第4章 相似三角形概念清单速记表（知识清单）数学新教材浙教版九年级上册

第4章 相似三角形清单速记表 章节 概念 定义或说明 相关概念 4.1 比例线段 线段的比 两条线段的长度的比叫作这两条线段的比；求两条线段的比必须选定同一长度单位，但比值与单位的大小无关。 两条线段、长度比、单位 成比例线段 四条线段 ，，， 中，如果 与 的比等于 与 的比，即 ，那么这四条线段叫作成比例的线段，简称比例线段。 a:b=c:d、比例 比例式 如果两个数的比值与另两个数的比值相等，就说这四个数成比例；数系扩展到实数后，把 ，，， 四个实数成比例表示成 ，其中 ， 称作内项，， 称作外项。 内项、外项、成比例 比例的基本性质 比例有如下基本性质：由 可推出 ，反过来由 也可推出 。 ad=bc、性质 比例中项 一般地，如果三个数 ，， 满足比例式，那么 就叫作 ， 的比例中项。 a、b、c、成比例 黄金分割 如果点 把线段 分成两条线段 和 ，使 ，且满足黄金分割的比例式，那么称线段 被点 黄金分割，点 叫作线段 的黄金分割点。 黄金分割点、较长线段 黄金比 所分成的较长一条线段 与整条线段 的比叫作黄金比，黄金比约为 0.618。 0.618、最美丽比例 4.2 由平行线截得的比例线段 平行线分线段成比例 两条直线被一组（不少于3条）平行线所截，所得的对应线段成比例。 平行线、对应线段、成比例 应用 利用平行线分线段成比例的基本事实，可以用直尺和圆规把一条线段等分（如三等分、五等分、六等分等）。 等分线段、作图 4.3 认识相似三角形 相似三角形 对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫作相似三角形。 对应角、对应边、成比例 相似比 相似三角形对应边的比叫作相似比。 对应边、比 相似三角形的表示 相似用符号“∽”表示，如 △ABC∽△A′B′C′，读作“三角形 ABC 相似于三角形 A′B′C′”。 符号∽、对应顶点 4.4 两个三角形相似的判定 预备定理 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。 平行线、预备定理 判定定理1 两个角对应相等的两个三角形相似。 两角对应相等 判定定理2 两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似。 两边成比例、夹角相等 判定定理3 三边对应成比例的两个三角形相似。 三边成比例 4.5 相似三角形的性质 相似三角形的基本性质 相似三角形的对应角相等，对应边成比例。 对应角、对应边 相似三角形的周长 相似三角形的周长之比等于相似比。 周长、相似比 相似三角形的面积 相似三角形的面积之比等于相似比的平方。 面积、相似比的平方 对应线段 相似三角形对应高线、对应角平分线、对应中线等对应线段的比等于相似比。 高线、角平分线、中线 三角形的重心 三角形三条中线的交点叫作三角形的重心。 中线、交点 4.6 相似三角形的应用 相似三角形的实际应用 利用相似三角形对应边成比例的性质，可以测量不易直接测量的高度、宽度、距离等（如测树高、河宽、楼高等）。 测量、比例、实际应用 4.7 相似多边形 相似多边形 一般地，对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫作相似多边形。 对应角、对应边、成比例 相似多边形的相似比 相似多边形对应边的比也叫作相似比。 对应边、相似比 图形的相似 由一个图形改变为另一个图形，在改变过程中，图形的形状没有改变，这种图形的改变叫作图形的相似。 形状不变、放大缩小 相似多边形的性质 相似多边形的周长之比等于相似比，相似多边形的面积之比等于相似比的平方。 周长比、面积比、相似比 4.8 图形的位似 位似图形 如果两个图形满足：所有经过对应点的直线都相交于同一点；这个交点到两个对应点的距离之比都相等，那么这两个图形就叫作位似图形。 对应点连线交于一点、距离比相等 位似中心 经过各对应两点的直线的交点叫作位似中心。 交点、对应点连线 位似比 位似中心到两个对应点的距离之比叫作位似比。 距离比 位似图形与相似 位似多边形必定是相似多边形，位似比也就是相似比。 相似多边形、相似比 位似图形的作用 利用图形的位似可以把一个图形放大或缩小：若所画图形与原图形的位似比大于1，则将图形放大；若位似比小于1，则将原图形缩小。 放大、缩小 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $