1.3.1 不等式的性质-【新课程学案】2026-2027学年高中数学必修第一册教师用书word（北师大版）

本讲义聚焦高中数学不等式的性质，以不等式基本事实（作差法比较大小）为起点，通过与等式性质对比构建不等式性质体系，结合二级结论，延伸至比较大小、判断命题真假、证明不等式及求取值范围等应用，形成梯度进阶的学习支架。 该资料采用深化学习课设计，通过作差法步骤拆解、性质对比表及“思维建模”环节培养数学思维（推理能力），题型变式与实例分析提升数学语言表达，课中助力教师分层教学，课后供学生巩固练习，有效落实核心素养，提升学习效果。

§3　不等式 3.1　不等式的性质 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学]　　 [课时目标] 1.理解不等式的基本事实,会用作差法比较两实数(代数式)大小. 2.通过等式与不等式的差异,掌握等式和不等式的性质,能利用不等式的性质证明简单的不等式和解简单不等式. 3.运用不等式的性质分析解决问题时,必须验证是否满足它成立的条件. (一)不等式的基本事实 作差法比较两实数(代数式)大小 基本事实 a>b⇔a-b>0; a=b⇔a-b=0; a<b⇔a-b<0 结论 要比较两个实数的大小,可以转化为比较它们的差与0的大小 (二)不等式的性质 1.等式的基本性质 性质 性质内容 1 如果a=b,那么b=a 2 如果a=b,b=c,那么a=c 3 如果a=b,那么a±c=b±c 4 如果a=b,那么ac=bc 5 如果a=b,c≠0,那么= 2.不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 传递性 如果a>b,且b>c,那么a>c 不可逆 2 可加性 如果a>b,那么a+c>b+c 可逆 3 可乘性 如果a>b,c>0,那么ac>bc; 如果a>b,c<0,那么ac<bc c的 符号 4 同向可 加性 如果a>b,c>d,那么a+c>b+d 同向 5 可乘性 如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd; 如果a>b>0,c<d<0,那么ac<bd. 特殊地,当a>b>0时,an>bn,其中n∈N+,n≥2 是否 变号 6 可开 方性 当a>b>0时,>,其中n∈N+,n≥2 同正 3.不等式中常用的二级结论 (1)a>b,c<d⇒a-c>b-d. (2)a+c>b⇒a>b-c. (3)a>b>0,d>c>0⇒>. (4)a>b,ab>0⇒<;a>b,ab<0⇒>. (5)a>b,n∈N+,n>1且n为奇数⇒an>bn,>. (6)a>b>0,c>0⇒>. |微|点|助|解| (1)在应用不等式时,一定要搞清它们成立的前提条件.不可强化或弱化成立的条件.要克服“想当然”“显然成立”的思维定势.注意传递性是有条件的! (2)要注意“箭头”是单向的还是双向的,也就是说每条性质是否具有可逆性.性质2是双向的,其余的在一般情况下是不可逆的. (3)性质2是移项的依据.不等式中任何一项改变符号后,可以把它从一边移到另一边.即a+b>c⇒a>c-b.性质2是可逆的,即a>b⇔a+c>b+c. 基础落实训练 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)若>1,则a>b. (　 ) (2)a与b的差是非负实数, 可表示为a-b>0. (　 ) (3)∀x∈R,都有x2>x-1. (　 ) 答案:(1)×　(2)×　(3)√ 2.与a>b等价的不等式是 (　 ) A.|a|>|b|　 B.a2>b2　 C.>1　 D.a3>b3 解析:选D　可利用赋值法.令a=1,b=-2,满足a>b,但|a|<|b|,a2<b2,=-<1,故A、B、C都不正确. 3.下列说法正确的为 (　 ) A.x与2的和是非负数,可表示为“x+2>0” B.小明的身高为x,小华的身高为y,则小明比小华矮可表示为“x>y” C.△ABC的两边之和大于第三边,记三边分别为a,b,c,则可表示为“a+b>c且a+c>b且b+c>a” D.若某天的最低温度为7 ℃,最高温度为13 ℃,则这天的温度t可表示为“7 ℃<t<13 ℃” 解析:选C　对于A,应表示为“x+2≥0”;对于B,应表示为“x<y”;对于D,应表示为“7 ℃≤t≤13 ℃”,故A、B、D错误. 4.若x<0,则x-2与2x-2的大小关系是　　　　.  解析:因为x-2-(2x-2)=-x>0,所以x-2>2x-2. 答案:x-2>2x-2 题型(一)　实数(式)的比较大小 [例1]　已知x≤1,比较3x3与3x2-x+1的大小. 解:3x3-(3x2-x+1)=(3x3-3x2)+(x-1)=3x2(x-1)+(x-1)=(3x2+1)(x-1). ∵x≤1,∴x-1≤0.而3x2+1>0, ∴(3x2+1)(x-1)≤0, ∴3x3≤3x2-x+1. 　　[变式拓展] 　把本例中“x≤1”改为“x∈R”,再比较3x3与3x2-x+1的大小. 解:3x3-(3x2-x+1)=(3x3-3x2)+(x-1)=(3x2+1)(x-1).∵3x2+1>0, 当x>1时,x-1>0, ∴3x3>3x2-x+1; 当x=1时,x-1=0, ∴3x3=3x2-x+1; 当x<1时,x-1<0, ∴3x3<3x2-x+1. |思|维|建|模|　作差法比较两个实数大小的基本步骤 　　[针对训练] 1.已知a,b都是正实数,比较+与a+b的大小. 解:+-(a+b)==,因为a>0,b>0,所以a+b>0,ab>0.当a=b时,+-(a+b)=0,即+=a+b.当a≠b时,+-(a+b)>0,即+>a+b.所以+≥a+b. 题型(二)　利用不等式的性质判断命题真假 [例2]　对于实数a,b,c,下列命题中的真命题是 (　 ) A.若a>b,则ac2>bc2 B.若a>b>0,则> C.若a<b<0,则> D.若a>b,>,则a>0,b<0 解析:选D　法一:∵c2≥0,∴c=0时,有ac2=bc2,故A为假命题;由a>b>0,有ab>0⇒>⇒>,故B为假命题; ⇒>,故C为假命题; ⇒ab<0. ∵a>b,∴a>0且b<0,故D为真命题. 法二:特殊值排除法.取c=0,则ac2=bc2,故A为假命题;取a=2,b=1,则=,=1.有<,故B为假命题;取a=-2,b=-1,则=,=2,有<,故C为假命题. 　　|思|维|建|模| 利用不等式的性质判断命题真假的注意点 (1)运用不等式的性质判断时,要注意不等式成立的条件,不要弱化条件,尤其是不能想当然随意捏造性质. (2)解有关不等式的选择题时,也可采用特殊值法进行排除,注意取值一定要遵循如下原则:一是满足题设条件;二是取值要简单,便于验证计算. 　　[针对训练] 2.(多选)下列四个结论正确的是 (　 ) A.a>b,c<d⇒a-c>b-d B.a>b>0,c<d<0⇒ac>bd C.a>b>0⇒a3>b3 D.a>b>0⇒> 解析:选AC　利用不等式的同向可加性可知A正确;根据不等式的性质可知ac<bd,故B不正确;根据不等式性质5可知C正确;由a>b>0可知a2>b2>0,所以<,所以D不正确. 3.设a,b∈R,则“ab<1”是“0<a<”的 (　 ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选B　当a=0,b=-1时,满足ab<1,但不满足0<a<;当0<a<时,b>0,则ab<1.所以“ab<1”是“0<a<”的必要不充分条件. 题型(三)　利用不等式的性质证明不等式 [例3]　已知c>a>b>0,求证:>. 证明:法一:因为c>a>b>0,所以0<c-a<c-b, 所以(c-a)(c-b)>0,所以0<·(c-a)<·(c-b),即0<<. 又因为a>b>0,所以>. 法二:因为a>b>0,所以<. 因为c>0,所以<, 所以-1<-1,即<. 因为c>a>b>0,所以c-a>0,c-b>0. 所以>. 法三:-===,因为c>a>b>0,所以a-b>0,c-a>0,c-b>0,所以>. 　　|思|维|建|模| 利用不等式的性质证明不等式的注意事项 (1)利用不等式的性质及实数大小关系的基本事实可以证明一些不等式.解决此类问题一定要在理解的基础上,记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用. (2)应用不等式的性质进行推导时,应注意紧扣不等式性质成立的条件,且不可省略条件或跳步推导,更不能随意构造性质与法则. 　　[针对训练] 4.已知a>b>0,c<d<0,m<0,求证: (1)<; (2)>. 证明:(1)因为a>b>0,-c>-d>0, 所以a-c>b-d>0,所以<. (2)由(1)得<, 又m<0,所以>. 题型(四)　利用不等式的性质求取值范围 [例4]　已知-1<x<4,2<y<3. (1)求x-y的取值范围; (2)求3x+2y的取值范围. 解:(1)因为-1<x<4,2<y<3,所以-3<-y<-2,所以-4<x-y<2. 所以x-y的取值范围是-4<x-y<2. (2)由-1<x<4,2<y<3,得-3<3x<12,4<2y<6,所以1<3x+2y<18. 所以3x+2y的取值范围是1<3x+2y<18. 　　[变式拓展] 1.若将本例条件改为“-1<x<y<3”,求x-y的取值范围. 解:因为-1<x<3,-1<y<3, 所以-3<-y<1,所以-4<x-y<4. 又因为x<y,所以x-y<0, 所以x-y的取值范围是-4<x-y<0. 2.若将本例条件改为“-1<x+y<4,2<x-y<3”,求3x+2y的取值范围. 解:设3x+2y=m(x+y)+n(x-y), 则所以 即3x+2y=(x+y)+(x-y), 又因为-1<x+y<4,2<x-y<3, 所以-<(x+y)<10,1<(x-y)<, 所以-<(x+y)+(x-y)<, 即-<3x+2y<. 所以3x+2y的取值范围是-<3x+2y<. 　　|思|维|建|模| 利用不等式的性质求取值范围的策略 (1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系,最后利用一次不等式的性质进行运算,求得待求的范围. (2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减),这种转化不是等价变形,如果在解题过程中多次使用这种转化,就有可能扩大其取值范围. [提醒]　求解这种不等式问题要特别注意不能简单地分别求出单个变量的范围,再去求其他不等式的范围. 　　[针对训练] 5.(1)已知1<a<4,2<b<8,试求2a+3b与a-b的取值范围; (2)已知-6<a<8,2<b<3,求的取值范围. 解:(1)∵1<a<4,2<b<8, ∴2<2a<8,6<3b<24,∴8<2a+3b<32. ∵2<b<8,∴-8<-b<-2. 又1<a<4, ∴1+(-8)<a+(-b)<4+(-2), 即-7<a-b<2. ∴2a+3b的取值范围是8<2a+3b<32,a-b的取值范围是(-7,2). (2)∵2<b<3,∴<<. ①当0≤a<8时,0≤<4; ②当-6<a<0时,-3<<0. 由①②得-3<<4,即的取值范围是(-3,4). [课时检测] 1.某高速公路对行驶的各种车辆的最大限速为120 km/h.行驶过程中,同一车道上的车间距d不得小于10 m,用不等式表示为 (　 ) A.v≤120(km/h),或d≥10(m) B.v≤120(km/h),且d≥10(m) C.v≤120(km/h) D.d≥10(m) 解析:选B　最大限速为120 km/h,即v≤120(km/h),车间距不得小于10 m,即d≥10(m),高速公路行驶车辆需兼顾速度和车间距两个条件,所以两条件间用“且”,故选B. 2.设M=2a(a-2),N=(a+1)(a-3),则 (　 ) A.M>N B.M≥N C.M<N D.M≤N 解析:选A　因为M-N=2a(a-2)-(a+1)(a-3)=2a2-4a-(a2-2a-3)=a2-2a+3=(a-1)2+2>0恒成立,所以M>N. 3.已知实数0<a<1,则以下不等关系正确的是 (　 ) A.a2>>a>-a B.a>a2>>-a C.>a>a2>-a D.>a2>a>-a 解析:选C　∵0<a<1,∴0<a2<1,>1,-1<-a<0,0<a2<a.因此,>a>a2>-a. 4.若实数α,β满足-<α<β<-,则α-β的取值范围是 (　 ) A. B. C. D. 解析:选D　∵-<α<β<-, ∴-<α<-,<-β<,α-β<0, ∴-<α-β<0. 5.(多选)已知a,b,c,d均为实数,则下列命题正确的是 (　 ) A.若a>b,c>d则a-d>b-c B.若a>b,c>d则ac>bd C.若a>b,c>d>0,则> D.若ab>0,bc-ad>0,则> 解析:选AD　若c>d,则-d>-c,又a>b,则a-d>b-c,A选项正确;若a=2,b=1,c=-1,d=-2,满足a>b,c>d,但ac=bd=-2,ac>bd不成立,B选项错误;若a=-1,b=-2,c=2,d=1,满足a>b,c>d>0,但==-1,>不成立,C选项错误;bc-ad>0,则bc>ad,又ab>0,∴>,即>,D选项正确.故选A、D. 6.(多选)若0<a<b,则下列结论正确的是 (　 ) A.a3>ab2 B.a+<b+ C.a+2b>4 D.< 解析:选BD　因为0<a<b,所以a2<b2,所以a(a2-b2)<0,即a3<ab2,A错误;因为0<a<b,所以<,所以a+<b+,B正确;取a=1,b=2,则a+2b=5,4=4>5,即a+2b<4,C错误;因为0<a<b,所以-==<0,即<,D正确. 7.已知x>y>z,x+y+z=0,则下列不等式一定成立的是 (　 ) A.xy>yz B.xz>yz C.xy>xz D.x|y|>z|y| 解析:选C　因为x>y>z,x+y+z=0,所以3x>x+y+z=0,3z<x+y+z=0,所以x>0,z<0.所以由可得xy>xz. 8.有外表一样、重量不同的四个小球,它们的重量分别是a,b,c,d,已知a+b=c+d,a+d>b+c,a+c<b,则这四个小球由重到轻的排列顺序是 (　 ) A.d>b>a>c B.b>c>d>a C.d>b>c>a D.c>a>d>b 解析:选A　∵a+b=c+d,a+d>b+c,∴a+d+(a+b)>b+c+(c+d),即a>c.∴b<d.又a+c<b,∴a<b.综上可得,d>b>a>c. 9.(5分)已知x<1,则x2+2与3x的大小关系为　　　　.  解析:x2+2-3x=(x-1)(x-2).当x<1时,x-1<0,x-2<0,所以(x-1)(x-2)>0,即x2+2-3x>0,所以x2+2>3x. 答案:x2+2>3x 10.(5分)能说明“若a>b,则<”为假命题的一组a,b的值依次为　　　　.  解析:只要保证a为正b为负即可满足要求. 当a>0>b时,>0>. 答案:1,-1(答案不唯一) 11.(5分)已知-1≤x<y≤3,则x-y的取值范围是　　　　.  解析:∵-1≤x<y≤3,∴-1≤x<3,-3≤-y<1,∴-4≤x-y<4,又x<y,∴x-y<0,即-4≤x-y<0. 答案:[-4,0) 12.(5分)请根据矩形图表信息,补齐不等式:+≥　　　　　　　　.  解析:由勾股定理知,AB==,AC=,BC=, 如题图中的△ABC,根据三角形的两边之和大于第三边,知AB≤AC+BC,当且仅当A,B,C三点共线时,等号成立,所以+≥. 答案: 13.(5分)若a,b同时满足下列两个条件:①a+b>ab;②>.请写出一组a,b的值　　　　.  解析:容易发现,若将①式转化为②式,需使(a+b)ab<0,即a+b与ab异号,显然应使a+b>0,ab<0.当a<0,b>0时,需使a+b>0,则|a|<|b|,可取a=-1,b=2;当a>0,b<0时,需使a+b>0,则|a|>|b|,可取a=2,b=-1.综上,取任意异号两数,且正数的绝对值大于负数的绝对值皆为合理答案. 答案:a=-1,b=2(答案不唯一) 14.(10分)(1)比较a2+b2与2(2a-b)-5的大小;(3分) (2)已知a>0,b>0,求证:(a2+b2)2≥4a2b2,当且仅当a=b时等号成立.(7分) 解:(1)∵a2+b2-[2(2a-b)-5]=(a-2)2+(b+1)2≥0,∴a2+b2≥2(2a-b)-5, 当且仅当a=2,b=-1时,等号成立. (2)证明:(a2+b2)2-4a2b2=a4+b4+2a2b2-4a2b2=a4+b4-2a2b2=(a2-b2)2≥0,当且仅当a2=b2时取等号. 又∵a>0,b>0, ∴当且仅当a=b时取等号, 即(a2+b2)2≥4a2b2,当且仅当a=b时等号成立. 15.(10分)已知a>b>0,c<d<0,求证:<. 证明:--=. ∵c<d<0,∴-c>-d>0. 又∵a>b>0,∴-ac>-bd>0, 即-ac-(-bd)>0. 又cd>0,∴>0,∴-->0, ∴->->0,∴>, 即->-,∴<. 16.(10分)已知a,b,c为三角形的三边长,求证: (1)a2+b2+c2≥ab+bc+ca;(5分) (2)(a+b+c)2<4ab+4bc+4ca.(5分) 证明:(1)a,b,c为三角形的三边长,而2(a2+b2+c2)-2(ab+bc+ca)=a2+b2-2ab+b2+c2-2bc+a2+c2-2ac=(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2,显然(a-b)2≥0,(b-c)2≥0,(a-c)2≥0,即(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2≥0,当且仅当a=b=c时取等号,因此2(a2+b2+c2)≥2(ab+bc+ca),所以a2+b2+c2≥ab+bc+ca. (2)a,b,c为三角形的三边长,则0<a<b+c,0<b<c+a,0<c<a+b,于是得a2+b2+c2<a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)=2(ab+bc+ca),所以(a+b+c)2=(a2+b2+c2)+2(ab+bc+ca)<4ab+4bc+4ca. 学科网（北京）股份有限公司 $