2.4.2 简单幂函数的图象和性质-【新课程学案】2026-2027学年高中数学必修第一册教师用书word（北师大版）

本讲义聚焦简单幂函数的图象和性质核心知识点，系统梳理从幂函数概念（定义、特征辨析）到第一象限图象特征（与指数α的关系），再到利用定义域和对称性研究性质（定义域、值域、奇偶性、单调性）的递进式学习支架。 该资料采用“逐点理清”结构化设计，通过“多维理解”引导学生从具体实例抽象概念培养数学眼光，“微点练明”结合图象对比与性质辨析发展数学思维，“课时检测”强化知识应用提升数学语言表达。例如幂函数定义辨析题、第一象限图象特征判断等实例，课中助力教师系统授课，课后帮助学生查漏补缺。

　4.2　简单幂函数的图象和性质 [教学方式:基本概念课——逐点理清式教学] [课时目标] 1.通过具体实例,结合y=x,y=,y=x2,y=,y=x3的图象,理解它们的变化规律,了解幂函数. 2.准确把握幂函数的图象在第一象限的特征(与幂指数α的关系). 3.通过研究幂函数的定义域,利用对称性即可作出幂函数的图象,进而研究性质. 逐点清(一)　幂函数的概念 [多维理解] 幂函数的定义 一般地,形如y=xα(α为常数)的函数,即底数是自变量、指数是常数的函数称为幂函数 幂函数的特征 (1)xα的系数为1; (2)xα的底数是自变量; (3)xα的指数为常数 [微点练明] 1.下列函数是幂函数的为 (　 ) A.y= B.y=2x2 C.y=x2+x D.y=1 答案:A 2.已知函数f(x)=(a2-a-1)为幂函数,则a= (　 ) A.-1或2 B.-2或1 C.-1 D.1 解析:选C　因为f(x)=(a2-a-1)为幂函数,所以a2-a-1=1.所以a=2或a=-1.又a-2≠0,所以a=-1. 3.已知f(x)=ax2a+1-b+1是幂函数,则a+b等于 (　 ) A.2 B.1 C. D.0 解析:选A　由题意得故a+b=2. 4.若函数f(x)是幂函数,且满足f(4)=16,则f(-4)=　　　　.  解析:设f(x)=xα,∵f(4)=16,∴4α=16,解得α=2.∴f(x)=x2.∴f(-4)=(-4)2=16. 答案:16 逐点清(二)　幂函数的图象 [多维理解] 　　五个常见幂函数的图象 |微|点|助|解| (1)幂函数图象在第一象限的变化规律 在第一象限内直线x=1的右侧,图象从上到下,相应的指数由大变小;在直线x=1的左侧,图象从下到上,相应的指数由大变小. 如下表 幂函数y=xα(α为常数) α>0 α<0 图 象 (2)任何幂函数的图象与坐标轴仅相交于原点,或不相交,任何幂函数的图象都不过第四象限. (3)任何两个幂函数的图象最多有三个公共点.除(1,1),(0,0),(-1,1),(-1,-1)外,其他任何一点都不是两个幂函数的公共点. [微点练明] 1.函数y=的图象是 (　 ) 解析:选C　∵函数y=是非奇非偶函数,故排除A、B选项.又>1,故选C. 2.已知幂函数y=xm与y=xn在第一象限内的图象如图所示,则 (　 ) A.-1<n<0<m<1 B.n<-1,0<m<1 C.-1<n<0,m>1 D.n<-1,m>1 解析:选B　在(0,1)内取x0,作直线x=x0,与各图象有交点如图所示.则由“点低指数大”,知0<m<1,n<-1. 3.在同一坐标系内,函数y=xa(a≠0)和y=ax-的图象可能是 (　 ) 解析:选C　对于A,幂的指数a<0,则直线y=ax-应为减函数,A错误;对于B,幂的指数a>1,则直线y=ax-应为增函数,B错误;对于D,幂的指数a<0,则->0,即直线y=ax-与y轴交点在x轴上方,D错误;易知C正确. 4.若A={α,β}⊆,且函数f(x)=xα与g(x)=xβ的图象若只有1个交点,则写出一个符合条件的集合A=　　　　;若有两个交点,则满足条件的不同集合A有　　　　个.  解析:函数y=x-1与y=,y=x2,y=x3的图象分别有1个,1个,2个交点;函数y=与y=x2,y=x3的图象都有2个交点;函数y=x2与y=x3的图象有2个交点,所以函数f(x)=xα与g(x)=xβ的图象若只有1个交点,则A=或{-1,2};函数f(x)=xα与g(x)=xβ的图象若只有2个交点,则A={-1,3}或或或{2,3}. 答案:(答案不唯一)　4 逐点清(三)　幂函数的性质 [多维理解] 　　五个常见幂函数的性质 y=x y=x2 y=x3 y= y=x-1 定义域 R R R [0,+∞) {x|x≠0} 值域 R [0,+∞) R [0,+∞) {y|y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增函数 在[0,+∞)上单调递增,在(-∞,0]上单调递减 增函数 增函数 在(0,+∞)上单调递减,在(-∞,0)上单调递减 |微|点|助|解| 　　一般幂函数的性质 (1)当α>0时,幂函数的图象过原点,并且在区间[0,+∞)上是增函数. (2)当α<0时,幂函数在区间(0,+∞)上单调递减.在第一象限内,当x从右边趋向原点时,图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴,当x趋向于+∞时,图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴. [微点练明] 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)当x∈(0,1)时,x2>x3. (　 ) (2)y=与y=的定义域相同. (　 ) (3)若y=xα在(0,+∞)上为增函数,则α>0. (　 ) 答案:(1)√　(2)×　(3)√ 2.幂函数y=f(x)的图象经过点(3,),则f(x) (　 ) A.是偶函数,且在(0,+∞)上单调递增 B.是偶函数,且在(0,+∞)上单调递减 C.是奇函数,且在(0,+∞)上单调递减 D.既不是奇函数,也不是偶函数,且在(0,+∞)上单调递增 解析:选D　由题意设f(x)=xn,因为函数f(x)的图象经过点(3,),所以=3n,解得n=,即f(x)=,所以f(x)既不是奇函数,也不是偶函数,且在(0,+∞)上单调递增,故选D. 3.下列不等式在a<b<0的条件下不能成立的是 (　 ) A.a-1>b-1 B.< C.b2<a2 D.> 解析:选D　分别构造函数y=x-1,y=,y=x2,y=,其中函数y=x-1,y=x2在(-∞,0)上为减函数,故A、C成立.而y=,y=为(-∞,0)上的增函数,故B成立,D不成立. 4.若a=,b=,c=2,则a,b,c的大小关系为 (　 ) A.c>a>b B.c>b>a C.a>b>c D.b>a>c 答案:A 5.已知幂函数f(x)=(m2-3m-3)是偶函数,则m的值为　　　　.  解析:∵f(x)为幂函数,∴m2-3m-3=1,解得m=4或m=-1.当m=4时,f(x)=x3是奇函数,不合题意,舍去;当m=-1时,f(x)=x-2是偶函数,∴m=-1. 答案:-1 [课时检测] 1.在下列函数中,定义域和值域不同的是 (　 ) A.y= B.y= C.y= D.y= 解析:选D　A、C的定义域和值域都是R;B的定义域和值域都是[0,+∞);D的定义域是R,值域是[0,+∞).故选D. 2.函数y=-1的图象关于x轴对称的图象大致是 (　 ) 解析:选B　因为y=的图象位于第一象限且为增函数,所以函数图象是上升的.函数y=-1的图象可看作是由y=的图象向下平移一个单位长度得到(如选项A中的图所示),则y=-1的图象关于x轴对称的图象即为选项B. 3.函数y=x-2在区间上的最大值是 (　 ) A. B.-1 C.4 D.-4 解析:选C　因为函数y=x-2在区间上单调递减,所以当x=时有最大值4. 4.幂函数y=f(x)经过点(27,3),则f(x)是 (　 ) A.偶函数,且在(0,+∞)上单调递增 B.偶函数,且在(0,+∞)上单调递减 C.奇函数,且在(0,+∞)上单调递增 D.奇函数,且在(0,+∞)上单调递减 解析:选C　依题意,设f(x)=xα,将点(27,3)代入上式,则3=27α,解得α=,即f(x)=.所以该函数为奇函数,且在(0,+∞)上单调递增,故选C. 5.函数f(x)=(a-b)+b-3是幂函数,则下列结论正确的是 (　 ) A.f(a)>f(b) B.f(a)<f(b) C.f(a)=f(b) D.以上都不对 解析:选A　∵f(x)为幂函数,∴ ∴∴f(x)=,∴f(x)在(0,+∞)上单调递增,且a>b>0,∴f(a)>f(b). 6.已知幂函数f(x)=x4-m(m∈N+)为奇函数,且在区间(0,+∞)上单调递增,则m等于 (　 ) A.1 B.2 C.1或3 D.3 解析:选C　因为f(x)=x4-m在(0,+∞)上单调递增,所以4-m>0,即m<4.又因为m∈N+,所以m=1,2,3.又因为f(x)=x4-m是奇函数,所以4-m是奇数,所以m=1或m=3. 7.(多选)下列关于幂函数y=xα的性质,描述正确的有 (　 ) A.当α=-1时,函数在其定义域上是减函数 B.当α=0时,函数图象是一条直线 C.当α=2时,函数是偶函数 D.当α=3时,函数有一个零点0 解析:选CD　对于A选项,y=在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递减,不能说在定义域上单调递减,故错误.对于B选项,y=x0,x≠0,图象是直线y=1并且除掉点(0,1),故错误.对于C选项,y=x2,定义域为R,是偶函数,故正确.对于D选项,y=x3,只有一个零点0,故正确.故选C、D. 8.已知函数f(x)=,若0<a<b<1,则下列各式中正确的是 (　 ) A.f(a)<f(b)<f<f B.f<f<f(b)<f(a) C.f(a)<f(b)<f<f D.f<f(a)<f<f(b) 解析:选C　因为函数f(x)=在(0,+∞)上单调递增,又0<a<b<1<<,所以f(a)<f(b)<f<f. 9.(多选)已知函数f(x)=xα的图象经过点(4,2),则下列命题正确的有 (　 ) A.函数为增函数 B.函数为偶函数 C.若x>1,则f(x)>1 D.若0<x1<x2,则<f 解析:选ACD　将点(4,2)代入函数f(x)=xα,得2=4α,即α=.所以f(x)=.显然f(x)在定义域[0,+∞)上为增函数,所以A正确;因为f(x)的定义域为[0,+∞),所以f(x)不具有奇偶性,所以B不正确;当x>1时,>1,即f(x)>1,所以C正确;当0<x1<x2时,-=-=- ==-<0,即<f成立,所以D正确. 10.(5分)已知2.4α>2.5α,则α的取值范围是　　　.  解析:因为0<2.4<2.5,而2.4α>2.5α,所以y=xα在(0,+∞)上单调递减.故α<0. 答案:(-∞,0) 11.(5分)已知点(,2)在幂函数f(x)的图象上,点在幂函数g(x)的图象上,则当x∈　　　时,有f(x)>g(x).  解析:设f(x)=xα,g(x)=xβ,由题意,得2=()α,即α=2,-=(-2)β,即β=-1.所以f(x)=x2,g(x)=x-1.画出f(x)与g(x)的图象如图所示. 从图中可看出当x<0或x>1时,f(x)>g(x). 答案:(-∞,0)∪(1,+∞) 12.(5分)为了保证信息的安全传输须使用加密方式,有一种方式其加密、解密原理为:发送方由明文到密文(加密),接收方由密文到明文(解密).现在加密密钥为y=xα(α为常数),如“4”通过加密后得到密文“2”.若接收方接到密文“3”,则解密后得到的明文是　　　　.  解析:由题目可知加密密钥y=xα(α是常数)是一个幂函数模型,所以要想求得解密后得到的明文,就必须先求出α的值.由题意得2=4α,解得α=,则y=.由=3,得x=9. 答案:9 13.(10分)已知幂函数f(x)=(m2+3m-9)xm-1在(0,+∞)上单调递减,m∈R. (1)求f(x)的解析式;(3分) (2)若(2-a>(2a-1,求实数a的取值范围.(7分) 解:(1)由函数f(x)=(m2+3m-9)xm-1为幂函数得m2+3m-9=1,解得m=2或m=-5, 又函数在(0,+∞)上单调递减, 则m-1<0,即m<1, 所以m=-5,f(x)=x-6=. (2)由(1)得m=-5, 所以不等式为(2-a>(2a-1, 设函数g(x)=,则函数g(x)的定义域为(0,+∞),且函数g(x)在(0,+∞)上单调递减, 所以解得1<a<2,所以实数a的取值范围是(1,2). 14.(10分)已知幂函数f(x)=(m2-m-1)xm(m∈R),且f(x)图象不过原点. (1)求出f(x)的表达式,并写出它的单调区间;(3分) (2)记g(x)=f(x)-2ax(a∈R),判断函数g(x)的奇偶性,并证明.(7分) 解:(1)由m2-m-1=1,解得m=-1或m=2, 又f(x)图象不过原点,故f(x)=,单调递减区间为(-∞,0),(0,+∞),无单调递增区间. (2)函数g(x)是定义域上的奇函数, 证明:g(x)=-2ax,定义域为D={x|x≠0}, 任取x∈D,都有-x∈D,即定义域关于原点对称, 又由g(-x)=-+2ax=-g(x), 所以函数g(x)是定义域上的奇函数. 学科网（北京）股份有限公司 $