2.2.2 基本不等式的应用 教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦基本不等式求最值，通过复习上节课基本不等式内容，结合填空引导学生归纳“积定和最小，和定积最大”及“一正二定三相等”规律，搭建从公式到应用的学习支架。 特色是通过例题与变式练习系统训练配凑、换元、“1”的代换等技巧，如例1变式用整体法与换元法培养一题多解能力，发展数学思维中的运算能力和推理意识，为教师提供清晰教学路径，帮助学生夯实基础提升解题能力。

§2.2基本不等式的应用 教学设计 教学目标 1.理解基本不等式及其变形公式； 2.掌握基本不等式求简单的最大（小）值的方法与技巧； 3.经历求最大（小）值的过程，发展数学运算，培养学生一题多解的意识与能力。 重点 利用基本不等式求最值 难点 加项、凑项、常值代换、换元等技巧的使用 教学过程 一、复习引入 师：上节课我们学习了基本不等式，若，，则 ，及其变形公式. 二、探究新知 （一）根据公式填空 1.若，根据公式得到 . 即此时 有最小值为 2 . 注： 若，此时 无最小值； 2.若，，，根据公式得到 ，即 .即此时有 最大值为 1 . 注：若，，无最大值. （二）归纳 当，时 （1）若，当时，和有最小值2（积定和最小）. （2）若，当时，积有最大值 (和定积最大) . （3）一正二定三相等. 【设计意图】学生利用基本不等式及其变形公式完成填空，通过观察，发现在满足基本不等式的条件下，两式积定且能取得到等号时，两式的和有最小值；两式和定，且能取得到等号时，两式的积有最大值。引导学生归纳出“积定和最小，和定积最大与一正二定三相等”. 三、应用新知 例1 若 ,求 的最小值.（配凑法） 解：，，（时取等号）， 的最小值为. 变式练习1 求 的最小值.(整体法、换元法) 解：法1(整体法) , 当且仅当 ，即时，等号成立. 法2(换元法) 令 ,即 当，即 时， （当时，即时，等号成立） 变式练习2 若，求 的最大值. 解：，, （时取等号）， 所以 的最大值为0. 例2 若 ，求的最大值.（配凑法） 解：， 当且仅当，即时，等号成立. 所以时，取得最大值为8. 【设计意图】例1需要凑项，变式练习1实质上就是例题1，“题目多变”、“方法延伸”。变式练习1可用整体法与换元法两种方法进行求解，学生初步感受换元法的“化繁为简”、“化难为易”的优点。变式练习2需要在调整项的符号的基础上凑项，从可发展学生的数学运算和严密的逻辑思维。例1是“积定和最小”的类型，例2是“和定积最大” 的类型，例1和例2的设计使学生掌握配凑法解决两种不同类型的问题。 例3 若，，且，求 的最小值. （“1”的代换） 解：法1 ,, ， 当且仅当，即 ，时，等号成立， 即最值为. 法2 ,,， 当且仅当，即 ，时，等号成立， 即最值为. 变式练习3 若,,且 ,求的最小值. （消元代换） 解：法1 同例3法2 法2 （消元代换） 当且仅当 时，即时取等号，此时. 所以取得最小值. 变式练习4 若,，且=1,求 的最小值.（常值代换） 解：, , , 当且仅当 , 时，等号成立. 【设计意图】例3中利用“1”的变换技巧，可分别从两个角度进行求解。变式练习2的设计既可巩固“1”的代换技巧，又可引出消元代换法，有利于培养学生一题多解意识，训练一题多解的能力。变式练习4引出常值代换法。 四、回顾新知 1.积定和最小，和定积最大，一正二定相等。 2.配凑法、“1”的代换、消元代换、常值代换、整体法与换元法等。 五、布置作业 完成《分层训练》基本不等式求最值的相关题目 板书设计 §2.2基本不等式的应用 练习 例题： 例题 例题： 1.若，， ……① ② 2.积定和最小 和定积最大 一正二定三相等 知识点： 学科网（北京）股份有限公司 $