第12章 概率初步概念清单速记表（知识清单）数学沪教版必修第三册

该高中数学概率初步知识清单系统梳理了第12章核心内容，涵盖随机现象与样本空间、古典概率、频率与概率、随机事件的独立性四大知识范畴，为学生搭建了从基础概念定义到公式推导应用再到实际问题解决的递进式学习支架。 清单按章节分类呈现概念，通过“相关概念”列建立知识关联，突出古典概率模型条件、独立性判定公式等重难点，培养学生的数学思维与数学语言。如“事件运算的对偶公式”标注德摩根律，结合集合补集知识强化逻辑推理，不同层次学生可高效掌握体系，教师能据此设计针对性教学，提升复习实效。

第12章 概率初步清单速记表 章节 概念 定义或说明 相关概念 12.1 随机现象与样本空间 概率的意义 概率是描述一个随机现象中某事件发生的可能性（或者机会）大小的一种度量。 可能性、度量 随机现象 具有不确定性、无法预知确切结果的现象称为随机现象，或者说具有随机性；可以预见确切结果的现象具有确定性。 不确定性、随机性、确定性现象 随机试验 可随意重复的随机现象，如抛掷硬币、掷骰子、抽签等，称为随机试验；天气、动物寿命等不可随意重复的随机现象，其研究方法与随机试验不尽相同。 试验、重复 样本空间 一个随机现象中依某个角度观察其所有可能出现（发生）的结果所组成的集合称为一个样本空间，用 表示，其中的元素称为样本点。 样本点、集合、 样本点个数的有限与无限 如抽牌、摸球、抽签等随机试验可能出现的结果都是有限的，样本空间只有有限个样本点；而如观察掷骰子直到出现某点数的次数、向墙面掷飞镖的落点等，其样本空间有无限个样本点。 有限、无限 事件（随机事件） 在数学中把关注的某件事情称为事件，或称为随机事件；在样本空间确定之后，事件可以看作样本空间的一个子集，即满足事件所述条件的所有样本点的集合，如果其中某个样本点发生，就说该事件发生。 子集、事件发生 必然事件与不可能事件 在一个随机试验中，必然发生的事件称为必然事件，它对应的子集就是样本空间 ；必然不发生的事件称为不可能事件，对应的子集是空集 。它们统称为确定事件，其余的称为不确定事件。 确定事件、不确定事件 样本空间与观察角度 样本空间由观察问题的角度确定；尽管从不同的角度观察随机现象会影响样本空间的呈现，但不影响其中事件发生的可能性大小，也就是不影响概率。 观察角度、概率 12.2 古典概率 等可能性 若一个随机试验的所有结果出现的可能性都一样，则称之为具有等可能性，它在许多场合下是直观自然的。 等可能、可能性相同 古典概率模型 如果一个随机试验满足下面两个条件：(1) 包含有限个可能出现的结果（样本点）；(2) 这些结果的出现是等可能的，那么这样的随机试验就称为古典概率模型。它是最常见也是最简单的概率模型。 有限个结果、等可能性 古典概率的计算公式 在古典概率模型中，用 表示事件 发生的概率，则 ，其中 表示事件 中的样本点个数， 表示样本空间中的样本点个数，即概率是事件中的样本点个数与样本空间中样本点个数的比值。 、样本点个数、比值 概率的基本性质 根据古典概率的定义可得：(1) 任意事件 的概率介于 0、1 之间，即 ；(2) 规范性：必然事件的概率为 1，即 ，不可能事件的概率为 0，即 。 规范性、有界性 事件包含关系 如果事件 对应子集的样本点都在事件 对应的子集中，那么 发生必然 发生，此时称 包含 或 包含于 ，记作 ；等价地， 不发生则 也不发生。 包含、 事件的并（至少有一个发生） “两个事件 、 至少有一个发生”本身也是一个事件，它对应的子集是 ，对应于相应集合的并。 并、 事件的交（同时发生） “两个事件 、 同时发生”也是一个事件，它对应的子集是 ，对应于相应集合的交。 交、 互斥事件 如果 与 没有共同的样本点，即两个子集不相交 ，那么这两个事件不可能同时发生，称它们互斥。 互斥、不可能同时发生 对立事件 “事件 不发生”称为事件 的对立事件，简称为“非 ”，对应的子集是不属于 的样本点全体，即 在样本空间 中的补集 。 与 不会同时发生但肯定有一个发生，即 ，。 对立事件、补集、 事件运算的对偶公式 “、 两个事件同时发生”的否定是“、 至少有一个不发生”，即 ；“、 两个事件至少有一个发生”的否定是“ 与 都没发生”，即 。这两个公式对任意多个事件同样成立。 德摩根律、对偶 概率的可加性 设事件 、 互斥（），则 。作为度量某事件发生可能性大小的量，概率最本质的性质就是可加性。 可加性、互斥 对立事件的概率公式 对任一事件 ，其对立事件的概率为 ，即事件发生的概率与不发生的概率的和总是 1。 对立事件、 多个互斥事件的可加性 从两个事件的可加性可以推出任意多个事件的可加性：如果 是 个两两互斥的事件，那么 。 两两互斥、可加性 等可能样本空间的构造 在古典概率模型中通常要选取等可能的样本空间。设一个随机试验分两步完成，第一步有 个等可能的结果，第二步对第一步的每个结果总有 个等可能的结果，则样本空间共有 个等可能的样本点；对多步的等可能随机试验可类似地构造等可能的样本空间。 分步、 个样本点 12.3 频率与概率 伯努利试验 如果一个随机试验只有两种可能的结果，一个是“成功”，概率为 （），一个是“失败”，概率为 ，那么这个随机试验称为伯努利试验，如抛掷硬币观察正面朝上、掷骰子观察点数 6 向上。 成功、失败、 频率 假设可以独立地重复一个伯努利试验 次，其中成功的次数记作 ，则 被称为（ 次试验中）成功的频率。频率是一个依赖于试验次数 的数，它不是确定的数，而是一个随机的数。 频率、 伯努利大数定律 通过大量的观察可以发现：频率具有稳定性，在试验次数足够多时，频率会稳定地趋向于概率。该定律说明概率在某种意义上是可以检验的，其成立的一个关键条件是试验可以独立地重复。 大数定律、稳定性 经验概率 频率在大数次的试验中稳定于某一常数（概率），因此在实际中可以把频率作为概率的估计值来应用；频率也称为经验概率，为了与概率区别，经验概率通常用 表示。 经验概率、、估计 几何概率模型 向包含区域 的区域 内随机投点（或投飞镖）时，落点落在 内的概率等于面积比 ，其中 与 分别表示两个区域的面积，这类概率模型称为几何概率模型。 几何概率、面积比 主观概率 对于不能独立地重复的随机现象（如某人能否健康活到某岁），人们谈论的概率只是一种心理预期，无法用频率检验，称之为主观概率，它只能反映说话者的主观判断。 主观概率、不可重复 蒙特卡洛算法 利用大数定律，用随机投点的频率估计几何概率，从而近似计算不规则区域的面积，这类方法称为蒙特卡洛算法（也称随机化算法），其优点是操作简单，缺点是难以估计和控制误差。 蒙特卡洛、随机化算法 12.4 随机事件的独立性 事件的独立性 两个事件 与 （相互）独立是指它们同时发生的概率等于它们各自发生概率的乘积，即 。 独立、 独立性的直观含义 直观地，如果两个随机事件 、 是否发生互相不影响，就认为它们是独立的。由随机试验的独立性可以直接判断相应事件的独立性。 互不影响、独立重复试验 独立性的判定 当两个事件的独立性不能通过随机试验的独立性来判断时，要用等式 是否成立来检验两个事件 与 是否独立。 检验、充要条件 独立性的推广 如果两个事件 与 独立，那么事件 与 也独立，由此还可推出 与 独立、 与 独立，即 发生与 是否发生是独立的。 对立事件、独立 独立事件概率的计算方法 在独立重复试验中，若干个相互独立的事件同时发生的概率等于各自概率的乘积；若一个事件可以分解为若干个两两互斥的情形，则其概率等于各情形概率之和，例如 枚硬币全部正面朝上的概率为 。 乘积、分解、独立重复 至少一个发生的概率 若事件 与 独立，则“至少一个发生”的概率可以利用对立事件求得：。 至少一个发生、对立事件 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $