高二数学上学期第一次月考（湘教版选择性必修第一册第1章，高效培优）

**基本信息** 聚焦湘教版选择性必修第一册第1章数列内容，通过斐波那契数列渗透数学文化，设计递推证明、性质辨析等题，考查抽象能力、推理意识与应用意识，适配高二月考学情。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|数列通项、等差等比性质、充分必要条件|第8题以斐波那契数列体现文化传承，培养创新意识| |多选题|3/18|等差数列前n项和、等比数列单调性|第9题结合公差与前n项和性质，考查批判性思维| |填空题|3/15|递推数列、等比中项、等比数列性质|第12题通过递推关系强化抽象能力| |解答题|5/77|递推求通项、等差等比运算、证明等差数列、数列求和|18、19题要求证明等差数列，突出逻辑推理；17题多问设计梯度，适配能力提升需求|

2026-2027学年高二数学上学期第一次月考卷 第一部分（选择题 共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B D D A A B D C 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AC BC BCD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【解析】（1）因为， 所以当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 所以数列的前5项分别为； ………………5分（每一项1分） （2）因为，， 所以，，， ， 所以数列的前5项分别为， ………………10分（每一项1分） 由数列的前5项猜想， 验证：当时，，满足题意； 当时， ， 所以， 所以成立； ………………13分 16．（15分） 【解析】（1）设为的公差，由题意得， ………………4分 解得， …………6分 故. ………………8分 （2）由题意得 . ………………15分 17．（15分） 【解析】（1）在等比数列中，，，，而， 所以． ………………5分 （2）因为，又，，，则， 解得． ………………10分 （3）因为，，则 ………………15分 18．（17分） 【解析】（1）已知，两边同时除以得：， …………2分 ， ………………4分 数列是首项是，公差是1的等差数列，且． ………………6分 （2）由（1）知，已知，则， 当时，对递推式累加：， 用错位相减法求和： ①， ………………8分 ②， ………………10分 由①减②得， ， ， ………………12分 代入得， ， ………………14分 当时，，也符合关系， ………………15分 数列的通项公式为． ………………17分 19．（17分） 【解析】（1）证明：显然，对两边同时取倒数， 得，即， ………………4分 所以数列是公差为2的等差数列， ………………5分 又，所以， ………………7分 所以． ………………9分 （2）因为， 所以， ………………12分 则数列的前项和 ………………14分 所以. ………………17分 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版选择性必修第一册第1章。 第一部分（选择题 共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．数列的第8项为（    ） A． B． C． D． 2．已知等比数列的公比为，则“”是“为递减数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．若数列的前四项为2，0，2，0，则此数列的通项公式不能是（   ） A． B． C． D． 4．已知数列的通项公式为，则80是该数列的（    ） A．第8项 B．第7项 C．第6项 D．第5项 5．已知等差数列满足，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．等差数列的前项和为，若，，则（    ） A． B． C． D． 7．已知数列是等差数列，是其前项和，，，则公差（    ） A． B． C． D． 8．斐波那契数列又称为黄金分割数列，在现代物理、化学等领域都有应用．已知斐波那契数列满足，，则下列结论中错误的是（    ） A．存在，使得，，成等差数列 B．存在常数，使得对任意，都有，，成等差数列 C．存在，使得，，成等比数列 D．存在正整数，，…，，且，使得 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知是公差的等差数列，其前项和为，且，，则下列说法正确的有（    ） A． B．当且仅当时，取最小值 C．数列是等比数列 D． 10．已知等差数列的前项和为，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B． C．，，可能成等差数列 D．，，可能成等比数列 11．已知等比数列的公比，则（    ） A．数列是递增数列 B．数列是递增数列 C．数列是递增数列 D．数列是递增数列 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．数列满足，，则_________． 13．4和10的等比中项是____________. 14．已知数列是等比数列，满足，则＝______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本题13分） （1）根据已知条件，，写出数列的前5项； （2）已知数列满足，，写出它的前5项，并猜想它的通项公式． 16．（本题15分） 已知等差数列满足，. (1)求数列的通项公式 (2)求 17．（本题15分）在等比数列中． (1)若它的前三项分别为，求； (2)若，，，求； (3)已知，，求； 18．（本题17分）已知数列满足． (1)证明：数列是等差数列； (2)数列满足．求数列的通项公式． 19．（本题17分） 已知数列满足． (1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版选择性必修第一册第1章。 第一部分（选择题 共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．数列的第8项为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】数列 分子：，通项为； 分母：，通项为； 故数列通项为，第8项：. 故选：B 2．已知等比数列的公比为，则“”是“为递减数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】等比数列首项时，， 因为，所以为递增数列， 所以推不出为递减数列； 若数列的通项公式为，此数列为递减数列， 公比，不满足，所以为递减数列推不出； 所以等比数列的公比为，“”是“为递减数列”的既不充分也不必要条件. 故选：D 3．若数列的前四项为2，0，2，0，则此数列的通项公式不能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，，，，，A可能. 对于B，，，，，B可能. 对于C，，，，，C可能. 对于D，，， ，故D不可能. 故选：D 4．已知数列的通项公式为，则80是该数列的（    ） A．第8项 B．第7项 C．第6项 D．第5项 【答案】A 【详解】令，得 ，解得 ，或（舍去）. 故选：A 5．已知等差数列满足，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【详解】由等差数列的性质，，由题知，则. 故选：A 6．等差数列的前项和为，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设等差数列的公差为，则， 所以，即，， 又，故，所以. 故选：B 7．已知数列是等差数列，是其前项和，，，则公差（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意：，化简可得：， 所以，解得：. 故选：D 8．斐波那契数列又称为黄金分割数列，在现代物理、化学等领域都有应用．已知斐波那契数列满足，，则下列结论中错误的是（    ） A．存在，使得，，成等差数列 B．存在常数，使得对任意，都有，，成等差数列 C．存在，使得，，成等比数列 D．存在正整数，，…，，且，使得 【答案】C 【详解】对于A，由数列满足，， 可得，， 则满足，即构成等差数列，所以A正确； 对于B，由， 可得，即，即， 所以构成等差数列， 所以存在使得对于任意的，都有，，成等差数列，所以B正确； 对于C，若，，成等比数列，可得， 因为，可得， 所以，解得， 由题意可知、，故， 另一方面，若，则，这与矛盾， 所以不存在，使得，，成等比数列，所以C错误； 对于D，由数列满足，， 可得数列的前项分别为， 其中， 所以存在正整数，，…，，且，使得，所以D正确. 故选：C 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知是公差的等差数列，其前项和为，且，，则下列说法正确的有（    ） A． B．当且仅当时，取最小值 C．数列是等比数列 D． 【答案】AC 【详解】对于A，设等差数列的首项为，则，. 可将，看作方程的两根，解得或. 因为，所以，故，. 公差，. 故通项公式为，A正确. 对于B，，这是开口向上的二次函数，对称轴. 因为，所以当或时，均取最小值，B错误. 对于C，令，则， 所以是首项为、公比为4的等比数列，C正确. 对于D，令，解得， 当时，；当时，， 易知，，，，，，，，，， 所以，D错误. 故选：AC 10．已知等差数列的前项和为，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B． C．，，可能成等差数列 D．，，可能成等比数列 【答案】BC 【详解】对于A，由是等差数列，则， 若，则，即， 所以，即当，且时，，即不恒成立，故A错误； 对于B，由是等差数列，则对任意的整数，都有，，成等差数列， 令，则，，成等差数列， 所以，故B正确； 设等差数列的公差为，则，，， 对于C，若成等差数列，则，即，解得， 则，，，即，，所以， 即当时，，，成等差数列，故C正确； 对于D，若成等比数列，则，即，解得， 将看成是关于的一元二次方程， 则，只有当时，方程有解，且解为， 此时，则，，不可能成等比数列，故D错误． 故选：BC 11．已知等比数列的公比，则（    ） A．数列是递增数列 B．数列是递增数列 C．数列是递增数列 D．数列是递增数列 【答案】BCD 【详解】由等比数列的公比，得， 对于A，，当时，，数列是递减数列，A错误； 对于B，，，数列是递增数列，B正确； 对于C，，，数列是递增数列，C正确； 对于D，，，数列是递增数列，D正确. 故选：BCD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．数列满足，，则_________． 【答案】 【详解】由， 得，即， 则是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即． 故答案为： 13．4和10的等比中项是____________. 【答案】 【详解】4和10的等比中项是. 故答案为： 14．已知数列是等比数列，满足，则＝______． 【答案】 【详解】设数列的公比为， 则，则. 故答案为： 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） （1）根据已知条件，，写出数列的前5项； （2）已知数列满足，，写出它的前5项，并猜想它的通项公式． 【答案】（1） （2）， 【详解】（1）因为， 所以当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 所以数列的前5项分别为； （2）因为，， 所以，，， ， 所以数列的前5项分别为， 由数列的前5项猜想， 验证：当时，，满足题意； 当时， ， 所以， 所以成立； 16．（本题15分） 已知等差数列满足，. (1)求数列的通项公式 (2)求 【答案】(1) (2)60 【详解】（1）设为的公差，由题意得，解得， 故. （2）由题意得 . 17．（本题15分）在等比数列中． (1)若它的前三项分别为，求； (2)若，，，求； (3)已知，，求； 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）在等比数列中，，，，而， 所以． （2）因为，又，，，则， 解得． （3）因为，，则 18．（本题17分）已知数列满足． (1)证明：数列是等差数列； (2)数列满足．求数列的通项公式． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）已知，两边同时除以得：， ， 数列是首项是，公差是1的等差数列，且． （2）由（1）知，已知，则， 当时，对递推式累加：， 用错位相减法求和： ①， ②， 由①减②得，， ， 代入得， ， 当时，，也符合关系， 数列的通项公式为． 19．（本题17分） 已知数列满足． (1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析， (2) 【详解】（1）证明：显然，对两边同时取倒数， 得，即， 所以数列是公差为2的等差数列， 又，所以， 所以． （2）因为， 所以， 则数列的前项和 所以. 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $