学易金卷：高二数学上学期第一次月考02（浙江专用，范围：人教A版选择性必修一第一章～第二章）

**基本信息** 聚焦直线与空间向量，基础巩固与创新应用结合，梯度设计合理，如第7题光线反射、19题新定义距离问题，体现数学眼光与思维。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|11题/58分|直线倾斜角、空间向量共线、两圆位置关系|第8题交点轨迹结合圆的性质，考察几何直观| |填空|3题/15分|二面角、点到直线距离、曲线对称性|第14题曲线美分析，融入数学文化| |解答|5题/77分|圆的方程、空间线面角、新定义距离|19题引入曼哈顿距离，考察模型意识；18题动态点线面角，考察推理能力|

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026-2027学年高二数学上学期第一次月考卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．测试范围：人教A版选择性必修第一册第一章~第二章. 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知直线经过， 两点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．已知非零空间向量，，且，则一定共线的三点是（ ） A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D 3．已知直线平行，则实数的值为（    ） A．－1 B．－7 C．－1或－7 D．1或7 4．已知四面体中，，，，，空间一点M满足，若四点共面，则（   ） A． B． C． D． 5．已知点、、，过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．在直角坐标平面内，点到直线的距离为3，点到直线的距离为2，则满足条件的直线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．在平面直角坐标系中，从点 出发的一束光线经直线 上的点 反射后，又经过 轴上的点 反射后经过点 ，则 的周长是（ ） A． B．5 C．10 D． 8．已知，直线与直线相交于点，则到直线的距离的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下面四个结论中，正确的是（    ） A．点关于平面对称的点的坐标是 B．若，则向量的夹角是钝角 C．已知，则在上的投影向量的模为1 D．设是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 10．如图，在棱长为3的正方体中，点，，分别为棱，，的中点，点，，分别是线段，，（不含端点）上的动点，则下列选项正确的是（    ） A．若为的中点，则平面 B．存在点，使得平面 C．的最小值为 D．若，则取得最小值时平面与平面夹角的余弦值为 11．（多选）已知直线，过直线上任意一点作圆的两条切线，切点分别为，，则有（   ） A．四边形面积的最小值为 B．最大度数为 C．直线过定点 D．的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．如图所示，二面角为，，是棱上的两点，，分别在半平面，内，且，，，，，则的长______. 13．已知点和点到直线的距离相等，且过点，则直线的方程为______. 14．数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理证明、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美；在平面直角坐标系中，曲线就是一条形状优美的曲线；则下列结论中，正确结论的序号为________ ①曲线C围成的图形有4条对称轴； ②曲线C围成的图形的周长是； ③曲线C上的任意两点间的距离不超过； ④若是曲线C上任意一点，的最小值是； 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知两圆和.  求： (1)取何值时两圆外切？ (2)当时，两圆相交于两点，求公共弦所在的直线方程及. 16．如图，在正三棱柱中，是的中点． (1)证明：； (2)若，直线与平面所成角为，求点到平面的距离． 17．在平面直角坐标系中，已知点和，动点P满足． (1)求证：点P的曲线C为圆，并指出圆心C坐标及半径． (2)若，求过点A且与曲线C相切的直线方程． (3)已知，直线与圆C交于M、N两点，圆心为C，，求k的值． 18．如图，在四棱锥中，，，平面，二面角的大小为，点，满足：，. (1)若平面，求的值； (2)求与平面所成角的正弦的取值范围； (3)若平面与平面的夹角的余弦值为，求的值. 19．设，，在中学教材我们已经学习过，数学上称之为欧几里得距离，记为. 此外还有两种测量距离的方式： 定义曼哈顿距离； 定义余弦距离，其中（O为坐标原点）. 余弦距离，亦可由二维平面推广至三维空间. 据此，解决下面的问题： (1)若，，求A，B之间的余弦距离； (2)若动点P在直线上，动点Q在圆上，求的最小值； (3)若，，求的取值范围. 试卷第4页（共4页） 试卷第4页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学上学期第一次月考卷 全解全析 （考试时间120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．测试范围：人教A版选择性必修第一册第一章~第二章. 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知直线经过， 两点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设直线的倾斜角为，其中 . 根据过两点的直线斜率公式，得 ， 由 ，结合 ，可得. 2．已知非零空间向量，，且，则一定共线的三点是（ ） A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D 【答案】A 【详解】因， 对于A，由，因与共点，故三点共线，故A正确； 对于B，因，故三点不共线，故B错误； 对于C，因，故三点不共线，故C错误； 对于D，因与没有确定的倍数关系，故三点不共线，故D错误. 3．已知直线平行，则实数的值为（    ） A．－1 B．－7 C．－1或－7 D．1或7 【答案】B 【详解】直线平行，则， ，解得或； 检验当时，两直线重合； 当时，，两直线平行. 实数的值应为－7． 4．已知四面体中，，，，，空间一点M满足，若四点共面，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得， 所以． 由四点共面，知，解得． 又，， ∵， ∴ ． 故选：B． 5．已知点、、，过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如下图所示，    若过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率或， ，， 直线的斜率或， 直线斜率的取值范围是，故D正确． 故选：C． 6．在直角坐标平面内，点到直线的距离为3，点到直线的距离为2，则满足条件的直线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】到点距离为3的直线可看作以A为圆心3为半径的圆的切线， 同理到点距离为2的直线可看作以B为圆心2为半径的圆的切线， 故所求直线为两圆的公切线， 又， 故两圆外切， 所以公切线有3条， 故选：C 7．在平面直角坐标系中，从点 出发的一束光线经直线 上的点 反射后，又经过 轴上的点 反射后经过点 ，则 的周长是（ ） A． B．5 C．10 D． 【答案】D 【详解】点关于直线对称的点为，关于轴对称的点为. 由对称性可知，，， 反射光线的路径是，结合两次反射的对称性质，这条路径等价于， 为了让整个反射路径闭合（最终回到），和必须在连接与的直线上， 否则路径无法满足 “两次反射后回到” 的条件.因此，四点共线， 则的周长等于. 故选：D. 8．已知，直线与直线相交于点，则到直线的距离的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】直线整理可得，， 即直线恒过，同理可得恒过， 又，直线和互相垂直， 两条直线的交点在以，为直径的圆上， 即的轨迹方程为，去掉， （这是因为不能表示直线，不能表示直线） 设该圆心为，则，则， 由于垂直于直线，故M到的距离即为，而， 即，而当时，点的坐标为，不符合题意. 故的取值范围是， 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下面四个结论中，正确的是（    ） A．点关于平面对称的点的坐标是 B．若，则向量的夹角是钝角 C．已知，则在上的投影向量的模为1 D．设是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 【答案】AC 【详解】对于A，点关于平面对称的点的坐标是，故A正确； 对于B，若，则向量，的夹角是钝角或，共线且反向，故B错误； 对于C，在上的投影向量的模为，故C正确； 对于D， 因为，即共面，不能作为空间的一个基底，故D错误. 10．如图，在棱长为3的正方体中，点，，分别为棱，，的中点，点，，分别是线段，，（不含端点）上的动点，则下列选项正确的是（    ） A．若为的中点，则平面 B．存在点，使得平面 C．的最小值为 D．若，则取得最小值时平面与平面夹角的余弦值为 【答案】ABD 【分析】A选项先找到线线平行，从而得到线面平行；B选项先找出直线与平面平行，再确定点；C选项找出异面直线公垂线，再求公垂线长度；D选项先找出二面角的平面角，再用余弦定理计算余弦值. 【详解】对于选项A：如图1，若P为的中点，,平面PAC，平面PAC，平面PAC，故A正确； 对于选项B：如图2，当P为平面AMNC与的交点时，连接MA，此时，平面PAC，平面PAC，故平面PAC，所以B正确； 对于选项C：如图3，连接，平面，，又，，平面， 所以平面，平面，所以，同理可得， 取BC中点Q，连接，QA分别与，BD相交，取交点分别为F，E，此时，得， 因为， ，所以， ， 故EF为，BD的公垂线段，且，所以C不正确； 对于选项D：如图4，设，， 则，作，垂足为T，连接ET， ，，可得， ，，， 故，当且仅当时“＝”成立， 即当E，F分别为BD，中点时EF取得最小值． 取EF中点R，连接RB，RC，平面与平面交线为， 因为E，F分别为BD，中点，所以， 又R是EF中点，所以, 则为二面角的平面角， 而，得， 即此时平面BEF与平面CEF夹角的余弦值为，所以D正确． 11．（多选）已知直线，过直线上任意一点作圆的两条切线，切点分别为，，则有（   ） A．四边形面积的最小值为 B．最大度数为 C．直线过定点 D．的最小值为 【答案】AD 【分析】，当时有最小值，求出可判断A；通过计算得到的值可以趋近于,可以任意接近，可以任意接近，从而可判断B；设点，，，求出直线的方程 ，整理得 ，由可得直线AB过的定点可判断C；直线AB所过定点为P，当时，弦长最小，求出的最小值可判断D. 【详解】对于A选项，由题意可知， 当时，有最小值，即，此时， 所以四边形面积的最小值为，故选项A正确； 对于B，当点M在直线l上运动时，的取值范围是，因此 的值可以趋近于,可以无限接近，可以无限接近，故选项B错误； 对于C，设点，，，则， 易知在点、处的切线方程分别为 ， ， 将点分别代入两切线方程得 ， ， 所以直线方程为 ，整理得，代入， 得 ， 解方程组得所以直线过定点，故选项C错误； 对于D，设直线所过定点为，则，当时，弦长最小， 此时，则的最小值为，故选项D正确． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．如图所示，二面角为，，是棱上的两点，，分别在半平面，内，且，，，，，则的长______. 【答案】 【分析】利用空间向量加法法则将表示为，通过两边平方结合向量数量积的定义及运算律求解. 【详解】因为，，所以，， 又因为二面角为，，，且，， 所以向量与的夹角为，则向量与的夹角为. 由向量加法法则可得， 所以， 即. 13．已知点和点到直线的距离相等，且过点，则直线的方程为______. 【答案】或 【分析】根据题意，分和直线过线段的中点两种情况讨论，结合直线的点斜式方程，即可求解. 【详解】因为点和点到直线的距离相等，且过点， 当直线时，可得， 可得直线的方程为，即； 当直线过线段的中点，由，即， 则，所以直线的方程为，即， 综上可得，直线的方程为或. 14．数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理证明、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美；在平面直角坐标系中，曲线就是一条形状优美的曲线；则下列结论中，正确结论的序号为________ ①曲线C围成的图形有4条对称轴； ②曲线C围成的图形的周长是； ③曲线C上的任意两点间的距离不超过； ④若是曲线C上任意一点，的最小值是； 【答案】①②④ 【详解】原方程 整理得： ， 则曲线是圆心坐标分别为，半径为​的四分之一圆弧拼接而成，如图所示. ① 换、方程不变，故轴、轴是对称轴；换、方程也不变， 故、也是对称轴，共4条，故 ① 正确； ② 曲线是4段半圆弧及原点构成，其周长为，故 ② 正确； ③ 由图可知，不妨在曲线上取两点为和，其距离为，故 ③ 错误； ④ 令， 所以可把看成点到直线的距离的5倍， 而离最近的是第一象限的圆弧，且圆心到的距离为， 故​，因此，故 ④ 正确. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知两圆和.  求： (1)取何值时两圆外切？ (2)当时，两圆相交于两点，求公共弦所在的直线方程及. 【答案】(1)57 (2)， 【分析】（1）求出两圆的标准方程得到圆心和半径，利用两圆外切的性质进行求解即可； （2）利用两圆的方程作差求出公共弦所在直线的方程，然后利用弦长公式求解即可. 【详解】（1）由圆，即， 则圆心为，半径为， 圆，即， 则圆心为，半径为，， 因为两圆外切，所以两圆圆心距为， 即，解得. （2）当时，两圆方程相减得：，即， 所以两圆的公共弦所在直线的方程为， 圆心到直线的距离为， 所以公共弦长为. 16．（15分）如图，在正三棱柱中，是的中点． (1)证明：； (2)若，直线与平面所成角为，求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】(1)通过证明平面，从而得到； (2)方法1，利用等体积法求解；方法2，建立空间直角坐标系，利用向量法求解. 【详解】（1）在正三棱柱中， 因为是正三角形，是的中点， 所以． 又因为平面，平面， 所以． 因为，，平面， 所以平面． 因为平面，所以． （2）方法一： 在正中，因为，所以，． 连接，因为平面，所以是直线与平面的所成角， 所以，所以． 在正三棱柱中，，， 所以，． 在中，由余弦定理， 得，所以， 所以的面积． 设点到平面的距离是，则， 解得，所以点到平面的距离是． 方法二： 设，过作交于点， 由（1）平面，平面，所以． 又因为， 所以以为坐标原点，为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系． ,,, 设，因为平面， 所以是平面的一个法向量． 因为，所以，所以． 因为，， 设平面的法向量， 因为，令，则，， 所以是平面的一个法向量． 因为，所以， 所以点到平面的距离是． 17．（15分）在平面直角坐标系中，已知点和，动点P满足． (1)求证：点P的曲线C为圆，并指出圆心C坐标及半径． (2)若，求过点A且与曲线C相切的直线方程． (3)已知，直线与圆C交于M、N两点，圆心为C，，求k的值． 【答案】(1)证明：设，则，， 由，则， 即，又， 整理得，配方得， 故点P的曲线C为圆， 则圆心，半径为； (2) (3) 【分析】（1）设 ，将 两边平方，展开后对配方，即可化为圆的标准方程，即可直接读出圆心坐标和半径； （2）利用（1）中所得可得圆C方程，及其圆心坐标与半径，再利用切线性质计算即可得； （3）由题意可得为等腰直角三角形，再利用等腰直角三角形性质与点到直线距离公式计算即可得. 【详解】（1）略 （2）若，则圆C为，圆心，半径为， 若切线斜率不存在，则为，此时圆心C到的距离为，不符； 若切线斜率存在，设过点A且与曲线C相切的直线方程为， 则有，化简得，解得， 故过点A且与曲线C相切的直线方程为； （3）由题意可得，又，则， 故为等腰直角三角形， 则点到直线的距离为， 即有，整理得，解得. 18．（17分）如图，在四棱锥中，，，平面，二面角的大小为，点，满足：，. (1)若平面，求的值； (2)求与平面所成角的正弦的取值范围； (3)若平面与平面的夹角的余弦值为，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）因为平面，平面，所以，如图建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，令其与垂直，即可求得的值； （2）根据线面角的向量求法，将与平面所成角的正弦表示成的函数，从而求得其取值范围； （3）根据平面与平面夹角的向量求法，列出相应的方程，求解可得的值. 【详解】（1）在平面中，过作的垂线，则平面， 因为平面，所以. 因为平面，，平面，所以，， 所以为二面角的平面角，所以. 以为坐标原点，分别以所在直线，及直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，，，， 设平面的一个法向量，则， 即. 令，得，，所以. 由，得， 由，得， 所以， 因为平面，所以， 所以， 解得. （2）因为，所以， 设平面的一个法向量， 则，即. 令，得，， 所以. 设与平面所成的角为，则 . 当时，； 当时，， 当且仅当时等号成立. 所以，即与平面所成角的正弦值的取值范围为. （3）由（1）知，所以. 设平面的一个法向量， 则，即. 令，得，，所以， 由（2）知平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为，则 ， 即， 解得. 19．（17分）设，，在中学教材我们已经学习过，数学上称之为欧几里得距离，记为. 此外还有两种测量距离的方式： 定义曼哈顿距离； 定义余弦距离，其中（O为坐标原点）. 余弦距离，亦可由二维平面推广至三维空间. 据此，解决下面的问题： (1)若，，求A，B之间的余弦距离； (2)若动点P在直线上，动点Q在圆上，求的最小值； (3)若，，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求出，，利用定义求解； （2）设，，根据定义求出，利用进行放缩，利用辅助角求解； （3）求出，，根据定义求出，令，整理得到，则问题转化为半圆与有公共点时的取值范围. 【详解】（1）由已知，， ； （2）设，， 则， ， 又取，时， ， 的最小值为； （3）由已知有 ，， ， 令，则有， 问题等价于半圆与直线有公共点， 即半圆与有公共点时的取值范围. 由半圆方程得：，圆心，半径为3. 如图，当直线过点时，， 当直线与半圆相切时，由得：，. 分析知，取. 故半圆与有公共点时，， 于是，.    试卷第8页（共19页） 试卷第18页（共18页） 学科网（北京）股份有限公司 $■■■ ■■ 2026-2027学年高二数学上学期第一次月考卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 好 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 典 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 6[A][B][C]D] 口 3[A][B][C][D] 7[A][B][C[D] 款 4[A][B][C][D] 8[A][B][CI[D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分， 有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10[A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 蕾 12 射 14 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) A B M 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) D C B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 2026-2027学年高二数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．测试范围：人教A版选择性必修第一册第一章~第二章. 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知直线经过， 两点，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．已知非零空间向量，，且，则一定共线的三点是（ ） A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D 3．已知直线平行，则实数的值为（    ） A．－1 B．－7 C．－1或－7 D．1或7 4．已知四面体中，，，，，空间一点M满足，若四点共面，则（   ） A． B． C． D． 5．已知点、、，过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．在直角坐标平面内，点到直线的距离为3，点到直线的距离为2，则满足条件的直线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．在平面直角坐标系中，从点 出发的一束光线经直线 上的点 反射后，又经过 轴上的点 反射后经过点 ，则 的周长是（ ） A． B．5 C．10 D． 8．已知，直线与直线相交于点，则到直线的距离的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下面四个结论中，正确的是（    ） A．点关于平面对称的点的坐标是 B．若，则向量的夹角是钝角 C．已知，则在上的投影向量的模为1 D．设是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 10．如图，在棱长为3的正方体中，点，，分别为棱，，的中点，点，，分别是线段，，（不含端点）上的动点，则下列选项正确的是（    ） A．若为的中点，则平面 B．存在点，使得平面 C．的最小值为 D．若，则取得最小值时平面与平面夹角的余弦值为 11．（多选）已知直线，过直线上任意一点作圆的两条切线，切点分别为，，则有（   ） A．四边形面积的最小值为 B．最大度数为 C．直线过定点 D．的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．如图所示，二面角为，，是棱上的两点，，分别在半平面，内，且，，，，，则的长______. 13．已知点和点到直线的距离相等，且过点，则直线的方程为______. 14．数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理证明、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美；在平面直角坐标系中，曲线就是一条形状优美的曲线；则下列结论中，正确结论的序号为________ ①曲线C围成的图形有4条对称轴； ②曲线C围成的图形的周长是； ③曲线C上的任意两点间的距离不超过； ④若是曲线C上任意一点，的最小值是； 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知两圆和.  求： (1)取何值时两圆外切？ (2)当时，两圆相交于两点，求公共弦所在的直线方程及. 16．（15分）如图，在正三棱柱中，是的中点． (1)证明：； (2)若，直线与平面所成角为，求点到平面的距离． 17．（15分）在平面直角坐标系中，已知点和，动点P满足． (1)求证：点P的曲线C为圆，并指出圆心C坐标及半径． (2)若，求过点A且与曲线C相切的直线方程． (3)已知，直线与圆C交于M、N两点，圆心为C，，求k的值． 18．（17分）如图，在四棱锥中，，，平面，二面角的大小为，点，满足：，. (1)若平面，求的值； (2)求与平面所成角的正弦的取值范围； (3)若平面与平面的夹角的余弦值为，求的值. 19．（17分）设，，在中学教材我们已经学习过，数学上称之为欧几里得距离，记为. 此外还有两种测量距离的方式： 定义曼哈顿距离； 定义余弦距离，其中（O为坐标原点）. 余弦距离，亦可由二维平面推广至三维空间. 据此，解决下面的问题： (1)若，，求A，B之间的余弦距离； (2)若动点P在直线上，动点Q在圆上，求的最小值； (3)若，，求的取值范围. 第3页（共6页） ◎ 第4页（共6页） 第5页（共6页） ◎ 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学上学期第一次月考卷 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 2 3 4 5 6 7 8 C A B B D C D C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AC ABD AD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12． 13．或 14．①②④ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（1）由圆，即， 则圆心为，半径为，（1分） 圆，即， 则圆心为，半径为，， （3分） 因为两圆外切，所以两圆圆心距为，（4分） 即，解得.（6分） （2）当时，两圆方程相减得：，即， 所以两圆的公共弦所在直线的方程为，（9分） 圆心到直线的距离为，（11分） 所以公共弦长为.（13分） 16．(1) 在正三棱柱中， 因为是正三角形，是的中点， 所以．（2分） 又因为平面，平面， 所以．（4分） 因为，，平面， 所以平面．（5分） 因为平面，所以．（6分） (2) 方法一： 在正中，因为，所以，．（7分） 连接，因为平面，所以是直线与平面的所成角， 所以，所以．（8分） 在正三棱柱中，，， 所以，．（9分） 在中，由余弦定理， 得，所以，（11分） 所以的面积．（12分） 设点到平面的距离是，则，（13分） 解得，所以点到平面的距离是．（15分） 方法二： 设，过作交于点， 由（1）平面，平面，所以．（7分） 又因为， 所以以为坐标原点，为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系． ,,,（8分） 设，因为平面， 所以是平面的一个法向量．（9分） 因为，所以，所以．（11分） 因为，， 设平面的法向量， 因为，令，则，， 所以是平面的一个法向量．（13分） 因为，所以， 所以点到平面的距离是．（15分） 17．(1)证明：设，则，，（1分） 由，则，（2分） 即，又，（3分） 整理得，配方得，（4分） 故点P的曲线C为圆，（5分） 则圆心，半径为；（6分） (2) 若，则圆C为，圆心，半径为，（7分） 若切线斜率不存在，则为，此时圆心C到的距离为，不符；（8分） 若切线斜率存在，设过点A且与曲线C相切的直线方程为， 则有，化简得，解得，（10分） 故过点A且与曲线C相切的直线方程为；（11分） (3) 由题意可得，又，则， 故为等腰直角三角形，（12分） 则点到直线的距离为，（13分） 即有，整理得，解得.（15分） 18．（1）在平面中，过作的垂线，则平面， 因为平面，所以. 因为平面，，平面，所以，， 所以为二面角的平面角，所以.（1分） 以为坐标原点，分别以所在直线，及直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，（2分） 所以，，，，， 设平面的一个法向量，则， 即. 令，得，，所以.（3分） 由，得， 由，得， 所以，（4分） 因为平面，所以， 所以， 解得.（5分） （2）因为，所以， 设平面的一个法向量， 则，即. 令，得，， 所以.（7分） 设与平面所成的角为，则 .（8分） 当时，；（9分） 当时，， 当且仅当时等号成立. （11分） 所以，即与平面所成角的正弦值的取值范围为.（12分） （3）由（1）知，所以.（13分） 设平面的一个法向量， 则，即. 令，得，，所以，（14分） 由（2）知平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为，则 ， 即，（16分） 解得.（17分） 19．（1）由已知，，（1分） ；（3分） （2）设，，（4分） 则， （6分） ，（8分） 又取，时， ，（9分） 的最小值为；（10分） （3）由已知有，，（11分） ，（12分） 令，则有， 问题等价于半圆与直线有公共点， 即半圆与有公共点时的取值范围. （13分） 由半圆方程得：，圆心，半径为3. 如图，当直线过点时，，（14分） 当直线与半圆相切时，由得：，. 分析知，取. 故半圆与有公共点时，，（16分） 于是，.（17分） 答案第2页（共2页） 答案第6页（共7页） 学科网（北京）股份有限公司 $