2.3.1 函数的单调性及其应用-【新课程学案】2026-2027学年高中数学必修第一册教师用书word（北师大版）

本讲义聚焦高中数学函数单调性及其应用核心知识点，系统梳理从单调性定义（单调递增、递减、区间及增减函数）、运算性质到应用（定义法证明、图象法求区间、参数范围及解不等式）的梯度进阶学习支架，构建完整知识脉络。 该资料采用梯度进阶式教学设计，通过基础训练、题型分类（定义法、图象法等）及课时检测，结合数学眼光（图象观察）、数学思维（逻辑推理）与数学语言（符号表达）。例如定义法证明单调性培养推理能力，图象法求区间提升几何直观，课中助力教师高效授课，课后帮助学生回顾强化、查漏补缺。

§3　函数的单调性和最值 第1课时　函数的单调性及其应用 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] 　 　[课时目标] 1.借助函数图象,会用符号语言表达函数的单调性.理解单调区间、单调性等概念,会用定义证明函数的单调性. 2.理解函数单调性的作用与实际意义,会求函数的单调区间,并判断单调性. 3.能应用函数的单调性解决一些简单问题. 1.函数的单调性 设函数y=f(x)的定义域是D,I是定义域D上的一个区间: (1)如果对于任意的x1,x2∈I,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就称函数y=f(x)在区间I上单调递增.这时,区间I叫作函数y=f(x)的单调递增区间. (2)如果对于任意的x1,x2∈I,当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就称函数y=f(x)在区间I上单调递减.这时,区间I叫作函数y=f(x)的单调递减区间. (3)如果函数y=f(x)在区间I上单调递增或单调递减,那么就称函数y=f(x)在区间I上具有单调性,单调递增区间和单调递减区间统称为单调区间. (4)如果对于定义域D上任意的x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么称函数y=f(x)是增函数.如果对于定义域D上任意的x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么称函数y=f(x)是减函数. 2.函数单调性的运算性质 若函数f(x),g(x)在区间I上具有单调性,则在区间I上具有以下性质. (1)f(x)与f(x)+C(C为常数)具有相同的单调性. (2)若a为常数,则当a>0时,f(x)与af(x)具有相同的单调性;当a<0时,f(x)与af(x)具有相反的单调性. |微|点|助|解| (1)注意区分“单调递增(减)”与“增(减)函数” 增(减)函数是指函数在整个定义域内呈现出递增(递减)的现象,即函数的任何自变量增加时,函数值也随之增加(减少); 而单调递增(减)函数则是指函数在某个区间内是单调递增(减)的,这个区间可以是开区间也可以是闭区间,但不一定是整个定义域; 单调递增(减)函数强调的是函数的局部性质,即在某个区间内函数值随自变量的增加而增加(减少),而增(减)函数强调的是函数的整体性质,即在整个定义域内函数值随自变量的增加而增加(减少). (2)增、减函数与自变量、函数值的互推关系 ①若(x2-x1)[f(x2)-f(x1)]>0或>0,则x2-x1与f(x2)-f(x1)同号,即x2>x1时,f(x2)>f(x1),所以f(x)在D上是增函数; ②若(x2-x1)[f(x2)-f(x1)]<0或<0,则x2-x1与f(x2)-f(x1)异号,即x2>x1时,f(x2)<f(x1),所以f(x)在D上是减函数. 基础落实训练 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)函数y=x2在R上是增函数. (　 ) (2)所有的函数在其定义域上都具有单调性. (　 ) (3)在增函数与减函数的定义中,可以把“任意的x1,x2”改为“存在x1,x2”. (　 ) (4)若函数f(x)在[2,+∞)上单调递增,则f(x)在[3,4]上也单调递增. (　 ) 答案:(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2.已知函数y=f(x)的图象如图所示,其单调递增区间是 (　 ) A.[-4,4] B.[-4,-3]∪[1,4] C.[-3,1] D.[-3,4] 解析:选C　由题图可知,函数y=f(x)的单调递增区间为[-3,1].故选C. 3.(多选)下列函数中,在区间(0,+∞)上单调递减的是 (　 ) A.y=- B.y=x C.y=-|x| D.y=1-x 解析:选CD　选项A、B中的函数在(0,+∞)上都是增函数,选项C、D满足条件. 4.若函数f(x)在[-2,2]上是增函数,则f(-1)　　　　f(2).(填“>”“=”或“<”)  解析:∵函数f(x)在[-2,2]上是增函数,且-1<2,∴f(-1)<f(2). 答案:< 题型(一)　定义法判断或证明函数的单调性 [例1]　证明函数f(x)=在区间(2,+∞)上单调递减. 证明:设∀x1,x2∈(2,+∞),且x1<x2, 则f(x1)-f(x2)=- = =. 因为2<x1<x2, 所以x2-x1>0,>4,>4. 所以f(x1)-f(x2)>0, 即f(x1)>f(x2). 所以函数f(x)=在(2,+∞)上单调递减. 　　|思|维|建|模| 利用定义判断或证明函数单调性的步骤 　　[针对训练] 1.试用函数单调性的定义证明f(x)=在(1,+∞)上单调递减. 证明:易得f(x)=2+,设x1>x2>1,则f(x1)-f(x2)=-=.因为x1>x2>1,所以x2-x1<0,x1-1>0,x2-1>0.所以f(x1)<f(x2).所以f(x)在(1,+∞)上单调递减. 题型(二)　图象法求函数的单调区间 [例2]　画出函数f(x)=的图象,并指出函数f(x)的单调区间. 解:画出函数 f(x)=的图象如图所示. 由图可知,函数f(x)的单调递减区间为(-∞,1]和(1,2],单调递增区间为[2,+∞). 　　|思|维|建|模|　图象法求函数单调区间的步骤 作图 作出函数的图象 结论 上升图象对应单调递增区间,下降图象对应单调递减区间 　　[针对训练] 2.画出函数y=|x|(x-2)的图象,并指出函数的单调区间. 解:由题意,得y=|x|(x-2)= 函数的图象如图实线部分所示. 由函数的图象知,函数的单调递增区间为(-∞,0)和[1,+∞),单调递减区间为[0,1). 题型(三)　函数单调性的简单应用 题点1　利用函数单调性求参数范围 [例3]　若函数f(x)=是定义在R上的减函数,则a的取值范围为 (　 ) A.　　 B. C. D.∪ 解析:选A　因为f(x)是定义在R上的减函数, 所以 解得≤a<. [例4]　若函数f(x)=-x2-2(a+1)x+3在区间(-∞,3]上单调递增,则实数a的取值范围是　　 　.  解析:f(x)=-x2-2(a+1)x+3=-(x+a+1)2+(a+1)2+3. 因此函数的单调递增区间为(-∞,-a-1], 因为f(x)在(-∞,3]上单调递增,所以3≤-a-1,解得a≤-4,即实数a的取值范围为(-∞,-4]. 答案:(-∞,-4] 　　[变式拓展] 在例4中,若函数f(x)=-x2-2(a+1)x+3的单调递增区间是(-∞,3],则实数a的值为　　　　.  解析:f(x)=-x2-2(a+1)x+3=-(x+a+1)2+(a+1)2+3.因此的函数的单调递增区间为(-∞,-a-1],由题意得-a-1=3,所以a=-4. 答案:-4 　　|思|维|建|模| 由函数单调性求参数范围的处理方法 (1)由函数解析式求参数 ①若为二次函数——判断开口方向与对称轴——利用单调性确定参数满足的条件. ②若为一次函数——由一次项系数的正负决定单调性 ③若为分段函数——数形结合,每一段的函数的单调性均要考虑,并注意临界值的大小.探求参数满足的条件. (2)当函数f(x)的解析式未知时,欲求解不等式,可以依据函数单调性的定义和性质,将符合“f”去掉,列出关于自变量的不等式(组),然后求解,此时注意函数的定义域. 题点2　利用函数单调性解不等式 [例5]　已知f(x)是定义在区间[-2,2]上的增函数,且f(x-2)<f(1-x),求x的取值范围. 解:由题意,得解得0≤x≤3,　① ∵f(x)是[-2,2]上的增函数,且f(x-2)<f(1-x). 所以x-2<1-x,解得x<,　② 由①②得0≤x<. 所以满足题意的不等式解集为. 　　|思|维|建|模| 　　在求解与抽象函数有关的不等式时,往往利用函数的单调性将“f”符号脱掉,使其转化为具体的不等式求解.此时应特别注意函数的定义域. 　　[针对训练] 3.若函数f(x)=(m-1)x+b在R上是增函数,则f(m)与f(1)的大小关系是 (　 ) A.f(m)<f(1)　　　 B.f(m)>f(1) C.f(m)≤f(1) D.f(m)≥f(1) 解析:选B　由题意,得m-1>0,即m>1.因为f(x)在R上是增函数,所以f(m)>f(1). 4.已知函数f(x)=是R上的增函数,则a的取值范围是 (　 ) A.(-∞,-2) B.(-∞,0) C.(-3,-2] D.[-3,-2] 解析:选D　因为函数f(x)=是R上的增函数, 所以解得-3≤a≤-2,即a的取值范围是[-3,-2]. 5.若f(x)是定义在[0,+∞)上的减函数,则不等式f(x)<f(-2x+8)的解集是　　　　.  解析:依题意,得不等式组 解得<x≤4. 答案: [课时检测] 1.已知函数y=f(x)的图象如图所示,则f(x)的单调递减区间是 (　 ) A.(0,1) B.(-∞,1) C. D.(-∞,3) 答案:A 2.若f(x)在R上是减函数,则f(-1)与f(a2+1)之间有 (　 ) A.f(-1)≥f(a2+1) B.f(-1)>f(a2+1) C.f(-1)≤f(a2+1) D.f(-1)<f(a2+1) 解析:选B　∵f(x)在R上是减函数,∴对任意x1,x2,若x1<x2,均有f(x1)>f(x2). 又∵-1<a2+1,∴f(-1)>f(a2+1). 3.(多选)下列函数中,在区间(-∞,0)上单调递增的是 (　 ) A.f(x)=- B.f(x)=x C.f(x)=-x2 D.f(x)=1-x 解析:选ABC　由函数的图象知f(x)=-,f(x)=x,f(x)=-x2 在(-∞,0)上单调递增. 4.已知函数f(x)=在(0,+∞)上单调递减,则b的取值范围为 (　 ) A.(0,+∞) B.(1,+∞) C.(-∞,0) D.R 解析:选A　f(x)=a+,因为f(x)在(0,+∞)上单调递减,所以b>0,故选A. 5.已知函数f(x)在[0,+∞)上单调递减,且f(2)=-1,则满足f(2x-4)>-1的实数x的取值范围是 (　 ) A.(3,+∞) B.(-∞,3) C.[2,3) D.[0,3) 解析:选C　∵函数f(x)在[0,+∞)上单调递减,且f(2)=-1,对于f(2x-4)>-1,则0≤2x-4<2,解得2≤x<3,∴实数x的取值范围是[2,3). 6.已知函数f(x)=是R上的减函数,则实数a的取值范围是 (　 ) A.(-1,1) B.(1,3] C.(0,3) D.(0,2] 解析:选D　∵函数f(x)=是R上的减函数. 当x≤1时,函数f(x)要递减,则有a-3<0; 当x>1时,函数f(x)要递减,则有2a>0; 且(a-3)×1+5≥2a, ∴解得0<a≤2, 综上所述,实数a的取值范围是(0,2]. 7.已知函数f(x)=-x|x|,则不等式f(2+5m)<f(2m2-1)的解集为 (　 ) A. B. C.∪(3,+∞) D.(-∞,-3)∪ 解析:选A　由函数f(x)=-x|x|=根据二次函数的性质,可得函数f(x)在R上为减函数.又由不等式f(2+5m)<f(2m2-1),可得2+5m>2m2-1,即(2m+1)(m-3)<0,解得-<m<3,即实数m的取值范围为.故选A. 8.(多选)函数f(x)的定义域为R,对任意的实数x1,x2(x1≠x2),满足x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1),下列结论正确的是 (　 ) A.函数f(x)在R上是减函数 B.f(-5)<f(0)<f(1) C.f(0)=0 D.f(2x-1)<f(3-x)的解集为 解析:选BD　由x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1),得(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,因此f(x)在R上单调递增,A错误;由-5<0<1,得f(-5)<f(0)<f(1),B正确;不一定有f(0)=0,如f(x)=x3+1在R上为增函数,f(0)=1,C错误;由f(2x-1)<f(3-x),得2x-1<3-x,解得x<,D正确.故选BD. 9.(5分)函数y=|x2-2x-3|的单调递增区间是　　　　.  解析:易知y=|x2-2x-3|=|(x-1)2-4|,作出该函数的图象,如图所示. 由图象可知,其单调递增区间为[-1,1]和[3,+∞). 答案:[-1,1]和[3,+∞) 10.(5分)已知函数f(x)为定义在区间[-1,1]上的增函数,则满足f(x)<f的实数x的取值范围为　　　.  解析:因为f(x)在区间[-1,1]上为增函数,且f(x)<f,所以解得-1≤x<. 答案: 11.(5分)已知函数f(x)=-x2+2ax与g(x)=在区间[1,2]上均单调递减,那么a的取值范围是　　　　.  解析:根据二次函数的表达式可知,f(x)=-x2+2ax的对称轴为x=a,开口向下,若f(x)在区间[1,2]上单调递减,则a≤1,g(x)=是反比例型函数,若g(x)在区间[1,2]上单调递减,则a>0,所以0<a≤1.所以f(x)=-x2+2ax与g(x)=在区间[1,2]上都单调递减,a的取值范围为0<a≤1. 答案:(0,1] 12.(5分)已知函数f(x)=2x2-4kx-5在区间[-1,2]上不具有单调性,则k的取值范围为　　　　.  解析:∵函数f(x)=2x2-4kx-5的图象的对称轴为直线x=k,若函数f(x)=2x2-4kx-5在区间[-1,2]上不具有单调性,则k的取值范围是(-1,2). 答案:(-1,2) 13.(10分)画出函数f(x)=|x+1|的图象,并根据图象写出f(x)的单调区间. 解:易得f(x)=|x+1|=作出函数图象如图所示. 结合图象可知,函数f(x)=|x+1|的单调递减区间为(-∞,-1),单调递增区间为(-1,+∞). 14.(10分)已知函数f(x)=mx++(m,n是常数),且f(1)=2,f(2)=. (1)求m,n的值;(3分) (2)当x∈[1,+∞)时,判断f(x)的单调性并用定义证明.(7分) 解:(1)因为f(1)=m++=2, f(2)=2m++=,所以m=1,n=2. (2)由(1)知f(x)=x++,f(x)在x∈[1,+∞)上单调递增,证明如下: 设1≤x1<x2,则f(x1)-f(x2) =x1++- =(x1-x2)=. 因为1≤x1<x2,所以x1-x2<0,x1x2>1, 所以2x1x2>2>1. 所以<0,即f(x1)<f(x2). 所以f(x)在[1,+∞)上单调递增. 15.(15分)设函数y=f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数,并且满足f(xy)=f(x)+f(y),f=1. (1)求f(1)的值.(3分) (2)若存在实数m,使得f(m)=2,求m的值.(5分) (3)若f(x-2)>2,求x的取值范围.(7分) 解:(1)令x=y=1,则f(1)=f(1)+f(1),所以f(1)=0. (2)因为f=1,所以f(m)=2=f+f=f=f,所以m=. (3)因为f(x-2)>2=f,又y=f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数, 所以解得2<x<. 故x的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $