第2章 4.2 简单幂函数的图象和性质-【优学精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教用课件（北师大版）

该高中数学课件聚焦简单幂函数的概念、图象及性质，从《九章算术》“幂”的历史渊源导入，衔接已学的正比例、反比例等函数，通过思考问题引导学生抽象出幂函数的一般形式，搭建新旧知识的学习支架。 其亮点在于以问题链驱动探究，通过具体实例归纳幂函数性质，培养学生数学眼光与思维。结合例题对比幂函数与一次函数图象，用跟踪训练巩固比较大小、求参数等应用，小结强调概念辨析，助力学生构建知识体系，提升抽象与推理能力，为教师提供系统教学资源。

4．2　简单幂函数的图象和性质 　　《九章算术》刘徽注：“凡广纵相乘谓之幂．”后来又将幂推广引申为多次乘方的结果．到了明清时代，既称面积为幂，也称平方或立方为幂．清末之后，幂逐渐开始专指乘方概念．今天，我们就来学习幂函数的有关知识． 1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式. 2．通过具体实例，结合y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x-1，y＝x 的图象，归纳出幂函数的基本性质． 返回导航 新课导入 学习目标 内 容 索 引 新知学习 探究　 1 1 课堂巩固 自测 2 新知学习 探究 第一部分 4 知识点一　幂函数的概念 思考1　我们都学习了哪些函数呢？其解析式都是怎样的呢？ 提示：解析式都具有幂的形式，而且都是以幂的底数为自变量，幂的指数都是常数，一般形式可用y＝xα表示． 返回导航 [知识梳理] 1．幂函数的定义 一般地，形如______________的函数，即底数是自变量、指数是常数的函数称为幂函数． 2．幂函数的特征 (1)xα的系数为1； (2)xα的底数是自变量； (3)xα的指数为常数． y＝xα(α为常数) 返回导航 [即时练] 1．在函数y＝x-4，y＝3x2，y＝x2＋2x，y＝1中，幂函数的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：函数y＝x-4为幂函数；函数y＝3x2中x2的系数不是1，所以它不是幂函数；函数y＝x2＋2x不是y＝xα(α是常数)的形式，所以它不是幂函数；函数y＝1与y＝x0＝1(x≠0)不相等，所以y＝1不是幂函数．故选B. B 返回导航 B 返回导航 2 返回导航 知识点二　常见幂函数的图象与性质 [知识梳理] (－∞，0)∪(0，＋∞) [0，＋∞) 返回导航 值域 R _____________ R __________________________ ____________ 奇偶性 ____函数 ______函数 _____函数 _______函数 __________函数 增区间 R _____________ R 无 ____________ 减区间 无 _____________ 无 __________________________ 无 定点 ______________ 奇 [0，＋∞) (－∞，0)∪(0，＋∞) [0，＋∞) 偶 奇 奇 非奇非偶 [0，＋∞) [0，＋∞) (－∞，0] (－∞，0)和(0，＋∞) (1，1) 返回导航 B 返回导航 C 【解析】函数y＝xα是幂函数，而y＝αx是一次函数，选项A，直线对应函数为y＝x，曲线对应函数为y＝x-1； 选项C，直线对应函数为y＝2x，曲线对应函数为y＝x2； 选项D，直线对应函数为y＝－x，曲线对应函数为y＝x3.故C正确． 返回导航 感悟提升 返回导航 A [跟踪训练1] 如图所示，曲线C1与C2分别是函数y＝xm和y＝xn在第一象限内的图象，则下列结论正确的是(　　) A．n＜m＜0 B．m＜n＜0 C．n＞m＞0 D．m＞n＞0 解析：由题图可知，两函数在第一象限内递减，故m＜0，n＜0.由曲线C1，C2的图象可知n＜m.故选A. 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 感悟提升 比较幂值大小的三种基本方法 返回导航 角度2　求参数 [例3] 幂函数y＝(m2－4m＋4)xm2－6m＋8在(0，＋∞)上单调递增，则实数m的值为(　　) A．1或3 B．3 C．2 D．1 【解析】　因为y＝(m2－4m＋4)·xm2－6m＋8为幂函数，所以m2－4m＋4＝1，即(m－1)(m－3)＝0，解得m＝1或m＝3. 当m＝1时，m2－6m＋8＝3，则y＝x3在(0，＋∞)上单调递增，满足题意； D 返回导航 感悟提升 利用单调性求参数的思路 (1)根据幂函数的概念，求出参数的所有可能值； (2)利用幂函数单调性，对参数的值进行验证得到所求值． 返回导航 角度3　解不等式 [例4] 已知幂函数f(x)＝(a－1)xn的图象过点(2，8)，且f(b－2)＜f(1－2b)，则实数b的取值范围是(　　) A．(0，1) B．(1，2) C．(－∞，1) D．(1，＋∞) C 返回导航 感悟提升 利用幂函数的单调性解不等式的步骤 (1)确定可以利用的幂函数； (2)借助相应的幂函数的单调性，将不等式的大小关系转化为自变量的大小关系； (3)解不等式(组)求参数范围时，注意分类讨论思想的应用． 返回导航 A 返回导航 C 解析：因为f(x)为幂函数，所以m2－3＝1，所以m＝±2.当m＝2时，f(x)＝x-2在区间(0，＋∞)上单调递减，符合题意； 当m＝－2时，f(x)＝x2在区间(0，＋∞)上单调递增，不符合题意．故选C. 返回导航 (3)(2026·焦作月考)已知幂函数f(x)＝(m2＋4m＋4)xm+2在(0，＋∞)上单调递减，若(2a－1)－m<(a＋3)－m，则a的取值范围为__________．　 不等式(2a－1)－m<(a＋3)－m化为(2a－1)3<(a＋3)3，显然幂函数y＝x3在R上单调递增， 因此2a－1<a＋3，解得a<4， 所以a的取值范围为(－∞，4). (－∞，4) 返回导航 课堂巩固 自测 第二部分 27 B 1．在函数y＝x-2，y＝2x2，y＝(x＋1)2，y＝3x中，幂函数的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：y＝x-2是幂函数；y＝2x2，y＝(x＋1)2，y＝3x不是y＝xα(α为常数)的形式，故不是幂函数． 返回导航 2．(教材P68思考交流T2改编)若幂函数y＝f(x)的图象经过点(2，4)，则f(x)是(　　) A．偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增 B．偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减 C．奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减 D．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增 解析：设f(x)＝xα，因为幂函数y＝f(x)的图象经过点(2，4)，代入可得4＝2α，解得α＝2，所以f(x)＝x2，定义域为R，而f(－x)＝x2＝f(x)，所以f(x)为偶函数，由二次函数的性质可知f(x)在(0，＋∞)上单调递增．故选A. A 返回导航 3．三个数a＝0.32，b＝1.90.3，c＝20.3之间的大小关系是(　　) A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．b＜c＜a 解析：因为a＝0.32＜1，b＝1.90.3＞1，c＝20.3＞1.又函数y＝x0.3在(0，＋∞)上单调递增，所以1.90.3＜20.3.综上a＜b＜c.故选B. B 返回导航 4．已知幂函数y＝xm-2(m∈N)的图象与x轴、y轴都无交点，且关于y轴对称，求m的值，并画出函数的图象． 解：因为幂函数的图象与x轴、y轴都无交点，所以m－2≤0，即m≤2.又m∈N，所以m＝0，1，2. 当m＝0时，函数为y＝x-2，图象如图1所示；当m＝1时，函数为y＝x-1，图象如图2所示；当m＝2时，函数为y＝x0＝1(x≠0)，图象如图3所示． 因为幂函数的图象关于y轴对称，所以m＝0或m＝2. 返回导航 课堂小结 1．已学习：幂函数的概念，几个常见幂函数的图象． 2．须贯通：幂函数的性质及其应用． 3．应注意：(1)对幂函数形式的判断易出错，只有形如y＝xα(α为常数)的函数为幂函数，其他形式都不是幂函数； (2)易忽略题目中给出的条件以及幂函数的图象和性质． 返回导航 解析式 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝ 图象 定义域 R R R ______________ ______________ (3)与. 【解】因为y＝x在[0，＋∞)上单调递增， 所以>1＝1， 又y＝x在[0，＋∞)上单调递增， 所以<1＝1， 所以>. $