1.2.1.2 必要条件与充分条件、充要条件的应用-【新课程学案】2026-2027学年高中数学必修第一册教师用书word（北师大版）

本高中数学讲义聚焦必要条件、充分条件及充要条件的应用，通过梯度进阶式学习支架，从条件判定（如例1、例2）到参数取值（如例3）再到充要性证明（如例4），系统梳理逻辑关系与解题方法。 资料以“思维建模”总结集合角度分析条件等方法，结合例题与训练培养数学思维的推理能力和数学语言表达，课中助力教师分层教学，课后帮助学生查漏补缺，强化知识应用与迁移。

第2课时　必要条件与充分条件、充要条件的应用 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] 　[课时目标] 1.本节重点关注判定充分必要条件问题,或利用已知关系探求参数的取值范围问题. 2.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要性的证明,解题关键是分清命题的 条件与结论,分清充分性和必要性这两个问题. 题型(一)　充分、必要条件的探求 [例1]　使“x≤-或x≥3”成立的一个充分不必要条件是 (　 ) A.x<0 B.x≥0 C.x∈{-1, 3, 5} D.x≤-或x≥3 解析:选C　对于A,x<0不能推出x≥3或x≤-,反之也不能,是其既不充分也不必要条件;对于B,x≥0不能推出x≥3或x≤-,反之也不能,是其既不充分也不必要条件;对于C,x∈{-1,3,5}可以推出x≥3或x≤-,反之不能,是其充分不必要条件;对于D,x≤-或x≥3,是其充要条件. [例2]　设a,b∈R,则“ab+1=a+b”的充要条件是 (　 ) A.a,b都为1 B.a,b都不为1 C.a,b中至少有一个为1 D.a,b都不为0 解析:选C　由ab+1=a+b,可得(a-1)(b-1)=0,解得a=1或b=1,故“ab+1=a+b”的充要条件是“a,b中至少有一个为1”.故选C. 　　|思|维|建|模| 1.探求充分、必要条件的方法 (1)寻求q的充分条件p,即求使q成立的条件p,从集合的角度看,是找q的子集; (2)寻求q的必要条件p,即求以q为条件可推出的结论p,从集合的角度看,是找能包含q的集合. 2.探求充要条件的方法 方法一 先由结论寻找使之成立的条件,再由条件来推证结论成立,即保证必要性和充分性都成立 方法二 变换命题为其等价命题,使每一步都可逆,直接得到使结论成立的充要条件 　　[针对训练] 1.“a<0,b<0”的一个必要条件为 (　 ) A.a+b<0 B.a+b>0 C.>1 D.<-1 解析:选A　对于A,因为a<0,b<0,所以a+b<0,即a+b<0是“a<0,b<0”的必要条件,A正确;对于B,当a<0,b<0时,a+b>0不可能成立,B不正确;对于C,当a<0,b<0时,>1不一定成立,如a=-1,b=-2满足条件,而<1,C不正确;对于D,当a<0,b<0时,必有>0成立,即不能推出<-1,D不正确. 故选A. 2.(多选)使0<x<3成立的一个充分条件是 (　 ) A.2<x≤3 B.0≤x<1 C.0<x≤2 D.1<x<2 解析:选CD　从集合观点看,求0<x<3成立的一个充分条件,就是从A、B、C、D中选出集合{x|0<x<3}的子集.由于{x|0<x≤2}⊆{x|0<x<3},{x|1<x<2}⊆{x|0<x<3},故选C、D. 题型(二)　利用必要条件、充分条件求参数 [例3]　已知p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m(m>0),若p是q的必要不充分条件,则实数m的取值范围为　　　. 解析:设p代表的集合为A={x|-2≤x≤10},q代表的集合为B={x|1-m≤x≤1+m}, 因为p是q的必要不充分条件,所以BA, 故有或解得m≤3. 又m>0,所以实数m的取值范围为(0,3]. 答案:(0,3] 　　[变式拓展] 1.若本例中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”,其他条件不变,求实数m的取值范围. 解:设p代表的集合为A,q代表的集合为B, 因为p是q的充分不必要条件,所以AB. 所以或解得m≥9, 即实数m的取值范围是[9,+∞). 2.若本例中p,q不变,是否存在实数m使p是q的充要条件?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由. 解:若p是q的充要条件,则此方程组无解,故不存在实数m,使得p是q的充要条件. 　　|思|维|建|模|　求参数值(范围)的一般步骤 化简 化简集合,明确题干中的充分条件和必要条件 转化 根据集合间的包含关系与充分条件和必要条件的关系,将问题转化为集合间的关系问题 列式 利用集合间的关系,建立关于参数的不等式或不等式组.注意等号成立的条件 获解 解不等式,得参数范围 　　[针对训练] 3.已知P={x|a-4<x<a+4},Q={x|1<x<3},“若x∈P”是“x∈Q”的必要条件,求实数a的取值范围. 解:因为“x∈P”是“x∈Q”的必要条件,所以Q⊆P. 所以即所以-1≤a≤5. 故实数a的取值范围为[-1,5]. 题型(三)　充要条件的证明 [例4]　求证:一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac<0. 证明:充分性:(由ac<0推证方程有一正根和一负根) 因为ac<0, 所以一元二次方程ax2+bx+c=0的判别式Δ=b2-4ac>0, 所以方程一定有两个不等实根. 设两根为x1,x2,则x1x2=<0, 所以方程的两根异号. 即方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根. 必要性:(由方程有一正根和一负根推证ac<0) 因为方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根,设为x1,x2, 则由根与系数的关系得x1x2=<0,即ac<0. 综上可知,一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac<0. 　　|思|维|建|模|　充要条件证明的两个思路 直接法 证明p是q的充要条件,首先要明确p是条件,q是结论;其次推证p⇒q是证明充分性,推证q⇒p是证明必要性 集合思想 记p:A={x|p(x)},q:B={x|q(x)},若A=B,则p与q互为充要条件 　　[针对训练] 4.求证:一次函数y=kx+b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b=0. 证明:①充分性:如果b=0,那么y=kx(k≠0), 当x=0时,y=0,函数图象过原点. ②必要性:因为y=kx+b(k≠0)的图象过原点, 所以当x=0时,y=0,得0=k·0+b,所以b=0. 综上,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象过原点的充要条件是b=0. [课时检测] 1.使“|x|>1”成立的一个充分不必要条件是 (　 ) A.x>1 B.x<1 C.-1<x<1 D.x>-1 解析:选A　设M={x||x|>1},解得M={x|x>1或x<-1},使“|x|>1”成立的充分不必要条件只需要为集合M的真子集,由选项可知A符合. 2.已知a,b∈R,则“a>b”的一个必要条件是 (　 ) A.|a|>|b| B.a2>b2 C.a>b+1 D.a>b-1 解析:选D　由a>b可得a>b-1,故“a>b-1”是“a>b”的必要条件,由a>b不能得到|a|>|b|,a2>b2,a>b+1,比如a=-1,b=-2. 3.已知p:1≤x<4,q:x<m,若p是q的充分条件,则实数m的取值范围为 (　 ) A.{m|m>4} B.{m|m<4} C.{m|m≤4} D.{m|m≥4} 解析:选D　令A={x|1≤x<4},B={x|x<m},因为p是q的充分条件,所以p⇒q,即A⊆B,所以m≥4.故选D. 4.已知不等式m-1<x<m+1成立的充分条件是<x<,则实数m的取值范围是 (　 ) A. B. C. D. 解析:选D　由题意得⊆(m-1,m+1),所以且等号不能同时成立,解得-≤m≤. 5.(多选)设U是全集,A,B是U的两个子集,则“A∩B=A”的充要条件是 (　 ) A.A⊆B B.B⊆A C.∁UA⊇∁UB D.∁UA⊆∁UB 解析:选AC　由A∩B=A可知A⊆B,反过来A⊆B,则A∩B=A,对选项C来说,实际上也是A⊆B. 6.已知集合A=[-2,5],B=[m+1,2m-1].若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件,则m的取值范围是 (　 ) A.(-∞,3] B.(2,3] C.∅ D.[2,3] 解析:选B　若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件,则BA,所以(等号不能同时成立).解得2<m≤3,即m的取值范围是(2,3]. 7.(5分)已知命题p:4-x≤6,q:x≥a-1,若p是q的充要条件,则实数a=　　　　 .  解析:由题意得p:x≥-2,q:x≥a-1,因为p是q的充要条件,所以a-1=-2,即a=-1. 答案:-1 8.(5分)已知集合A={x|a-2<x<a+2},B={x|x≤-2或x≥4},则A∩B=∅的充要条件是　　　　.  解析:A∩B=∅⇔解得0≤a≤2. 答案:0≤a≤2 9.(5分)若“x≤-2”是“x<a”的必要不充分条件,则实数a的取值范围是　　　　.  解析:因为“x≤-2”是“x<a”的必要不充分条件,所以{x|x<a}{x|x≤-2},即有a≤-2. 答案:(-∞,-2] 10.(5分)方程x2-2x+a=0有实根的充要条件是　　　　,方程x2-2x+a=0有实根的一个充分而不必要条件可以是　　　　.  解析:因为方程x2-2x+a=0有实根,所以Δ≥0,即(-2)2-4a≥0,解得a≤1,反之,当a≤1时,Δ≥0,则方程x2-2x+a=0有实根,所以“a≤1”是“方程x2-2x+a=0有实根”的充要条件.当a=1时,方程x2-2x+1=0有实根x=1,而当方程x2-2x+a=0有实根时,不一定是a=1,所以“a=1”是“方程x2-2x+a=0有实根”的一个充分不必要条件. 答案:a≤1　a=1(答案不唯一) 11.(5分)已知2a-b=3,写出使得“m>-a2+b+1对任意的实数a,b恒成立”的一个充分不必要条件为　　　　.(用含m的式子表示)  解析:2a-b=3,则b=2a-3,所以-a2+b+1=-a2+2a-3+1=-a2+2a-2=-(a-1)2-1,所以a=1时,-a2+b+1取得最大值为-1,因此m>-a2+b+1对任意的实数a,b恒成立的充要条件是m>-1,在此范围内任取一数均可. 答案:m=1(答案不唯一,满足m>-1均可) 12.(10分)若集合A={x|x>-2},B={x|x≤b,b∈R},试写出: (1)A∪B=R的充要条件;(3分) (2)A∪B=R的一个必要不充分条件;(4分) (3)A∪B=R的一个充分不必要条件.(3分) 解:(1)若A∪B=R,则b≥-2,故A∪B=R的充要条件是b≥-2. (2)由(1)知A∪B=R的充要条件是b≥-2, 所以A∪B=R的一个必要不充分条件可以是b≥-3. (3)由(1)知A∪B=R的充要条件是b≥-2, 所以A∪B=R的一个充分不必要条件可以是b≥-1. 13.(10分)已知全集U=R,集合A=, B={x|a-1<x<a+1,a∈R}. (1)当a=2时,求(∁UA)∩(∁UB);(3分) (2)若x∈A是x∈B的必要不充分条件,求实数a的取值范围.(7分) 解:(1)因为A=={x|2<x≤5},当a=2时,B={x|1<x<3}, 因为全集U=R,则∁UA={x|x≤2或x>5},∁UB={x|x≤1或x≥3}, 因此,(∁UA)∩(∁UB)={x|x≤1或x>5}. (2)易知集合B={x|a-1<x<a+1,a∈R}为非空集合, 因为x∈A是x∈B的必要不充分条件,则BA,所以解得3≤a≤4. 因此,实数a的取值范围是{a|3≤a≤4}. 14.(15分)记关于x的方程|x2+ax+b|=2的解集为M,其中a,b∈R. (1)求M恰有3个元素的充要条件;(6分) (2)在(1)的条件下,试求:以M中的元素为边长的三角形恰好为直角三角形的充要条件.(9分) 解:(1)因为原方程等价于x2+ax+b=2或x2+ax+b=-2, 所以x2+ax+b-2=0或x2+ax+b+2=0, 由于Δ1=a2-4b+8>a2-4b-8=Δ2, 所以当Δ2=0时,M恰有3个元素,即a2-4b=8, 故M恰有3个元素的充要条件为a2-4b=8. (2)必要性:由(1)知,两个方程x2+ax+-4=0或x2+ax+=0, 两个方程的三个根分别为 --2,-+2,-, 若它们是直角三角形的三边, 则+=, 解得a=-16,b=62. 充分性:若a=-16,b=62,可解得M={6,8,10},以6,8,10为边长的三角形恰为直角三角形. 所以以M中的元素为边长的三角形恰好为直角三角形的充要条件是a=-16,b=62. 学科网（北京）股份有限公司 $