湖南省衡阳市第八中学2026-2027学年高二上学期开学考试数学试题

**基本信息** 衡阳市八中2026年高二入学数学试卷，以海伦公式文化传承、正四面体与球组合等为载体，融合空间想象、概率应用与函数探究，体现数学眼光、思维与语言的素养导向。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|向量、三角函数、海伦公式（解三角形）|结合古希腊数学文化，考查充要条件等逻辑思维| |多选|3/18|复数、解三角形、立体几何（正方体轨迹）|设置动态轨迹问题，渗透空间观念| |填空|3/15|概率（凹数）、函数单调性、路径计数|以“凹数”“移动路线”创设情境，培养数据意识| |解答|5/77|立体几何（二面角、球截面）、概率评分模型、函数零点|第16题动态球截面问题，第18题联系考试评分实际，体现应用意识与创新思维|

衡阳市八中2026年高二年级入学考试 数学试卷 命题人：赵耀华 审题人：蒋金元 满分：150分 考试时间：120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的， 1.设a,b是两个非零向量，则“a}b”是“a+b|=a|+|b”成立的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.若z(2+i)=5,则z=() A.-2+i B.2-i C.2+i D.-2-i 3.在解三角形问题中，一个比较困难的问题是如何由三角形的三边α，b,c直接求出三角形的面积，古 希腊数学家海伦在著作《测地术》最早出现公式S=VD(pa)(p-b)(p-c),其中p=是(a+b+c)(海 2 伦公式)，该公式解决了由三角形的三边直接求出三角形面积的问题，它具有轮换对称的特点，形式很 美.已知△ABC的三边长a,b,c分别是7,8,9，利用海伦公式求得△ABC的内切圆半径为() A.V5 B.2V5 C.V3 D.2W3 4.已知平面向量a=(5,0),b=(2,-1),则向量a+b在向量b上的投影向量为() A.(6,-3) B.(4,-2) C.(2,-1) D.(5,0) 5.在四面体ABCD中，E,F分别为棱AC,BD的中点，AD=6,BC=4,EF=V√7， 则异面直线AD与BC所成角为() 4 3 E B 6.在下列关于概率的命题中，正确的是() A.若事件A、B满足P(A)+P(B)=1,则A、B为对立事件 B.若事件A、B满足P(A)=0.3,P(B)=0.6,事件A和事件B互斥，则P(AB)=0.18 C.若事件A、B满足P(A)一子PCB)=是PA)=}则A、B相互独立 4 D.若事件A与B是互斥事件，则A与B也是互斥事件 第1页（共4页） 2025 7.设样本数据1,2，“，2025的平均数，中位数，众数和标准差分别为a,b,c,d.当 ,(xk)2 i= 取到最小值时，k=() A.a B.b C.c D.d 8.如图，在正四面体ABCD中，放置1大、4小共5个球，其中，大球为正四面体 ABCD的内切球，小球与大球及正四面体三个面均相切，若正四面体ABCD的体积 为8√3，则5个球的表面积之和为() B A.5π B.61 C.7π D.8π 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. (多选)9.已知复数z=2-i(i为虚数单位)，则以下说法正确的有() A.复数z的虚部为i B.|z|=V5 C.复数z的共轭复数为z=2+i D.复数z在复平面内对应的点在第一象限 (多选)10.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则下列结论正确的是() A.若A>B,则sinA>sinB B.若A=30°，b=5,a=2,则△ABC有两解 C.若a3=b+c3,则△ABC是锐角三角形 D.若a=b=c -,则△ABC一定是等边三角形 cosA cosB cosC (多选)11.如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，点P是AA1的中点，点M是正方体内（含 表面)的动点，且满足D1M⊥CP,则() D C A.动点M在底面ABCD内轨迹的长度是2√2 B.点M所在平面截正方体所得截面的面积为 2 C.三角形A1D1M在正方体内运动形成几何体的体积是2 B D.存在某个位置M,使得直线BD1与平面A1D1M所成的角为T 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.一个三位自然数百位，十位，个位上的数字依次为a,b,c,当且仅当a>b,b<c时称为“凹数”（如 213),若a,b,c∈{1,2,3}，且a,b,c互不相同，则这个三位数为“凹数”的概率为 第2页（共4页） 13.函数f(x)=ln(2x2-3x+1)的单调递减区间为 14.如图，从1开始出发，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或右上或 右下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如从1移动到9,1→2一3→5→7一8→9就是一条移动 路线.从1移动到数字n(n=2,3,…,9)的不同路线条数记为n,从1移动到9的事件中，经过数 字n(n=2,3,…,8)的事件概率记为pm,则p5= 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 *15.已知平行四边形ABCD,B=2√2，AD=4,BE=3C,记B=a,D=b,C=a+xb,且ab=-8. (1)若x=1,求cDE的值； (2)当c|取最小值时，求c与b夹角的余弦值， *16.如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A,B的点，直线PC⊥平面ABC,其中AB=4,PC= 2,AC=2V3 (1)求证：BC⊥平面PAC; (2)求二面角B-PA-C的余弦值： M (3)M为PC上的动点，以AM为直径作球O1,设CM=x(0≤x≤2)， 若球O1被平面PAB截得的截面圆的面积为S,求S的最小值. B 0 *17.已知函数(x)=x+也+c,其中b,c为常数且满足f(1)=5,f(2)=4. (1)求b,c的值： (2)证明函数f(x)在区间(0,2)上是减函数，并判断f(x)在(2，+∞)上的单调性（不要证明）： （3》若存在xE分，3]，使得2(x)+4a<号f(-x)+n2-8诚立，求实数m的取值范围。 第3页（共4页） 18.单项选择与多项选择题是数学标准化考试中常见题型，单项选择一般从A,B,C,D四个选项中选出 一个正确答案，其评分标准为全部选对的得5分，选错的得0分；多项选择题一般从A,B,C,D四 个选项中选出所有正确的答案（四个选项中有两个或三个选项是正确的），其评分标准为全部选对的得 6分，部分选对的得部分分（两个选项选对其中一个的得3分，三个选项选对其中一个的得2分，选对 两个得4分，只要选出错误选项的就得0分). (1)有一道多项选择题乙不会做，这道题正确答案为ABD,他便随机猜写答案(2个或3个选项)，求 考生乙本题刚好得4分的概率： (2)现有一道只有两个正确选项的多项选择题，根据训练经验，考生丙得6分的概率为上，得3分的 4 概率为上；考生丁得6分的概率为上，得3分的概率为上.丙，丁二人答题互不影响，求这道多项选择 6 3 题丙丁两位考生总分刚好是6分的概率. 19. 已知函数f(x)= x2-1,20,g(x)-21-2 -2x,x<0, (1)若f(x)≤g(x),求x的取值范围. (2)记max{a,b}= a(a>b),已知函数y=maxf(x,8(x))-ax-2有k个不同的零点. b(a<b), (i)若k=2,求a的取值范围： (i)若k=3,且a,B是其中两个非零的零点，求1+一的取值范围， aB 第4页（共4页） 衡阳市八中2026年高二年级入学考试 数学试卷 命题人:赵耀华 审题人:蒋金元 满分:150 分 考试时间 :120 分钟 一、单项选择题： 本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 ．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设，是两个非零向量，则“”是“”成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．若，则（   ） A． B． C． D． 3．在解三角形问题中，一个比较困难的问题是如何由三角形的三边a，b，c直接求出三角形的面积，古希腊数学家海伦在著作《测地术》中最早出现公式，其中（海伦公式），该公式解决了由三角形的三边直接求出三角形面积的问题，它具有轮换对称的特点，形式很美．已知的三边长a，b，c分别是7，8，9，利用海伦公式求得的内切圆半径为（    ） A． B． C． D． 4．已知平面向量，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 5．在四面体中，分别为棱的中点，，则异面直线与所成角为（    ） A． B． C． D． 6．在下列关于概率的命题中，正确的是（    ） A．若事件满足，则为对立事件 B．若事件满足，事件和事件互斥，则 C．若事件满足，则相互独立 D．若事件与是互斥事件，则与也是互斥事件 7．设样本数据的平均数，中位数，众数和标准差分别为.当取得最小值时，（    ） A． B． C． D． 8．如图，在正四面体中，放置1大、4小共5个球，其中，大球为正四面体的内切球，小球与大球及正四面体三个面均相切，若正四面体的体积为，则5个球的表面积之和为（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题： 本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9．已知复数（为虚数单位），则以下说法正确的有（   ） A．复数的虚部为 B． C．复数的共轭复数为 D．复数在复平面内对应的点在第一象限 10．在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，则下列结论正确的是( ) A ．若 A＞B，则 sinA＞sinB B ．若 A＝30°, b ＝5 ，a＝2，则△ABC 有两解 C ．若 ，则△ABC 是锐角三角形 D ．若，则△ABC一定是等边三角形 11．如图，已知正方体的棱长为，点是的中点，点是正方体内（含表面）的动点，且满足，则（   ） A．动点在底面内轨迹的长度是 B．点所在平面截正方体所得截面的面积为 C．三角形在正方体内运动形成几何体的体积是 D．存在某个位置，使得直线与平面所成的角为 三、填空题： 本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12．一个三位自然数百位，十位，个位上的数字依次为 a，b，c，当且仅当 a＞b，b＜c 时称为“凹数”（如213），若 a，b，c ∈{1，2，3}，且 a，b，c 互 不 相 同，则 这个三 位 数 为 “凹 数”的 概 率 为 13．函数的单调递减区间为_____． 14．如图，从1开始出发，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或右上或右下移，而一条移动路线由若干次移动构成，如从1移动到9，1→2→3→5→7→8→9就是一条移动路线.从1移动到数字n（n=2，3，…，9）的不同路线条数记为，从1移动到9的事件中，经过数字n（n=2，3，…，8）的事件概率记为，则________. 四、解答题： 本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知平行四边形，，，，记，，，且． (1)若，求的值； (2)当取最小值时，求与夹角的余弦值． *16 ．如图，AB 是圆 O 的直径，点 C 是圆O 上异于 A，B 的点，直线 PC⊥平面 ABC，其中 AB＝4，PC= 2 ，． （1）求证：BC⊥平面 PAC； （2）求二面角 B﹣PA﹣ C 的余弦值； （3）M 为 PC 上的动点， 以 AM 为直径作球 O1，设 CM＝x（0≤x≤2），若球 O1 被平面 PAB 截得的截面圆的面积为 S，求 S 的最小值． 17．已知函数，其中，为常数且满足，. (1)求，的值； (2)证明函数在区间上是减函数，并判断在上的单调性（不要证明）； (3)若存在，使得成立，求实数的取值范围. 18．单项选择与多项选择题是数学标准化考试中常见题型，单项选择一般从四个选项中选出一个正确答案，其评分标准为全部选对的得5分，选错的得0分；多项选择题一般从四个选项中选出所有正确的答案（四个选项中有两个或三个选项是正确的），其评分标准为全部选对的得6分，部分选对的得部分分（两个选项选对其中一个的得3分，三个选项选对其中一个的得2分，选对两个得4分，只要选出错误选项的就得0分）． (1)有一道多项选择题乙不会做，这道题正确答案为，他便随机猜写答案（2个或3个选项），求考生乙本题刚好得4分的概率； (2)现有一道只有两个正确选项的多项选择题，根据训练经验，考生丙得6分的概率为，得3分的概率为；考生丁得6分的概率为，得3分的概率为．丙，丁二人答题互不影响，求这道多项选择题丙丁两位考生总分刚好是6分的概率． 19．已知函数． (1)若，求的取值范围． (2)记已知函数有个不同的零点． ①若，求的取值范围； ②若，且是其中两个非零的零点，求的取值范围． 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $数学答案 一。选择题 1 3 4 5 7 8 9 10 11 B C A A D C A D BC ACD BC 1.【分析】a,b共线，可举反例=-2b,判断充分性不成立：再将a+b=|+b两边平方，可判断必 要性成立. 2.【分析】根据条件，利用复数的运算得=2-i,再由共轭复数的定义，即可求解 【解答1解：因为（2+0=5，则2=5.52：》52i边-2-i, 2+i(2+i)(2-i)5 所以z=2+i.故选：C. 3.【解答】解：己知△ABC的三边长a,b,c分别是7,8,9， 根据题意得p-7+8+9-12, 2 根据海伦公式可得S=V12×(12-7)×(12-8)×(12-9)=125, 所以△ABC的内切圆半径为r=,2S三24V5=V5.故选：A. a+b+c 24 4.【解答】解：a=(5,0),b=(2,-1), 则a+b=(7,-1),(a+b)b=15,161=√22+(-1)2=5， 所以向量8+6在向量6上的投影向量为+D),D6=36=6,3).故选：A 1612 5.【分析】取AB的中点G,连接EG、FG,根据三角形的中位线定理证出EG∥BC且FG∥AD,可得∠ EGF(或其补角)就是异面直线AD与BC的所成角，然后在△EFG中运用余弦定理求出∠EFG,即可 得到本题的答案. 【解答】解：取AB的中点G,连接EG、FG, 因为在△ABC中，EG为中位线，所以EG∥BC,EG=上BC=2, 2 同理可得FG∥AD,FG=1AD=3, 2 所以∠EGF(或其补角)就是异面直线AD与BC的所成角， 第1页（共11页） 在△EFG中，由余弦定理得cos∠EGF=EG2+pG2-En2 4+9-7 2EG·FG 2×2×32 可得∠EGF=兀，即异面直线AD与BC所成角为兀 3 3 D F C E、 A B G 故选：D. 6.【解答】解：对于A,投掷均匀骰子，设事件A为“点数小于等于3”， 事件B为“点数为偶数”， 则P(A)=P(B)=3=1 62 满足P(A)+P(B)=1,但事件A与B不是对立事件，故A错误： 对于B,若事件A和事件B互斥，则P(AB)=O,故B错误； 时于C事件A、B满足PCAD行PCB》,PAB)三即 4 4 P(A)P(B)=P(AB),则A、B相互独立，故C正确： 对于D,若事件A与B是互斥事件，则A∈B, A与B不是互斥事件，故D错误.故选：C. 2025 7.【分析】令(k)=∑，(x:k)2,将f()整理成二次函数的形式，然后根据二次函数的性质来求得 i=1 正确答案 2025 20252025 【解答】解：令f(k)-(x:k)2=2025k2-22x:k+2x号 2 i=1 i=1 i=1 f(k)是一个开口向上的关于k的二次函数，故函数在对称轴处取得最小值， 2025 2025 2∑，1 ∑xi =i1 即k=2×20252025日x=a·故选：1. 8.【分析】先求出正四面体内切球半径与正四面体棱长和高的关系，再分析大、小内切于正四面体的高， 求出对应的球半径及表面积即可· 第2页（共11页） 【解答】解：在正四面体A-BCD中，设棱长为a,高为h,O为正四面体A-BCD内切球的球心， 延长AO交底面BCD于E,E是等边三角形BCD的中心，BE延长线交CD于F,连接AF, C 则点F是CD的中点，OE为正四面体A-BCD内切球的半径， 加-号，照号即号 3 a,EF-V3 a 6 her2F-2)2-2)29 由正四面体ABCD的体积为8√3， 号是2.9v5 解得a=2W6, 由0E=VB02-BE2=√(AE-0E)2-BE2, 保80限侣a知 则h5×2W6=4, 3 1 最大球半径r大h-1, 因此最大球的表面积为S大=4兀×12=4兀， 小球也可看作一个小的正四面体的内切球， 则小正四面体的高h小=h-2r大=4-2=2， 因此城小球半径r小小号×2宁 2 因此最小球的表面积为8小4r×(号)：兀， 所以5个球的表面积之和为S=S大+4S小=4π+4π=8π. 故选：D. 二.多选题（共3小题） 第3页（共11页） (多选)9.【解答】解：由z=2-i可得其虚部为-1，故A错误： |z|=√22+(-1)2=√5，故B正确： 由z=2-i可得其共轭复数为z=2+i,故C正确： 由z=2-i可得其在复平面上的对应的点坐标为(2，-1)，位于第四象限，故D错误.故选：BC. (多选)10.【解答】解：已知在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c, 选项A:因为在△ABC中，由A>B可得a>b,由正弦定理，a=b。=2R(R为△ABC外接圆半径)， sinA sinB 即sinA>sinB,A正确； 选项B:由正弦定理a=b。,得sinB=bsinA5Xsin30°5>1，则△ABC无解，B错误； sinA sinB 2 4 选项C:由a3=b3+c3可知a为最大边，故A为最大角，假设A≥90°，由余弦定理，a2≥b2+c2, 两边同乘以a,得aa2≥ab2+a°c2,因为a>b,a>c所以，ab2>b3,ac2>c3,则a2>b3+c3, 这与a3=b3+c3矛盾，假设不成立，即△ABC是锐角三角形，C正确： 选项D:由a=b。=c。和正弦定理，可得sinA=sinB-sinc 即tanA=tanB=tanC, cosA cosB cosC cosA cosB cosC 因为A,B,Cc(0,,所以A=B=C=兀，D正确。故选：ACD. 3 (多选)11.【解答】解：A选项：如图所示， D C ⊙ 分别取AD,AB中点E,F,连接D1E,D1F,EF,DP,AC,由正方体性质可知： △ADP≌△DD1E, 所以∠ADP=∠DD1E,则∠ADP+∠D1ED=90°，即D1E⊥DP,又CDL平面ADD1A1, 则CD⊥D1E,CDODP-=D,CD,DPC平面CDP, 所以D1E⊥平面CDP,又CPc平面CDP, 则D1E⊥CP,又AC⊥EF,AP⊥EF,AC∩AP=A,AC,APC平面ACP, 所以EF⊥平面ACP,CPC平面ACP,所以EF⊥CP,又D1E∩EF=E,D1E,EFC平面D1EF, 所以CP⊥平面D1EF, 所以M在平面ABCD的轨迹为EF=V2,A选项错误： 第4页（共11页） B选项：如图所示， D C A B P A ⊙ 连接DB1,B1F,则DB1∥EF,所以M的轨迹为四边形EFB1D1的边界及其内部，可知D1B1=2√2， D1E=B1F=√5，则四边形EFB1D1为等腰梯形， B,2-哈o1-即)125-3 共面积为S2(E即+01B1)hN2+2W2)×3号B选项正确， 22 C选项：如图所示， 0 P F B 由己知可得三角形A1D1M在正方体内运动形成几何体为四棱锥A1-EFB1D1,连接B1E, 则VAF,D,=Vg-A,D,+V-A,B,E号S△AB,D,1哈S△AB,pEa -1 -AB1D1Aa号aB1aEa 32 =4+2=2,C选项正确： 33 D选项： D C D-- C B 连接BE,BD1,AD1,则BE=5,BD1=2W3,AD1=B1D1=2W2, 所以当M与点E或点B1重合时，直线BD1与平面A1D1M所成的角最大，为∠BD1A和∠BD1B1, 第5页（共11页） AD1√6W2 在△BDA中，cOs∠BD1ABD3 2 则∠0，A<牙在△0B中ee∠D,B19>咨 2 则∠DB!<受放D港项借误。 故选：BC. 三.填空题（共3小题） 12.【解答】解：a,b,cE{1,2,3},且a,b,c互不相同所组成的三位数的所有可能情况为123,132， 213,231,312,321,共6个数， 其中是“凹数”的有213,312共2个数， 板所求安率为P合号 13.【解答】解：根据题意，对于函数f(x)=n(2x2-3x+1), 有2x-3+1>0,解得>1或x<之 即函数的定义域为(-∞， 2)u1,+w, 令t=2x2-3x+1,则y=nt,y=lnt在(0，+o∞)上递增， 因为t=2x2-3x+1在（-∞， 1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增， 故函数f)=m22:3+1)的单调递减区间为(-c0,号. 14.【解答】解：题意可知：2=1,3=2， 若移动到数字n+2,则由数字n+1或数字n移动一次得到， 那么n+2=rn+1+iny 据此可得r4=3,r5=5,r6=8,7=13,8=21,9=34,所以5=5， 由于5到9共有5→6→8→9,5→7→8→9,5→7→9,5→6→7→8→9,5→6→7→9五条不同的路线， 因此经过5的路线共有53=25条，因此p534 -25 四.解答题（共5小题） 15.【解答】解：(1)方法一、平行四边形ABCD中，BE=3C, 所以诚=+0呢=屈}c-丽而=5， 因为b=|6cos<a,b>=2W2×40os<a,b>=-8, 所以cos<a,6>=-2,又<a,6>0,,所以<a,b>=3 2 4 第6页（共11页） 所以限=5》=2,6-2-(22)24x（-8》×42 4 4 4 4 方法二、因为ab=|abcos<-a,b>=2W2×4eos<a,b>=-8, 所以cos<a,6>=-2,又<a,b>0,,所以<a,b>=3元 2 4 以A为原点建立平面直角坐标系，如图所示： D 所以D(4,0),B(-2,2),C(2,2),A(0,0), 因为BE=3C,所以E(1,2),所以a=AB=(-2,2),b=D=(4,0), 当x=1时，c=a+6=(-2,2)+(4,0)=(2,2),DE=（-3,2), 所以c·DE=2X(-3)+2×2=-2. 2 (2)方法一、因为12=(a+x6)2-2+2xa6+62=162.16+8=16(x号)+4， 2 所以当x=号时，12取到最小值为4，即c取到最小值为2. 此时c6=(a+号66=a6+号62=8+号×16=0. 2 所以cLb,即c与b的夹角是90°，夹角的余弦值为0. 方法二、由(1)得，c=a+xb=(-2,2)+x(4,0)=(-244,2), 2 所以1G12=162-16*8=16(x)4, 当x=上时，2取到最小值为4，即c取到最小值为2. 此时c=(0,2),所以cb=0×4+2×0=0, 所以c⊥b,即c与b的夹角是90°，夹角的余弦值为0. 16.【解答】解：(1)证明：因AB是圆O的直径，则BC⊥AC, 因PC⊥平面ABC,BCc平面ABC,则PC⊥BC, 又PC∩AC=C,PC,ACC平面PAC,故BC⊥平面PAC. (2)过点C作CH⊥PA于点H,连接BH, 第7页（共11页） 由(I)BC⊥平面PAC,PAC平面PAC,则BC⊥PA, 因BC∩CH=C,BC,CHC平面BCH,故PA⊥平面BCH, 又BHC平面BCH,则PA⊥BH, ∠BHC即二面角B-PA-C的平面角， 因BC=√42-(2√3)2=2， 在Rt△ACP中，PA=√22+(23)2=4： 由面积相等可得CH=2×2W3=√3， 4 在Rt△BCH中，BH=V(W3)2+22=W7, 则cos∠BHC=S盟=3-21 BH√77 (3)因CM=x(0≤x≤2)，则PM=2-x,A=√x2+12, 则球0的半径为RV22+12 设点O1到平面PAB的距离为d,则点M到平面PAB的距离为2d. 2 E△PAB中，B=4,PA=4,PB-2/2,则c0∠APB22PB7 2 PA 4 则sin∠AB1-()2-里，则sa×4x22×生-27， 4 在R△c,in∠ac餐-2业设 则8apm号×4x(2-)×号-E(2-x) 由Mwm8=w可得：号×27×2号×2X5(2-x),解得V5,2 2W7 设球O1与平面PAB相交得到的截面圆半径为r,则 r2-0,r2-a2-02+12)2.5(2=x2)2-2+3x+18 2 2W7 7 则s=π：2-5(x2+8x+18)[(x号)221. 2 4 -18π 因0≤x≤2，故当x=0时，Sin=7 第8页（共11页） P B 17.【解答】解：(1)根据题意，函数(x)=x2+中， 因为f(1)=5,f(2)=4, 「1+b+c=5 所以 2++=4 解得b=4,c=0, 则(x)=x+4: 2证明：由0)：主(x)是 设0<x1<2<2, 式x日x)-2灯212 X1X2 又由0<x1<2<2,则x1-2<0,x1x2-4<0,x12>0, 必有f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2), 所以函数f(x)在(0,2)上为减函数： 由对勾函数的性质可知f(x)在(2，+∞)上是增函数： （3)根据题意.若号(x)+4m<合(-x)+m2-8, 则有2[(x)-f(-x)]<m2-4m-8, 又由f(x)=x+4,则f(-x)=-f(x), 合[(x)-f(x)]K2-细8始x<3-细8 即f(x)<m2-4m-8, 又由2)可得，f)在区间（号，2）上是减函数，2,3)上是增函数， 则f(x)有最小值f(2)=4, 若存在xE[哈，3]，使得号(x)+4<(-x)+n2-8, 2 即f(x)in<m2-4如-8成立， 第9页（共11页） 则有m2-4m-8>4,m2-4m-12>0,(m-6)(m+2)>0, 解得m<-2或m>6, 故m的取值范围为(-∞，-2)U(6,+∞). 18.【解答】解：(1)样本空间2={AB,AC,AD,BC,BD,CD,ABC,ABD,ACD,BCD},共有I0 个样本点， 设N=“猜对本题得4分”N=AB,AD,BD,有3个样本点，故P(N)= 10 (2)记丙得i分的事件为X,丁得j分为Y,其中i,j{0,3,6}, 因为考生丙得6分的概率为子得3分的概率为}：考生丁得6分的概率为号得3分的授率为 4 6 93 所 以 Pg)P,)宁P(g)=1:Pg)哈P(g)宁Pg-1日合方 记丙丁两位考生总分刚好6分的事件为E,易知E=X6Yo+X3Y3+XoY6, 由题意P(E)=P(X6Yo+X3Y3+XoY6)=P(X6Yo)+P(X3Y3)+P(XoY6) =pxgp()P(xg)P(g)P(p(g)-×登号×号×g号 19.【解答】解：(1)由题意得函数g(x)的定义域为-1,1]， 当0,1时，不等式f(x)≤g(x)等价于x2-1≤2√1-x2,显然满足条件： 当[-1,0)时，不等式(x)≤g(x)等价于-2x<2V1-x2,即22≤1， 解得2<x<0 2 缘上16)的解集为[-竖，1： 印当x的联位范国为[-受f)8)成立 (x),-1<x<2 (2)(i)h (x)=maxif (x),g (x)]= ，原题可转化为h(x)=ax+2 8(x),2x 的实根个数问题（二重根为一个零点）， 图-1<x<2时，即为f()=a+2,所以-2=a+2至多一个实根@ 当Y2<x<1时，即为8()=a+2,所以21-x2ax+2至多两个实根四 第10页（共11页） 由①知，x=品∈[-1，-)，所以0<a<22-2,由②知，21-x2=ax+2, a+2 2 所以x=0或x=4a€[2,1]，所以a<2W2-2或a>2W2+2,且a≠0.当k=2时，若a a2+4 2 =0,则有两个零点0和-1，符合题意. 当a<0时，①无实根，对于②，只要x=a<1,化简得(a+2)2≥0，则-2≤a<0,符合题意， a2+4 当a>0时，若0<a<2V2-2,则有三个不等实根，不符合题意， 若a=22-2,则有两个零点0和2，符合题意.若a>2W2-2,则仅有一个零点0，不符合题意. 综上所述，当k=2时，a的取值范围为[-2,0]U{2√2-2}. ()由(1)得当k=3时，0<a<22-2,且三个零点分别为-2,4a,0,显然，B≠0， a+2’a2+4 m71a025-2. 易得数y受41在(0,25-2)上单河建饭 所以ya+1>22, a,四) 第11页（共11页）