精品解析：湖南省常德市临澧县第一中学2026-2027学年高二上学期开学质量检测数学试题

高二年级上学期数学质量检测 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 复数的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，若，则（ ） A. ﹣4 B. 1 C. 2 D. 4 3. 已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则角C的值为（ ） A. B. C. 或 D. 4. 若正实数a，b满足lg a＋lg b＝1，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 2 5. 已知两个随机事件和，其中，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量与的夹角为，，则向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 柜子里有3双不同的鞋，分别用，，，，，表示6只鞋，从中随机地取出2只．设事件“取出的鞋不成双”，“取出的鞋中包含”，“取出的鞋都是一只脚的”，“取出的鞋是一只左脚的一只右脚的，但不是一双鞋”．对上述事件的关系，下列说法正确的是（ ） A. B. 与独立 C. 与对立 D. 与互斥 8. 我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“勾股圆方图”，该图被后人称为“赵爽弦图”．如图，大正方形由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成，其中小正方形的边长为1，为的中点，点在正方形内（不含边界），则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 有，，三种个体按的比例分层抽样调查，若抽取的个体数为9，则样本容量为30 B. 数据1，2，3，3，4，5的平均数、众数、中位数相同 C. 若甲组5个数据的方差为5，乙组数据为5，6，7，8，9，则这两组数较稳定的是甲 D. 某组样本数据为6，11，8，13，16，10，16，4，18，14，则样本数据分位数为9 10. 数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“等腰四面体”就是其中之一，所谓等腰四面体，就是指三组对棱分别相等的四面体.关于“等腰四面体”，以下结论正确的是（ ） A. 长方体中含有两个相同的等腰四面体 B. “等腰四面体”各面的面积相等，且为全等的锐角三角形 C. “等腰四面体”可由锐角三角形沿着它的三条中位线折叠得到 D. 三组对棱长度分别为，，的“等腰四面体”的外接球直径为 11. 如图，在棱长为2的正方体中，，分别是棱，的中点，点是正方体表面上的一个动点，则下列说法正确的是（ ） A. 存在点使得 B. 三棱锥体积的最大值为 C. 当点在侧面且满足时，二面角的正切的最大值为 D. 当直线与平面所成的角为时，点的轨迹长度为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 某圆锥母线长为2，其侧面积为，则该圆锥的体积为_______． 13. 若命题“，”是真命题，则实数的取值范围为_______． 14. 已知球的体积为，A，B，C，D四点均在球O的球面上，为等边三角形，，则的面积为__________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 在正方体中， （1）求异面直线和所成的角的大小； （2）求二面角的余弦值； （3）求直线和平面所成的角． 16. 已知函数. （1）求的最小正周期； （2）求的对称中心的坐标； （3）求函数在的区间上的最大值和最小值. 17. 在中，角所对的边分别为，，，已知. （1）求； （2）若的面积为，且，求的最小值. 18. 2026年5月25日至5月31日将是第四届全国城市生活垃圾分类宣传周，为提高同学们的垃圾分类意识．某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛的成绩情况，从中随机抽取了100名学生的竞赛成绩（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，按，，，，分为5组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求图中的值； （2）在这100名学生中，从这次竞赛成绩在内的学生中采用分层随机抽样的方法抽取27名学生进行调查，求这100名学生这次竞赛成绩在内被抽取的人数． （3）估计这100名学生这次竞赛成绩的中位数与平均数； 19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”.如图1，三个内角都小于的内部有一点，连接，求的最小值.我们称三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点为费马点.要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可求出这三条线段和的最小值.某数学研究小组先后尝试了翻折､旋转､平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题，具体的做法如图2，将绕点顺时针旋转，得到，连接，则的长即为所求，此时与三个顶点连线恰好三等分费马点的周角.同时小组成员研究教材发现：已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量. （1）已知平面内点，把点绕点沿顺时针方向旋转后得到点，求点的坐标； （2）在中，，借助研究成果，直接写出的最小值； （3）已知点，求的费马点的坐标. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级上学期数学质量检测 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 复数的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】复数的共轭复数为. 2. 已知向量，，若，则（ ） A. ﹣4 B. 1 C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】由坐标形式的共线定理即可求解. 【详解】由题得. 故选：D. 3. 已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则角C的值为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据正弦定理得出；再根据三角形中大边对大角及特殊角的三角函数值即可求解. 【详解】由正弦定理可得：. 因为， 所以. 又因为， 所以或. 故选：C. 4. 若正实数a，b满足lg a＋lg b＝1，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】 应用对数运算得到，由目标式结合基本不等式有即可求其最小值. 【详解】∵，即， ∴，而， ∴当且仅当时等号成立. ∴的最小值为2. 故选：D 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方 5. 已知两个随机事件和，其中，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】， ． 6. 已知向量与的夹角为，，则向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合向量的投影的定义和计算方法，即可求解. 【详解】由题意知，向量且向量与的夹角为， 所以向量在上的投影为， 又因为，所以向量在上的投影向量为. 故选：A. 7. 柜子里有3双不同的鞋，分别用，，，，，表示6只鞋，从中随机地取出2只．设事件“取出的鞋不成双”，“取出的鞋中包含”，“取出的鞋都是一只脚的”，“取出的鞋是一只左脚的一只右脚的，但不是一双鞋”．对上述事件的关系，下列说法正确的是（ ） A. B. 与独立 C. 与对立 D. 与互斥 【答案】B 【解析】 【分析】通过列举法写出试验的样本空间， 再逐一判断选项即可. 【详解】从6只鞋中任取2只，共有15种等可能的结果，样本空间为 ， 则， ， ，故，故A，C，D错误； 而，所以， 又，， 因此有，故与独立，B正确． 8. 我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“勾股圆方图”，该图被后人称为“赵爽弦图”．如图，大正方形由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成，其中小正方形的边长为1，为的中点，点在正方形内（不含边界），则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用题中条件设，将正方形的边长等长度求出，在直角三角形中，有，求出，再用向量的数量积公式求解即可. 【详解】 为的中点，设，，，，， ，，， 过作于，过作于，过作于， ，，，，， ，，， ，，，过作于，，，， 又，，. 故选：D 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 有，，三种个体按的比例分层抽样调查，若抽取的个体数为9，则样本容量为30 B. 数据1，2，3，3，4，5的平均数、众数、中位数相同 C. 若甲组5个数据的方差为5，乙组数据为5，6，7，8，9，则这两组数较稳定的是甲 D. 某组样本数据为6，11，8，13，16，10，16，4，18，14，则样本数据分位数为9 【答案】BD 【解析】 【详解】对于选项A：根据样本的抽样比等于各层的抽样比，样本容量为，故选项A不正确； 对于选项B：数据1，2，3，3，4，5的平均数为，众数和中位数都是3，故选项B正确； 对于选项C：乙组数据的平均数为，乙组数据的方差为 ，所以这两组数据中较稳定的是乙，故选项C不正确； 对于选项D：样本数据从小到大排序为，，则分位数为，故选项D正确． 故选：BD． 10. 数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“等腰四面体”就是其中之一，所谓等腰四面体，就是指三组对棱分别相等的四面体.关于“等腰四面体”，以下结论正确的是（ ） A. 长方体中含有两个相同的等腰四面体 B. “等腰四面体”各面的面积相等，且为全等的锐角三角形 C. “等腰四面体”可由锐角三角形沿着它的三条中位线折叠得到 D. 三组对棱长度分别为，，的“等腰四面体”的外接球直径为 【答案】ABC 【解析】 【分析】作出长方体，根据等腰四面体的定义得出图形，根据长方体的性质判断各选项． 【详解】如图，长方体有两个相同的等腰四面体：和，A正确； 如等腰四面体中，每个面可能看作是从长方体截一个角得出的， 如图，设的长分别为，不妨设， 则，，，最大， 其所对角的余弦值为，最大角为锐角，三角形为锐角三角形，同理其它三个面都是锐角三角形，各个面的三条边分别相等，为全等三角形，面积相等，B正确； 把一个等腰四面体沿一个顶点出发的三条棱剪开摊平，则得一个锐角三角形，还有三条棱是这个三角形的三条中位线， 如等腰四面体，沿剪开摊平，共线，同理可得共线，共线，为锐角三角形（与等腰四面体的面相似），且是这个三角形的中位线，因此C正确； 如上等腰四面体中三条棱长分别是长方体的三条面对角线长，由长方体性质知长方体对角线是其外接球直径，因此直径长为，D错。 故选：ABC． 11. 如图，在棱长为2的正方体中，，分别是棱，的中点，点是正方体表面上的一个动点，则下列说法正确的是（ ） A. 存在点使得 B. 三棱锥体积的最大值为 C. 当点在侧面且满足时，二面角的正切的最大值为 D. 当直线与平面所成的角为时，点的轨迹长度为 【答案】ABD 【解析】 【分析】通过点位于处时，可判断A，通过点是到平面距离最大的点，即可判断B，确定的轨迹是以为圆心、1为半径的一段圆弧，再得到即为二面角的平面角，进而可判断C，通过确定是与平面所成角，得到点轨迹是线段，及圆弧，即可判断D. 【详解】 因为，分别是棱，的中点，则， 又，所以，即当点位于处时，显然满足，故A正确； 对于B，在正方体中，易知为正三角形，， 要使三棱锥的体积最大，当且仅当点到平面的距离最大， 又在正方体表面上，点到平面距离最大， 此时三棱锥是棱长为的正四面体， 又点到平面的距离， 则，故B正确； 对于C，且在侧面矩形内，则的轨迹是以为圆心、1为半径的一段圆弧， 因为，，，平面， 所以平面，故， 又因为平面平面平面，平面， 根据二面角平面角定义，即为二面角的平面角， 在矩形内，过作交于点， 中，，越大，二面角越大，即越大， 当取圆弧与的交点，即与圆弧相切时，最大，所以， 即二面角的正切的最大值为2，故C错误； 对于D，由平面平面，得直线与平面所成的角为， 连接，，由平面平面，且， 则点为线段或上任意点（除点外）， 在正方形内以为圆心，2为半径作圆弧， 当点为圆弧上任意点时，连接， 由平面，得是与平面所成角， 而，则，因此点轨迹是线段，及圆弧（除点外）， 所以点轨迹长度为，故D正确． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 某圆锥母线长为2，其侧面积为，则该圆锥的体积为_______． 【答案】 【解析】 【详解】设圆锥底面圆半径为，高为，母线， 则圆锥的侧面积为，所以，， 故该圆锥的体积为． 13. 若命题“，”是真命题，则实数的取值范围为_______． 【答案】或 【解析】 【分析】转化为二次方程有解，利用判别式大于等于0 求解 【详解】若命题“”是真命题， 则，解得或 故答案为：或 14. 已知球的体积为，A，B，C，D四点均在球O的球面上，为等边三角形，，则的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据球的体积得出球的半径，由正三棱锥的对称性得出球心的位置，然后由勾股定理，列方程组求解. 【详解】由球的体积公式，，解得， 设的外心为，连接， 由题意知为该三棱锥的高，所以该三棱锥的外接球的球心在上， 不妨设在线段上，连接， 设的边长为，由正弦定理可得，， 再设，由题知，， 解得（负值表示球心在线段的延长线上，实际情况如右图）， 所以， 由三角形面积公式，. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 在正方体中， （1）求异面直线和所成的角的大小； （2）求二面角的余弦值； （3）求直线和平面所成的角． 【答案】（1） （2）0 （3） 【解析】 【分析】（1）先证明，从而得到（或其补角）即为异面直线所成的角，然后在中求解即可； （2）根据二面角的定义得到为二面角的平面角，再求出即可； （3）先证明平面，从而得到即为所求的线面角，然后在中求解即可； 【小问1详解】 如图所示，连接，， 在正方体中，且， 四边形为平行四边形，， （或其补角）即为异面直线和所成的角. 在正方体中，， 为等边三角形，， 异面直线和所成的角为； 【小问2详解】 在正方体中，，，. 由二面角的定义可知即为二面角的平面角， ，二面角的余弦值为0； 【小问3详解】 如图所示，连接与交于点，连接，设正方体的棱长为． 平面，平面，， 又，，平面，平面， 为斜线在平面上的投影，即为和平面所成的角． 在中，，，，， 直线和平面所成的角为． 16. 已知函数. （1）求的最小正周期； （2）求的对称中心的坐标； （3）求函数在的区间上的最大值和最小值. 【答案】（1）最小正周期；（2）对称中心的坐标为，；（3）最大值为，最小值为. 【解析】 【分析】 （1）利用辅助角公式进行化简，结合周期公式进行计算即可 （2）根据三角函数的对称性进行求解 （3）求出角的范围，结合三角函数的有界性以及最值性质进行求解即可. 【详解】解：（1）， 则的最小正周期， （2）由，，得，， 即的对称中心的坐标为，. （3）当时，， 则当时，函数取得最大值，最大值为， 当时，函数取得最小值，最小值为. 【点睛】本题考查三角恒等变换与三角函数性质的综合运用，其中涉及辅助角公式、周期、三角函数对称中心，主要考查学生的化简计算能力，难度一般. 17. 在中，角所对的边分别为，，，已知. （1）求； （2）若的面积为，且，求的最小值. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理以及余弦定理计算可得，可求； （2）由三角形面积公式以及向量表示，利用向量数量积的运算律可得的最小值为. 【小问1详解】 由正弦定理得， 即， 由余弦定理可得， 因为， 所以. 【小问2详解】 由已知，所以. 因为，所以， 可得， 所以 ， 又， 当且仅当，时取等号， 所以的最小值为. 18. 2026年5月25日至5月31日将是第四届全国城市生活垃圾分类宣传周，为提高同学们的垃圾分类意识．某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛的成绩情况，从中随机抽取了100名学生的竞赛成绩（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，按，，，，分为5组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求图中的值； （2）在这100名学生中，从这次竞赛成绩在内的学生中采用分层随机抽样的方法抽取27名学生进行调查，求这100名学生这次竞赛成绩在内被抽取的人数． （3）估计这100名学生这次竞赛成绩的中位数与平均数； 【答案】（1） （2） （3）中位数为，平均数为 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图中各小长方形面积之和等于1求出； （2）先求出成绩在内、内的人数，再按分层随机抽样的比例求解； （3）用各组的组中值分别乘对应人数，再除以总人数，求得平均数，利用面积和为可得中位数. 【小问1详解】 由频率分布直方图可知，各组的组距都是， 各组对应的小长方形面积之和等于总频率1，所以， 化简得，即，即，即， 所以图中. 【小问2详解】 由（1）知， 因此各组的频率分别为， ， 对应这名学生各组的人数分别为， 成绩在内的人数为， 成绩在内的人数为， 所以成绩在内的总人数为， 现从这45人中采用分层随机抽样的方法抽取27人， 则成绩在内被抽取的人数为， 所以这名学生这次竞赛成绩在内被抽取的人数为6. 【小问3详解】 由（2）知，各组的人数分别为， 各组的组中值分别为， 则， 所以估计这名学生这次竞赛成绩的平均数为分. 由可得中位数位于中间，设为， 则. 19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”.如图1，三个内角都小于的内部有一点，连接，求的最小值.我们称三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点为费马点.要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可求出这三条线段和的最小值.某数学研究小组先后尝试了翻折､旋转､平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题，具体的做法如图2，将绕点顺时针旋转，得到，连接，则的长即为所求，此时与三个顶点连线恰好三等分费马点的周角.同时小组成员研究教材发现：已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量. （1）已知平面内点，把点绕点沿顺时针方向旋转后得到点，求点的坐标； （2）在中，，借助研究成果，直接写出的最小值； （3）已知点，求的费马点的坐标. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，代入公式可得，从而得解； （2）根据题意，旋转后为等边三角形，根据勾股定理可解； （3）根据题意，中，与关于轴对称，所以旋转后与关于轴对称，由图形的对称性知费马点必在轴上，由三点共线求解. 【小问1详解】 ，绕着点顺时针旋转， 即逆时针旋转，代入公式， ， 所以， 则点的坐标为； 【小问2详解】 由费马点的求法知： 绕着点顺时针旋转，与重合，， 所以为等边三角形， 连接，的最小值为，由勾股定理得； 【小问3详解】 通过材料可以知道，内部有一点，连接， 将绕点顺时针旋转，得到，连接，则的长即为所求， 此时与三个顶点连线恰好三等分费马点的周角， 即此时点满足， 又由题设，可知为等腰三角形，且， 根据费马点求法知：点在中垂线上， 且是顶角为的等腰三角形，所以， 故，则. 【点睛】关键点点睛：第（3）中，发现中，根据费马点求法知：点在中垂线上，且. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $