八年级数学上学期9月学情自测（新教材人教版第13，14章，高效培优·强化卷）

**基本信息** 聚焦八年级数学第13-14章，以三角形与全等三角形为核心，通过地摊经济折叠方桌、直角三角板放置等现实情境，融合几何直观与推理能力，实现基础巩固到创新应用的梯度考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|三角形三边关系、角平分线性质、全等判定|以折叠方桌情境考查角度计算，体现数学眼光观察现实世界| |填空题|6/26|全等条件补充、面积转化、尺规作图|中点相关面积计算（如第13题），培养空间观念| |解答题|9/94|全等证明、折叠探究、动点问题|第25题结合“SSA”分类讨论，发展推理意识；第24题动点问题考查模型观念，契合真题探究趋势|

2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材人教版八年级上册第13章~第14章。 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A中，，不能组成三角形． B中，，不能组成三角形． C中，，不能组成三角形． D中，，能组成三角形． 2．随着地摊经济的蓬勃发展，街巷夜市充满了烟火气．某夜市摊主使用的折叠方桌（如图（1））结构稳固、方便收纳，将其展开后可抽象为如图（2）所示的图形．已知，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，， ，，，． 3．如图，平分，于点C，点D在上，若，，则的面积为（     ） A．4 B．8 C．12 D．18 【答案】C 【详解】解：如图，过点作于点， 平分，， ，，， 又，，，的面积． 4．如图，在和中，，要使，下面是四个同学补充的条件，其中错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：已知 ，， 对于A，若 ，在 和 中，， ，条件正确，故本选项不符合题意； 对于B，若 ，在 和 中，， ，条件正确，故本选项不符合题意； 对于C，若 ，在 和 中，， ，条件正确，故本选项不符合题意； 对于D，设 与 交于点 ， ，， ，此结论由已知条件即可推出，无法判定 ，条件错误，故本选项符合题意． 5．如图，若，根据尺规作图的痕迹，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据尺规作图的痕迹可知，， ， ． 6．一副直角三角板按如图放置，点在边的延长线上，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意可得：，， ，， ， ． 7．已知中，，，则中线的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：延长到，使，则，则连接， 是的中线，， 在与中，，，， 根据三角形的三边关系得：，， ，，∴ 故选：D． 8．如图，已知，点的坐标是，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：作轴于点C，轴于点D，如图 ∴， ，∴， 在与中，，． 又点的坐标是，，∴点的坐标为． 9．如图，四边形中，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，作于，于，于， ∵，∴平分， ∵，，， ∵，∴，∴， ∴平分，∵，，∴，∴， ∵，，平分，∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴． 10．如图，在中，，，、是斜边上两点，且，过点作，垂足是，过点作，垂足是，交于点，连接，下列结论：①；②；③若，，则；④，其中正确的是（     ） A．①④ B．②③ C．①②③ D．①②④ 【答案】C 【详解】解：∵在中，，，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴， 在和中，，∴，故①正确；∴， ∵，∴， ∴，∴， 在和中，，∴， ∴，故②正确； ∵，， ∴，，，， ∴， ∵，，∴，故③正确； ∵在中，，∴，故④错误， 综上，正确的是①②③． 二、填空题（本题共6小题，第11题至第15题每小题6分，第16题6分，共26分．） 11．设的三边长是a，b，c．若，，则a的取值范围是______________． 【答案】 【详解】解：∵三角形任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，，， ∴边长a满足不等式，将，代入不等式得， 化简得． 12．如图，点，，，在同一条直线上，，．如果要使，需要添加的一个条件是__________． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：∵，∴，即， ∵，若添加，∴； 若添加，∴； 若添加，则，∴． 13．如图，在中，D是边的中点，E是的中点，阴影部分的面积和为2，则的面积是___________ ． 【答案】4 【详解】解：分别是的中点， ，，，， ， ． 14．如图，点是直线上一点，在点的左上方任取一点，连接，用尺规按以下程序作图： ①以点为圆心，长为半径作弧，交直线于点，连接； ②以点为圆心，长为半径在直线的上方作弧； ③以点为圆心，长为半径在直线的上方作弧，与②中所画的弧交于点（点在点的右边），连接，过点，作直线． 则线段与线段的关系是________． 【答案】平行且相等 【详解】解：由步骤①得：；由步骤②得：；∴， 由步骤③得：；∵，∴，∴， ∴， ∴线段与线段的关系是平行且相等． 15．如图，的面积为，平分，于点，连接，则的面积为_____． 【答案】6 【详解】解：如图，延长交于， 平分，， ，， 在和中，，， ，，的面积为， ． 16．如图，中，为的平分线，交于点，过点作，垂足为点，交于点，（1）则= ; (2) 若点分别为上一个动点，则的最小值为 A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】（1） （2）8 【详解】解：（1）过作于， ∵为的平分线，，∴， , 从而 (2)在线段上取一点，使，连接，， ∵为的平分线，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴当在上时， ∵点分别为上一个动点， ∴当在上，与重合时，最小． 三、解答题（本题共9小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．如图，在中，，，分别是的高、角平分线、中线． (1)若的面积为，则的面积_______； (2)当，时，求的度数． (3)若，的周长比的周长少，求的长度． 【详解】（1）解：是的中线，的面积为，； （2）解：，，， 平分，， 是的高，，， ； （3）解：是的中线，， 的周长比的周长少，， 则，，． 18．如图，，，平分． (1)与平行吗？请说明理由； (2)若，求的度数． 【详解】 (1)，理由如下： ，，又,,． （2）解：，，，， 平分，，， ，， 又,， ，， 在中，， ． 19．如图，将沿折叠，使点落在的内部点处，试探究，与的关系． 【详解】；理由如下： 由折叠可得， ∵， ∴，， ∴ ． 20.证明：全等三角形对应边上的高相等． 【详解】 已知：如图，分别是的边和的边上的高． 求证：． 证明：∵，∴，， ∵，，∴， 在 和中，，∴，∴． 21．如图，，，点D在边上，和相交于点O． (1)若，求的度数； (2)若，求证：． 【详解】（1）解：∵，点D在边上，和相交于点O， ∴，又∵，，∴； (2)证明：∵，∴， 由（1）可知：， 又∵，∴，∴，即， 在和中，， ∴． 22．已知中，平分，交于点，平分，交于点D，与交于点． (1)如图1．求证：； (2)如图2，连接，求证：平分． 【详解】(1)证明：平分，平分， 设，， ，， ； (2)证明：过作于点，作于点，作于点， 平分，， 平分，，．平分． 23．求解下列各题： (1)【问题发现】如图1，在四边形中，，，点、分别在边、上，连接、、，且，延长到点，使，连接，试说明：； (2)【拓展延伸】如图2，在四边形中，，，点在的延长线上，点在的延长线上，连接、、，且，延长至点，使得，连接，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 【详解】(1)证明：在和中，，，， ，，， ，，， ，， ，， ； (2)解：（形式不唯一）． 理由：，，， 又，，，，， ，，， ，，， ，， ，即， ． 24．数学课上，老师让同学们准备等腰三角形纸片进行操作活动，探究有关线段之间的关系．已知：在中，． 【初步探究】 (1)如图1，若，点，，在直线上，，则与有怎样的数量关系？请直接写出结论； (2)【变式训练】 如图2，若，点，，在直线上，，试判断线段、和的数量关系，并说明理由． (3)【拓展应用】 如图3，若，，，是中点，点在线段上以的速度由点到点运动，同时点在线段上由点到点运动，它们运动的时间为，当点的运动速度为多少时，能使与以，，三点为顶点所构成的三角形全等．（直接写出结果） 【详解】（1）解：∵， ，∴， 又∵，∴，∴； (2)，理由：∵点、、在直线上，∴， 由三角形内角和定理知，， ∵，∴， ∵，∴，∴， ∴； （3）解：如图所示，过点A作于F， ∴， 又∵，∴，∴； ∵E是中点，∴； 当时，则， ∴，∴； 当时，则， ∴，∴，∴； 综上所述，点Q的运动速度为或． 25．阅读理解： 学习了三角形全等的判定方法：“SAS”，“ASA”，“AAS”，“SSS”和直角三角形全等的判定方法“HL”后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”即“SSA”的情形进行研究． 我们不妨将问题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠A=∠D． 初步探究： 如图1，已知AC=DF, ∠A=∠D,过C作CH⊥射线AM于点H，对△ABC 的CB边进行分类，可分为“CB<CH，CB=CH，CH<CB<CA，”三种情况进行探究． 深入探究： 第一种情况，当BC<CH时，不能构成△ABC和△DEF． 第二种情况，（1）如图2，当BC=CH时，在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠A=∠D，根据 ，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF． 第三种情况，（2）当CH<BC<CA时，△ABC和△DEF不一定全等．请你用尺规在图1的两个图形中分别补全△ABC和△DEF,使△DEF和△ABC不全等（表明字母，不写作法，保留作图痕迹）． （3）从上述三种情况发现，只有当BC=CH时，才一定能使△ABC≌△DEF．除了上述三种情况外，BC边还可以满足什么条件，也一定能使△ABC≌△DEF？写出结论,并利用备用图证明． 【详解】试题分析：（1）当BC=CH时，根据三角形全等的判定方法作答，可以是HL或AAS； （2）当CH<BC<CA时，分别以点C、F为圆心，以符合条件的长度为半径画弧，与AM的交点在点H的左侧，与DN的交点在点H的右侧； （3）当BC=CA时，△ABC和△DEF是有一个底角相等的等腰三角形，根据AAS易证两三角形全等，当BC>CA时，过点F作FG⊥DE于点G，通过证明△CAH≌△FDG（AAS），得到CH=FG，通过证明Rt△CBH≌Rt△FEG（HL），得到∠CBA=∠FED，最后证得△ABC≌△DEF（AAS）． 试题解析：解：（1）HL或AAS； （2）如图： （3）当BC≥CA时，也能使ABC≌△DEF． 证明：当BC=CA时，△ABC和△DEF是有一个底角相等的等腰三角形，根据AAS易证两三角形全等，当BC>CA时，在射线AM上取点B，使BC>CA，连接BC，以F为圆心，CB长为半径画弧交射线DN于点E，连接FE，则BC=EF,过点F作FG⊥DE于点G， 在△CAH和△FDG中，，∴△CAH≌△FDG（AAS），∴CH=FG， 在Rt△CBH和Rt△FEG中，，∴Rt△CBH≌Rt△FEG（HL），∴∠CBA=∠FED， 在△ABC和△EFD中，，∴△ABC≌△DEF（AAS）． 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材人教版八年级上册第13章~第14章。 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（     ） A． B． C． D． 2．随着地摊经济的蓬勃发展，街巷夜市充满了烟火气．某夜市摊主使用的折叠方桌（如图（1））结构稳固、方便收纳，将其展开后可抽象为如图（2）所示的图形．已知，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 3．如图，平分，于点C，点D在上，若，，则的面积为（     ） A．4 B．8 C．12 D．18 4．如图，在和中，，要使，下面是四个同学补充的条件，其中错误的是（     ） A． B． C． D． 5．如图，若，根据尺规作图的痕迹，则的度数为（     ） A． B． C． D． 6．一副直角三角板按如图放置，点在边的延长线上，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 7．已知中，，，则中线的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 8．如图，已知，点的坐标是，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 9．如图，四边形中，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，，、是斜边上两点，且，过点作，垂足是，过点作，垂足是，交于点，连接，下列结论：①；②；③若，，则；④，其中正确的是（     ） A．①④ B．②③ C．①②③ D．①②④ 二、填空题（本题共6小题，第11题至第15题每小题6分，第16题6分，共26分．） 11．设的三边长是a，b，c．若，，则a的取值范围是______________． 12．如图，点，，，在同一条直线上，，．如果要使，需要添加的一个条件是__________． ． 13．如图，在中，D是边的中点，E是的中点，阴影部分的面积和为2，则的面积是___________ ． 14．如图，点是直线上一点，在点的左上方任取一点，连接，用尺规按以下程序作图： ①以点为圆心，长为半径作弧，交直线于点，连接； ②以点为圆心，长为半径在直线的上方作弧； ③以点为圆心，长为半径在直线的上方作弧，与②中所画的弧交于点（点在点的右边），连接，过点，作直线． 则线段与线段的关系是________． 15．如图，的面积为，平分，于点，连接，则的面积为_____． 16．如图，中，为的平分线，交于点，过点作，垂足为点，交于点，（1）则= ; (2) 若点分别为上一个动点，则的最小值为 A．4 B．6 C．8 D．10 三、解答题（本题共9小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（本题8分）如图，在中，，，分别是的高、角平分线、中线． (1)若的面积为，则的面积_______； (2)当，时，求的度数． (3)若，的周长比的周长少，求的长度． 18．（本题8分）如图，，，平分． (1)与平行吗？请说明理由； (2)若，求的度数． 19．（本题8分）如图，将沿折叠，使点落在的内部点处，试探究，与的关系． 20. （本题10分）证明：全等三角形对应边上的高相等． 21．（本题10分）如图，，，点D在边上，和相交于点O． (1)若，求的度数； (2)若，求证：． 22．（本题12分）已知中，平分，交于点，平分，交于点D，与交于点． (1)如图1．求证：； (2)如图2，连接，求证：平分． 23．（本题12分）求解下列各题： (1)【问题发现】如图1，在四边形中，，，点、分别在边、上，连接、、，且，延长到点，使，连接，试说明：； (2)【拓展延伸】如图2，在四边形中，，，点在的延长线上，点在的延长线上，连接、、，且，延长至点，使得，连接，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 24．（本题12分）数学课上，老师让同学们准备等腰三角形纸片进行操作活动，探究有关线段之间的关系．已知：在中，． 【初步探究】 (1)如图1，若，点，，在直线上，，则与有怎样的数量关系？请直接写出结论； (2)【变式训练】 如图2，若，点，，在直线上，，试判断线段、和的数量关系，并说明理由． (3)【拓展应用】 如图3，若，，，是中点，点在线段上以的速度由点到点运动，同时点在线段上由点到点运动，它们运动的时间为，当点的运动速度为多少时，能使与以，，三点为顶点所构成的三角形全等．（直接写出结果） 25．（本题14分）阅读理解： 学习了三角形全等的判定方法：“SAS”，“ASA”，“AAS”，“SSS”和直角三角形全等的判定方法“HL”后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”即“SSA”的情形进行研究． 我们不妨将问题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠A=∠D． 初步探究： 如图1，已知AC=DF, ∠A=∠D,过C作CH⊥射线AM于点H，对△ABC 的CB边进行分类，可分为“CB<CH，CB=CH，CH<CB<CA，”三种情况进行探究． 深入探究： 第一种情况，当BC<CH时，不能构成△ABC和△DEF． 第二种情况，（1）如图2，当BC=CH时，在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠A=∠D，根据 ，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF． 第三种情况，（2）当CH<BC<CA时，△ABC和△DEF不一定全等．请你用尺规在图1的两个图形中分别补全△ABC和△DEF,使△DEF和△ABC不全等（表明字母，不写作法，保留作图痕迹）． （3）从上述三种情况发现，只有当BC=CH时，才一定能使△ABC≌△DEF．除了上述三种情况外，BC边还可以满足什么条件，也一定能使△ABC≌△DEF？写出结论,并利用备用图证明． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D C C D C C D B B C 二、填空题（本题共6小题，第11题至第15题每小题6分，第16题6分，共26分．） 二、填空题（本题共6小题，第11题至第15题每小题6分，第16题6分，共26分．） 11． 12．（答案不唯一） 13．4 14．平行且相等 15．6 16．（1） （2）8 三、解答题（本题共9小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．(本题8分) 【详解】（1）（2分）解：是的中线，的面积为，； （2）（3分）解：，，， 平分，， 是的高，，， ； （3）（3分）解：是的中线，， 的周长比的周长少，， 则，，． 18． (本题8分) 【详解】 (1) （3分），理由如下： ，，又,,． （2）（5分）解：，，，， 平分，，， ，， 又,， ，， 在中，， ． 19．(本题8分)． 【详解】；理由如下： 由折叠可得， ∵， ∴，， ∴ ． 20. (本题10分) 【详解】 （4分）已知：如图，分别是的边和的边上的高． 求证：． （6分）证明：∵，∴，， ∵，，∴， 在 和中，，∴，∴． 21．(本题10分) 【详解】（1）（4分）解：∵，点D在边上，和相交于点O， ∴，又∵，，∴； (2) （6分）证明：∵，∴， 由（1）可知：， 又∵，∴，∴，即， 在和中，， ∴． 22．(本题12分) 【详解】(1) （6分）证明：平分，平分， 设，， ，， ； (2) （6分）证明：过作于点，作于点，作于点， 平分，， 平分，，．平分． 23．(本题12分) 【详解】(1) （6分）证明：在和中，，，， ，，， ，，， ，， ，， ； (2) （6分）解：（形式不唯一）． 理由：，，， 又，，，，， ，，， ，，， ，， ，即， ． 24．(本题12分) 【详解】（1（3分））解：∵， ，∴， 又∵，∴，∴； (2) （4分），理由：∵点、、在直线上，∴， 由三角形内角和定理知，， ∵，∴， ∵，∴，∴， ∴； （3）（5分）解：如图所示，过点A作于F， ∴， 又∵，∴，∴； ∵E是中点，∴； 当时，则， ∴，∴； 当时，则， ∴，∴，∴； 综上所述，点Q的运动速度为或． 25．(本题14分) 【详解】解：（1）（2分）HL或AAS； （2）（4分）如图：当CH<BC<CA时，分别以点C、F为圆心，以符合条件的长度为半径画弧，与AM的交点在点H的左侧，与DN的交点在点H的右侧； （3）（8分）当BC≥CA时，也能使ABC≌△DEF． 证明：当BC=CA时，△ABC和△DEF是有一个底角相等的等腰三角形，根据AAS易证两三角形全等，当BC>CA时，在射线AM上取点B，使BC>CA，连接BC，以F为圆心，CB长为半径画弧交射线DN于点E，连接FE，则BC=EF,过点F作FG⊥DE于点G， 在△CAH和△FDG中，，∴△CAH≌△FDG（AAS），∴CH=FG， 在Rt△CBH和Rt△FEG中，，∴Rt△CBH≌Rt△FEG（HL），∴∠CBA=∠FED， 在△ABC和△EFD中，，∴△ABC≌△DEF（AAS）． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $