八年级数学上学期9月学情自测（新教材人教版第13，14章，高效培优·提升卷）

**基本信息** 聚焦三角形与全等核心知识，以荡秋千、三角板掉落等生活情境及“黄金角”新定义设计问题，梯度覆盖基础与探究，培养几何直观、推理意识及应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|三角形类型判断（1题）、全等性质（2题）|第8题结合荡秋千运动情境考查几何计算，体现数学眼光| |填空题|6/26|外角与角平分线（12题）、类比推理（16题）|第16题类比内角平分线结论探究外角平分线，培养推理思维| |解答题|9/94|全等证明（19题）、动态几何（25题）|第25题三问递进探究角平分线性质，第24题新定义“黄金角”，契合中考探究趋势|

2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材人教版八年级上册第13章~第14章。 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．在△ABC中，∠A–∠B=90°，则△ABC为(        ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 2．如图，点A、D、B、E在同一直线上，，，，则等于（     ） A． B． C． D． 3．将一个直角三角形纸片，沿线段折叠，使点落在处，若，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点，画射线与相交于点，，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D．到的距离是 5．如图，在中，，将沿射线方向平移得到，与交于点G，若平移距离为2，，，则阴影部分的面积是（     ）． A．12 B．14 C．15 D．17 6．如图，，的延长线经过点且交于点．，，，则的大小为（     ） A． B． C． D． 7．如图，是的平分线，点D是上一点，点P为直线上的一个动点．若的面积 为10，，则线段的长不可能是（     ） A．3 B．4 C．5 D． 8．小丽在公园荡秋千，秋千竖直静止时吊绳为，小丽从秋千的起始位置A处，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的B处接住小丽后用力一推，爸爸在C处接住小丽．若妈妈与爸爸到的水平距离，分别为和，且，则点C到地面的距离是（     ）． A． B． C． D． 9．如图，在中，，点是的平分线上一点（不与点重合），连接，，可得 ♡ ，则♡处应填写的符号是（     ） A． B． C． D． 10．如图，中，，点D、E分别是、上的点，，，连接、交于点F．当四边形的面积为7时，则线段长度的最小值为（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 二、填空题（本题共6小题，第11题至第15题每小题6分，第16题6分，共26分．） 11．如图，，要得到，添加的一个条件可以是_________（填一个即可）． 12．如图所示，∠ACD是△ABC的外角，∠A=40°，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且BE、CE交于点E．则∠E=_____度． 13．如图，点，，，在同一条直线上，，，．若，，则的度数为________． 14．一天课间，顽皮的小明同学拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心将三角板掉到两根柱子之间，如图所示，这一幕恰巧被数学老师看见了，于是有了下面这道题：如果每块砖的厚度，则的长为_____． 15．线段、相交于点，连接、，我们把如图1的图形称之为“8字形”，则，如图2，在图1的条件下，和的平分线和相交于点，并且与、分别相交于、，若，，则的度数是______．    16．已知，如图①，若是中的内角平分线，通过证明可得，请你根据上述信息，求解如下问题： (1) 如图①,若是中的外角平分线，则类比写出相似结论： （2）如图②，在中，，，是的内角平分线，则的边上的中线长l的取值范围是 __________________． 三、解答题（本题共9小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（本题8分）已知线段，，． (1)判断a和c的大小，并说明理由； (2)用a、b、c能构成三角形吗？为什么？ 18．（本题8分）如图所示，已知四边形，求证． 19．（本题8分）如图， ， ， ，， 垂足分别为， (1)证明： ； (2)求的长． 20．（本题10分）如图，点F，G分别在的，边上，C，B依次为延长线上两点，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数，并直接写出当 时，． 21．（本题10分）如图，已知点是外部一点，连接，且，． (1)尺规作图：在上求作点，使得；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，若．求的长度． 22．（本题12分）如图，，以点为圆心，小于长为半径作圆弧，分别交，于，两点，再分别以，为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于点，作射线，交于点． (1)求证：平分； (2)若，求的度数； (3)若，垂足为，求证：． 23．（本题12分）在学习全等三角形及其性质中，有一道典型例题：“证明：两边对应相等且其中一组等边上的中线相等的两个三角形全等．” 受此启发，小海和小明有了新的探究． (1)小海发现：“两角对应相等且其中一组等角的平分线相等的两个三角形全等”是真命题． ①如图，请根据题意在图中画出示意图；并根据条件和结论，参照你的示意图，写出“已知”和“求证”； ②写出由条件推出结论的完整过程． (2)小明发现：“两边对应相等且其中一组等边上的高相等的两个三角形全等”是真命题．该结论是否正确？请简单说明理由，无需完整过程． 24．（本题12分）阅读下列材料并解答问题： 定义：如果两个角的差是30度，就称这两个角互为“黄金角”，其中一个角叫做另一个角的“黄金角”．例如，，，则，互为“黄金角”，即是的“黄金角”，也是的“黄金角”． (1)已知与互为“黄金角”，且，若与互余，则为________°． (2)如图，在中，，过点作的平行线，作的平分线，分别交、于、两点． ①若，且与互为“黄金角”，则的度数为________． ②如图，若为的边上的高，垂足为，，判断与是否互为“黄金角”，请说明理由． 25．（本题14分）如图1，已知平分，定点在射线上，于点，于点，． (1)求的长 (2)如图2，当点在射线上，点在射线上，且与不垂直，其它条件不变，求出与之间的数量关系． (3)如图3，当点在射线的反向延长线上时，，其它条件不变，则（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出与新的数量关系式． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.测试范围：新教材人教版八年级上册第13章~第14章。 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。) 1.在△ABC中，∠A-∠B=90°，则△ABC为 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定 【答案】C 【详解】解：，∠A-∠B=90, ∴.∠A=∠B+90, ∴∠A>90°， .'∠A+∠B+∠C=180°， ∴△ABC为钝角三角形 故选C 2.如图，点A、D、B、E在同一直线上，△ABC≌aDEF,AB=8,AE=12,则DB等于() A.3 B.3.5 C.4 D.4.5 【答案】C 【详解】解：，△ABC≌aDEF,AB=8, ∴DE=AB=8, AE=12, 1/25 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .BE=AE-AB=12-8=4, ∴.DB=DE-BE=8-4=4. ABC(∠ACB=90) 3.将一个直角三角形纸片 沿线段CD折叠，使点B落在B处，若BD∥CB ∠ACB'=3∠ADB',则下列结论正确的是() B D A.∠ADB=∠ACD B.∠ACB'+∠ADB'>90° C.∠B=22.5 D.∠B'DC=67.5° 【答案】C 【详解】解：设∠B=x. B'D∥CB. .∠ADB'=∠B=x. 由折叠性质知∠CB'D=∠B=x,∠B'CD=∠BCD ∴.∠ADB'=∠CB'D AB∥B'C .∠A=∠ACB ∠ACB'=3∠ADB=3x, .∠A=3x 在Rt△ABC中，∠ACB=90°， .∠A+∠B=90°，即3x+x=90°， 解得x=22.5 ∠ACB=∠B=22.5°，故C正确. ∠ACB'+∠ADB'=3x+x=90°，故B错误，∠B'CB=∠ACB+∠ACB=67.5°+90°=157.5° ∠BCD=∠BCD-BCB=7875 ∠B'DC=180°-∠CB'D-∠B'CD=180°-22.5°-78.75°=78.75°，故D错误. ∠ACD=90°-∠BCD=11.25°≠∠ADB,故A错误. 2/25 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=38°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AB于点E,交 1 AC于点F,再分别以点E,F为圆心，大于2EF的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在∠BAC 的内部相交于点P,画射线AP与BC相交于点D,CD=3,下列结论正确的是() A.AC=BD B.∠ADC=64° C.∠CAD=∠B D.B到AD的距离是3 【答案】B 【详解】解：由题意得AP为∠CAB的平分线， :∠C=90°，∠B=38°， ∴.∠CAB=90°-∠B=90°-38°=52°， ∠CMD-5<C1B=26, ∠CAD≠∠B,故C不正确： ∠ADC=90°-∠CAD=90°-26°=64°，故B正确； 如图，过点D作DG⊥AB,垂足为G, E 由角平分线定理可得DC=DG=3,无法推出AC=BD,B到AD的距离是3，故A、D不正确 5.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC沿射线AC方向平移得到△DEF,BC与DE交于点G,若 平移距离为2，EF=9,BG=3,则阴影部分的面积是()· 3/25 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B E dd A D A.12 B.14 C.15 D.17 【答案】C 【详解】解：，将△ABC沿射线AC方向平移得到△DEF, ∴△ABC≌aDEF, .S.ABC=S.DEF S.ABc=S阴影+S.DCG SDEF=S梯形ErcG+SDCG S阴影=S梯形EFCG ,将△ABC沿射线AC方向平移得到△DEF,平移距离为2， .'EF=BC=9,CF=AD=2. BG=3, ∴.CG=BC-BG=6, :.S梯形EFcG= 9+6)x2=15, 1 S阴影=S梯形EFCG=15 6,如图，△ABC≌△ADE,BC的延长线经过点E且交AD于点F.∠ACB=∠AED=105°，∠B=50°， ∠CAD=10°，则∠DEF的大小为() A.30° B.35° C.40° D.45° 【答案】B 4/25 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：，∠ACB=105°， ∴.∠ACF=180°-∠ACB=75°， ,∠CAD=10° .∠DFE=∠AFC=180°-∠CAD-∠ACF=180°-10°-75°=95°， △ABC≌△ADE, .∠D=∠B=50°， ∴.∠DEF=180°-∠D-∠DFE=180°-50°-95°=35° 7.如图，BM是∠ABC的平分线，点D是BM上一点，点P为直线BC上的一个动点.若△ABD的面积为 10,AB=5,则线段DP的长不可能是() P C A.3 B.4 C.5 D.5.5 【答案】A 【详解】解：过点D作DE⊥AB于E,过点D作DF⊥CB于F, M 根据三角形面积公式 ,代入己知 1 S.0AB-DE S.4BD=10 AB=5 得10- X5xDE 解得DE=4」 :BM是∠ABC的平分线，D在BM上， .DF=DE=4. 根据垂线段最短，DP的最小值为DF,即DP≥4. 选项中只有3<4， 因此DP的长不可能是3. 5/25 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8.小丽在公园荡秋千，秋千竖直静止时吊绳为OA,小丽从秋千的起始位置A处，两脚在地面上用力一蹬， 妈妈在距地面0.9m高的B处接住小丽后用力一推，爸爸在C处接住小丽.若妈妈与爸爸到OA的水平距离 BD,CE分别为1.2m和l.7m,且∠B0C=90°，则点C到地面的距离是(). A.1.7m B.1.4m c.1.2m D.0.5m 【答案】B 【详解】解：由题意得：BD⊥OA,CE⊥OA,OB=OC,BD=1.2m,CE=1.7m, ∠BD0=∠OEC=90°， ∴.∠BOD+∠OBD=90° ,∠BOC=90°，∠BOD+∠C0E=90°， ∠OBD=∠COE, 在aOBD和△COE中， ∠BDO=∠OEC ∠OBD=∠COE OB=CO △OBD≌ACOE(AAS) .'OD=CE =1.7m,OE BD=1.2m, DE=0D-OE=1.7-1.2=0.5(m) BD⊥OA,OA与地面垂直， .BD与地面平行， ,B处距地面0.9m, ∴.D处距地面0.9m, 0.9+0.5=1.4(m） ∴，点E距地面 同理可得：CE与地面平行， 6/25 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .点C到地面的高度等于点E到地面的高度， ∴点C到地面的距离是1.4m 9.如图，在△ABC中，AC>BC,点M是∠ACB的平分线上一点（不与点C重合），连接AM,BM,可 得AC-BC_2AM-BM,则？处应填写的符号是() A.> B.< C.= D.≤ 【答案】A 【详解】如图，在AC上截取DC=BC, :AC>BC,点M是∠ACB平分线上的点， ∴.∠ACM=∠BCM,CM=CM, .△DCM≌aBCM(SAS) .DM=BM. 在△ADM中，AD>AM-DM,即AC-BC>AM-BM, D B M 10.如图，△ABC中，BC=6,点D、E分别是CB、AB上的点，CD=2BD,AE=BE,连接AD、CE 交于点F.当四边形BEFD的面积为7时，则线段AB长度的最小值为() B A.7 B.8 C.9 D.10 【答案】D 7/25 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：如图，连接BF,过点A作AH⊥CB的延长线于点H, B D S.BDF=a S.BEF=b 设 CD=2BD,AE=BE, 5.CF=25.DF-2a S.=S.=b S.co=28.D S.C=S.CE S.ACE=S.AEF +S.AFC=S.BEF+S.BDF +S.CDF b+S.Arc=b+a+2a S.AFC =3a S..cD=S.c+.c=2(.) 3a+2a=2(b+b+a) .3a-4b=0. 四边形BEFD的面积为7， a+b=7, ∴a=4,b=3, ,SABC=SABr+Sg边形BEFD+S,CcDF+S.ArC =b+7+2a+3a =30。 c=0 ,BC=6, .AH=10, AB≥AH, 8/25 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.AB的最小值为10 二、填空题（本题共6小题，第11题至第15题每小题6分，第16题6分，共26分.） 11.如图，∠ABC=∠DCB,要得到△ABC≌△DCB,添加的一个条件可以是 (填一个即可). B 【答案】∠A=∠D(答案不唯一) 【详解】解：：∠ABC=∠DCB和BC=CB ∴.当添加∠A=∠D时，可用AAS来判定△ABC≌△DCB 12.如图所示，∠ACD是△ABC的外角，∠A=40°，BE平分∠ABC,CE平分∠ACD,且BE、CE交于点E.则 ∠E=度. B D 【答案】20 【详解】解：，∠ACD=∠A+∠ABC, 1 .∠ECD=2(∠A+∠ABC). 又，'∠ECD=∠E+∠EBC, .∠E+∠EBC=2（∠A+LABC) .BE平分∠ABC, 1 ∠EBC=2∠ABC, 2ABC+∠E=2（∠A+∠ABC), ·∠E=2∠A=20°， 9/25 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故答案为20 13.如图，点A,C,B,D在同一条直线上，BEIDF,∠A=∠F,AB=FD.若∠FCD=30°， ∠A=80°，则∠DBE的度数为 E B C 【答案】110 【详解】解：：BEIDF,∠ABE=∠D, 在△ABE和△FDC中， 「∠F=∠A DF=AB ∠D=∠ABE' ·△ABE≌aFDC(ASA). .∠E=∠FCD=30°， .∠DBE=∠E+∠A=30°+80°=110° 14.一天课间，顽皮的小明同学拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心将三角板掉到两根柱子之间，如图 所示，这一幕恰巧被数学老师看见了，于是有了下面这道题：如果每块砖的厚度a=7cm,则DE的长为 cm B 【答案】49 【详解】解：由题意得，∠ACB=90°，AC=BC,∠ADC=∠BEC=90°， ..a=7cm. .'AD=4a =28cm,BE =3a=21cm '∠CAD+∠ACD=∠ACD+∠BCE=90°， .∠CAD=∠BCE, 10/25 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :AC=BC,∠ADC=∠BEC=90° ∴.△ACD≌△CBE(AAS) .CE=AD=28cm,CD=BE=21cm, ∴.DE=CD+CE=21+28=49cm」 15.线段AB、CD相交于点O,连接AD、CB,我们把如图1的图形称之为“8字形”，则 ∠A+∠D=∠B+∠C,如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P,并且与 CD、AB分别相交于M、N,若∠B=30°，∠D=40°，则∠P的度数是一. D O M B B 图1 图2 【答案】35° 【详解】解：由“8字形”结论得到∠DAO+∠D=∠OCB+∠B,∠DAM+LD=∠OCP+∠P, ∠D=40°，∠B=30°， ∴∠DA0+40°=∠0CB+30°， .∠OCB-LDA0=10°， :∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P, &∠D1M-5D40,∠0cP-0cB, ,∠DAM+∠D=∠OCP+∠P, :.∠P=∠DAM+∠D-∠OCP =1∠DA0+40°- -∠OCB 2 =40-<0c8-∠n40) =40°- =35°. 故答案为：35°. 11/25 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB BD 16.己知，如图①，若4D是。ABC中∠BAC的内角平分线，通过证明可得ACCD, 请你根据上述信息， 求解如下问题： (1)如图①，若AE是△ABC中∠BAC的外角平分线，则类比写出相似结论： (2)如图②，在△ABC中，BD=4,CD=6,AD是△ABC的内角平分线，则△ABC的BC边上的中线长I 的取值范围是 D 图① 图② ABBE 【答案】(1)ACCE (2).1<1<25 【详解】解：记△ABC中BC上的中线为AO,如图，反向延长中线A0至F,使得A0=QF,连接CF, B :AD是△ABC的内角平分线， AB BD ..AC CD' BD=4,CD=6, AB 2 AC3, 可设AB=2k,AC=3k, 在△ABC中，BC=4+6=10, ∴由三角形的三边关系可得：5k>10且k<10, 2<k<10 12/25 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BO=OC .∠AQB=∠CQF AO=OF ∴.△ABQ≌△FCQ(SAS) ..AB=CF, 由三角形三边关系可知， AC-CF<AF<AC+CF. ∴k<AF<5k, <40< …2 2 .1<1<25 三、解答题（本题共9小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.(本题8分)已知线段a=x+5,b=x-2,c=2x+5. (1)判断a和c的大小，并说明理由： (2)用a、b、c能构成三角形吗？为什么？ 【详解】(1)c>a, c-a=2x+5-（x+5)=x 理由： :线段b=x-2>0, x>2, c-a=x>2, .c>a: (2)不能构成三角形， 理由： ×a-b=x+5-(x-2)=7 ∴.a>b. ..c>a>b. ∴.a+b=x+5+x-2=2x+3, 13/25 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 c-(a+b)=2x+5-(2x+3)=2>0 ∴.c>a+b,即a、b、c不能构成三角形. 18.(本题8分)如图所示，已知四边形ABDC,求证∠BDC=∠A+∠B+∠C】 D B 【详解】 证明：方法1如图所示，连接BC A B 在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，即∠A+∠ABD+∠I+∠ACD+∠2=180°. 在△BCD中，：∠BDC+∠1+∠2=180°， .∠BDC=∠A+∠ABD+∠ACD: 方法2如图所示，连接AD并延长 A 12 D 是 的外角， 3 4 B .·∠3 △ABD ∴∠3=∠1+∠ABD 同理，∠4=∠2+∠ACD 14/25 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠3+∠4=∠1+∠2+∠ABD+∠ACD 即∠BDC=∠A+∠ABD+∠ACD 方法3如图所示，延长BD,交AC于点E. D 是 的外角， B .·∠DEC △ABE ∴.∠DEC=∠A+∠ABD :∠BDC是△DEC的外角， ∴.∠BDC=∠DEC+∠ACD ∴.∠BDC=∠A+∠ABD+∠ACD 19.(本题8分)如图，∠CAB=90°，AC=AB,CD⊥AE,BE⊥AE,垂足分别为D,E, CD=5cm,BE =2cm, B (1)证明：△ACD≌△BAE: (2)求DE的长. 【详解】(1)证明：，∠CAB=90°， .∠CAD+∠BAE=90°， CD⊥AE,BE⊥AE, ∴.∠CDA=∠E=90°， ∴∠ABE+∠BAE=90, .∠CAD=∠ABE, 15/25 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 又：AC=AB, :△ACD2aBAE(i4S) (2)解：由(1)知△ACD≌△BAE, .'AE =CD=5cm,AD=BE =2cm, DE=AE-AD=5-2=3(cm) 20.(本题10分)如图，点F,G分别在△ADE的AD,DE边上，C,B依次为GF延长线上两点， AB=AD,∠BAF=∠CAE,∠B=∠D. (1)求证：BC=DE: (2)若∠B=35°，∠AFB=78°，求∠DGB的度数，并直接写出当∠CAB=时，DE‖AC. 【详解】(1)证明：：∠BAF=∠CAE, ∴.∠BAF-∠FAC=∠CAE-∠FAC, ∴.∠BAC=∠FAE AB=AD,∠B=∠D, ∴△ABC≌△ADE(ASA) .BC=DE (2)解：∠B=35°， .∠D=∠B=35° ∠GFD=∠AFB=78°， .∠DGB=180°-∠GFD-∠D=67° DE‖AC, ∴.∠ACG=∠DGB=67 ·∠CAB=∠ACG-∠B=67°-35°=32°（三角形外角性质）· 21.(本题10分)如图，已知点D是△ABC外部一点，连接CD,且CD=AB,∠B=∠ACD 16125 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B (1)尺规作图：在AC上求作点E,使得DE∥BC;(保留作图痕迹，不写作法) (2)在(1)的条件下，若DE=6,BC=4.求AE的长度. 【详解】(1)解：如图，点E即为所求： (2)解：若DE∥BC」 .∠DEC=∠ACB 在△DCE和△ABC中， ∠ACD=∠B ∠DEC=∠ACB CD=AB ∴.△DCE≌aABC(AAS) .AC=DE=6,CE=BC=4, ∴AE=AC-CE=6-4=2. 22.(本题12分)如图，AB∥CD,以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB,AC于E, F两点，再分别以E,r为圆心，大于EF长为半径作圆弧，丙条圆弧交于点：作射线D·交CD于 点M. M D (1)求证：AP平分∠CAB； (2)若∠ACD=114°，求∠MAB的度数； 17/25 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)若CN⊥AM,垂足为N,求证：△CAN≌△CMN 【详解】(1)证明：连接PE、PF,如图， M p B 由作法得AE=AF,PE=PF, 而AP=AP, ∴.△AEP≌△AFP(SSS) ∠EAP=∠FAP, 即AP平分∠CAB: (2)CD∥AB. ∠BAC+∠ACD=180°， ∴.∠BAC=180°-114°=66°， AP平分∠CAB, ∠MB=)∠BAC=3°： 2 (3)证明：CD∥AB, ∴.∠BAM=∠CMA, :∠CAM=∠BAM, ∴.∠CAM=∠CMA, ..CA=CM, CN⊥AM, ∴.∠CNA=∠CNM, ∠CAN=∠CMN ∠ANC=∠MNC 在 和 中 △CAN CMN AC=CM ∴.△CAN≌△CMN(AAS) 18125 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 23.(本题12分)在学习全等三角形及其性质中，有一道典型例题：“证明：两边对应相等且其中一组等 边上的中线相等的两个三角形全等.”受此启发，小海和小明有了新的探究. (1)小海发现：“两角对应相等且其中一组等角的平分线相等的两个三角形全等”是真命题， ①如图，请根据题意在图中画出示意图；并根据条件和结论，参照你的示意图，写出“已知”和“求证”； ②写出由条件推出结论的完整过程， B (2)小明发现：“两边对应相等且其中一组等边上的高相等的两个三角形全等”是真命题.该结论是否正确？ 请简单说明理由，无需完整过程。 【详解】(1)①如图： 已知：在△ABC和△AB'C'中，∠A=∠A',∠ABC=∠A'B'C',BD平分∠ABC,B'D平分∠A'B'C',且 BD=B'D';求证：△ABC≌△AB'C' ②证明：：BD平分∠ABC,B'D平分∠AB'C', &∠ABD-Ac,ABD=ABC 2 又，∠ABC=∠AB'C, .∠ABD=∠A'B'D', 在△ABD和△A'B'D'中， ∠A=∠A ∠ABD=∠A'B'D' BD=B'D' △ABD≌△A'B'D'(AAS) .AB=A'B', 19/25 学科网·上好课 Www,zX×k.com 上好每一堂课 在△ABC和△AB'C'中， [∠A=∠A AB=A'B' ∠ABC=∠A'B'C' △ABC≌△A'B'C'(ASA) (2)结论不正确，理由：可以构造反例：两个三角形有两边对应相等，且其中一组等边上的高相等，但这两 个三角形一个是锐角三角形，一个是钝角三角形，它们不全等.如图： B D AB=AB,BC=B'C',CD=CD',则△ABC与△A'B'D'不全等. 24.(本题12分)阅读下列材料并解答问题： 定义：如果两个角的差是30度，就称这两个角互为“黄金角”，其中一个角叫做另一个角的“黄金角”. 例如a=72,B=42°，a-B=30°，则a,B互为“黄金角”，即C是B的“黄金角”，B也是的 “黄金角” (1)已知∠1与∠2互为“黄金角”，且∠1>∠2，若∠1与∠2互余，则∠1为. (2如图，在△ABC中，∠BCA=90°，过点C作AB的平行线CF，作∠CAB的平分线AD,AD分别交CB、 CF于D、E两点. 20125 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D C A 备用图 ①若∠B>∠AEC,且∠B与∠AEC互为“黄金角”，则∠B的度数为 ②如图，若CG为△ABC的AB边上的高，垂足为G，∠AEC=20°，判断∠DCG与∠CDA是否互为“黄金 角”，请说明理由。 【详解】(1)解：：∠1与∠2互余， .∠1+∠2=90°，∠2=90°-∠1， ∠1>∠2， 根据“黄金角”的定义得∠1-∠2=30°， ∠1-(90°-∠1)=30° 解得∠1=60° (2)解：①：∠BCA=90°， .∠B+∠CAB=90°， ∴.∠CAB=90°-∠B, AD平分∠CAB, :2B46=2C16-4C18=45-B, ,CF∥AB, :∠AEC=∠BAE=450-∠B 2 又：∠B与∠AEC互为“黄金角”，且∠B>∠AEC, ∠B-LAEC=LB- 解得∠B=50° ②解：∠CDA是∠DCG的黄金角，理由如下： 如图，CG为△ABC的AB边上的高，垂足为G, 21125 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B E D G :CF∥AB .∠DAB=∠AEC=20°， AD平分∠CAB, .∠CAD=∠DAB=20°， ∴.∠CAB=40° ∠BCA=90°， ∠B=90°-∠CAB=90°-40°=50°， .∠CDA+∠BDA=∠B+∠DAB+∠BDA=180°， .∠CDA=∠B+∠DAB=50°+20°=70°， :CG为高， .∠CGA=90°， ∴∠GCA=90°-40°=50°， ∠DCG=90°-50°=40°， .∠CDA=∠DCG+30°， 即∠CDA-∠DCG=30°， ∠DCG是∠CDA的黄金角. 25.(本题14分)如图1，已知AP平分∠MAN,定点C在射线AP上，CF⊥AM于点F,CE⊥AN于 点E,AF=8. M M D B N A E B N 图1 图2 图3 (1)求AE的长 22125 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)如图2，当点D在射线AM上，点B在射线AN上，且CB与AN不垂直，∠CDA+∠CBA=180其它条件 不变，求出AD与AB之间的数量关系 3)如图3，当点D在射线AM的反向延长线上时，∠CDA=∠CBA,其它条件不变，则(2)中的结论是否 仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出AB与AD新的数量关系式. 【详解】(1)解：证明：，AP平分∠MAN, .∠EAC=∠FAC, :CE⊥AN,CF⊥AM .∠CEA=∠CFA=90°， 在△AEC和△AFC中， ∠CEA=∠CFA ∠CAE=∠CAF AC=AC △AEC≌△AFC(AAS) .'AE=AF, AF=8, ∴AE=8: (2)解：过点C作CE⊥AN于点E,CF⊥AM于点F,如图2所示： M D A E B N 图2 ∴.∠CFD=∠CEB=90° 依题意得：AE=8, :AC平分∠MAN, ∴.CF=CE, 在RtAAFC和RtAAEC中， CF=CE AC=AC, 23125 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 RtAAFCS≌Rt△AEC(HL) ∴.AF=AE=8 :∠CDF+∠CDA=180°，∠CDA+∠CBA=180°， .∠CDF=∠CBA, 在△CDF和△CBE中， ∠DAC=∠BAC ∠CDA=∠CBA AC=AC △CDF≌aCBE(AAS) ∴DF=BE, .AD=AF-DF =8-BE,AB=AE+BE=8+BE, .AD+AB=16: (3)解：不成立，新的结论是：AB-AD=16,理由如下： 过点C作CK⊥AT于点K,CT⊥AK于点T,如图3所示： B N 图3 .∠CTD=∠CKB=90° 依题意得：AK=8 △ATC≌△AKC(AAS) 同理可证明： :.AT=AK=8,CT=CK, 在△CTD和△AKB中， ∠CTD=∠CKB ∠CDA=∠CBA CT=CK △CTD≌AAKB(AAS) 24125 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴DT=BK, .DT=AD+AT=AD+8, .'.BK=AD+8, .AB=AK+BK=8+8+AD=16+AD, ∴.AB-AD=16 25125函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 6 7 8 10 A D 二、填空题（本题共6小题，第11题至第15题每小题6分，第16题6分，共26分.） 11.∠A=∠D(答案不唯一) 12.20 13.110 14.49 15.35° 16.(4)AC元 AB_BE (2).1<1<25 三、解答题（本题共9小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.(本题8分) 【详解】(1)(4分)c>a, c-a=2x+5-(x+5)=x 理由： 线段b=x-2>0, x>2, c-a=x>2, .c>a; (2)(4分)不能构成三角形， 理由： a-b=x+5-(x-2)=7 ∴.a>b, ..c>a>b 1/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.a+b=x+5+x-2=2x+3, :c-(a+b)=2x+5-(2x+3)=2>0 ∴.c>a+b,即a、b、c不能构成三角形. 18.(本题8分)【详解】 证明：方法1如图所示，连接BC. D B 在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，即∠A+∠ABD+∠I+∠ACD+∠2=180°. 在△BCD中，∠BDC+∠1+∠2=180°， ∴∠BDC=∠A+∠ABD+∠ACD: 方法2如图所示，连接AD并延长 A 12 D 是 的外角， 3 B :∠3△ABD ∴.∠3=∠I+∠ABD 同理，∠4=∠2+∠ACD ∴∠3+∠4=∠1+∠2+∠ABD+∠ACD. 即∠BDC=∠A+∠ABD+∠ACD 方法3如图所示，延长BD,交AC于点E. 2/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 内 D 是 的外角， C B .∠DEC ABE ∴.∠DEC=∠A+∠ABD :∠BDC是△DEC的外角， .∠BDC=∠DEC+∠ACD」 ∴，∠BDC=∠A+∠ABD+∠ACD 19.(本题8分) 【详解】(1)(4分)证明：：∠CAB=90°， .∠CAD+∠BAE=90°， .CD⊥AE,BE⊥AE, ∴.∠CDA=∠E=90, ∴，∠ABE+∠BAE=90°， ∠CAD=∠ABE, 又：AC=AB、 △ACD≌△BAE(AAS) (2)(4分)解：由(1)知△ACD≌△BAE, .AE =CD=5cm,AD=BE =2cm, DE=AE-AD=5-2=3(cm) 20.(本题10分) 【详解】(1)证明：∠BAF=∠CAE, ∴.∠BAF-∠FAC=∠CAE-∠FAC, .∠BAC=∠FAE AB=AD,∠B=∠D, 3/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴△ABC≌AADE(ASA) ..BC=DE (2)解：∠B=35°， .∠D=∠B=35° ∠GFD=∠AFB=78°， .∠DGB=180°-∠GFD-∠D=67° DE AC ∴.∠ACG=∠DGB=67° :∠CAB=∠ACG-LB=67°-35°=32°（三角形外角性质） 21.(本题10分) 【详解】(1)(4分)解：如图，点E即为所求： (2)(6分)解：若，DE∥BC」 .∠DEC=∠ACB 在△DCE和△ABC中， ∠ACD=∠B ∠DEC=∠ACB CD=AB ∴.△DCE≌△ABC(AAS) .AC=DE=6.CE=BC=4 ∴.AE=AC-CE=6-4=2 22.(本题12分) 【详解】(1)(4分)证明：连接PE、PF,如图， M D B 4/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由作法得AE=AF,PE=PF, 而AP=AP, ∴.△AEP≌△AFP(SSS) ∠EAP=∠FAP, 即AP平分∠CAB: (2)(4分：CD∥AB, ∠BAC+∠ACD=180°， .∠BAC=180°-114°=66°， :AP平分∠CAB, ∠MAB= 2<B1C=30 (3)(4分)证明：~CD∥AB, ∴.∠BAM=∠CMA :∠CAM=∠BAM, ∴.∠CAM=∠CMA, :.CA=CM, :CN⊥AM, ∴.∠CNA=∠CNM, [∠CAN=∠CMN ∠ANC=∠MNC 在 和 中 △CAN ACMN' AC=CM .△CAW≌aCMN(AAS) 23.(本题12分) 【详解】(1)(8分)①如图： A D 5/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 己知：在△ABC和△AB'C中，∠A=∠A',∠ABC=∠AB'C',BD平分LABC,B'D'平分∠AB'C,且 BD=B'D';求证：△ABC≌△A'B'C' ②证明：：BD平分∠ABC,B'D平分∠AB'C', :∠A5D=ABc,ABD=ABC. 2 又，∠ABC=∠AB'C, ∴.∠ABD=∠AB'D', 在△ABD和△AB'D'中， ∠A=∠A ∠ABD=∠A'B'D' BD=B'D' △ABD≌AA'B'D'(AAS) .AB=A'B', 在△ABC和△AB'C中， ∠A=∠ AB=A'B' ∠ABC=∠A'B'C' △ABC≌△A'B'C'(ASA) (2)(4分)结论不正确，理由：可以构造反例：两个三角形有两边对应相等，且其中一组等边上的高相等， 但这两个三角形一个是锐角三角形，一个是钝角三角形，它们不全等.如图： D D AB=AB,BC=B'C',CD=CD,则△ABC与△AB'D'不全等. 6/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 24.(本题12分) 【详解】(1)(4分)解：，∠1与∠2互余， .∠1+∠2=90°，∠2=90°-∠1， .∠1>∠2， 根据“黄金角”的定义得∠1-∠2=30°， :1-(90-4）=30°，解得4=60 (2)(8分)解：①：∠BCA=90°， .∠B+∠CAB=90°， .∠CAB=90°-∠B】 AD平分∠CAB, ∠BAE=∠CAB=∠CAB=45-1∠B 2 .CF∥AB, .∠AEC=∠BAE=450- 2<B 又：∠B与∠AEC互为“黄金角”，且∠B>∠AEC, ∠B-∠ABc=∠B-（4s-B=30 解得∠B=50 ②解：∠CDA是∠DCG的黄金角，理由如下： 如图，CG为△ABC的AB边上的高，垂足为G, B D :CF∥AB ∠DAB=∠AEC=20°， :AD平分∠CAB 7/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠CAD=∠DAB=20°， .∠CAB=40° :∠BCA=90°， .∠B=90°-∠CAB=90°-40°=50°， :∠CDA+∠BDA=∠B+∠DAB+∠BDA=180°， ∴.∠CDA=∠B+∠DAB=50°+20°=70°， CG为高， ∴.∠CGA=90°， .∠GCA=90°-40°=50°」 .∠DCG=90°-50°=40°， ∴.∠CDA=∠DCG+30°， 即∠CDA-∠DCG=30°， ∠DCG是∠CDA的黄金角. 25.(本题14分) 【详解】(1)(5分)解：证明：AP平分∠MAN, .∠EAC=∠FAC」 CE⊥AN,CF⊥AM ∴.∠CEA=∠CFA=90°， 在△AEC和△AFC中， [∠CEA=∠CFA ∠CAE=∠CAF AC=AC △AEC≌△AFC(AAS) .AE=AF, .AF=8. .AE=8: (2)5分)解：过点C作CE⊥AN于点E,CF⊥AM于点F,如图2所示： 8/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A EB N 图2 ∴.∠CFD=∠CEB=90°， 依题意得：AE=8, :AC平分∠MAN, ..CF=CE, 在Rt△AFC和RtAAEC中， CF=CE AC=AC, Rt△AFC≌Rt△AEC(HL) ∴.AF=AE=8 .∠CDF+∠CDA=180°，∠CDA+∠CBA=180°， .∠CDF=∠CBA, 在△CDF和△CBE中， ∠DAC=∠BAC ∠CDA=∠CBA AC=AC ACDF≌ACBE(AAS) ∴.DF=BE, .AD=AF-DF=8-BE,AB=AE+BE=8+BE. .AD+AB=16: (3)(4分)解：不成立，新的结论是：AB-AD=16,理由如下： 过点C作CK⊥AT于点K,CT⊥AK于点T,如图3所示： 9/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 P 图3 ∴.∠CTD=∠CKB=90°， 依题意得：AK=8】 △ATC≌△AKC(AAS) 同理可证明： .AT=AK=8,CT=CK, 在△CTD和△AKB中， [∠CTD=∠CKB ∠CDA=∠CBA CT=CK △CTD≌△AKB(AAS) ∴DT=BK, .DT=AD+AT=AD+8, .'BK=AD+8, .AB=AK+BK=8+8+AD=16+AD, ∴.AB-AD=16 10110