学易金卷：八年级数学9月学情自测卷（新教材人教版八年级上册第13～14章：三角形+全等三角形）

**基本信息** 2026-2027学年八年级数学9月学情卷，聚焦人教版第13-14章三角形知识，以生活情境（如地摊折叠桌、荡秋千）和探究任务（如内角和证明）为载体，考查抽象能力、推理意识与模型意识，适配月考学情检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/36|三角形三边关系、全等判定、角平分线性质|第7题以地摊折叠方桌为情境，考查三角形内角和，体现数学眼光| |填空题|6/18|直角三角形高、平移距离、动点全等|第16题结合三角板掉柱子间场景，考查几何直观与量感| |解答题|8/66|尺规作图、全等证明、探究性问题|23题荡秋千问题构建几何模型，25题内角和证明与迁移应用，26题分层次探究四边形线段关系，发展推理能力与创新意识|

西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 参考答案 一.选择题（共12小题，满分36分，每小题3分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定，把答 案用2B铅笔填涂在答题卡相应的位置.) 1 2 3 4 5 6 8 9 10 11 12 D A D C D A A C D B C 二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分，请把正确的答案填写在答题卡相应的位置。） 4 13.40°14. 15.8016.4917.2 .15 18.3或4 三、解答题（本大题共8个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 19.【详解】(1) (3分) (2)解：.∠ACB=90°，∠B=58°， ∴.∠CAB=180°-∠ACB-∠B=180°-90°-58°=32°， :AQ平分∠CAB, :MQ-号<CB=}×32=16,(4分) 2 .CD⊥AB, ∴.∠ADC=90°， .∠CPQ=∠APD=180°-90°-∠BAQ=180°-90°-16°=74°.(6分) 20.【详解】(1)解：由三角形三边关系定理可得：5-2<c<5+2, .3<c<7,(1分) ,c是整数，且为奇数， 1/7 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 .c=5,(2分) ∴.△ABC的周长=a+b+c=2+5+5=12;(3分) (2)解：，△ABC的三边长为a,b,c, .a>0,b>0,c>0, ∴.a+b+c>0; 由三角形三边关系定理可得：a+b>c,a+c>b,(4分) .a-c+b>0,b-c-a<0, ∴.a-c+b-b-c-a-a+b+c =a-c+b-[-(b-c-al-(a+b+c) =a-c+b+b-c-a-a-b-c =b-a-3c.(6分) 21.【详解】(1)解：，AD是△ABC的高线， ∴.∠ADB=90° .∠B=50°， ∴.∠BAD=180°-∠ADB-∠B=40°.(2分) 同理∠EAC=180°-∠E-∠ACE=80°， ∴.∠CAD=180°-∠BAD-∠EAC=60°.(3分) (2)解：，AD,CE是△ABC的两条高， 56r号ABCE,S6版=BCAD,(5分) 2ABCE=号BC~AD, 六AD=ABCE=4x6-=31cm.8分 BC 8 22.【详解】(1)解：，∠A=∠B,∠BOE=∠AOD,点D在AC边上，AE和BD相交于点O, .∠AEB=∠1， 又∠1=∠2，∠2=40°， ∠AEB=∠1=∠2=40°：(3分) 2/7 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 (2)证明：，∠EDC=∠C, .EC=ED. 由(1)可知：∠AEB=∠1， 又.∠1=∠2， ∠2=∠AEB, ∴.∠2+∠AED=∠AEB+∠AED,即∠AEC=∠BED, 在△AEC和△BED中， 乙， ∴.△AEC≌△BED AAS.(8分) 23.【详解】(1)∠BOF=∠OCG,理由如下： .CG⊥OA于点G, ∴.∠CG0=90°， .∴.∠COG+∠OCG=90°， .∠COB=90°， .∴.∠COG+∠BOF=90°， ∴.∠OCG=∠BOF.(2分) (2)解：据题可知OC=OB,据(1)可知∠BOF=∠OCG, .在△OCG和△BOF中， ∠BOF=∠OCG ㄥOGC=∠OFB OC=OB ∴.△OCG≌△BOF AAS,(3分) ∴.CG=OF=2米，OG=FB=b, .'h1=1,h2=1.5, ∴.FG=h2-h1=0.5米， ∴.0G=OF-FG=2-0.5=1.5米， .∴.b=1.5.(5分) (3)解：据(2)可知△OCG≌△BOF, 则CG=OF=a米，OG=FB=b米， FG=h2-h1,OF-OG=FG, 3/7 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ∴.a-b=h2-h1,即a+h1=b+h2.(8分) 24.【详解】(1)BD=CE,理由如下： ,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°， ∴.AB=AC,AD=AE, ∴.AB-AD=AC-AE, .BD=CE;(2分) (2)BD=CE,BD⊥CE,理由如下：(3分) 延长BD,分别交AC、CE于F、G, ,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形， .AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°， .∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC, ∴.∠BAD=∠CAE, ∴.△ABD≌△ACESAS,(5分) ∴.BD=CE,∠ABD=∠ACE,1 .∠AFB=∠GFC, .180°-∠GFC-∠ACE=180°-∠AFB-∠ABD, ∴.∠CGF=∠BAF=90°，即BD⊥CE.(8分) 25.【详解】(1)∠C:两直线平行，内错角相等：平角的定义；∠B;等量代换(2分) (2)解：如图，作EF‖AB, :AB‖CD, .EF‖AB‖CD, ∴.∠AEF=∠EAB,∠CEF=∠ECD, ∴.∠AEC=∠AEF+∠CEF=∠EAB+∠ECD=60°+40°=100°；(5分) 4/7 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 图2 (3)解：如图，过点C作CM‖AF, B G M--- 又AF‖DE, :CM‖AF DE,(6分) .∠CGF=∠GCM,∠DCM=∠D=105, .'∠BCD=∠DCM+∠GCM,∠B=∠BCD+10°， .∠B=105°+∠GCM+10°=∠CGF+115°， ∴.∠B-∠CGF=115°.(10分) 26【详解】(1)解：如图1，延长EB到G,使BG=DF,连接AG. .'在△ABG与△ADF中， G B E 图1 AB=AD ∠ABG=∠ADF=90 BG=DF ∴.△ABG≌△ADF(SAS).(1分) ∴.AG=AF,∠1=∠2， :∠1+∠3=∠2+∠3=号∠BAD=∠EAF. ∴.∠GAE=∠EAF. 5/7 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 又AE=AE, ∴.△AEG≌△AEF .∴.EG=EF. EG=BE+BG. .EF=BE+FD;(3分) (2)(1)中的结论EF=BE+FD仍然成立.(4分) 理由是：如图2，延长EB到G,使BG=DF,连接AG. A D .'∠ABC+∠D=180°，∠ABG+∠ABC=180°， B 图2 ∴.∠ABG=∠D, .在△ABG与△ADF中， AB-AD ∠ABG=∠D BG=DF ∴.△ABG≌△ADF(SAS).(6分) ∴.AG=AF,∠1=∠2， :∠1+∠3=∠2+∠3=号∠BAD=∠EAF. ∴.∠GAE=∠EAF. 又AE=AE, ∴.△AEG≌△AEF .∴.EG=EF .EG=BE+BG」 ∴.EF=BE+FD(7分) (3)当(1)的结论EF=BE+FD成立，(8分) 当图3中，EF=BE-FD或EF=FD-BE 证明：在BE上截取BG,使BG=DF,连接AG. 6/7 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 '∠B+∠ADC=180°，∠ADF+∠ADC=180°， E 图3 ∴∠B=∠ADF」 ,在△ABG与△ADF中， AB=AD ∠ABG=∠ADF, BG=DF ∴.△ABG≌△ADF(SAS).(10分) ∴.∠BAG=∠DAF,AG=AF. ·∠BAG+∠EAD=∠DAF+∠EAD=∠EAF=1∠BAD ∴.∠GAE=∠EAF. AE=AE, .∴.△AEG≌△AEF(SAS)」 ∴.EG=EF EG=BE-BG ∴.EF=BE-FD. 同理可得：EG=EF EG=BG-BE .∴.EF=FD-BE.(12分) 7/7 11 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 一、单项选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 11.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 12.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 13._______________ 17. ________________ 14. ___________ 18. _______________ 15. _________________ 16. __________________ 三、解答题（本大题共8个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 19.（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20． （6分） 21．（8分） 22．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（8分） 24．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25．（10分） 26．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 一==-■==。。==-一=-■-。===。=●一一=▣- 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ▣ 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×][√][/] 一、单项选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1,A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 9.[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 10.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 7.[A][B][C][D] 11.[A][B][C][DJ 4.[A][B][C][D] 8.[A][B][C][D] 12.[A][B][C][D] 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 13. 15. 16. 17 18. 三、解答题（本大题共8个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 19.(6分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(6分) 21. (8分) E A D 22.(8分) B E D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 23.(8分) 777777777 地面 图1 图2 24.(8分) D B 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25. (10分) E- D F 4 B 图1 图2 26.(12分) D B E 图① 图② 备用图 备用图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材人教版八年级上册第13~14章。 第Ⅰ卷（选择题共36分） 一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定,把答案用2B铅笔填涂在答题卡相应的位置.） 1．下面是三根小棒的长度（单位：），能围成三角形的是（     ） A．1，2，3 B．3，4，8 C．5，5，10 D．2，8，7 2．在中，，且是的3倍，那么该三角形是（     ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形 3．已知三角形的三边长分别为3，5，x，则第三边长x的取值范围在数轴上表示正确的是（     ） A．B． C． D． 4．到三角形各边距离相等的点是（     ） A．三条中线的交点 B．三角形三条高所在的直线的交点 C．三条内角平分线的交点 D．三角形三条边的垂直平分线的交点 5．如图，在和中，，要使，下面是四个同学补充的条件，其中错误的是（     ） A． B． C． D． 6．如图，是中的角平分线，于点E，的面积，，，则的长是（    ） A．3 B．4 C．6 D．5 7．随着地摊经济的蓬勃发展，街巷夜市充满了烟火气．某夜市摊主使用的折叠方桌（如图（1））结构稳固、方便收纳，将其展开后可抽象为如图（2）所示的图形．已知，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 8．三角形三边长分别为：2，x，6，化简（     ） A．4 B． C． D． 9．一副直角三角板按如图放置，点在边的延长线上，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 10．如图，已知方格纸中是9个相同的正方形，则与的和为（     ） A． B． C． D． 11．如图，的面积为，为边上的中线，为上任意一点，连接，，图中阴影部分的面积为（     ） A．4 B．5 C．6 D．8 12．如图，在中，，，、是斜边上两点，且，过点作，垂足是，过点作，垂足是，交于点，连接，下列结论：①；②；③若，，则；④，其中正确的是（     ） A．①④ B．②③ C．①②③ D．①②④ 第Ⅱ卷（非选择题，共84分） 二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分，请把正确的答案填写在答题卡相应的位置。） 13．如图，沿着的方向，平移至，，，求_______． 14．一个直角三角形的三条边分别是6、8、10，则这个三角形最长边上的高是______． 15．已知的三个内角分别是、、，若，，则________°． 16．一天课间，顽皮的小明同学拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心将三角板掉到两根柱子之间，如图所示，这一幕恰巧被数学老师看见了，于是有了下面这道题：如果每块砖的厚度，则的长为_____． 17．如图，是的平分线，点在上，于点，且，点是射线上的一个动点，则线段的最小值是______． 18．如图，，，，如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点从点出发以的速度沿射线运动，经过秒后，若以、、为顶点的三角形与以、、为顶点的三角形全等，则的值是________ ． 三、解答题（本大题共8个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 19．（6分）如图，在中，，于点D． (1)尺规作图：作的平分线，分别交、于点（不写作法，保留作图痕迹）． (2)在（1）的条件下，若，求的度数． 20．（6分）已知的三边长为a，b，c，且a，b，c都是整数． (1)若，且c为奇数，求的周长； (2)化简：． 21．（8分）如图，，是的两条高． (1)若，，求的度数； (2)，，，求的长． 22．（8分）如图，，，点D在边上，和相交于点O． (1)若，求的度数； (2)若，求证：． 23．（8分）如图1、2所示，小颖与爸爸、妈妈在操场上荡秋千，小颖坐在秋千上的起始位置点处，且起始位置的延长线与地面垂直，垂足为点．小颖两脚在地面上用力一蹬，小颖妈妈在距离地面高为米的点处接住小颖，小颖的妈妈到秋千起始位置的水平距离米；小颖的妈妈用力一推，小颖的爸爸在距离地面高为米的点处接住小颖，小颖的爸爸到秋千起始位置的水平距离为米，秋千的长度保持不变．解答下列问题： (1)当时，判断与是否相等，若相等，请证明；若不相等，请说明理由； (2)当，米，米，米时，求的值； (3)若考虑到安全和体感，点、点分别在的左边和右边，秋千摆动的夹角（即）始终保持，请直接写出，，，这四个变量之间的关系． 24．（8分）和都是等腰直角三角形，． (1)如图1，点在上，则满足怎样的数量关系？请说明理由． (2)如图2，点在内部，点在外部，连接，则满足怎样的数量关系和位置关系？请说明理由． 25．（10分）【探究学习】小学阶段，我们可以通过“拼”角、“折”角，观察得到三角形内角和为．现在我们学习了平行线的性质，就可以证明此结论的正确性了． (1)如图1，过的顶点作的平行线，请你证明三角形的内角和为； 证明： ， ， （    ）， （    ）， （    ） 即三角形的内角和为； 【解题反思】平行线具有“等角转化”的功能． 【迁移应用1】 (2)健康骑行越来越受到老百姓的喜欢，自行车的示意图如图2，其中，若，，请直接写出的度数为． 【迁移应用2】 (3)如图3为北斗七星的位置图，将其抽象为图4，北斗七星分别标注为，，，，，，，将，，，，，，，顺次首尾连接．假设，，三点共线，恰好经过点，且，，，求的度数． 26．（12分）按要求解答问题： (1)如图①，在四边形中，，，E，F分别是边上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系：______； (2)如图②，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； (3)在四边形中，，，，分别是边，所在直线上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系： ． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材人教版八年级上册第13~14章。 第Ⅰ卷（选择题共36分） 一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定,把答案用2B铅笔填涂在答题卡相应的位置.） 1．下面是三根小棒的长度（单位：），能围成三角形的是（     ） A．1，2，3 B．3，4，8 C．5，5，10 D．2，8，7 2．在中，，且是的3倍，那么该三角形是（     ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形 3．已知三角形的三边长分别为3，5，x，则第三边长x的取值范围在数轴上表示正确的是（     ） A．B． C． D． 4．到三角形各边距离相等的点是（     ） A．三条中线的交点 B．三角形三条高所在的直线的交点 C．三条内角平分线的交点 D．三角形三条边的垂直平分线的交点 5．如图，在和中，，要使，下面是四个同学补充的条件，其中错误的是（     ） A． B． C． D． 6．如图，是中的角平分线，于点E，的面积，，，则的长是（    ） A．3 B．4 C．6 D．5 7．随着地摊经济的蓬勃发展，街巷夜市充满了烟火气．某夜市摊主使用的折叠方桌（如图（1））结构稳固、方便收纳，将其展开后可抽象为如图（2）所示的图形．已知，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 8．三角形三边长分别为：2，x，6，化简（     ） A．4 B． C． D． 9．一副直角三角板按如图放置，点在边的延长线上，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 10．如图，已知方格纸中是9个相同的正方形，则与的和为（     ） A． B． C． D． 11．如图，的面积为，为边上的中线，为上任意一点，连接，，图中阴影部分的面积为（     ） A．4 B．5 C．6 D．8 12．如图，在中，，，、是斜边上两点，且，过点作，垂足是，过点作，垂足是，交于点，连接，下列结论：①；②；③若，，则；④，其中正确的是（     ） A．①④ B．②③ C．①②③ D．①②④ 第Ⅱ卷（非选择题，共84分） 二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分，请把正确的答案填写在答题卡相应的位置。） 13．如图，沿着的方向，平移至，，，求_______． 14．一个直角三角形的三条边分别是6、8、10，则这个三角形最长边上的高是______． 15．已知的三个内角分别是、、，若，，则________°． 16．一天课间，顽皮的小明同学拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心将三角板掉到两根柱子之间，如图所示，这一幕恰巧被数学老师看见了，于是有了下面这道题：如果每块砖的厚度，则的长为_____． 17．如图，是的平分线，点在上，于点，且，点是射线上的一个动点，则线段的最小值是______． 18．如图，，，，如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点从点出发以的速度沿射线运动，经过秒后，若以、、为顶点的三角形与以、、为顶点的三角形全等，则的值是________ ． 三、解答题（本大题共8个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 19．（6分）如图，在中，，于点D． (1)尺规作图：作的平分线，分别交、于点（不写作法，保留作图痕迹）． (2)在（1）的条件下，若，求的度数． 20．（6分）已知的三边长为a，b，c，且a，b，c都是整数． (1)若，且c为奇数，求的周长； (2)化简：． 21．（8分）如图，，是的两条高． (1)若，，求的度数； (2)，，，求的长． 22．（8分）如图，，，点D在边上，和相交于点O． (1)若，求的度数； (2)若，求证：． 23．（8分）如图1、2所示，小颖与爸爸、妈妈在操场上荡秋千，小颖坐在秋千上的起始位置点处，且起始位置的延长线与地面垂直，垂足为点．小颖两脚在地面上用力一蹬，小颖妈妈在距离地面高为米的点处接住小颖，小颖的妈妈到秋千起始位置的水平距离米；小颖的妈妈用力一推，小颖的爸爸在距离地面高为米的点处接住小颖，小颖的爸爸到秋千起始位置的水平距离为米，秋千的长度保持不变．解答下列问题： (1)当时，判断与是否相等，若相等，请证明；若不相等，请说明理由； (2)当，米，米，米时，求的值； (3)若考虑到安全和体感，点、点分别在的左边和右边，秋千摆动的夹角（即）始终保持，请直接写出，，，这四个变量之间的关系． 24．（8分）和都是等腰直角三角形，． (1)如图1，点在上，则满足怎样的数量关系？请说明理由． (2)如图2，点在内部，点在外部，连接，则满足怎样的数量关系和位置关系？请说明理由． 25．（10分）【探究学习】小学阶段，我们可以通过“拼”角、“折”角，观察得到三角形内角和为．现在我们学习了平行线的性质，就可以证明此结论的正确性了． (1)如图1，过的顶点作的平行线，请你证明三角形的内角和为； 证明： ， ， （    ）， （    ）， （    ） 即三角形的内角和为； 【解题反思】平行线具有“等角转化”的功能． 【迁移应用1】 (2)健康骑行越来越受到老百姓的喜欢，自行车的示意图如图2，其中，若，，请直接写出的度数为． 【迁移应用2】 (3)如图3为北斗七星的位置图，将其抽象为图4，北斗七星分别标注为，，，，，，，将，，，，，，，顺次首尾连接．假设，，三点共线，恰好经过点，且，，，求的度数． 26．（12分）按要求解答问题： (1)如图①，在四边形中，，，E，F分别是边上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系：______； (2)如图②，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； (3)在四边形中，，，，分别是边，所在直线上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系： ． 2 / 21 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材人教版八年级上册第13~14章。 第Ⅰ卷（选择题共36分） 一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分，每题均有四个选项，其中只有一个选项符合规定,把答案用2B铅笔填涂在答题卡相应的位置.） 1．下面是三根小棒的长度（单位：），能围成三角形的是（     ） A．1，2，3 B．3，4，8 C．5，5，10 D．2，8，7 【答案】D 【详解】解：选项A中，选项B中，选项C中，不符合三角形任意两边之和大于第三边，所以均不能围成三角形，选项D中，符合三角形任意两边之和大于第三边，所以能围成三角形． 2．在中，，且是的3倍，那么该三角形是（     ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形 【答案】A 【分析】根据题意求出和的度数即可． 【详解】解：∵是的3倍， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴是直角三角形． 3．已知三角形的三边长分别为3，5，x，则第三边长x的取值范围在数轴上表示正确的是（     ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形三边关系定理确定第三边的取值范围，再对应数轴表示即可． 【详解】解：∵三角形两边长分别为，， ∴第三边长x应满足， 即， 在数轴上表示为： 4．到三角形各边距离相等的点是（     ） A．三条中线的交点 B．三角形三条高所在的直线的交点 C．三条内角平分线的交点 D．三角形三条边的垂直平分线的交点 【答案】C 【分析】由角平分线的判定定理求解即可． 【详解】解：∵到角两边距离相等的点在这个角的平分线上， ∴到三角形三边距离相等的点，同时在三角形三个内角的角平分线上， ∴满足题意的点是三角形三条内角平分线的交点． 5．如图，在和中，，要使，下面是四个同学补充的条件，其中错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】已知 及公共边 ，根据直角三角形全等的判定定理（）或一般三角形全等判定定理（）逐项验证即可． 【详解】解：已知 ，， 对于A，若 ， 在 和 中， ， ，条件正确，故本选项不符合题意； 对于B，若 ， 在 和 中， ， ，条件正确，故本选项不符合题意； 对于C，若 ， 在 和 中， ， ，条件正确，故本选项不符合题意； 对于D，设 与 交于点 ， ，， ，此结论由已知条件即可推出，无法判定 ，条件错误，故本选项符合题意． 6．如图，是中的角平分线，于点E，的面积，，，则的长是（    ） A．3 B．4 C．6 D．5 【答案】A 【分析】过点作于点，如图所示，由角平分线的性质得到，由等面积法得，再结合三角形面积公式列方程求解即可得到答案． 【详解】解：过点作于点，如图所示： 是中的角平分线，于点，于点， ， 的面积，， ，即， ， 解得． 7．随着地摊经济的蓬勃发展，街巷夜市充满了烟火气．某夜市摊主使用的折叠方桌（如图（1））结构稳固、方便收纳，将其展开后可抽象为如图（2）所示的图形．已知，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据邻补角的性质得到，再利用两直线平行，内错角相等得到，结合三角形内角和求出，进而利用对顶角相等求出的度数． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 8．三角形三边长分别为：2，x，6，化简（     ） A．4 B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据三角形三边关系确定的取值范围，再根据绝对值的化简法则去掉绝对值符号，合并计算得到结果． 【详解】解：∵三角形的三边长为，，， 根据三角形三边关系可得， ∴， ∴，， ∴． 9．一副直角三角板按如图放置，点在边的延长线上，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直角三角板的特点得出、，根据平行线的性质求出，结合平角定义和三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：由题意可得：，， ， ， ， ． 10．如图，已知方格纸中是9个相同的正方形，则与的和为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】标记格点，证明，得到，即可得解． 【详解】解：由题意可知，，，， ， ， ． 11．如图，的面积为，为边上的中线，为上任意一点，连接，，图中阴影部分的面积为（     ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】B 【分析】根据三角形中线的性质可得，，即可求解． 【详解】解：为边上的中线， ， 的面积为， ，， ． 12．如图，在中，，，、是斜边上两点，且，过点作，垂足是，过点作，垂足是，交于点，连接，下列结论：①；②；③若，，则；④，其中正确的是（     ） A．①④ B．②③ C．①②③ D．①②④ 【答案】C 【分析】由证明可判断①正确；证明可判断②正确；由①②结论得到，，由 求解可判断③正确；根据三角形的三边关系可判断④错误． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴，故①正确； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故②正确； ∵，， ∴，，，， ∴， ∵，， ∴，故③正确； ∵在中，， ∴，故④错误， 综上，正确的是①②③． 第Ⅱ卷（非选择题，共84分） 二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分，请把正确的答案填写在答题卡相应的位置。） 13．如图，沿着的方向，平移至，，，求_______． 【答案】 【分析】由三角形内角和定理可得，再利用平移的性质即可解答． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵沿着的方向，平移至， ∴． 14．一个直角三角形的三条边分别是6、8、10，则这个三角形最长边上的高是______． 【答案】 【分析】直角三角形中最长边为斜边，两条较短边为直角边，先利用直角边求出三角形面积，再根据面积不变，求出最长边上的高． 【详解】解：由题意知，长度为和的边是直角边， ， 设最长边上的高为， ∴，解得． 15．已知的三个内角分别是、、，若，，则________°． 【答案】 80 【详解】解：∵三角形内角和为， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 16．一天课间，顽皮的小明同学拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心将三角板掉到两根柱子之间，如图所示，这一幕恰巧被数学老师看见了，于是有了下面这道题：如果每块砖的厚度，则的长为_____． 【答案】49 【分析】先根据“”证明，可得，，然后根据可得答案． 【详解】解：由题意得，，，， ， ， ， ， ， ， ，， ． 17．如图，是的平分线，点在上，于点，且，点是射线上的一个动点，则线段的最小值是______． 【答案】 【分析】利用垂线段最短和角平分线上的点到角两边的距离相等即可求解． 【详解】解：∵直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段的长度最短， ∴过点作，线段的最小值为， ∵是的平分线，点在上，，， ∴． 18．如图，，，，如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点从点出发以的速度沿射线运动，经过秒后，若以、、为顶点的三角形与以、、为顶点的三角形全等，则的值是________ ． 【答案】或 【分析】已知，两个三角形全等存在两种对应情况：；，分别根据全等三角形对应边相等列方程求解，进而求出． 【详解】由题意得：，，， ，与全等， 分两种情况： 情况1：， 此时对应边：，， 由得， 解得， 由得， 将代入，得， 解得； 情况2：， 此时对应边：，， 由得， 解得， 由得， 将代入，得， 解得， 综上，的值为或． 三、解答题（本大题共8个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 19．（6分）如图，在中，，于点D． (1)尺规作图：作的平分线，分别交、于点（不写作法，保留作图痕迹）． (2)在（1）的条件下，若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据角平分线的作法画出图形即可； （2）由三角形内角和定理得，由角平分线的定义得，再根据三角形内角和定理和对顶角的性质解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ， 平分， ， ， ， ∴． 20．（6分）已知的三边长为a，b，c，且a，b，c都是整数． (1)若，且c为奇数，求的周长； (2)化简：． 【答案】(1)12 (2) 【分析】（1）根据三角形三边关系确定c的取值范围，再结合c是整数且为奇数确定其值，即可获得答案； （2）根据三角形三边关系可得，进而可得，然后进一步化简即可． 【详解】（1）解：由三角形三边关系定理可得：， ∴， ∵c是整数，且为奇数， ∴， ∴的周长； （2）解：∵的三边长为a，b，c， ∴，，， ∴； 由三角形三边关系定理可得：， ∴， ∴ ． 21．（8分）如图，，是的两条高． (1)若，，求的度数； (2)，，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形的高线定义和三角形的内角和定理求得 ，，再根据平角定义即可求解； （2）根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：是的高线， ． ， ． 同理， ． （2）解：，是的两条高， ，， ， ． 22．（8分）如图，，，点D在边上，和相交于点O． (1)若，求的度数； (2)若，求证：． 【答案】(1) (2)证明：∵， ∴， 由（1）可知：， 又∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴． 【分析】（1）在和中，利用三角形内角和定理可得，从而得到答案； （2）先证明，再利用可证得． 【详解】（1）解：∵，点D在边上，和相交于点O， ∴， 又∵，， ∴； （2）略． 23．（8分）如图1、2所示，小颖与爸爸、妈妈在操场上荡秋千，小颖坐在秋千上的起始位置点处，且起始位置的延长线与地面垂直，垂足为点．小颖两脚在地面上用力一蹬，小颖妈妈在距离地面高为米的点处接住小颖，小颖的妈妈到秋千起始位置的水平距离米；小颖的妈妈用力一推，小颖的爸爸在距离地面高为米的点处接住小颖，小颖的爸爸到秋千起始位置的水平距离为米，秋千的长度保持不变．解答下列问题： (1)当时，判断与是否相等，若相等，请证明；若不相等，请说明理由； (2)当，米，米，米时，求的值； (3)若考虑到安全和体感，点、点分别在的左边和右边，秋千摆动的夹角（即）始终保持，请直接写出，，，这四个变量之间的关系． 【答案】(1)，理由如下： 于点， ， ，     ， ，     ． (2) (3) 【分析】（1）利用同角的余角相等证两角相等； （2）根据证，得到对应边相等，再结合线段差计算； （3）用线段和差得到四个变量关系式． 【详解】（1）略 （2）解：据题可知，据（1）可知， 在和中， ， ， 米，， ，， 米， 米， ． （3）解：据（2）可知， 则米，米， ，， ，即． 24．（8分）和都是等腰直角三角形，． (1)如图1，点在上，则满足怎样的数量关系？请说明理由． (2)如图2，点在内部，点在外部，连接，则满足怎样的数量关系和位置关系？请说明理由． 【答案】(1)，理由如下： ∵和都是等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ∴； (2)，，理由如下： 延长，分别交、于F、G， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ， ∴，即． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到，，然后求解即可； （2）延长，分别交、于F、G，证明，得到，，进而求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 25．（10分）【探究学习】小学阶段，我们可以通过“拼”角、“折”角，观察得到三角形内角和为．现在我们学习了平行线的性质，就可以证明此结论的正确性了． (1)如图1，过的顶点作的平行线，请你证明三角形的内角和为； 证明： ， ， （    ）， （    ）， （    ） 即三角形的内角和为； 【解题反思】平行线具有“等角转化”的功能． 【迁移应用1】 (2)健康骑行越来越受到老百姓的喜欢，自行车的示意图如图2，其中，若，，请直接写出的度数为． 【迁移应用2】 (3)如图3为北斗七星的位置图，将其抽象为图4，北斗七星分别标注为，，，，，，，将，，，，，，，顺次首尾连接．假设，，三点共线，恰好经过点，且，，，求的度数． 【答案】(1)；两直线平行，内错角相等；平角的定义；；等量代换 (2) (3) 【分析】（1）根据平行线的性质及平角等于180度证明即可； （2）作，可得，从而，然后根据求解即可； （3）过点作，证明，可得，，，结合，，整理可得答案． 【详解】（1）略； （2）解：如图，作， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，过点作， 又∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴． 26．（12分）按要求解答问题： (1)如图①，在四边形中，，，E，F分别是边上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系：______； (2)如图②，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； (3)在四边形中，，，，分别是边，所在直线上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系： ． 【答案】(1) (2)（1）中的结论仍然成立． 理由是：如图2，延长到，使，连接． ，， ， 在与中， ， ． ，， ． ． 又， ． ． ． (3)或或 【分析】（1）延长到，使，连接．证明．，，证明．则．即可得到答案； （2）延长到，使，连接．证明，则，，证明，则．即可得到答案； （3）在上截取，使，连接．证明．则，．证明．则，即可得到结论． 【详解】（1）解：如图1，延长到，使，连接． 在与中， ， ． ，， ． ． 又， ∴． ． ． ； （2）略 （3）当（1）的结论成立， 当图3中，或． 证明：在上截取，使，连接． ，， ． 在与中， ， ． ，． ． ． ， ． ． 同理可得： ． 2 / 21 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $