28.1图形的旋转（第2课时 图形旋转的应用）（导学案）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学导学案聚焦“图形的旋转（第2课时 图形旋转的应用）”，核心内容包括旋转作图方法、旋转的“变”与“不变”及应用价值。课堂导入通过温故知新回顾旋转三要素和性质，展示方格纸中三角形旋转图与旋转图案，提出作图及设计问题，搭建新旧知识联系的学习支架。 导学案以自主学习归纳旋转作图“找、连、转、截、连、写”步骤，结合合作探究设计图案，融入亚运会吉祥物等实例，培养学生几何直观与空间观念。习题涵盖选择、作图、证明，注重应用与创新，助力学生理解旋转本质，提升数学思维与应用意识。

28.1 图形的旋转（第2课时 图形旋转的应用） （导学案） （1）掌握旋转作图方法：能根据旋转中心、旋转方向和旋转角，作出简单平面图形旋转后的图形，理解旋转作图的依据是旋转的性质. （2）理解旋转的“变”与“不变” ：通过改变旋转中心或旋转角，观察同一图案旋转后产生的不同效果，体会旋转中“变”与“不变”的辩证关系. （3）感受旋转的应用价值：能识别生活中的旋转图案，了解旋转在图案设计中的应用，欣赏数学之美，发展几何直观和空间观念. 重点：旋转作图的基本步骤和方法. 难点：准确确定关键点的对应点位置，理解旋转中心、旋转角变化对旋转效果的影响. 第一环节 自主学习 温故知新： 创设情景，引入新课 问题1：上节课我们学习了旋转的概念和性质，请同学们回顾： （1）旋转的三要素是什么？ （2）旋转有哪些基本性质？ 学生回答：旋转三要素是旋转中心、旋转方向、旋转角；旋转性质包括旋转前后图形全等、对应点到旋转中心距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角等于旋转角. 教师展示两组图片：（1）方格纸中一个三角形及其绕点O旋转后的图形；（2）由旋转形成的美丽图案（如风车、花瓣纹样）. 问题2：图（1）中，如果只给你原图形和旋转条件，你能自己画出旋转后的图形吗？图（2）中这些美丽的图案又是如何设计出来的？ 【学法指导】 新知自研：自研课本第94-95页的内容 【学法指导】自研课本94-95页内容 (一)画出旋转后的图形 思考：与平移、轴对称类似，在画旋转得到的图形时，对于一些规则的几何图形(如三角形、矩形)，只要画出一些关键点(如三角形、矩形的顶点)的对应点，连接这些对应点，就可以画出旋转后的图形. 问题：如图，E是正方形ABCD的边CD上任意一点，以点A为旋转中心，把△ADE顺时针旋转90°，画出旋转后的图形. 追问1：画出旋转后的图形的关键是什么？ 画出旋转后图形的关键是确定△ADE三个顶点的对应点的位置. 追问2：旋转中心是什么点？ 点A是旋转中心. 追问3：△ADE三个顶点的对应点的位置怎样确定？ 点A是旋转中心，其对应点是它本身；点D的对应点可由正方形的性质确定；点E的对应点可由旋转的性质确定. 详解：① 因为点A是旋转中心，所以它的对应点是它本身. ② 在正方形ABCD中，AD=AB，∠DAB=90°，所以旋转后点D与点B重合. ③ 设点E的对应点为E′.由旋转的性质，旋转前后的图形全等，所以∠ABE′=∠ADE=90°，BE′= DE.因此，在CB的延长线上取点E′，使BE′ =DE，则△ABE′即为旋转后的图形. 追问4.还有其他方法确定旋转后的图形吗? 学生讨论说出自己的想法. 方法归纳：教师引导学生总结旋转作图的一般步骤： ①找 确定旋转中心、旋转方向、旋转角，找出图形的关键点 ②连 连接各关键点与旋转中心 ③转 将连线绕旋转中心按旋转方向旋转相同的角度 ④截 在旋转后的射线上截取与对应连线相等的线段，得到对应点 ⑤连 按原图形的顺序连接各对应点 ⑥写 写出结论 （二）旋转的应用——图案设计 活动1.将一个等腰三角形绕着它正下方的一点旋转，怎样得到的五角星图案. 利用旋转，可以设计美丽的图案.如图，将一个等腰三角形绕着它正下方的一点旋转，就可以得到图中的五角星图案. 追问1：需要旋转几次，每次的旋转角是多少? 学生讨论：再旋转4次，每次的旋转角是72°. 学生动手实际操作. 活动2：观察下图，两个旋转中旋转中心相同但旋转角不同，产生的效果有什么不同？ 学生观察：旋转中心不变，旋转角改变，图案旋转后各对应点的位置不同，整体效果也不同. 活动3：观察教材下图，两个旋转中旋转角相同但旋转中心不同，产生的效果有什么不同？ 学生观察：旋转角不变，旋转中心改变，图案整体位置不同，但各对应点与旋转中心连线所成的角相同. 师生共同归纳：选择不同的旋转中心、不同的旋转角旋转同一个图案，会产生不同的效果。旋转的三要素共同决定旋转后的图形位置。 图案设计欣赏： 经过多次旋转，可以得到多个美丽的图案. 追问：这些图案分别是由哪个基本图形经过怎样的旋转得到的？每次旋转了多少度？旋转了几次？ 学生对照不同图形进行讨论. 活动4：学生利用三角尺或网格纸，以小组为单位，选择一个基本图形，确定旋转中心和旋转角，通过多次旋转设计一个图案. 自研课本P163-164页内容 典型例题 例1.杭州亚运会吉祥物是一组承载深厚底蕴和充满时代活力的机器人，组合名为“江南忆”．出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”，它融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因．结合你所学知识，如图所示的“琮琮”经过旋转不能得到的是（    ） A． B． C． D． 【分析】由如图图形旋转，分别判断、解答即可． 【详解】解：A．由图形旋转而得出；故本选项不符合题意； B．由图形对称而得出；故本选项符合题意； C．由图形旋转而得出；故本选项不符合题意； D．由图形旋转而得出；故本选项不符合题意； 故选：B． 例2.如图，在中，，是中线；，绕点顺时针旋与重合，点，的对应点分别为点，．    (1)尺规作图：作（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，，求证：三点在同一直线上． 【分析】（1）根据作角等于已知角的方法即可求解； （2）根据组图可得，，，根据即可求解． 【详解】（1）解：，绕点顺时针旋与重合，点，的对应点分别为点，， ∴线段在线段上，即点在线段上，且，如图所示，    ①以点为圆心，以为半径画弧，交于点，交于点，连接； ②以点为圆心，以为半径画弧，交弧于点，连接并延长至点； ③以点为圆心，以为半径画弧，交于点，连接，得； ∴根据作图可得，，， ∴， ∴， ∵， ∴在中， ， ∴，即绕点顺时针旋转得， ∴即为所求图形． （2）解：，，如图所示，连接，交于点，    ∵， ∴， ∵，且由（1）可知，， ∴，， ∵， ∴，， 在中，， 在中，， ∴， 在中，，， ∴，且， ∴， ∴点三点共线． 第二环节 合作探究 1.讨论旋转作图的一般步骤. 2.讨论如何通过旋转设计精美的图案. 拓展提升：1.如图，在等腰直角三角形中，，是由绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接． (1)若，求旋转角的度数和的度数； (2)判断与之间的数量关系，并说明理由． 【详解】（1）解：是等腰直角三角形， ∴， ， ∴， ∵是由旋转得到的， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：， 理由：∵是由旋转得到的， ∴，，， ∴， ∴． 课本课堂P95练习. 1．（2026·武汉统考）亚洲青年运动会的图标如图所示，该图案绕中心旋转后，能与原来的图案重合，那么n的值可能是（　　） A．45 B．30 C．60 D．120 【详解】解：该图形被平分成八部分，旋转的整数倍，就可以与自身重合， 故n的最小值为45． 故选：A． 2．（2026.保定统考）如图，图案由五个相同叶片组成，且其绕点O旋转后可以和自身重合，若五个叶片的总面积为20，，则图中阴影部分的面积之和为（　　）    A．2 B．4 C．6 D．8 【详解】解：∵五个叶片的总面积为20， ∴一个叶片的面积为4， ， ∴阴影部分的面积之和为一个叶片的面积，是4， 故选：B． 3．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，的顶点均在格点上，画出将绕点按顺时针方向旋转后所得到的．    【详解】解：如图，是所求的三角形．   ． 知识技能：旋转作图：找关键点 → 作对应点（利用性质）→ 顺次连线.旋转作图依据：对应点到旋转中心距离相等；对应点与旋转中心连线所成的角等于旋转角.旋转的应用：改变旋转中心或旋转角，可产生不同旋转效果；旋转可设计美丽图案. 思想方法：转化思想：图形的旋转转化为点的旋转，化复杂为简单.数形结合：用数量关系（距离相等、角相等）指导几何作图.变中寻不变：旋转中心、旋转角在变，但旋转的性质不变. 易错提醒：关键点选取不全：作图时需找出图形的所有“转折点”（如多边形的顶点、线段的端点），遗漏任何一个都会导致图形错误.对应点位置不准确：作对应点时既要保证“距离相等”，又要保证“角度相等”，二者缺一不可.混淆旋转中心与图形上的点：旋转中心是固定不动的点，可能是图形内部的点、外部的点或图形上的点，需准确识别.旋转方向忽略：顺时针和逆时针旋转得到的图形位置不同，作图时必须明确方向 . 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 28.1 图形的旋转（第2课时 图形旋转的应用） （导学案） （1）掌握旋转作图方法：能根据旋转中心、旋转方向和旋转角，作出简单平面图形旋转后的图形，理解旋转作图的依据是旋转的性质. （2）理解旋转的“变”与“不变” ：通过改变旋转中心或旋转角，观察同一图案旋转后产生的不同效果，体会旋转中“变”与“不变”的辩证关系. （3）感受旋转的应用价值：能识别生活中的旋转图案，了解旋转在图案设计中的应用，欣赏数学之美，发展几何直观和空间观念. 重点：旋转作图的基本步骤和方法. 难点：准确确定关键点的对应点位置，理解旋转中心、旋转角变化对旋转效果的影响. 第一环节 自主学习 温故知新： 创设情景，引入新课 问题1：上节课我们学习了旋转的概念和性质，请同学们回顾： （1）旋转的三要素是什么？ （2）旋转有哪些基本性质？ 教师展示两组图片：（1）方格纸中一个三角形及其绕点O旋转后的图形；（2）由旋转形成的美丽图案（如风车、花瓣纹样）. 问题2：图（1）中，如果只给你原图形和旋转条件，你能自己画出旋转后的图形吗？图（2）中这些美丽的图案又是如何设计出来的？ 【学法指导】 新知自研：自研课本第94-95页的内容 【学法指导】自研课本94-95页内容 (一)画出旋转后的图形 思考：与平移、轴对称类似，在画旋转得到的图形时，对于一些规则的几何图形(如三角形、矩形)，只要画出一些关键点(如三角形、矩形的顶点)的对应点，连接这些对应点，就可以画出旋转后的图形. 问题：如图，E是正方形ABCD的边CD上任意一点，以点A为旋转中心，把△ADE顺时针旋转90°，画出旋转后的图形. 追问1：画出旋转后的图形的关键是什么？ 追问2：旋转中心是什么点？ 追问3：△ADE三个顶点的对应点的位置怎样确定？ 详解：① 因为点A是旋转中心，所以它的对应点是它本身. ② 在正方形ABCD中，AD=AB，∠DAB=90°，所以旋转后点D与点B重合. ③ 设点E的对应点为E′.由旋转的性质，旋转前后的图形全等，所以∠ABE′=∠ADE=90°，BE′= DE.因此，在CB的延长线上取点E′，使BE′ =DE，则△ABE′即为旋转后的图形. 追问4.还有其他方法确定旋转后的图形吗? 方法归纳：教师引导学生总结旋转作图的一般步骤： ①找 确定旋转中心、旋转方向、旋转角，找出图形的关键点 ②连 连接各关键点与旋转中心 ③转 将连线绕旋转中心按旋转方向旋转相同的角度 ④截 在旋转后的射线上截取与对应连线相等的线段，得到对应点 ⑤连 按原图形的顺序连接各对应点 ⑥写 写出结论 （二）旋转的应用——图案设计 活动1.将一个等腰三角形绕着它正下方的一点旋转，怎样得到的五角星图案. 利用旋转，可以设计美丽的图案.如图，将一个等腰三角形绕着它正下方的一点旋转，就可以得到图中的五角星图案. 追问1：需要旋转几次，每次的旋转角是多少? 活动2：观察下图，两个旋转中旋转中心相同但旋转角不同，产生的效果有什么不同？ 活动3：观察教材下图，两个旋转中旋转角相同但旋转中心不同，产生的效果有什么不同？ 图案设计欣赏： 经过多次旋转，可以得到多个美丽的图案. 追问：这些图案分别是由哪个基本图形经过怎样的旋转得到的？每次旋转了多少度？旋转了几次？ 活动4：学生利用三角尺或网格纸，以小组为单位，选择一个基本图形，确定旋转中心和旋转角，通过多次旋转设计一个图案. 自研课本P163-164页内容 典型例题 例1.杭州亚运会吉祥物是一组承载深厚底蕴和充满时代活力的机器人，组合名为“江南忆”．出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”，它融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因．结合你所学知识，如图所示的“琮琮”经过旋转不能得到的是（    ） A． B． C． D． 例2.如图，在中，，是中线；，绕点顺时针旋与重合，点，的对应点分别为点，．    (1)尺规作图：作（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，，求证：三点在同一直线上． 第二环节 合作探究 1.讨论旋转作图的一般步骤. 2.讨论如何通过旋转设计精美的图案. 拓展提升：1.如图，在等腰直角三角形中，，是由绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接． (1)若，求旋转角的度数和的度数； (2)判断与之间的数量关系，并说明理由． 课本课堂P95练习. 1．（2026·武汉统考）亚洲青年运动会的图标如图所示，该图案绕中心旋转后，能与原来的图案重合，那么n的值可能是（　　） A．45 B．30 C．60 D．120 2．（2026.保定统考）如图，图案由五个相同叶片组成，且其绕点O旋转后可以和自身重合，若五个叶片的总面积为20，，则图中阴影部分的面积之和为（　　）    A．2 B．4 C．6 D．8 3．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，的顶点均在格点上，画出将绕点按顺时针方向旋转后所得到的．    知识技能：旋转作图：找 → 作 → .旋转作图依据：对应点到 ；对应点与 .旋转的应用：改变旋转中心或旋转角，可 ；旋转 . 思想方法：转化思想：图形的旋转转化 ，化 .数形结合：用 指导几何作图.变中寻不变： 、 ， 不变. 易错提醒：关键点选取不全：作图时需找出图形的所有 ，遗漏任何一个都会 错误.对应点位置不准确：作对应点时既要保证“ ”，又要保证“ ”，二者缺一不可.混淆旋转中心与图形上的点：旋转中心是 ，可能是 、 ，需准确识别.旋转方向忽略： 的图形位置不同，作图时 . 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $