20.3 二次根式的加减（第3课时：二次根式化简求值、比较大小） 同步练 2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

**基本信息** 20.1认识二次根式同步练（华东师大版九年级上册）分层科学，A基础达标（10题）、B能力提升（6题）、C综合与实践（2题）梯度递进，从概念理解到综合应用，强化运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A基础达标|二次根式概念、性质及简单运算|选择填空为主，夯实基础计算与比较大小| |B能力提升|几何应用与代数式综合运算|结合图形情境（如正方形截取），提升应用能力| |C综合与实践|跨情境问题解决与方法迁移|通过阅读材料（如构造对偶式），培养创新意识与模型观念|

20.1 认识二次根式 同步练 2026-2027学年华东师大版数学九年级上册 【A基础达标】 一、单选题 1．已知，代数式的值为（     ） A．2 B．4 C． D． 2．的绝对值是（   ） A． B． C． D． 3．比较大小：与，正确的是（   ） A． B． C． D．不确定 4．已知，则代数式的值是（    ） A． B． C． D． 5．已知，则的值是（　　） A．6 B． C．3 D． 6．已知，，则的值是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．比小的正整数可以是___________．（写出一个符合题意的数即可） 8．已知，则代数式的值为________． 三、解答题 9．已知，，分别求下列代数式的值． (1)；(2)；(3)． 10．我们可以用“平方法”比较二次根式和的大小，先把和分别平方，得，因为，所以，请结合上述材料解决下列问题： (1)比较的大小； (2)比较和的大小． 【B能力提升】 一、单选题 1．如图所示，将一面积为的正方形木板截出一面积为的正方形木板，剩余的木板截取两边分别为与的长方形木板，则长方形木板最多截取的数量是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．已知，求的值为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 3．若，则的值为______． 4．已知，，则的值为______． 三、解答题 5．下面是博学小组的学习笔记，请认真阅读，并完成相应的任务． 在实数的运算中，灵活运用多种方法，会给运算带来方便．比如：运用公式法，整体代入法等． 例：计算，可以用公式来进行运算．即： ． 例：已知，求代数式的值． 解：由得：，所以，所以，所以，整体代入得：． 任务： (1)已知，求代数式 的值； (2)计算： 6．【阅读材料】小华在学习二次根式的时候，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： ； ． (1)【类比归纳】请你仿照上面的方法将化成另一个式子的平方； (2)【类比归纳】若，其中，且a，m，n均为正整数，求的值． 【C综合与实践】 1．小芳在解决问题：“已知，求的值”时，她是这样分析与解的： ， 请你根据小芳的分析过程，解决如下问题： (1)求的值； (2)若， ①求的值； ②直接写出代数式的值：________． 2．阅读材料：已知，求的值． 小明同学是这样解答的： ∵， 又∵， ∴． 这种方法称为“构造对偶式”． 解答问题： (1)已知，试证明为定值． (2)已知，求的值． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 20.1 认识二次根式 同步练 2026-2027学年华东师大版数学九年级上册 【A基础达标】 一、单选题 1．已知，代数式的值为（     ） A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】先用公式法对代数式进行因式分解，再代入求值即可． 【详解】解：， 当时， 原式． 2．的绝对值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查利用二次根式性质比较大小，去绝对值运算，先由二次根式性质比较，再由绝对值的意义去绝对值即可得到答案，熟记利用二次根式性质比较大小，去绝对值运算是解决问题的关键． 【详解】解：，，且， ，则， ， ， 故选：C． 3．比较大小：与，正确的是（   ） A． B． C． D．不确定 【答案】B 【分析】两个数都是正数，可通过比较平方的大小判断原数大小，正数的平方越大，原数越大． 【详解】解： ， ，，， ∵， ∴． 4．已知，则代数式的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】可对已知条件变形，结合完全平方公式先求出的值，再代入所求代数式计算，简化运算过程． 【详解】解：， ， 两边同时平方得： 展开得： 整理得： 将代入得 原式． 5．已知，则的值是（　　） A．6 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的运算，代数式求值，理解二次根式的运算法则是解答关键． 根据二次根式的运算法则先进行化简，再将代入求解． 【详解】解：， ，， ， ， ． 故选：B． 6．已知，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式及二次根式的化简求值的知识．将二次三项式变形为的形式后，再整体代入已知条件即可得到答案． 【详解】解：，， ， 故选：B． 二、填空题 7．比小的正整数可以是___________．（写出一个符合题意的数即可） 【答案】 3（答案不唯一，也可以为1或2） 【分析】先估算出的取值范围，再找出符合条件的正整数即可． 【详解】解：， 又，即， ∴比小的正整数有1，2，3（任写一个即可，答案不唯一）． 8．已知，则代数式的值为________． 【答案】11 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是运用代入法和合并同类项的方法进行计算． 将原式进行变形，再将代入式子中，进行计算，整理；再将代入式子中进行计算即可． 【详解】 ． 故答案为： 11． 三、解答题 9．已知，，分别求下列代数式的值． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据二次根式的加减运算法则求得，结合完全平方公式求解即可； （2）由已知得到，结合完全平方公式求解即可； （3）先由已知得到，，结合分式的加减运算法则求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴，， ∴． 10．我们可以用“平方法”比较二次根式和的大小，先把和分别平方，得，因为，所以，请结合上述材料解决下列问题： (1)比较的大小； (2)比较和的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，实数的大小比较，完全平方公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先分别算出，再进行比较大小，即可作答． （2）先根据，，得出，再进行比较大小，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，， ∵， ∴ 即． （2）解：由题意得，， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 【B能力提升】 一、单选题 1．如图所示，将一面积为的正方形木板截出一面积为的正方形木板，剩余的木板截取两边分别为与的长方形木板，则长方形木板最多截取的数量是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】利用算术平方根的性质结合二次根式的化简求出长方形木板的长和宽，再求出剩余的木料的长与宽，即可得到截出长方形木板数量. 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵，即，而， ∴从长方形木板中可以截出块两边分别为与的长方形木板， 同理：,， ∵，即，而， ∴从长方形木板中可以截出块两边分别为与的长方形木板， ∴一共可以截出块两边分别为与的长方形木板. 2．已知，求的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴， 两边平方得； 展开得，整理得， ∴ . 二、填空题 3．若，则的值为______． 【答案】 【分析】将待求式平方后，可利用完全平方公式变形得到与已知条件相关的式子，计算后结合二次根式的非负性得到最终结果． 【详解】解：设， 由题意知，， ， 等式两边平方，得 把代入，得， ， ， 即的值为． 4．已知，，则的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，分母有理化，根据题意，则可将原式转化为的形式，然后利用已知条件代入计算即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴ ∴， 故答案为：． 三、解答题 5．下面是博学小组的学习笔记，请认真阅读，并完成相应的任务． 在实数的运算中，灵活运用多种方法，会给运算带来方便．比如：运用公式法，整体代入法等． 例：计算，可以用公式来进行运算．即： ． 例：已知，求代数式的值． 解：由得：，所以，所以，所以，整体代入得：． 任务： (1)已知，求代数式 的值； (2)计算： 【答案】(1) (2) 【分析】（）仿照题例解答即可求解； （）仿照题例解答即可求解； 本题考查了完全平方公式的应用，二次根式的化简及化简求值，看懂题意是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴原式； （2）解： ． 6．【阅读材料】小华在学习二次根式的时候，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： ； ． (1)【类比归纳】请你仿照上面的方法将化成另一个式子的平方； (2)【类比归纳】若，其中，且a，m，n均为正整数，求的值． 【答案】(1) (2)32或16 【分析】（1）将式子转化为，即可得出答案； （2）先将展开得到，从而得到，，结合，且a，m，n均为正整数，即可得出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： 由题意得， ， ，， ，且a，m，n均为正整数， ∴m，n的值可能为15，1或5，3， ∴当、时，， 则； 当、时，， 则； 综上，的值为32或16． 【C综合与实践】 1．小芳在解决问题：“已知，求的值”时，她是这样分析与解的： ， 请你根据小芳的分析过程，解决如下问题： (1)求的值； (2)若， ①求的值； ②直接写出代数式的值：________． 【答案】(1)10 (2)①5② 【分析】（1）原式各项分母有理化，计算即可求出值； （2）①先把a分母有理化可得到，从而得到，再把式子进行整理，将代入计算即可求出值； ②将式子整理成，再代入，即可求解． 本题考查了分母有理化，二次根式的化简求值，正确读懂例题，对二次根式进行化简是关键． 【详解】（1）解： ； （2）解：①∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴ ． 故答案为： 2．阅读材料：已知，求的值． 小明同学是这样解答的： ∵， 又∵， ∴． 这种方法称为“构造对偶式”． 解答问题： (1)已知，试证明为定值． (2)已知，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由题意“构造对偶式”，解得其值为，结合题目所给条件即可证明； （2）由题意构造“构造对偶式”，解得其值为8，结合题目所给条件得，和联立即可解答． 【详解】（1）证明：， ， ， 即为定值； （2）解：， ， ， 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $