湖南省娄底市涟源市部分学校2026-2027学年高二上学期入学考试数学试题

湖南省涟源市部分学校2026年下学期高二入学考试数学试题答案 一、单选题（本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的.) 1、己知a,b为两条不同直线，，B,y为三个不同平面，下列命题： ①若a11B,a11y,则B11y: ②若a/1a,a/1B,则a11B: ③若x⊥y,B⊥y,则a⊥B: ④若a⊥，b⊥，则a/1b. 其中正确命题序号为(C) A.②③ B.②③④ C.①④ D.①②③ 2、已知{a,b,c)是空间的一组基底，则能与a+b构成另一组基底的是(A) A.b+c,a+c B.b+c,a-c C.c,a+b-2c D.b-c;a+c 3、某位同学参加歌唱比赛，有8位评委歌唱结束后，各评委打分的平均数为5，方差为3. 又加人一个特邀嘉宾的打分为5，此时这9个分数的平均数为x,方差为s2,则(B) A.元=5，s2>3 B.元=5，s2<3 C.x>5,s2<3 D.x>5,s2>3 4、如图，四边形ABCD的斜二测画法的直观图为等腰梯形A'B'C'D',己知A'B'=4,C'D'=2, 则下列说法正确的是(D) A.AB=2 B.A'D'=2V2 C.四边形ABCD的周长为4+2V√2+2√3 D.四边形ABCD的面积为6VZ 5、在△ABC中，D是线段BC的中点，E是线段AD的中点， 则 BE=(D) A.1 AB-3AC 3 4 B. 3AB-LAC 4 4 C. 41 3B+4 D.4 6、已知某圆台的上、下底面半径分别为，5，且5=2，若半径为2的球与圆台的上、下 底面及侧面均相切，则该圆台的体积为(C) A.28m 112r 3 B.40z 3 C.56n 3 D. 3 7、如图所示，△ABC的外接圆的圆心为0，AB=2,AC=3,BC=√7，则AO·BC等于(C) A. B.2 C. D.3 8、若函数f(x)的定义域内存在x,x,(x≠x,),使得 第1页共7页 f()+f(=1成立，则称该函数为完整函数”，已知 2 6厂2+5 π3π 上的“完整函数”，则⊙的取 2 (w>0)是 6 22 值范围为(B) A.[2,+w) B.[3,+0) C.[3,5] D.[4,+o0) 二、多选题（本大题共2小题，每小题6分，共12分.在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分.) 9、设复数z满足1+1205)=21，三为复数z的共轭复数，则下列说法正确的是(AC) A.l=2 B.五的虚部为-i Cz是个纯虚数 D复数z对应的点位于复平面的第二象限 10、如图，在棱长为2的正方体ABCD-AB,C,D,中，E为线段CC1的中点，F为线段AB 上的动点（含端点），则下列结论正确的有(ACD D B A.存在点F,使得平面C,F/1平面ADC, B.过点F,D,E三点的平面截正方体ABCD-AB,CD 所 D 得截面的面积最大为5 C.当F在线段A,B上运动时，三棱锥C-AD,F的体积为 定 4 值，且定值为 D.FA+FC的最小值为2W2+V2 三、填空题（本大题共2小题，每小题4分，共8分，把答案填在题中的横线上） 11、如图，以长方体ABCD-A1B1CD1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为 坐标轴，建立空间直角坐标系，若DB1的坐标为(4,3,2)，则AC1的坐标是 (43.2） 9 D 12、P为△ABC所在平面外一点，O为P在平面ABC上的射影.若PA、PB、PC与平面ABC 第2页共7页 所成的角相等，则O是△ABC的外心 四、解答题（本大题共4小题，共48分，解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤) 13、(10分)某校高一年级进行数学计算能力大赛，数学备课组从全年级的1000名学生的成 绩中抽取容量为n的样本，构成频率分布直方图，且成绩在区间(50,60)的人数为5. 频率 (1)求样本容量n以及频率分布直方图中的x: 组距 0.036 (2)估计全年级学生竞赛成绩的平均数： 0.024 (3)从样本中得分在[80,100]的学生中随机抽取两人，问所抽 0.020 取的两人中至少有一人的得分在区间[90,100]的概率是多 0.008 少？ 05060708090100分数 13.【答案】(1)n=25,x=0.012 (2)71.4 ©品 【分析】（1)由成绩在区间(50,60)的频率为0.2，求得样本容量，频率分布直方图中频率 和为1求得x; (2)根据频率分布直方图估计平均数： (3)列出所有可能的事件，结合古典概型公式 可得所求概率.【详解】(1)成绩在区间(50,60) 的频率为0.2，n=02 =25, 由频率分布直方图可得第4组的频率为 1_0.20.24_0.36_0.08=0.12,故x=0.012. (2)先估计所抽取的25名学生成绩的平均数为 (55×0.02+65×0.024+75×0.036+85×0.012+95×0.008) ×10=71.4（分)，估计全年级学生竞赛成绩的平均数为 71.4; (3)得分成绩在[80,90有0.012×10×25=3（人)， 第3页共7页 这组的3名学生分别为a，b,C, 得分在区间[90,100]有0.008×10× 25=2（人)，这组的2名学生分 别为d,e, 随机抽取两人，所以可能的结果为 (ab),(ac,(ad,(a,e),(b,c),(b,d),(b,e,(c,d,(c,e (d,),共10种，所抽取的两人中至少有一人的得分在 区间[90,100]的结果为 (ad),(ae),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e,(d,e),共7种， 故所抽取的两人中至少有一人的得分在区间[P0,10g的概率是=乙 10 14、(12分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为4，b,c,已知a=2. (1)若A=45°，b=√6，求B: (2)若D是BC的中点，且AD=√3，∠ABC=2∠DAC,求c； (3)若sm(4-B)=,C=30,求△ABc的面积 4 sinsinB,即2 a b 14:(1)在△ABC中，由正弦定 v6 sin45°sinB 解得sinB= 2 所以B=60°或B=120. 【2】国为cos∠ADB+cos乙ADC=0,即l+(5-c2+1+W5-B =0,化简得 2x1×√52x1×√5 b2+c2=8① 6 法-：在△ACD中，由正弦定理，sin/CADsin∠ADC 1 在△ABD中，由正弦定理， √5 sin∠ABD sin.∠ADB 又sim∠ADC=sm∠ADB,∠ABC=2∠CAD,所以2os∠C4D=V5b c 在a4CD中，由余弦定理可得c0s∠CD=,所以2x公+2.5，则 2√5b +2=36@联立0@得c-3c2-10c+24=0,即(c-2c-4c+3)=0, 第4页共7页 解得C=2或c=4（舍)或C=-3（舍).所以c=2 法二： 延长DB至点E,使得BE=BA,连接AE, 由题意aACD~aECA,则CD=AC I b B D ACCE,即 b 2+c ,整理得b=2+c③ 联立①③，c2+c-6=0,解得c=2或c=-3（含).所以c=2. 【3详解】在LBAC内作∠BAH=∠ABC,所以HA=HB,设AH=t, CH AH2-11 在aMc中，由正定理加m-月m2CB·即宁，知1=号B 42 3 所以sin∠AHC=sn(A-B+30）=压+5 8 所风3x=3m=压5.46 8 6 15、(12分)某学校举办了“知识竞赛”，竞赛共分两轮，即每位参赛选手均需参加两轮比 赛，己知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为好子：在第二轮比赛中，选手甲、 乙胜出的概率分别为p,q.假设甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响. (①)若0=？求乙恰好有一轮胜出的概率： (②)若甲、乙各有一轮胜出的概率为品甲、乙两轮都雕出的概率为 251 ①求p,q的值； ②求甲、乙两人至少有一人两轮都胜出的概率 解：(1)设事件A1=“第一轮比赛中甲胜出”，事件A2=“第二轮比赛中甲胜出”， 事件B1=“第一轮比赛中乙胜出”，事件B2=“第二轮比赛中乙胜出”， 由题意得A1,A2,B1,B2相互独立，且P(A)=P(A2)=p,P(B)=P(B2)=q. 记事件C=“乙恰好有一轮胜出”，则C=B1B2+B1B2,又B1B2,B1B2,互斥， 所以当q=时，P(9=P(8瓦2+瓦B,)=P(B)+P画，B)=PB)P@)+P⑧，)PB)=×+ 3 ×名=品 故当q=时，乙恰好有一轮胜出的概率为品 (2)①设事件D=“甲、乙各有一轮胜出”，事件E=“甲、乙两轮都胜出”， 则PD)=P(a,五2+AA2)P(B,瓦2+瓦，B,)=1-p)+]1-9)+=品 P(E)=P(A142B1B)=p×号q=8 则+卫=号解- pq=号 = ②设事件G=“甲两轮都胜出”，事件H=“乙两轮都胜出”， 第5页共7页 事件K=“甲、乙两人至少有一人两轮都胜出”， 则P(G)=×=品P(0=号×=是P(=PG而+PG0+P(G0=品×名+岩×号+品×品= ”=需 300 16、(14分)如图，在四棱台ABCD-AB,CD中，底面ABCD是正方形，DD1平面ABCD, DD=2,AB=4,48=2 D B (1)求证：AA/W平面CBD: D (2)求直线AA到平面C,BD的距离： (3)若点P是正方形ABCD内的动点（不含边界），且满足BDLBP,设直线D,P与平面 ABCD所成角为O,求tanB的取值范围， 【详解】(1) D A 选排4C文D于0，选热4，则0-4C,园为给-宁 由四棱台的性质可得4C∥4O,且A,G=AO,故四边形ACOA为平行四边形， 故AAIC,O,LAa平面BDC,C,Oc面BDC,故AM,∥面BDC (2)M,∥面BDC,∴直线A4到平面BDC的距离等价于点A到平面BDC的距离， 形om=ao-d-3 SAARD=8,dG-D =DD=2,DC=22,DB=4, 取DC中点E,连C,E,EB, 可得CEIIDD,CE=DD=2,而DD⊥平面ABCD, 故C,E⊥平面ABCD,由BEc平面ABCD, 故C,E1BE,BE=25,得CB=√4+20=26 C+CD-BD,DC:L BCxx 第6页共7页 故写×45dm=写×8x2,故d-4 3 (3③)连接B0,B0,因为会-之，由四被台的性质可得DD0,8A-D0, 故四边形D,B,OD为平行四边形，故BODD, 故B,O⊥平面ABCD,而BDC平面ABCD,故B,O⊥BD, 又BD⊥AC,B,O∩AC=O,BO,ACC平面ACB,故BD⊥平面BAC, BD⊥BP,点P在面ABCD内的动点，∴.点P∈面ABCDO面ACB=AC, DD,⊥面ABCD,∴∠D,PD为D,P与面ABCD所成的平面角， m∠APD-器-品，D0最小为2E,最大为4 则3<m0sy5. 2 第7页共7页湖南省涟源市部分学校2026年下学期高二入学考试数学试题 (考试时长：90分钟，共100分) 一、单选题（本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的.) 1、已知α，b为两条不同直线，&，B,y为三个不同平面，下列命题： ①若a11B,a11y,则B1Iy: ②若a/1a,a/1B,则a11B: ③若a⊥Y,B⊥Y,则a⊥B: ④若a⊥，b⊥a,则a/1b. 其中正确命题序号为() A.②③ B.②③④ C.①④ D.①②③ 2、已知{a,b,c}是空间的一组基底，则能与ā+b构成另一组基底的是() A.b+c,a+c B.b+c,a-c C.c,a+b-2c D.b-c,a+c 3、某位同学参加歌唱比赛，有8位评委.歌唱结束后，各评委打分的平均数为5，方差为3. 又加人一个特邀嘉宾的打分为5，此时这9个分数的平均数为元，方差为s2,则() A.x=5,s2>3 B.x=5,s2<3 C.x>5,s2<3 D.x>5,s2>3 4、如图，四边形ABCD的斜二测画法的直观图为等腰梯形A'B'C'D',己知A'B'=4,C'D'=2, 则下列说法正确的是() A.AB=2 B.A'D'=2V2 D' C.四边形ABCD的周长为4+2V2+2V3 D.四边形ABCD的面积为6V2 5、在△ABC中，D是线段BC的中点，E是线段AD的中点，则B正=() B.3AB-1AC 41 44 -1AB+34C 1 3B+a0 3 C.4 4 D.4 6、已知某圆台的上、下底面半径分别为1,5，且巧=2，若半径为2的球与圆台的上、下 底面及侧面均相切，则该圆台的体积为() 4.28r B. 40π 3 3 C.56n 3 D.112n 3 7、如图所示，△ABC的外接圆的圆心为O,AB=2,AC=3,BC=V7,则AO·BC等于() A B.2 c D.3 第1页共4页 8、若函数)的院义域内存在西，(5≠)，使得：)f色-1成立，则称该函 元3元 22 上的 “完整函数”，则⊙的取值范围为() A.[2,+0) B.[3,+o) C.[3,5] D.[4,+0) 二、多选题（本大题共2小题，每小题6分，共12分.在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分.) 9、设复数z满足=(1+i5)=2i,三为复数z的共轭复数，则下列说法正确的是(） A.|=√2 B.z的虚部为-i C.z是个纯虚数 D复数z对应的点位于复平面的第二象限 10、如图，在棱长为2的正方体ABCD-AB,C1D1中，E为线段CC1的中点，F为线段AB 上的动点（含端点），则下列结论正确的有() A.存在点F,使得平面C,FI1平面ADC, D' B.过点F,D,E三点的平面截正方体ABCD-AB,C1D,所得截面的面积最大为5 C.当F在线段AB上运动时，三棱锥C-ADF的体积为定值，且定值为 D.FA+FC的最小值为2W2+V2 三、填空题（本大题共2小题，每小题4分，共8分，把答案填在题中的横线上） 11、如图，以长方体ABCD-A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为 坐标轴，建立空间直角坐标系，若DB1的坐标为(4,3,2)，则AC1的坐标是 D 12、P为△ABC所在平面外一点，O为P在平面ABC上的射影.若PA、PB、PC与平面ABC 所成的角相等，则O是△ABC的 心 第2页共4页 四、解答题（本大题共4小题，共48分，解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤) 13、(10分)某校高一年级进行数学计算能力大赛，数学备课组从全年级的1000名学生的成 绩中抽取容量为n的样本，构成频率分布直方图，且成绩在区间(50,60)的人数为5. 频率 组距 (1)求样本容量n以及频率分布直方图中的x: 0.036 (2)估计全年级学生竞赛成绩的平均数； 0.024 (3)从样本中得分在[80,100]的学生中随机抽取两人，问所抽 0.020 取的两人中至少有一人的得分在区间[90,100]的概率是多 0.008 少？ 05060708090100分数 14、(12分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,己知a=2. (1)若A=45°，b=√6，求B: (2)若D是BC的中点，且AD=V3,∠ABC=2∠DAC,求c; (3)老m(4-)-C=30,米△ABC的面积 第3页共4页 15、(12分)某学校举办了“知识竞赛”，竞赛共分两轮，即每位参赛选手均需参加两轮比 赛，已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为：在第二轮比赛中，选手甲、 乙胜出的概率分别为p,q.假设甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响. (①)若q=?求乙恰好有一轮胜出的概率： (2)若甲、乙各有一轮胜出的概率为6，甲、乙两轮都胜出的概率为2号 ①求p,q的值； ②求甲、乙两人至少有一人两轮都胜出的概率. 16、(I4分)如图，在四棱台ABCD-4BCD中，底面ABCD是正方形，DDL平面ABCD, DD=2,AB=4,AB=2 D B (1)求证：AAW平面C,BD: D (2)求直线AA到平面C,BD的距离： (3)若点P是正方形ABCD内的动点（不含边界），且满足BD⊥B,P,设直线DP与平面 ABCD所成角为O,求tanO的取值范围. 第4页共4页