开学摸底自编测试 -2026-2027学年沪教版（五四制）数学七年级上册（上海专用）

**基本信息** 作为沪教版五四制七年级开学摸底卷，聚焦六年级下册内容，通过粽子质量调查、《九章算术》古题等情境，融合统计概率、几何计算与方程应用，检测数学眼光、思维与语言能力，适配开学基础评估需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|6/18|统计调查、概率基础|1-2题区分抽样与全面调查，考查数据意识| |填空题|12/24|圆柱圆锥、扇形、可能性|10题时钟扫过面积，体现几何直观与空间观念| |解答题|5/40|统计图表、几何应用、方程组|21题结合条形扇形图分析，22-24题圆柱圆锥体积计算，25题方程组变式渗透整体思想| |综合题|1/10|圆柱展开与绝对值|26题将几何与代数结合，发展创新意识|

开学摸底自编测试 -2026-2027学年沪教版五四制 数学七年级上册（上海专用） （完成时间90分钟 满分100分） 考试范围：六年级下册全部内容 注意： 1．本试卷共26题． 2．请将所有答案做在答卷的指定位置上，做在试卷上一律不计分． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 1. 下列事件中适合采用抽样调查的是（　　） A. 对乘坐飞机的乘客进行安检 B. 学校招聘教师，对应聘人员进行面试 C. 对“天宫2号”零部件的检查 D. 对端午节期间市面上粽子质量情况的调查 2. 下列调查中，适合采用全面调查方式的是（ ） A. 调查上海市中学生课外阅读的时间 B. 检验载人航天火箭的零件质量 C. 调查一批新型灯泡的使用寿命 D. 在某市调查中央电视台春节联欢晚会的收视率 3. 一只盒子中有7个红球和3个白球，从里面任意摸出一个球，并放回．小明这样摸了50次，下面说法正确的是（ ） A. 小明一定摸到35次红球，15次白球 B. 小明摸到的红球次数可能比白球次数多 C. 小明摸到的红球次数一定比白球次数多 D. 小明摸到的白球次数不可能多于摸到红球的次数 4. 把一个圆柱的底面平均分成若干个扇形，然后切开拼成一个近似的长方体．下面（ ）是正确的 A. 表面积和体积都没变 B. 表面积和体积都发生了变化 C. 表面积变了，体积没变 D. 表面积没变，体积变了 5. 如果大圆周长比小圆周长大，那么小圆面积比大圆面积小（ ） A. B. C. D. 6. 《九章算术》中的方程问题：“五只雀、六只燕，一共重1斤（古代1斤两），雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量各为多少？”设每只雀、燕的重量各为x两、y两，下列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共12小题，每小题2分，共24分． 7. 求比值：小时5分钟分钟________． 8. 火车站的检票口通过205人．按照这个速度，1230位乘客全部通过检票口需要________． 9. 一个不透明的纸箱里共装有18个球，其中有5个白球，6个黄球，剩余的都是红球，摸出_____球的可能性最大． 10. 小明家的时钟的时针长是，那么从上午10点到下午7点，他家时钟的时针扫过的面积是______． 11. 如果圆A的半径是圆B半径的2倍，那么圆A周长是圆B周长的________倍． 12. （可能性）有一个质地均匀的正方体木块，六个面上分别写有数字2，3，5，6，7，9，小光、小亮两人随意往桌面上扔放这个木块．规定：当小光扔时，如果朝上的一面写的是偶数，得1分； 当小亮扔时，如果朝上的一面写的是奇数，得1分．每人各扔100次，_____得分高的可能性较大． 13. 如图，是某年级某班全班40名学生一次数学测验分数段统计图，分数80分以上包括80分的为优良，根据统计图所提供的信息计算，该年级360名学生中获得优良的学生大约有______人． 14. 一个扇形的弧长是其所在圆周长的，那么这个扇形的圆心角为______度． 15. 如图，扇形纸叠扇完全打开后，单面贴纸部分（阴影所示）的面积为πcm2，∠BAC＝120°，BD＝2AD，则BD的长度为_____cm． 16. 现有一个圆锥与一个圆柱，它们的高相等，其中一个图形的体积是，且底面半径为3，另一个图形体积是，则另一个图形的底面半径是______． 17. 如图，扇形的半径厘米，，分别以、的中点、为圆心，、为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为_____平方厘米（取）． 18. 一列火车正在匀速行驶，它先用26秒的时间通过了长256米的隧道甲（即从火车头进入入口到车尾离开出口），又用16秒的时间通过了长96米的隧道乙．则下列结论：①这列火车长160米；②这列火车的行驶速度为每秒16米；③若保持原速度不变，则这列火车通过长160米的隧道丙需用时10秒；④若速度变为原速度的两倍，则这列火车通过隧道甲的时间将变为原来的一半．其中正确的结论是______．（填写所有正确结论的序号） 三、简答题：本大题共5小题，每题4分，共8分． 19. 解方程组：． 20. 解方程组： （1） （2） 四、解答题（21-25题每题8分共40分） 21. 为丰富学生课余活动，某中学组建了A体育类、B美术类、C音乐类和D其它类四类学生活动社团，要求每人必须参加且只参加一类活动．学校随机抽取七年级（7）班全体学生进行调查，以了解学生参加社团情况．根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）．请结合统计图中的信息，解决下列问题： （1）在这次调查中，七年级（7）班学生总人数是________人； （2）扇形统计图中区域D所对应的扇形的圆心角为________度； （3）请补全条形统计图，并写出该班参加体育类社团比音乐类社团的人数多________； （4）该中学共有学生1000人，请估算该校参与体育类和美术类社团的学生总人数． 22. 如图，将一个底面半径为，高为，母线为的铁制圆锥形容器（无盖）装满水．（结果保留） （1）在常规检查中发现这个圆锥形容器有多处锈迹，如果后续要将这个铁制圆锥形容器更换为铝制圆锥形容器，那么需要准备多少面积的铝板？ （2）将圆锥容器中的水全部倒入底面边长均为且水平放置的长方体容器中（容器高度适当，确保水不会溢出），求长方体容器中水面的高度． 23. 如图，是一张长方形铁皮，把图中阴影部分剪下，刚好做成一个圆柱形无盖铁桶（接缝忽略不计）． （1）求铁桶的体积； （2）一个装满水的圆锥形容器，底面半径为3厘米，高为6厘米，将这些水全部倒入（1）问中的圆柱形铁桶中（圆柱形铁桶放在水平桌面上），求这个圆柱形铁桶中水的深度 24. 如图所示，一个底面直径为20厘米的圆柱形容器内装有一部分水，水中放着一个底面直径12厘米、高10厘米的圆锥体铅锤，且铅锤全部浸没在水中．（结果保留π） （1）求圆锥的体积是多少立方厘米？ （2）当铅锤从水中取出后，容器中水面高度下降了几厘米？ 25. （1）【课本回顾】已知关于，的二元一次方程组解为，求，的值． 【变式练习】邹老师在课堂上对该题进行了变式： 已知关于，的二元一次方程组解为， 那么关于，的二元一次方程组的解是什么？ 小毛和小叶同学的做法如下： Ⅰ小毛：先把代入第一个方程组中求出，；再把，的值代入第二个方程组中求出它的解． Ⅱ小叶：通过观察可以发现把第一个方程组中的未知数换成，未知数换成就是第二个方程组了，因此可知第二个方程组中的的值就等于第一个方程组中的的值，第二个方程组中的的值就等于第一个方程组中的的值，所以，再求出它们的解就是第二个方程组的解． 邹老师对两位同学进行表扬，并指出小叶的思路体现了数学中“整体思想”、“转化思想”等的运用． 【解决问题】请你参考小毛或小叶的做法，解决下面的问题： （2）已知方程组的解是，求方程组的解． （3）已知关于，的方程组的解是，求关于，的方程组的解．（其中、、、都为常数） 五、综合题：本题10分． 26. 小海用剪刀剪开了一个高为的圆柱体纸盒，得到如图所示的形状．其中，该纸盒的侧面展开图是长为、宽为的长方形．根据你所学的知识，回答下列问题：(结果保留) （1）该圆柱体的底面半径为．(用含的式子表示) （2）该圆柱体的表面积为．(用含、的式子表示) （3）我们知道，它的几何意义是数轴上表示的点与原点之间的距离．又如，它的几何意义是数轴上表示的点与表示的点之间的距离．若有理数、满足且，请求出该圆柱体的表面积． 学科网（北京）股份有限公司 $ 开学摸底自编测试 -2026-2027学年沪教版五四制数学 七年级上册（上海专用） （完成时间90分钟 满分100分） 考试范围：六年级下册全部内容 注意： 1．本试卷共26题． 2．请将所有答案做在答卷的指定位置上，做在试卷上一律不计分． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 1. 下列事件中适合采用抽样调查的是（　　） A. 对乘坐飞机的乘客进行安检 B. 学校招聘教师，对应聘人员进行面试 C. 对“天宫2号”零部件的检查 D. 对端午节期间市面上粽子质量情况的调查 【答案】D 【解析】 【详解】解：A．对乘坐飞机的乘客进行安检是事关重大的调查，适合普查，故A不符合题意； B．学校招聘教师，对应聘人员进行面试是事关重大的调查，适合普查，故B不符合题意； C．对“天宫2号”零部件的检查是事关重大的调查，适合普查，故C不符合题意； D．对端午节期间市面上粽子质量情况的调查调查具有破坏性适合抽样调查，故D符合题意； 故选D． 2. 下列调查中，适合采用全面调查方式的是（ ） A. 调查上海市中学生课外阅读的时间 B. 检验载人航天火箭的零件质量 C. 调查一批新型灯泡的使用寿命 D. 在某市调查中央电视台春节联欢晚会的收视率 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、调查上海市中学生课外阅读的时间，涉及人数多、范围大，适合抽样调查，不符合题意； B、检验载人航天火箭的零件质量，事关重大，需确保每个零件合格，适合全面调查，符合题意； C、调查一批新型灯泡的使用寿命，测试会损坏灯泡，具有破坏性，适合抽样调查，不符合题意； D、在某市调查中央电视台春节联欢晚会的收视率，涉及人数多、范围广，适合抽样调查，不符合题意． 3. 一只盒子中有7个红球和3个白球，从里面任意摸出一个球，并放回．小明这样摸了50次，下面说法正确的是（ ） A. 小明一定摸到35次红球，15次白球 B. 小明摸到的红球次数可能比白球次数多 C. 小明摸到的红球次数一定比白球次数多 D. 小明摸到的白球次数不可能多于摸到红球的次数 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查事件的可能性，随机事件，根据7个红球和3个白球可得摸到的红球可能性更大，据此判断即可． 【详解】解：一只盒子中有7个红球和3个白球，从里面任意摸出一个球，并放回，属于随机事件，其中摸到的红球可能性更大， ∴A、C、D选项都有可能实现，但不是必定实现，故不符合题意，选项B是可能实现，符合题意， 故选：B． 4. 把一个圆柱的底面平均分成若干个扇形，然后切开拼成一个近似的长方体．下面（ ）是正确的 A. 表面积和体积都没变 B. 表面积和体积都发生了变化 C. 表面积变了，体积没变 D. 表面积没变，体积变了 【答案】C 【解析】 【分析】设圆柱的半径为r，高为h，根据圆柱的切割方法与拼组特点可知：拼成的长方体的长是圆柱底面周长的一半，即是，宽是半径的长度是r，高是原来圆柱的高h，由此利用长方体的表面积公式，代入数据即可解答． 【详解】解:设圆柱的半径为r，高为h，则拼成的长方体的长，宽是r，高是h， 原来圆柱的表面积为：； 拼成的长方体的表面积为：， ， ， ， 所以拼成的长方体的表面积比原来的圆柱的表面积变大了； 原来圆柱的体积为：， 拼成的长方体的体积为：， ， 所以拼成的长方体和圆柱的体积大小没变； 所以拼成的长方体的表面积比原来的圆柱的表面积变大了，但是体积没变； 故选：C． 5. 如果大圆周长比小圆周长大，那么小圆面积比大圆面积小（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】要求小圆面积比大圆面积小的比例，需先得到两圆的面积比，可通过周长比推导半径比，再得到面积比． 【详解】解：设小圆周长为，大圆周长为，小圆半径为，大圆半径为， 由题意得， ∵，， ∴， ∵大圆面积为，小圆面积为， ∴小圆与大圆的面积比为， ∴小圆面积比大圆面积小． 6. 《九章算术》中的方程问题：“五只雀、六只燕，一共重1斤（古代1斤两），雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量各为多少？”设每只雀、燕的重量各为x两、y两，下列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设每只雀重量为两，每只燕重量为两，根据五只雀、六只燕，一共重1斤可得第一个方程，根据互换其中一只，恰好一样重可得第二个方程，据此可得答案． 【详解】解：设每只雀重量为两，每只燕重量为两， ∵五只雀、六只燕一共重1斤，即16两， ∴可得第一个方程， 互换其中一只后，一边剩余4只雀，得到1只燕，另一边剩余5只燕，得到1只雀，此时两边重量相等， ∴可得第二个方程， 因此所列方程组为． 二、填空题：本题共12小题，每小题2分，共24分． 7. 求比值：小时5分钟分钟________． 【答案】 【解析】 【分析】先换算单位，再进行除法运算即可. 【详解】解：小时5分钟分钟， 故小时5分钟分钟. 8. 火车站的检票口通过205人．按照这个速度，1230位乘客全部通过检票口需要________． 【答案】 【解析】 【分析】本题先根据已知条件计算出检票口每分钟通过的乘客人数，再用总乘客数除以每分钟通过人数，即可得到全部通过需要的时间． 【详解】解：首先计算检票口每分钟通过的乘客人数：（人）， 再计算位乘客全部通过检票口需要的时间：． 9. 一个不透明的纸箱里共装有18个球，其中有5个白球，6个黄球，剩余的都是红球，摸出_____球的可能性最大． 【答案】红 【解析】 【分析】先计算红球的数量，再比较三种颜色球的数量，数量越多，摸出的可能性越大． 【详解】解：共有18个球，5个白球，6个黄球， 则红球的个数为（个）， ，红球的数量最多， 因此摸出红球的可能性最大． 10. 小明家的时钟的时针长是，那么从上午10点到下午7点，他家时钟的时针扫过的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】先计算时针经过的时间，得到时针转过的圆心角度数，再利用扇形面积公式计算扫过的面积． 【详解】解：时钟一圈共12小时，对应圆心角， 因此时针每小时转过的圆心角为， 从上午10点到下午7点，一共经过了9小时， 因此时针转过的圆心角度数为， 时针长为扇形的半径，即， ∴扇形面积公式为． 11. 如果圆A的半径是圆B半径的2倍，那么圆A周长是圆B周长的________倍． 【答案】 【解析】 【分析】设出圆的半径，得到圆的半径，再利用圆的周长公式分别计算两个圆的周长，再求出周长的倍数关系即可． 【详解】解：设圆的半径为，则圆的半径为，根据圆的周长公式，可得： 圆的周长，圆的周长， 所以． 12. （可能性）有一个质地均匀的正方体木块，六个面上分别写有数字2，3，5，6，7，9，小光、小亮两人随意往桌面上扔放这个木块．规定：当小光扔时，如果朝上的一面写的是偶数，得1分； 当小亮扔时，如果朝上的一面写的是奇数，得1分．每人各扔100次，_____得分高的可能性较大． 【答案】小亮 【解析】 【分析】本题考查可能性的大小，根据数字, 发现偶数个,奇数个，分别求出奇数，偶数各自朝上的可能性，比较即可得答案． 【详解】奇数朝上的可能性， 偶数朝上的可能性， ∴奇数朝上的可能性大， 即每人扔次，小亮得分高的可能性较大， 故答案为：小亮． 13. 如图，是某年级某班全班40名学生一次数学测验分数段统计图，分数80分以上包括80分的为优良，根据统计图所提供的信息计算，该年级360名学生中获得优良的学生大约有______人． 【答案】270 【解析】 【分析】用总人数乘以样本中优良人数占比即可． 【详解】解：（人）． 14. 一个扇形的弧长是其所在圆周长的，那么这个扇形的圆心角为______度． 【答案】120 【解析】 【分析】根据扇形弧长与所在圆周长的关系，可得扇形圆心角占周角的比例，据此计算求解． 【详解】解：扇形的弧长是其所在圆周长的， 该扇形的圆心角是周角的， 该扇形的圆心角为 ． 15. 如图，扇形纸叠扇完全打开后，单面贴纸部分（阴影所示）的面积为πcm2，∠BAC＝120°，BD＝2AD，则BD的长度为_____cm． 【答案】20 【解析】 【分析】设AD=x，则可知道BD=2x，AB=AD+BD=3x．再利用扇形的面积公式求出两个扇形的面积，根据题意作差，即列出关于x的方程，求解即可． 【详解】设AD=x，则BD=2x，AB=AD+BD=3x． 根据题意， ∵，． ∴，即， 解得（不合题意，舍去）． ∴BD=2x=2×10=20（cm）． 故答案为：20． 【点睛】本题考查求扇形的面积并结合一元二次方程进行求解．理解题意并列出等量关系：是解题的关键． 16. 现有一个圆锥与一个圆柱，它们的高相等，其中一个图形的体积是，且底面半径为3，另一个图形体积是，则另一个图形的底面半径是______． 【答案】1或3 【解析】 【分析】分两种情况讨论，即体积为的图形是圆柱或圆锥，分别利用圆柱和圆锥的体积公式计算公共高，再求解另一个图形的底面半径． 【详解】解：设两个图形的高都为h，另一个图形的底面半径为r，分两种情况计算： ①当体积的图形是圆柱，另一个图形为圆锥时： ∵圆柱体积公式为，已知， ∴，解得 ∵圆锥体积公式为，已知， ∴，解得，半径为正，得； ②当体积的图形是圆锥，另一个图形为圆柱时： ∵圆锥体积公式为，已知， ∴，解得 ∵圆柱体积公式为，已知， ∴，解得，半径为正，得 综上，另一个图形的底面半径为1或3． 17. 如图，扇形的半径厘米，，分别以、的中点、为圆心，、为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为_____平方厘米（取）． 【答案】1.14 【解析】 【分析】连接交半圆于点E，连接，则，据此求解即可． 【详解】解：如图所示，连接交半圆于点E，连接， 则平方厘米． 18. 一列火车正在匀速行驶，它先用26秒的时间通过了长256米的隧道甲（即从火车头进入入口到车尾离开出口），又用16秒的时间通过了长96米的隧道乙．则下列结论：①这列火车长160米；②这列火车的行驶速度为每秒16米；③若保持原速度不变，则这列火车通过长160米的隧道丙需用时10秒；④若速度变为原速度的两倍，则这列火车通过隧道甲的时间将变为原来的一半．其中正确的结论是______．（填写所有正确结论的序号） 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解火车通过隧道的路程是隧道长与火车长的和是解题的关键．设火车长x米，行驶的速度为每秒y米，根据火车通过隧道的路程是隧道长与火车长的和列出方程组求解，可求得①和②的结果，再根据时间与路程的关系，可求得③和④结果，即可判断答案． 【详解】解：设火车长x米，行驶的速度为每秒y米， 根据题意，得， 解得， 火车长160米，行驶的速度为每秒16米， 故①②正确； 若保持原速度不变，则这列火车通过长160米的隧道丙需用时秒, 故③错误； 若速度变为原速度的两倍，则这列火车通过隧道甲的时间为秒，是原来的一半, 故④正确； 故答案为：①②④． 三、简答题：本大题共5小题，每题4分，共8分． 19. 解方程组：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原方程组可变形为， 得：，解得：， 把代入①得：，解得：， ∴原方程组的解为． 20. 解方程组： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：方程组整理得 得，解得， 将代入①，得， 解得， ∴方程组的解为； 【小问2详解】 解：， 得， ∴④， 得⑤， 得， 解得， 将代入④，得， 解得， 将，代入①， 得， 解得， ∴方程组的解为． 四、解答题（21-25题每题8分共40分） 21. 为丰富学生课余活动，某中学组建了A体育类、B美术类、C音乐类和D其它类四类学生活动社团，要求每人必须参加且只参加一类活动．学校随机抽取七年级（7）班全体学生进行调查，以了解学生参加社团情况．根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）．请结合统计图中的信息，解决下列问题： （1）在这次调查中，七年级（7）班学生总人数是________人； （2）扇形统计图中区域D所对应的扇形的圆心角为________度； （3）请补全条形统计图，并写出该班参加体育类社团比音乐类社团的人数多________； （4）该中学共有学生1000人，请估算该校参与体育类和美术类社团的学生总人数． 【答案】（1）40 （2）36 （3）；20 （4）650人 【解析】 【分析】（1）利用A类人数除以对应占比即可得到总人数； （2）先计算D类人数占总人数的比例，再用该比例乘以得到对应圆心角度数； （3）先用调查总人数减去A、B、D类的人数得到C类人数，补全条形图；再计算体育类比音乐类多的人数，除以音乐类人数得到对应百分比即可； （4）利用“样本估计总体方法”进行求解即可． 【小问1详解】 解：（人）， 则在这次调查中，七年级（7）班学生总人数是40人； 【小问2详解】 解：， 则扇形统计图中区域D所对应的扇形的圆心角为36度； 【小问3详解】 解：选择音乐类社团的人数为：人， 则该班参加体育类社团比音乐类社团的人数多； 【小问4详解】 解：（人）， 答：该校参与体育类和美术类社团的学生总人数为650人． 22. 如图，将一个底面半径为，高为，母线为的铁制圆锥形容器（无盖）装满水．（结果保留） （1）在常规检查中发现这个圆锥形容器有多处锈迹，如果后续要将这个铁制圆锥形容器更换为铝制圆锥形容器，那么需要准备多少面积的铝板？ （2）将圆锥容器中的水全部倒入底面边长均为且水平放置的长方体容器中（容器高度适当，确保水不会溢出），求长方体容器中水面的高度． 【答案】（1）平方厘米 （2）厘米 【解析】 【分析】（1）根据题干信息和圆锥的侧面积公式计算求解即可； （2）根据圆锥的体积公式和长方体的体积公式计算求解即可． 【小问1详解】 解：圆锥的表面积为（平方厘米）； 答：需要准备平方厘米的铝板． 【小问2详解】 解：圆锥的体积为， ∵圆锥形容器的水全部倒入长方体的容器中且水未溢出， ∴长方体容器中水面的高度为（厘米）， 答：长方体容器中水面的高度为厘米． 23. 如图，是一张长方形铁皮，把图中阴影部分剪下，刚好做成一个圆柱形无盖铁桶（接缝忽略不计）． （1）求铁桶的体积； （2）一个装满水的圆锥形容器，底面半径为3厘米，高为6厘米，将这些水全部倒入（1）问中的圆柱形铁桶中（圆柱形铁桶放在水平桌面上），求这个圆柱形铁桶中水的深度 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由图可得，圆柱的底面直径为6厘米，高为12厘米，根据圆柱的体积公式，用底面积乘高，计算即可； （2）圆锥的体积，因为圆锥形容器中装满水，所以先求出圆锥中水的体积，再除以圆柱形铁桶的底面积，即可求出结果． 【小问1详解】 解：， ∴， ∵， ∴， 答：铁桶的体积． 【小问2详解】 解：， ， 答：这个圆柱形铁桶中水的深度． 24. 如图所示，一个底面直径为20厘米的圆柱形容器内装有一部分水，水中放着一个底面直径12厘米、高10厘米的圆锥体铅锤，且铅锤全部浸没在水中．（结果保留π） （1）求圆锥的体积是多少立方厘米？ （2）当铅锤从水中取出后，容器中水面高度下降了几厘米？ 【答案】（1）立方厘米 （2）1.2厘米 【解析】 【分析】（1）使用圆锥的体积公式即可计算得到答案； （2）水面下降部分的体积等于圆锥的体积，计算可得答案． 【小问1详解】 解：（立方厘米） 【小问2详解】 解：（厘米） 【点睛】本题考查了立体图形的体积，掌握相关知识，精准识图并注意在计算中需注意的事项是本题的解题关键． 25. （1）【课本回顾】已知关于，的二元一次方程组解为，求，的值． 【变式练习】邹老师在课堂上对该题进行了变式： 已知关于，的二元一次方程组解为， 那么关于，的二元一次方程组的解是什么？ 小毛和小叶同学的做法如下： Ⅰ小毛：先把代入第一个方程组中求出，；再把，的值代入第二个方程组中求出它的解． Ⅱ小叶：通过观察可以发现把第一个方程组中的未知数换成，未知数换成就是第二个方程组了，因此可知第二个方程组中的的值就等于第一个方程组中的的值，第二个方程组中的的值就等于第一个方程组中的的值，所以，再求出它们的解就是第二个方程组的解． 邹老师对两位同学进行表扬，并指出小叶的思路体现了数学中“整体思想”、“转化思想”等的运用． 【解决问题】请你参考小毛或小叶的做法，解决下面的问题： （2）已知方程组的解是，求方程组的解． （3）已知关于，的方程组的解是，求关于，的方程组的解．（其中、、、都为常数） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）代入方程组解直接计算即可． （2）利用换元法解方程组即可． （3）利用换元法解方程组即可． 【小问1详解】 解：将代入，得 得 ∴ 将代入得 ∴ ∴． 【小问2详解】 根据题意可知，方程组的解是 根据题意，令， ∴新的方程组为，新方程组的解为 ∴ 解得． 【小问3详解】 根据题意可知，方程组的解是 将所求方程组变形得 令，得方程组，该方程组和原方程组解相同 ∴即 ∴． 五、综合题：本题10分． 26. 小海用剪刀剪开了一个高为的圆柱体纸盒，得到如图所示的形状．其中，该纸盒的侧面展开图是长为、宽为的长方形．根据你所学的知识，回答下列问题：(结果保留) （1）该圆柱体的底面半径为．(用含的式子表示) （2）该圆柱体的表面积为．(用含、的式子表示) （3）我们知道，它的几何意义是数轴上表示的点与原点之间的距离．又如，它的几何意义是数轴上表示的点与表示的点之间的距离．若有理数、满足且，请求出该圆柱体的表面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据圆的周长公式进行解答即可； （2）用圆柱体的侧面积加底面积即可得出答案； （3）根据数轴上两点间距离公式求出、的值，再代入求值即可． 【小问1详解】 解：该圆柱体的底面半径为 【小问2详解】 解：该圆柱体的表面积为 【小问3详解】 解：， ， 解得：或； ， 舍去， 表示在数轴上表示的点与表示的点与表示的点之间的距离之和， 当表示的点在与之间时，表示的点与表示的点与表示的点之间的距离之和为， 点表示的点一定在表示的点的左侧或在表示的点的右侧， 当点表示的点在表示的点的左侧时，， 解得：， 当点表示的点在表示的点的右侧时，， 解得：， ， 舍去； 当、时， 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