高二数学上学期第一次月考01（苏教版，范围：选择性必修第一册第1章～第2章，举一反三）

**基本信息** 本卷聚焦苏教版选择性必修第一册直线与圆内容，以“将军饮马”“阿波罗尼斯圆”等文化情境为载体，通过基础运算（如直线倾斜角、圆的方程）与综合探究（如轨迹证明、面积最值）的分层设计，考查数学抽象、逻辑推理与模型构建能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|直线倾斜角、垂直平行关系、圆的方程|第7题以“将军饮马”问题考查几何直观，体现文化传承| |多选|3/18|直线斜率比较、切线长、动直线过定点|第11题结合切线长与直线AB恒过定点，考查逻辑推理| |填空|3/15|直线交点、平行直线距离、直线与曲线交点|第14题直线与曲线交点问题，考查空间观念| |解答|5/77|直线方程、圆的方程、轨迹方程证明|第19题阿波罗尼斯圆轨迹证明，考查数学抽象与模型意识；第18题直线面积最值，体现应用意识|

2026-2027学年高二数学上学期第一次月考卷01 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（25-26高二上·山东临沂·期末）已知直线经过点，，则的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先由两点式斜率公式求得斜率，再结合倾斜角的范围求解即可. 【解答过程】因为直线经过点，，所以的斜率为， 又直线倾斜角的范围为，所以直线的倾斜角为. 故选：D. 2．（5分）（25-26高二上·江苏南通·期末）已知直线垂直于直线，则实数（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【解题思路】利用两直线垂直可得出，解该方程即可. 【解答过程】因为直线垂直于直线， 所以，解得. 故选：A. 3．（5分）（25-26高二上·重庆·期末）已知圆经过原点和点，并且圆心在直线上，则圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】依题意设，由求出的值，即得圆心与半径，进而得到圆的方程. 【解答过程】依题意，可设， 由可得， 解得，故得圆心，半径为， 则所求圆的方程为. 故选：A. 4．（5分）（25-26高二上·江苏南京·期末）过点且与直线平行的直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先根据直线的平行关系求得所求直线的斜率，再根据斜截式方程求解即可 【解答过程】因为直线的斜率为，所求直线与平行， 所以所求直线的斜率也为， 又因为所求直线过点， 所以，由斜截式方程可知，所求直线方程为，即 故选：B. 5．（5分）（25-26高二上·陕西渭南·期末）已知圆与圆相交于两点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，联立两圆方程消去二次项即得所求方程. 【解答过程】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 而，即两圆相交， 所以直线的方程为，即. 故选：B. 6．（5分）（25-26高二上·广东潮州·阶段检测）已知点、、，过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】结合图象分析过点与线段有公共点的情况，求出过线段端点的斜率，从而得出斜率的取值范围． 【解答过程】如下图所示，    若过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率或， ，， 直线的斜率或， 直线斜率的取值范围是，故C正确． 故选：C． 7．（5分）（25-26高二上·江苏扬州·期末）古代数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点为，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再到军营的总路程最短，则将军在河边饮马的地点坐标为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】求出点关于直线的对称点，求出直线与河岸线的交点即可得出饮马的地点坐标. 【解答过程】设点关于直线的对称点为点, 根据对称点的性质知中点在直线上， 即,可得, 又直线与直线垂直，即,可得, 即可得,即点, 直线的斜率为,得直线方程，即, 将军在河边饮马的地点坐标为直线与河岸线的交点 ， 将代入得,即坐标点为. 则将军在河边的饮马地点为. 故选：C. 8．（5分）（25-26高二上·福建南平·期末）过点作圆：的切线，，切点分别为，，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由圆的方程求圆心坐标和半径，再求，结合切线性质求，，再利用三角形面积公式求 的面积，结合对称性可得结论. 【解答过程】圆的圆心为，半径， 由切线性质可得，，， 又点的坐标为， 所以， 所以， 所以的面积， 的面积， 所以四边形的面积. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（25-26高二上·宁夏中卫·阶段检测）如图，直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解题思路】根据斜率和倾斜角的关系确定正确答案. 【解答过程】由图象可知， 所以，， 函数在上单调递增，所以， 综上所述，. 故选：AD. 10．（6分）（25-26高二上·山东滨州·期末）已知直线和直线，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．恒过定点 C．若，则或 D．当时，不过第三象限 【答案】BCD 【解题思路】根据直线平行和垂直得到关于的方程，解出后即可判断AC，变形得，即可得到方程组，解出后即可判断B，将直线方程化为斜截式即可判断D. 【解答过程】对于A：若 ，则，解得或， 当时，，，则与重合，故舍去， 当时，，，则 ，故A错误； 对于B，直线，即， 令，解得，故直线过定点，故B正确； 对于C：若，则，解得或，故C正确； 对于D：当时，直线始终过点，且斜率为负，故该直线过第一、二、四象限，故D正确． 故选：BCD． 11．（6分）（2026高二上·福建厦门·专题练习）已知圆，点P是直线上一动点，过点P作圆C的切线PA，PB，切点分别是A和B，则下列说法正确的有（    ） A．圆C上恰有两个点到直线l的距离为 B．切线长的最小值为 C．直线AB恒过定点 D．当四边形PACB面积最小时，直线AB方程为 【答案】ACD 【解题思路】对A：利用点到直线距离公式计算出圆心C到直线l的距离后，结合半径长即可得；对B：借助切线性质与勾股定理计算即可得；对C：设，利用切线的性质可得A，B在以PC为直径的圆上，且可表示出该圆方程，联立圆C方程，作差可表示出直线AB方程，即可得所过定点；对D：利用等面积法及切线性质计算可得当取最小值时，四边形PACB面积最小，此时有，则可得直线PC方程，可解出点坐标，结合C选项中所得直线AB方程即可得解. 【解答过程】由圆，得圆心，圆半径， A选项：点C到直线l的距离为，又，即， 所以圆C上恰有两个点到直线l的距离为，A选项正确； B选项：切线长， 所以当取最小值时，切线长最小，， 所以，B选项错误； C选项：由切线的性质可知A，B在以PC为直径的圆上， 设，则以为直径的圆的圆心为， 半径为， 圆的方程为， 即， 又A，B在圆C上，则， 得，则，解得， 所以AB恒过定点，C选项正确； D选项：由已知， 所以， 所以当取最小值时最小，此时， 所以，直线PC方程为， 即，联立，解得，故，则， 所以，即，D选项正确． 故选：ACD． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（25-26高二上·陕西咸阳·期中）直线：与直线：的交点坐标为__________. 【答案】 【解题思路】利用方程组求解交点即可. 【解答过程】由题意可得：，解得， 所以交点坐标为， 故答案为：. 13．（5分）（25-26高二上·广东揭阳·阶段检测）已知直线与平行，则与的距离为__________． 【答案】 【解题思路】先根据两直线平行求出，然后求出平行直线间的距离即可. 【解答过程】因为直线与平行， 所以，解得. 所以直线变为，即. 则与的距离为. 故答案为：. 14．（5分）（25-26高二上·江苏常州·期末）若直线与曲线恰好有一个公共点，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【解题思路】根据直线过定点，以及直线和圆的位置关系，利用数形结合作出图象进行研究即可. 【解答过程】直线过定点， 曲线为以为圆心，1为半径，且位于轴上部分的半圆， 当直线过点时，直线与曲线有两个不同的交点，即，解得， 当直线与曲线相切时，直线与圆有一个交点， 圆心到直线的距离，解得， 结合图象可知，当或时，直线与曲线恰有一个交点， 所以，实数的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（25-26高二上·北京·阶段检测）当m为何值时，过两点，，的直线. (1)与过两点，的直线垂直； (2)与过两点，的直线平行. 【答案】(1)或； (2)或. 【解题思路】（1）根据两直线垂直则斜率之积为，列方程求解即可； （2）根据两直线平行则斜率相等，列方程求解即可. 【解答过程】（1）经过，两点的斜率为：， 经过，两点的斜率为：， 两直线垂直则斜率之积为，所以，解得或； （2）经过，两点的斜率为：， 两直线平行则斜率相等，所以，解得或. 16．（15分）（25-26高二上·上海·阶段检测）已知三个顶点的坐标分别为、、，求： (1)边所在直线的方程； (2)边上的中线所在直线的方程. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）首先求出直线的斜率，再由点斜式求出直线方程； （2）首先求出的中点的坐标，即可求出中线的斜率，再由斜截式求出直线方程. 【解答过程】（1）因为、，所以， 所以边所在直线的方程为，即； （2）因为、，所以的中点为，不妨记， 又，所以， 所以边上的中线所在直线的方程为，即. 17．（15分）（25-26高二上·山东枣庄·期末）已知的三个顶点分别是， (1)求边BC所在的直线方程； (2)求过A，B，C三点的圆的方程． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）先求出的斜率，再利用点斜式求解； （2）设圆的一般方程，代入已知点，解方程组求出系数，进而求解． 【解答过程】（1）已知，则， 所在直线方程为，即． （2） 设圆的一般方程为， 代入点得①， 代入点得②， 代入点得③， 联立①②③解得， 圆的一般方程为，标准方程为． 18．（17分）（25-26高二上·陕西渭南·阶段检测）已知直线. (1)证明：直线过定点； (2)若直线不经过第四象限，求的取值范围； (3)若直线交轴负半轴于，交轴正半轴于，的面积为（为坐标原点），求的最小值并求此时直线的方程. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)最小值为4，直线方程为. 【解题思路】（1）整理直线方程，即可求得定点； （2）通过直线方程得到纵截距，由纵截距和斜率列出方程，即可求得的取值范围； （3）通过直线方程得到交点的坐标，然后得到三角形面积，利用基本不等式即可求得最小值，同时求出此时的直线方程. 【解答过程】（1）∵， ∴直线过定点. （2）∵，直线的纵截距为， 要使得直线不经过第四象限，则， 即. （3）由题意可知：， 由直线方程可得，，， ∴，即， ， 当且仅当时，取等号. 即当直线方程时，面积取最小值4. 19．（17分）（25-26高二上·河南洛阳·阶段检测）古希腊数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数且的点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，，动点满足，设动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的轨迹方程； (2)若直线与曲线交于两点，求； (3)若曲线与轴的交点为，直线与曲线交于两点，直线与直线交于点，证明：点在定直线上． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【解题思路】（1）利用轨迹法，代入两点间距离公式，即可求解； （2）代入直线与圆相交的弦长公式，即可求解； （3）首先直线与圆的方程联立，并利用坐标表示直线和的方程，并利用韦达定理表示，即可求解交点坐标，即可得证. 【解答过程】（1）设，因为，所以， 即，整理得， 所以曲线的轨迹方程为． （2）曲线的圆心到直线的距离， 所以． （3）证明：设． 联立得， ． 设，所以直线的方程为，直线的方程为． 因为直线与直线交于点，所以 则 ，即，解得， 所以点在直线上． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学上学期第一次月考卷01 【苏教版】 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：苏教版选择性必修第一册第1章~第2章； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（25-26高二上·山东临沂·期末）已知直线经过点，，则的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 2．（5分）（25-26高二上·江苏南通·期末）已知直线垂直于直线，则实数（   ） A． B．2 C． D． 3．（5分）（25-26高二上·重庆·期末）已知圆经过原点和点，并且圆心在直线上，则圆的方程为（   ） A． B． C． D． 4．（5分）（25-26高二上·江苏南京·期末）过点且与直线平行的直线的方程为（   ） A． B． C． D． 5．（5分）（25-26高二上·陕西渭南·期末）已知圆与圆相交于两点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 6．（5分）（25-26高二上·广东潮州·阶段检测）已知点、、，过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（5分）（25-26高二上·江苏扬州·期末）古代数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点为，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再到军营的总路程最短，则将军在河边饮马的地点坐标为（   ）． A． B． C． D． 8．（5分）（25-26高二上·福建南平·期末）过点作圆：的切线，，切点分别为，，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（25-26高二上·宁夏中卫·阶段检测）如图，直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 10．（6分）（25-26高二上·山东滨州·期末）已知直线和直线，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．恒过定点 C．若，则或 D．当时，不过第三象限 11．（6分）（2026高二上·福建厦门·专题练习）已知圆，点P是直线上一动点，过点P作圆C的切线PA，PB，切点分别是A和B，则下列说法正确的有（    ） A．圆C上恰有两个点到直线l的距离为 B．切线长的最小值为 C．直线AB恒过定点 D．当四边形PACB面积最小时，直线AB方程为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（25-26高二上·陕西咸阳·期中）直线：与直线：的交点坐标为__________. 13．（5分）（25-26高二上·广东揭阳·阶段检测）已知直线与平行，则与的距离为__________． 14．（5分）（25-26高二上·江苏常州·期末）若直线与曲线恰好有一个公共点，则实数的取值范围为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（25-26高二上·北京·阶段检测）当m为何值时，过两点，，的直线. (1)与过两点，的直线垂直； (2)与过两点，的直线平行. 16．（15分）（25-26高二上·上海·阶段检测）已知三个顶点的坐标分别为、、，求： (1)边所在直线的方程； (2)边上的中线所在直线的方程. 17．（15分）（25-26高二上·山东枣庄·期末）已知的三个顶点分别是， (1)求边BC所在的直线方程； (2)求过A，B，C三点的圆的方程． 18．（17分）（25-26高二上·陕西渭南·阶段检测）已知直线. (1)证明：直线过定点； (2)若直线不经过第四象限，求的取值范围； (3)若直线交轴负半轴于，交轴正半轴于，的面积为（为坐标原点），求的最小值并求此时直线的方程. 19．（17分）（25-26高二上·河南洛阳·阶段检测）古希腊数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数且的点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，，动点满足，设动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的轨迹方程； (2)若直线与曲线交于两点，求； (3)若曲线与轴的交点为，直线与曲线交于两点，直线与直线交于点，证明：点在定直线上． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $