1.2.2.1 全称量词与存在量词及命题的否定-【新课程学案】2026-2027学年高中数学必修第一册教师用书word（北师大版）

本讲义聚焦高中数学“全称量词与存在量词及命题的否定”核心知识点，系统梳理从全称量词、存在量词概念，到全称量词命题、存在量词命题的意义，再到含一个量词命题否定的完整脉络，构建“概念理解-符号表示-命题辨析-否定方法”的学习支架。 该资料采用“逐点理清式”设计，通过“多维理解”结合实例（如辨析“梯形有两边平行”为全称命题）、“微点助解”提炼“改变量词，否定结论”口诀及词语否定表，培养学生符号意识与推理能力。课中助力教师精准教学，课后“微点练明”与课时检测帮助学生查漏补缺，强化概念应用。

2.2　全称量词与存在量词 第1课时　全称量词与存在量词及命题的否定 [教学方式:基本概念课——逐点理清式教学] [课时目标] 1.通过生活和数学中的丰富实例,理解全称量词与存在量词的意义以及全称量词命题和存在量词 命题的意义,熟悉常见的全称量词和存在量词. 2.能正确地对含有一个量词的命题进行否定. 逐点清(一)　全称量词与全称量词命题 [多维理解] 1.全称量词命题 在给定集合中,断言所有元素都具有同一种性质的命题叫作全称量词命题,全称量词命题“对M中任意的x,有p(x)成立”可用符号简记为“∀x∈M,p(x)”. 其中,M是给定的集合,p(x)是一个关于x的语句. 2.全称量词 在命题中,诸如“所有”“每一个”“任意”“任何”“一切”这样的词叫作全称量词,用符号“∀”表示,读作“对任意的”.常见的全称量词还有“任给”“凡是”等. |微|点|助|解| (1)从集合的观点看全称量词命题是陈述某集合中的所有的元素都具有某种性质的命题,全称量词表示的数量可能是有限的,也可能是无限的,由题目而定; (2)有些全称量词命题中的全称量词是省略的,理解时需要把它补充出来. [微点练明] 1.(多选)下列命题是全称量词命题的是 (　 ) A.任意一个自然数都是正整数 B.有的菱形是正方形 C.梯形有两边平行 D.∃x∈R,x2+1=0 解析:选AC　选项A中的命题含有全称量词“任意”,是全称量词命题,选项C中,“梯形有两边平行”是全称量词命题. 2.下列命题是“∀x∈R,x2>3”的另一种表述方法的是 (　 ) A.有一个x∈R,使得x2>3 B.对有些x∈R,使得x2>3 C.任选一个x∈R,使得x2>3 D.至少有一个x∈R,使得x2>3 解析:选C　“∀x∈R,x2>3”是全称量词命题,改写时应使用全称量词. 3.下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是 (　 ) A.每个二次函数的图象都开口向上 B.存在一条直线与已知直线不平行 C.对任意实数a,b,若a-b≤0,则a≤b D.存在一个实数x,使等式x2-2x+1=0成立 解析:选C　 B、D是存在量词命题,故应排除;对于A,二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图象开口向下,也应排除,故选C. 逐点清(二)　存在量词与存在量词命题 [多维理解] 1.存在量词命题 在给定集合中,断言某些元素具有一种性质的命题叫作存在量词命题,存在量词命题“存在M中的一个x,使p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M,p(x)”. 其中,M是给定的集合,p(x)是一个关于x的语句. 2.存在量词 在命题中,诸如“有些”“有一个”“存在”这样的词叫作存在量词,用符号“∃”表示,读作“存在”.常见的存在量词还有“有的”“对某些”等. |微|点|助|解| (1)从集合的角度看,存在量词命题是陈述某集合中有或存在一些或至少一个元素具有某种性质的命题. (2)有些命题可能没有写出存在量词,但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存在量词命题. [微点练明] 1.(多选)下列命题是存在量词命题的是 (　 ) A.有的无理数的平方是有理数 B.有的无理数的平方不是有理数 C.对于任意x∈Z,2x+1是奇数 D.存在x∈R,2x+1是奇数 解析:选ABD　“有的”“存在”属于存在量词,“任意”属于全称量词,所以选项C不是存在量词命题,其他均为存在量词命题,故选A、B、D. 2.(多选)下列命题与“∃x∈R,x2>3”等价的表述的是 (　 ) A.有一个x∈R,使得x2>3成立 B.对有些x∈R,使得x2>3成立 C.任选一个x∈R,使得x2>3成立 D.至少有一个x∈R,使得x2>3成立 解析:选ABD　题干中的命题是存在量词命题,而C是全称量词命题,A、B、D的表述均与题干命题等价. 3.下列存在量词命题是假命题的是 (　 ) A.∃x∈Q,使2x-x3=0 B.∃x∈R,使x2+x+1=0 C.有的素数是偶数 D.有的有理数没有倒数 解析:选B　∀x∈R,x2+x+1=+>0恒成立. 逐点清(三)　全称量词命题和存在量词命题的否定 [多维理解] 1.命题的否定 (1)通常,对命题p进行否定,就得到一个新的命题,用符号“綈p”表示,读作“非p”或“p的否定”. (2)当命题是真命题时,命题的否定是假命题;当命题是假命题时,命题的否定是真命题. 2.全称量词命题的否定 对于全称量词命题“p:∀x∈M,p(x)”的否定,通常表示为綈p:∃x∈M,綈p(x). 3.存在量词命题的否定 对于存在量词命题“p:∃x∈M,p(x)”的否定,通常表示为綈p:∀x∈M,綈p(x). |微|点|助|解| (1)全称量词命题、存在量词命题否定的口诀:“改变量词,否定结论”. (2)一个命题和它的否定只能一真一假. (3)常见词语的否定 正面词语 等于 大于(>) 小于(<) 是 都是 否定 不等于 不大于(≤) 不小于(≥) 不是 不都是 正面词语 至少有一个 至多有一个 任意的 所有的 至多有n个 否定 一个也没有 至少有两个 某个 某些 至少有n+1个 [微点练明] 1.命题“∀x∈R,|x|+x2≥0”的否定是 (　 ) A.∀x∈R,|x|+x2<0 B.∀x∈R,|x|+x2≤0 C.∃x∈R,|x|+x2<0 D.∃x∈R,|x|+x2≥0 解析:选C　此全称量词命题的否定为∃x∈R,|x|+x2<0. 2.命题“∃x>0,2x2=5x-1”的否定是 (　 ) A.∀x>0,2x2≠5x-1 B.∀x≤0,2x2=5x-1 C.∃x>0,2x2≠5x-1 D.∃x≤0,2x2=5x-1 解析:选A　存在量词命题的否定是全称量词命题. 3.下列四个命题中,是命题“所有男生都爱踢足球”的否定的是 (　 ) A.没有男生爱踢足球 B.所有男生都不爱踢足球 C.至少有一个男生不爱踢足球 D.所有女生都爱踢足球 解析:选C　只要有一个男生不爱踢足球,就不能说所有的男生都爱踢足球;所以命题“所有男生都爱踢足球”的否定是“至少有一个男生不爱踢足球”.故选C. 4.已知命题p:实数的平方是非负数,则下列结论正确的是 (　 ) A.綈p是真命题 B.命题p是存在量词命题 C.命题p是全称量词命题 D.命题p既不是全称量词命题也不是存在量词命题 解析:选C　命题p:实数的平方是非负数,是真命题,故綈p是假命题,命题p是全称量词命题,故选C. [课时检测] 1.下列命题中形式不同于其他三个的是 (　 ) A.∀x∈Z,x2-9<x2 B.∃x∈R,x2-2x+1≠0 C.每一个正数的倒数都大于0 D.∀x<2,x-3<0 解析:选B　A、C、D均为全称量词命题,B为存在量词命题. 2.下列命题中是存在量词命题的是 (　 ) A.∀x∈R,x2>0 B.∃x∈R,x2≤0 C.平行四边形的对边平行 D.矩形的任一组对边相等 解析:选B　A含有全称量词符号“∀”,为全称量词命题;B含有存在量词符号“∃”,为存在量词命题,满足条件;C省略了全称量词“所有”,为全称量词命题;D省略了全称量词“所有”,为全称量词命题,故选B. 3.命题“∀n∈Z,n∈Q”的否定为 (　 ) A.∀n∈Z,n∉Q B.∀n∈Q,n∈Z C.∃n∈Z,n∈Q D.∃n∈Z,n∉Q 解析:选D　命题“∀n∈Z,n∈Q”的否定为“∃n∈Z,n∉Q”. 故选D. 4.命题p:“存在实数m,使方程x2+mx+1=0有实数根”,则p的否定是 (　 ) A.存在实数m,使方程x2+mx+1=0无实数根 B.不存在实数m,使方程x2+mx+1=0无实数根 C.对任意的实数m,方程x2+mx+1=0无实数根 D.至多有一个实数m,使方程x2+mx+1=0有实数根 解析:选C　命题p是存在量词命题,其否定形式为全称量词命题,即对任意的实数m,方程x2+mx+1=0无实数根. 5.设非空集合P,Q满足P⊆Q,则下列表述正确的是 (　 ) A.∀x∈Q,有x∈P B.∀x∈P,有x∈Q C.∃x0∉Q,使得x0∈P D.∃x0∈P,使得x0∉Q 解析:选B　因为P⊆Q,则由子集的定义,集合P中的任何一个元素都在Q中,所以选B. 6.若命题p:梯形是四边形,则 (　 ) A.p是全称量词命题,且p的否定:有些梯形不是四边形 B.p是全称量词命题,且p的否定:所有的梯形不是四边形 C.p是存在量词命题,且p的否定:有些梯形不是四边形 D.p是存在量词命题,且p的否定:所有的梯形不是四边形 答案:A 7.下列命题的否定是真命题的是 (　 ) A.有些实数的绝对值不是正数 B.所有平行四边形都不是菱形 C.任意两个等边三角形都是相似的 D.3是方程x2-9=0的一个根 解析:选B　A的否定:所有实数的绝对值都是正数,假命题;B的否定:有些平行四边形是菱形,真命题;C的否定:有些等边三角形不相似,假命题;D的否定:3不是方程x2-9=0的一个根,假命题.故选B. 8.下列命题中存在量词命题的个数为 (　 ) ①至少有一个偶数是质数;②∃x∈R,x2≤0;③有的奇数能被2整除. A.0 B.1 C.2 D.3 解析:选D　①中含有存在量词“至少”,所以是存在量词命题;②中含有存在量词符号“∃”,所以是存在量词命题;③中含有存在量词“有的”,所以是存在量词命题. 9.有下列四个命题,其中真命题是 (　 ) A.∀n∈R,n2≥n B.∃n∈R,∀m∈R,mn=m C.∀n∈R,∃m∈R,m2<n D.∀n∈R,n2<n 解析:选B　对于选项A,令n=,即可验证其不正确;对于选项C、D,可令n=-1,加以验证,均不正确.故选B. 10.(5分)命题“存在实数x,y,使得x+y>1”是　　　　(填“全称量词命题”或“存在量词命题”),用符号表示为　　　　　.  解析:命题“存在实数x,y,使得x+y>1”是存在量词命题,用符号表示为:“∃x,y∈R,x+y>1”. 答案:存在量词命题　∃x,y∈R,x+y>1 11.(5分)命题“任意一个x∈R,都有x2-2x+4≤0”的否定是　　　　　　 　. 解析:原命题为全称量词命题,其否定为存在量词命题,既要否定量词又要否定结论,所以其否定为:存在一个x∈R,使得x2-2x+4>0. 答案:存在一个x∈R,使得x2-2x+4>0 12.(5分)命题“至少有一个正实数x满足方程2x2+(a-1)x+2a+3=0”的否定是　　　　　　 　. 解析:把“至少有一个”改为“所有”,“满足”改为“不满足”得命题的否定. 答案:所有正实数x都不满足方程2x2+(a-1)x+2a+3=0 13.(5分)给出下列命题:(1)∀x∈R,x2>0;(2)∃x∈R,x+1≤0;(3)∃a∈∁RQ,b∈∁RQ,使得a+b∈Q.其中真命题的个数为　　　　　.  解析:(1)当x=0时,x2=0,是假命题;(2)存在x=-2,使得x+1≤0,真命题;(3)当a=2-,b=3+时,a+b=5,是真命题. 答案:2 14.(10分)写出下列含量词命题的否定: (1)p:每一个素数都是奇数;(2分) (2)q:所有二次函数的图象都是轴对称图形;(2分) (3)r:∃x∈R,-2x2+4x-3>0;(2分) (4)s:有的三角形的垂心在其外部;(2分) (5)t:有一个小于210的正整数至少有4个质因数.(2分) 解:(1)因为p:每一个素数都是奇数,所以綈p:存在一个素数不是奇数. (2)因为q:所有二次函数的图象都是轴对称图形,所以綈q:存在一个二次函数的图象不是轴对称图形. (3)因为r:∃x∈R,-2x2+4x-3>0,所以綈r:∀x∈R,-2x2+4x-3≤0. (4)因为s:有的三角形的垂心在其外部,所以綈s:任意三角形的垂心都在其内部或边上. (5)因为t:有一个小于210的正整数至少有4个质因数,所以綈t:任意小于210的正整数至多有3个质因数. 15.(15分)指出下列命题中使用了什么量词以及量词的作用范围,并把量词用相应的数学符号取代. (1)对集合A={x|0<x≤90}中的任意整数n,有sin n°>0;(4分) (2)对某个有理数x,有4x=;(5分) (3)线段AB上有一点M满足比例式=.(6分) 解:(1)命题:对集合A={x|0<x≤90}中的任意整数n,有sin n°>0,命题中有量词“任意”,这是一个全称量词,它的作用范围是0<x≤90.该命题可以写成“∀n∈{x|0<x≤90},有sin n°>0”. (2)命题:对某个有理数x,有4x=.命题中有量词“某个”,这是一个存在量词,它的作用范围是有理数集合.该命题可以写成“∃x∈Q,有4x=”. (3)命题:线段AB上有一点M满足比例式=. 命题中有量词“有一点”,这是一个存在量词,它的作用范围是线段AB上.该命题可以写成“∃M∈线段AB,有=”. 学科网（北京）股份有限公司 $