共有C。=252种 15.【解析】本题考查抛物线的方程与弦长，考查逻辑推理与数学运算的核心素养， 解：(1)将点A(3,6)的坐标代入y2=2x,得36=6p, 00040”1分 解得p=6, 2分 所以C的方程为y=12x.…4分 (2)由(1)得C的焦点为F(3,0),…5分 所以直线l的方程为y=x一3.设P(x1,y1),Q(x2,y2).…7分 由=x-3, y2=12x, x2-18x十9=0，△>0恒成立，8分 则x1十x2=18, …9分 所以|PQ|=|PF|+|QF|=x1+x2+p=18+6=24. …13分 【评分细则】 第(2)问还可以这样解答： 由(1)得C的焦点为F(3,0),… …5分 所以直线L的方程为y=x一3.设P(x1,y1),Q(x2,y2).… …7分 1y=x-3, 由 得x2一18x十9=0，△>0恒成立，… 9分 y2=12x, 则x1十x2=18,x1x2=9,… …10分 所以|PQ|=√1+k2·√/(x1+x2)2-4x1x2=√2X√182-4X9=24.…13分 16.【解析】本题考查线面垂直与线面角，考查逻辑推理与直观想象的核心素养. (1)证明：因为AA1⊥平面ABC,ACC平面ABC,所以AA1⊥AC.·1分 因为A1B1=2,B1C1=2W2,AB=AC=3,所以根据△A1B1C1∽△ABC可得BC=3√2， …3分 则AB2+AC2=BC2,所以AB⊥AC. 5分 因为AA1∩AB=A,所以AC⊥平面ABB1A1.… 6分 (2)解：因为平面A1B1C1平面ABC,所以HC与平面A1B1C1所成的角即为HC与平面 【高三数学·参考答案第3页（共7页）】 ·JX· ABC所成的角.…7分 如图，取AB上靠近点A的三等分点M,连接HM,CM,则AH= A H AM=1,A1H∥AM,所以四边形A1HMA是平行四边形，所以 B HM/∥A1A.…9分 因为AA1⊥平面ABC,所以HM⊥平面ABC,所以∠HCM即为 HC与平面ABC所成的角.…11分 B 因为HM=AA1=2,CM=√MA2+AC2=√/I+9=√I0,HM⊥CM, 13分 所以tan∠HCM=HM2=I0 CM√/10 5”,即HC与平面AB1C1所成角的正切值为Y0. …15分 【评分细则】 第(2)问还可以这样解答： 由(1)可得AB,AC,AA1两两垂直，所以以A为坐标原点，AB, C AC,AA1所在直线分别为x,y,之轴建立空间直角坐标系，如图 所示 依题意得A(0,0,0),A1(0,0,2),H(1,0,2),C(0,3,0),则 AA1=(0,0,2),HC=(-1,3,-2). 8分 因为AA1⊥平面ABC,平面ABC∥平面A1B1C1,所以AA 是平面A1B1C1的一个法向量.… 9分 设HC与平面A1B1C1所成的角为0， 则sin0=|cos<AAi,H元1= |AA·HC 2×(-2) y14 IAAHC √22X√/(-1)2+32+(-2)2 7, …11分 所以s0=√1-() _√35 …13分 √10 则tan0= V14 ,即HC与平面A1B,C所成角的正切值为 5 …15分 √35 17.【解析】本题考查频率分布直方图、离散型随机变量的分布列与期望，考查逻辑推理与数学运 算的核心素养」 解：(1)根据题意可得1个订单采用算法A准时送达的频率为5×(0.010十0.025十0.065) =0.5,… …1分 所以1个订单采用算法A准时送达的概率为0.5.… 2分 (2)同(1)可得1个订单采用算法B准时送达的概率P=5×(0.020十0.040+0.060)=0.6. 3分 记采用算法A的2个订单中准时送达的个数为U,采用算法B的1个订单中准时送达的个 【高三数学·参考答案第4页（共7页）】 ·JX· 数为V,则X=U+V,U~B(2,0.5),V~B(1,0.6) X的所有可能取值为0,1,2,3.…4分 P(X=0)=0.52X0n4=0.1,…5分 P(X=1)=C2×0.52X0.4+C%X0.52X0.6=0.35,…6分 P(X=2)=C2×0.52×0.4+C×0.5×0.6=0.4, 7分 P(X=3)=C×0.52×0.6=0.15, 8分 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 0 0.1 0.35 0.4 0.15 0 9分 (3)方案一中，Y的所有可能取值为0,1,2. P(Y=0)=0.5X0.4=0.2,…10分 PY=1)=0.5×0.6+0.5×0.5=0.55, 11分 P(Y=2)=0.52=0.25,… 12分 所以E(Y)=0X0.2+1X0.55+2X0.25=1.05.…13分 方案二中，E(Z)=2X0.6=1.2.…14分 因为1.05<1.2，所以题中观点不正确. 15分 【评分细则】 【1】第(2)问中，未说明X=U+V,UB(2,0.5),V~B(1,0.6),不扣分 【2】第(3)问中直接由0.6>0.5，说明1个订单采用算法B准时送达的概率大于采用算法A 准时送达的概率，从而得到E(Y)<E(Z),扣2分. 18.【解析】本题考查等差数列、数列求和、数列的新定义及对数的运算，考查逻辑推理与数学运 算的核心素养。 (1)解：因为ln3+22+1n32-21n3a+D2=(n+2)21n3十n21n3-2(n十1)21n3=21n3, …2分 所以{3m}存在对数系，其对数系数为2n3.…3分 (2)(i)解：设vn=lnbm.因为{bn}存在对数系，所以m+2十n一2vm+1=m. 设gn=Vn+1一℃n,则pn+1一9n=Un+2一Un+1一(0n+1一0n)=n,p1=V2一U1=2,p2=03一U2 =5,…4分 所以{pn}是以2为首项，3为公差的等差数列，pn=2十(n一1)×3=3n一1，…5分 所以当n≥2时，a,-U-1十u,-1-u,-2十…+u2-u1=(2+3n-4)(n-1)_3n2-5m+2 2 2 …7分 即，-0=3n-,n+2.因为1=hb,=0,所以u.-3m2-,5n+ 2 2 8分 【高三数学·参考答案第5页（共7页）】 ·JX· 又1=0满足u,=3n2-5m+2 3n2-5m+2 2 所以bn=e …9分 （1)i证明：由(1)得d.=1ogb+4-02_3n+7n+4-1+6n十4 Un+l 3n2+n 3n2+n )…10分 6n+4>0,所以dn>1, 因为3n+” …11分 所以，”n dn·2m2m …12分 12 ,则2T.=2十十 2n+1, …13分 1 所以T。工.++叶 11 22m+7 22n+1= 1、1 2m*71一九十2 n 2n+1, …15分 2 所以Tn=2-n十2 2n …16分 因为”+2、 ·2<T<2,即2， 2”>0,所以5、飞 色id&·26<2. …17分 【评分细则】 【1】第(1)问中，2ln3写为ln9,不扣分 【2】第(2)（ⅰ）问还可以这样解答： 因为b,}存在对数系，所以1nb.e十1nb.一21nb1=m,即，+=e. …4分 6n+i6n+1 因为b,=bg=e,6=e,所以e-6地=e2,设u.-6。,则2-e,4 un _b2=e2,… …5分 所以{un}是以e2为首项，e3为公比的等比数列，un=e2.(e)-1=em-1.…6分 3m-4+2n-3m2-5m+2 当22时名×X…X8-X-7X…X。 =e2,…8分 哈-宁因为6，=1，所以6，= 出.又6，=1满足6.=e兴，所以6. 32-mt e 0000000100000811101085188。。。001104000004040400◆9分 19.【解析】本题考查函数的性质与新定义，考查数学抽象与逻辑推理的核心素养， (1)解：由f(x)=x3,得f'(x)=3x2,则曲线y=f(x)在点(xo,f(xo))(xo>0)处的切线 方程为y一x8=3x6(x一x0),即y=3x6x-2x8.…1分 令x3=3x6x-2x8,则x3-xx-2(x6x-x8)=(x-x0)2(x+2x0)=0,…2分 得x=x0或x=一2x0.…3分 故对于给定的xo>0,存在唯一的x=一2xo≠xo,使得曲线y=f(x)在点(xo,f(xo)处的 【高三数学·参考答案第6页（共7页）】 ·JX· 切线经过点（一2x0,f(一2xo)),即f(x)=x3在(0，十∞）上全切交.…4分 (2)(1)证明：因为f(x)是奇函数，所以f(一x)=一f(x),对等式两边求导可得 一f'(一x)=一f'(x),则f'(x)是偶函数.… …5分 曲线y=f(x)在点(xo,f(xo))(xo>0)处的切线方程为y=f'(xo)(x一xo)+f(x), 因为f(x)在(0，十∞)上全切交，所以关于x的方程f(x)=f'(xo)(x一xo)十f(x)有且 只有两个不相等的实数解x0,x1.… …6分 令F(x)=f(x)-f'(x0)(x-xo)-f(xo),则F'(x)=f'(x)一f'(xo).…7分 由题可知f'(x)在[0，十∞)上单调递增，又f'(x)是偶函数，所以当x∈（一o,一xo)U (x0,十o∞)时，F(x)>0,当x∈(-x0,xo)时，F(x)<0,…8分 故F(x)在（一∞，一x0)和(xo,十∞）上单调递增，在（一xo,xo)上单调递减，则当x>xo 时，F(x)>F(xo)=0,从而当x∈（一x0,十∞）时，F(x)≥0，则x1<一xo·…9分 根据切交函数的定义可知，g(x)一x1<一xo,从而对于任意x∈(0，十∞)，均有g(x)< 汇.…10分 (iⅱ)解：g(x)在(0，十∞)上单调递减. 任取x3,x4∈(0，十∞)，令x3<x4,t1=g(x3),t2=g(x4),则由(i)可知，t<一x3<0,t2 <一x4<0,由x3<x4,得一x4<一x3,则t2<一x4<一x3<0.…11分 曲线y=f(x)在x=x3处的切线记为l1(x)=f'(x3)(x一x3)十f(x3),曲线y-f(x)在 x=x4处的切线记为l2(x)=f'(x4)(x一x4)+f(x4). 根据切交函数的定义有f(t1)=l1(t1),f(t2)=l2(t2).…12分 假设t1≤t2,令H(x)=l1(x)-l2(x),H'(x)=f'(x3)-f'(x4). 因为0<x3<x4,所以f'(x3)<f'(x4),所以H'(x)<0,即H(x)在R上单调递减.… …13分 令G(x)=f(x)-l2(x),G'(x)=f'(x)-f'(x4).当0<x<x4时，f'(x)<f'(x4),则 G'(x)<0,则G(x)在(0，x4]上单调递减.因为0<x3<x4,所以G(x3)>G(x4)=0.又 H(x3)=L1(x3)-l2(x3)=-f(x3)-L2(x3)=G(x3),所以H(x3)>0.由H(x)在R上单 调递减，且t2<-x4<-x3<0<x3,可得H(t2)>H(x3)>0,则l1(t2)-L2(t2)>0,即 l1(t2)>l2(t2).因为l2(t2)=f(t2),所以l1(t2)>f(t2).…14分 令M(x)=f(x)一l1(x),则M'(x)=f'(x)一f'(x3).当x<-x3时，-x>x3>0,则 f'(-x)>f'(x3).因为f'(x)为偶函数，所以f'(x)>f'(x3),从而M(x)在(-∞，-x3] 上单调递增.因为t1=g(x3),所以M(t1)=f(t1)-L1(t1)=0.又t1≤t2<-x3,所以 M(t1)≤M(t2),则0≤f(t2)-l1(t2),则l1(t2)≤f(t2),与L1(t2)>f(t2)矛盾.…15分 故假设错误，则t1>t2,即对于任意0<x3<x4,都有g(x3)>g(x4).…16分 综上所述，g（x)在(0，十∞)上单调递减.…17分 【评分细则】 第(1)问直接判断f(x)=x3在(0，十∞)上全交切，没有证明，得1分 回测回 【高三数学·参考答案第7页（共7页）】 ·JX高三数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 1.若向量a=(1,2),b=(2,1),则a-b= A.√2 B.1 C.2 D.√5 2.设集合A={xx2+3x>0},B={-2,-1,1,2},则A∩B A.{2} B.{-1,1} C.{1,2 D.{-2,1,2} 弥 x2-9,x<0, 3.函数f(x)= x2_ 的零点个数为 ,x>0 x A.1 B.2 C.3 D.4 T 4.若球O的表面积为16π，则该球球面上两点间距离的最大值为 A.2 B.8 C.6 D.4 5.随机从某花圃内选取一盆花卉，它处于水肥适宜土壤的概率为0.8，处于干旱缺水土壤的概 率为0.2，两种土壤状态不可能同时出现，且不存在其他土壤环境.已知花卉处于水肥适宜土 封 壤中，正常开花的概率为0.9；处于干旱缺水土壤中，正常开花的概率为0.5.现从该花圃内随 机选取一盆花卉，则该盆花卉能够正常开花的概率为 A.0.75 B.0.82 C.0.85 D.0.8 6.若定义在(m一1，m十1)上的函数f(x)=x4一4lnx十4存在极值点，则m的取值范围为 A.(0,2) B.(1,2) C.[1,2) D.(2,3) 7.已知a为第四象限角，且4sin2 aCOsa=-9 sin2a,则tan(a十F) A.2 B.-2 线 c号 8.已知圆O:x2+y2=5000,点A(-30,30),B(-m,m)(m≠30)，若圆O上存在C,D两点， 使得以A,B,C,D四个点为顶点的平行四边形有且仅有1个，则m的取值范围是 那 A.(-130,-70] B.(-130,70) C.(-100,-70] D.(-70,130) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.若复数之=一3一6i,则 4z A.z=-3+6i B.iz=6+3i C.|z=3√5 D.千安R 【高三数学第1页（共4页）】 ·JX· 已知双曲线C60)的左，石焦点分别为乃1，P2,点P在C上，且P吓=3PE 1 os∠FPF2=6则 A.C的焦距为6 B.C的渐近线方程为y=士√2x C.△F1PF2的面积为√35 x2 y2 D,双曲线PF,一2PF2十2-1是等轴双曲线 11.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=2,AA1=1,E, A F分别为BC,CD的中点，O,O1分别为底面ABCD与底面 AB1CD1的中心，以O为坐标原点，OE,OF,OO1所在直线分别B C A s. ---D 为x,y,之轴建立空间直角坐标系.设集合T={(x,y,之)x|≤1， O F |y|≤1,0≤x≤1}，集合2={(x,y,z)∈Tx2+y2≤z},记Y为2B C 中所有点构成的几何体，则 A.O∈2 BY的体积大于号 C.Y是圆锥 D.HP∈2，OP≤2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 l2.若函数f(x)=sin(awx十p)(w>0)与g(x)=tan2x的最小正周期相等，则w= 1这设猫圈C:云十片=1与猫圆C片十号=1的离心率相等，则m=▲一， 14.某海滨旅游路线全线共设有24个标准化驿站，起点和终点这2个核心站点永久保留.为降低 运营成本，计划对5个中途驿站予以关停，要求任意2个关停的驿站之间至少保留3个驿站正 常运营，则不同的站点关停方案共有▲种. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 已知点A(3,6)在抛物线C:y2=2x(p>0)上. (1)求C的方程； (2)过C的焦点F作斜率为1的直线l,且l与C交于P,Q两点，求|PQ. 【高三数学第2页（共4页）】 ·JX 16.(15分) 如图，在三棱台ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC,AB=AC=3,AA1=A1B1=2,B1C1= 2/2 (1)证明：AC⊥平面ABB1A1 (2)若H为A1B1的中点，求HC与平面A1B1C1所成角的正切值. A C H B A B 17.(15分) 某物流园区使用无人配送车完成园区内的末端配送，为比较算法A与算法B的运行效果， 技术人员分别随机抽取采用这两种算法完成的200个订单，记录从无人车出发到订单送达 所用的时间（单位：分钟）.将配送时长分为[10,15)，[15,20)，[20,25)，[25,30)，[30,35)， [35,40],共六组，得到如下频率分布直方图.园区规定：配送时长少于25分钟的订单为准时 订单.以配送时长位于各区间的频率代替配送时长位于该区间的概率，假设每个订单是否准 时送达相互独立. (1)求采用算法A时，1个订单准时送达的概率 (2)从总体中随机选取3个订单，其中2个采用算法A,1个采用算法B.设这3个订单中准 时订单的个数为X,求X的分布列. (3)为兼顾算法测试与配送效率，调度中心提出两个方案：方案一为“动态调度方案”，即第 1个订单采用算法A,若该订单准时送达，则第2个订单仍采用算法A,否则第2个订单 改用算法B;方案二为这2个订单均采用算法B.设方案一中这2个订单中准时送达的个 数为Y,方案二中这2个订单中准时送达的个数为Z.有人认为，E(Y)≥E(Z),判断这 一观点是否正确，并说明理由。 ↑频率/组距 个频率/组距 0.065 0.060 0.045 0.040 0.030 0.025 0.025 0.02 0.010 0.015 010152025303540配送时长/分钟 010152025303540配送时长/分钟 算法A 算法B 【高三数学第3页（共4页）】 ·JX· 18.(17分) 定义：在数列{an}中，若lnam+2十lnam一2lnam+1=m(m为非零常数)，则称{am}存在对数 系，常数m为{am}的对数系数. (1)判断数列{3”}是否存在对数系.若存在，求出对数系数；若不存在，请说明理由， (2)已知数列{bn}存在对数系，且b1=1,b2=e2,b3=e’,dn=log+,bn+2 (ⅰ)求{bn}的通项公式： 1证明22<2 弥 19.(17分) 设函数f(x)的定义域为R,若对于给定的实数xo,存在唯一的实数x1≠xo,使得曲线y= 封 f(x)在点(xo,f(xo)处的切线经过点(x1,f(x1),则称xo为f(x)的单切点，x1为xo的 切交点.若f(x)在某一区间D内的每一点都是单切点，则称f(x)在D上全切交.此时，将 D中的每一个实数x与其对应的唯一切交点构成的对应关系记为函数g(x),并称g(x)为 f(x)在集合D上的切交函数 (1)判断函数f(x)=x3在(0，十∞)上是否全切交，并说明理由. (2)已知f(x)是奇函数，其导函数f'(x)在R上的图象是一条连续不断的曲线.若对于任 意x1,x2∈[0，十∞)，当x1<x2时，都有f'(x1)<f'(x2),且f(x)在(0，+∞)上全切 交，其切交函数为g(x). (i)证明：对于任意x∈(0，十∞)，均有g(x)<-x. 线 (ⅱ)判断g(x)在(0，十∞)上的单调性，并给予证明. 【高三数学第4页（共4页）】 ·JX·