湖南省娄底市涟源市部分学校2026-2027学年高二上学期入学考试数学试题

湖南省涟源市部分学校2026年下学期 高二入学考试数学试题 （考试时长：90分钟，共100分） 一、单选题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知为两条不同直线，为三个不同平面，下列命题：①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，则.其中正确命题序号为（ ） A. ②③ B. ②③④ C. ①④ D. ①②③ 2. 已知是空间的一组基底，则能与构成另一组基底的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 某位同学参加歌唱比赛，有8位评委．歌唱结束后，各评委打分的平均数为5，方差为3．又加入一个特邀嘉宾的打分为5，此时这9个分数的平均数为，方差为，则（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 如图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形．已知，，则下列说法正确的是（     ） A. B. C. 四边形的周长为 D. 四边形的面积为 5. 在中，是线段的中点，是线段的中点，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知某圆台的上、下底面半径分别为，且，若半径为2的球与圆台的上、下底面及侧面均相切，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，的外接圆的圆心为,,,,则等于(　) A. B. 3 C. 2 D. 8. 若函数的定义域内存在，使得成立，则称该函数为“完整函数”．已知是上的“完整函数”，则的取值范围为（ ） A. B. C. [3，5] D. 二、多选题（本大题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 设复数满足，为复数的共轭复数，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的虚部为 C. 是个纯虚数 D. 复数对应的点位于复平面的第二象限 10. 如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段上的动点（含端点），则下列结论正确的有（    ） A. 存在点，使得平面， B. 过点三点的平面截正方体所得截面的面积最大为5 C. 当在线段上运动时，三棱锥的体积为定值，且定值为 D. 的最小值为 三、填空题（本大题共2小题，每小题4分，共8分，把答案填在题中的横线上） 11. 如图，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标为________ 12. 为所在平面外一点，为在平面上的射影.若､､与平面所成的角相等，则是的___________心. 四、解答题（本大题共4小题，共48分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 13. 某校高一年级进行数学计算能力大赛，数学备课组从全年级的1000名学生的成绩中抽取容量为n的样本，构成频率分布直方图，且成绩在区间的人数为5． （1）求样本容量n以及频率分布直方图中的x； （2）估计全年级学生竞赛成绩的平均数； （3）从样本中得分在[80,100]的学生中随机抽取两人，问所抽取的两人中至少有一人的得分在区间[90,100]的概率是多少？ 14. 记的内角的对边分别为，已知. （1）若，求； （2）若是的中点，且，求； （3）若，求的面积. 15. 每年的10月1日是国庆节，为庆祝该节日，某学校举办了“知识竞赛”．竞赛共分两轮，即每位参赛选手均须参加两轮比赛，已知在第一轮比赛中，选手甲，乙胜出的概率分别为，；在第二轮比赛中，选手甲，乙胜出的概率分别为p，q．假设甲，乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响． （1）若，求乙恰好有一轮胜出的概率； （2）若甲，乙各有一轮胜出的概率为，甲，乙两轮都胜出的概率为． ①求p，q的值； ②求甲，乙两人至少有一人两轮都胜出的概率． 16. 如图，在四棱台中，底面是正方形，平面，，，. （1）求证：平面； （2）求直线到平面的距离； （3）若点P是正方形内的动点（不含边界），且满足，设直线与平面所成角为，求的取值范围. 湖南省涟源市部分学校2026年下学期 高二入学考试数学试题 （考试时长：90分钟，共100分） 一、单选题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】B 二、多选题（本大题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 【9题答案】 【答案】AC 【10题答案】 【答案】ACD 三、填空题（本大题共2小题，每小题4分，共8分，把答案填在题中的横线上） 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】外 四、解答题（本大题共4小题，共48分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 【13题答案】 【答案】（1）， （2） （3） 【14题答案】 【答案】（1）或； （2）； （3）. 【15题答案】 【答案】（1） （2）① ，；② 【16题答案】 【答案】（1） 连接AC交BD于，连接，则，因为， 由四棱台的性质可得，且，故四边形为平行四边形， 故，平面面，故面. （2） （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $