第4章 4.1 任意角和弧度制、三角函数的概念-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮课件PPT（人教A版）

该高中数学高考复习课件聚焦“三角函数与解三角形”专题，依据高考评价体系覆盖任意角、弧度制、三角函数概念等核心考点，梳理了象限角判断、弧度与角度互化、三角函数定义求值等考查要求，通过题型分类明确角的表示、扇形面积计算等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“必备知识复盘+关键能力跃升”的系统设计，如例2通过扇形周长与面积关系训练函数建模思维，培养运算能力和推理意识。含自主诊断和跟踪训练真题实例，帮助学生掌握答题技巧，教师可据此精准指导，提升复习效率。

第四章　三角函数与解三角形 §4.1　任意角和弧度制、三角函数的概念 下一页 上一页 返回导航 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 复盘 必备知识 01 跃升 关键能力 02 课时冲关 03 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 复盘 必备知识 下一页 上一页 返回导航 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 跃升 关键能力 下一页 上一页 返回导航 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 下一页 上一页 返回导航 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 课时作业 下一页 上一页 返回导航 第四章　三角函数与解三角形 高考总复习 数学 复习策略—教师专享 1．全面系统复习，深刻理解知识本质 (1)重视三角函数的概念的理解，熟练应用同角三角函数基本关系和诱导公式． (2)重视对三角函数图象和性质的研究： ①三角函数y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象和性质是考查知识的常见载体，是三角函数的基础； ②五点法画正弦型函数图象是三角函数图象变换的根本保证； ③复习时通过选择题、填空题和解答题加以训练和巩固，注意将问题和方法进行归纳、整理． (3)以两角差的余弦公式为基础，用代换法、诱导公式和同角三角函数的关系推出三角恒等变换的公式，明确公式的来龙去脉． 2．熟练掌握解决以下问题的方法和规律 (1)象限角、三角函数值的符号判断． (2)弧度制与角度制的互化方法，弧度制下扇形的弧长和面积公式． (3)用诱导公式将任意的三角函数化为锐角三角函数的流程． (4)三角函数性质(单调性、奇偶性、周期性、最值、对称性)的确定与应用问题． (5)A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响及函数图象平移、伸缩变换的方法． (6)已知函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象求解析式． (7)化简，求值及三角恒等变换的方法与技巧． (8)三角形中边、角的求值． 3．重视数学思想方法的应用 (1)数形结合思想：在三角函数中数形结合思想有着广泛的应用，复习时要充分重视，如三角函数定义中的三角函数线，三角函数图象和性质，与三角函数有关的函数零点问题，三角函数的图象平移、伸缩、对称变换等． (2)函数与方程思想： ①在三角函数求值中，把所求的量作为未知数，其余的量通过三角函数关系转化为未知数的表达式，列出方程，就把问题转化为含未知数的方程来解决； ②在含有参数的问题中，经常把参数和变量分离开，参数就变成变量的函数，通过求函数的值域来求参数范围； ③解三角形时，利用余弦定理建立方程求参数的值． (3)分类讨论思想： 三角函数的题目解答中，常常要用到分类讨论，比如： ①利用三角函数的定义求值时，要讨论角的终边位置． ②利用同角三角函数平方关系需要开平方时，要讨论正、负号的选取． ③当已知三角函数值求角时，要讨论角的范围． ★[考试要求] 1．了解任意角的概念和弧度制.2.能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性.3.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义． 1．角的概念 (1)定义：角可以看成一条射线绕着它的　端点　旋转所成的图形． (2)分类eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(按旋转方向不同分为　正角　、　负角　、　零角　.,按终边位置不同分为　象限角　和轴线角.)) (3)相反角：我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为　－α　. (4)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}． 2．弧度制的定义和公式 (1)定义：把长度等于　半径长　的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示． (2)公式 角α的弧度数公式 |α|＝eq \f(l,r)(弧长为l，半径为r) 角度与弧度的换算 1°＝eq \f(π,180) rad；1 rad＝　eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°　 弧长公式 l＝　|α|r　 扇形面积公式 S＝　eq \f(1,2)lr　＝　eq \f(1,2)|α|r2　 3.任意角的三角函数 (1)设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)，则sin α＝　y　，cos α＝　x　，tan α＝　eq \f(y,x)　(x≠0)． (2)任意角的三角函数的定义(推广)： 设P(x，y)是角α终边上异于原点的任意一点，其到原点O的距离为r，则sin α＝eq \f(y,r)，cos α＝eq \f(x,r)，tan α＝eq \f(y,x)(x≠0)． (3)三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如图． 1．象限角 2．轴线角 3．终边相同的角与对称性拓展 (1)β，α终边相同⇔β＝α＋2kπ，k∈Z. (2)β，α终边关于x轴对称⇔β＝－α＋2kπ，k∈Z. (3)β，α终边关于y轴对称⇔β＝π－α＋2kπ，k∈Z. (4)β，α终边关于原点对称⇔β＝π＋α＋2kπ，k∈Z. 4．若角α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，则sin α<α<tan α. 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)锐角是第一象限角，第一象限角也都是锐角．( × ) (2)将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是eq \f(π,6).( × ) (3)相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等．( × ) (4)若sin α>0，则α的终边落在第一或第二象限．( × ) 2．[多选]下列与角eq \f(2π,3)的终边相同的角是(　　) A.eq \f(14π,3) B．2kπ－eq \f(2π,3)(k∈Z) C．2kπ＋eq \f(2π,3)(k∈Z) D．(2k＋1)π＋eq \f(2π,3)(k∈Z) 解析：AC　[与角eq \f(2π,3)的终边相同的角为2kπ＋eq \f(2π,3)(k∈Z)，k＝2时，4π＋eq \f(2π,3)＝eq \f(14,3)π.] 3．sin 2·cos 3·tan 4的值(　　) A．小于0　　　　　　 B．大于0 C．等于0 D．不存在 解析：A　[因为sin 2＞0，cos 3＜0，tan 4＞0，所以sin 2·cos 3·tan 4＜0.] 4．已知角α的终边过点P(－3cos θ，4cos θ)，其中θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，则sin α＝________，tan α＝________. 解析：因为θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，所以cos θ＜0， 所以r＝eq \r(x2＋y2)＝eq \r(9cos2θ＋16cos2θ)＝－5cos θ， 所以sin α＝eq \f(y,r)＝－eq \f(4,5)，tan α＝eq \f(y,x)＝－eq \f(4,3). 答案：－eq \f(4,5)　－eq \f(4,3) 角及其表示 [例1]　(1)设集合M＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝\f(k,2)·180°＋45°，k∈Z))))，N＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝\f(k,4)·180°＋45°，k∈Z))))，那么(　　) A．M＝N　　　　　　　 B．M⊆N C．N⊆M D．M∩N＝∅ [解析]　由于M中，x＝eq \f(k,2)·180°＋45°＝k·90°＋45°＝(2k＋1)·45°，2k＋1是奇数；而N中，x＝eq \f(k,4)·180°＋45°＝k·45°＋45°＝(k＋1)·45°，k＋1是整数，因此必有M⊆N. [答案]　B (2)设θ是第三象限角，且eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\f(θ,2)))＝－cos eq \f(θ,2)，则eq \f(θ,2)是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 [解析]　∵θ是第三象限角，∴π＋2kπ＜θ＜eq \f(3π,2)＋2kπ，k∈Z，∴eq \f(π,2)＋kπ＜eq \f(θ,2)＜eq \f(3π,4)＋kπ，k∈Z， ∴eq \f(θ,2)的终边落在第二、四象限，又eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\f(θ,2)))＝ －cos eq \f(θ,2)，∴cos eq \f(θ,2)＜0，∴eq \f(θ,2)是第二象限角． [答案]　B 1．表示区间角的三个步骤 (1)先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界． (2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和角β，写出最简区间． (3)起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合． 2．确定nθ，eq \f(θ,n)(n∈N*)的终边位置的方法 (1)将θ的范围用不等式(含有k，且k∈Z)表示． (2)两边同除以n或乘以n. (3)对k进行讨论，得到eq \f(θ,n)或nθ(n∈N*)所在的象限． [注意]　注意“顺转减，逆转加”的应用，如角θ的终边逆时针旋转180°可得角θ＋180°的终边． 1．若角α的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线y＝eq \r(3)x上，则角α的取值集合是(　　) A.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(α＝2kπ－\f(π,3)，k∈Z)))) B.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(α＝2kπ＋\f(π,3)，k∈Z)))) C.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(α＝kπ＋\f(π,3)，k∈Z)))) D.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(α＝kπ－\f(π,3)，k∈Z)))) 解析：C　[因为直线y＝eq \r(3)x的倾斜角是eq \f(π,3)，所以终边落在直线y＝eq \r(3)x上的角的取值集合为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(α＝kπ＋\f(π,3)，k∈Z)))).] 2．[多选]若角α是第二象限角，则eq \f(α,2) 可能是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 解析：AC　[∵α是第二象限角，∴eq \f(π,2)＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z， ∴eq \f(π,4)＋kπ<eq \f(α,2) <eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z. 当k为偶数时，eq \f(α,2) 是第一象限角； 当k为奇数时，eq \f(α,2) 是第三象限角．] 弧度制及其应用 [例2]　已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l. (1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长l； (2)若α＝eq \f(π,3)，R＝2 cm，求扇形的弧所在的弓形的面积； (3)若扇形的周长是20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ [解]　(1)α＝60°＝eq \f(π,3)，l＝10×eq \f(π,3)＝eq \f(10π,3)(cm)． (2)设弓形面积为S弓．由题知l＝eq \f(2π,3) cm. S弓＝S扇形－S三角形＝eq \f(1,2)×eq \f(2π,3)×2－eq \f(1,2)×22×sineq \f(π,3)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－\r(3)))(cm2)． (3)由已知得，l＋2R＝20， 所以S＝eq \f(1,2)lR＝eq \f(1,2)(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25. 所以当R＝5时，S取得最大值25 cm2， 此时l＝10，α＝2. 弧长和扇形面积的计算方法 1．在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷．但要注意圆心角的单位是弧度． 2．从扇形面积出发，在弧度制下使问题转化为关于α的不等式或利用二次函数求最值的方法确定相应最值． 3．记住下列公式：①l＝αR；②S＝eq \f(1,2)lR；③S＝eq \f(1,2)αR2.其中R是扇形的半径，l是弧长，α(0<α<2π)为圆心角，S是扇形面积． 1．[多选]已知扇形的周长是6，面积是2，下列选项可能正确的是(　　) A．圆的半径为2 B．圆的半径为1 C．圆心角的弧度数是1 D．圆心角的弧度数是2 解析：ABC　[设扇形半径为r，圆心角弧度数为α， 则由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2r＋αr＝6，,\f(1,2)αr2＝2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(r＝1，,α＝4))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(r＝2，,α＝1，)) 可得圆心角的弧度数是4或1.] 2．早在两千年前，古人就通过观测发现地面是球面，并会运用巧妙的方法对地球半径进行估算．如图所示，把太阳光视为平行光线，O为地球球心，A，B为北半球上同一经度的两点，且A，B之间的经线长度为L，于同一时刻在A，B两点分别竖立一根长杆AA1和BB1，通过测量得到两根长杆与太阳光的夹角α和β(α和β的单位为弧度)，由此可计算地球的半径为________． 解析：如图所示，过点B作太阳光的平行线，与OA的延长线交于点C， 则∠B1BC＝β，∠BCO＝α，所以∠AOB＝β－α， 设地球半径为R，则根据弧长公式得R(β－a)＝L，所以R＝eq \f(L,β－α). 答案：eq \f(L,β－α) 三角函数的概念 ►[角度1]　利用三角函数的定义求值　 [例3－1]　(1)已知角α的终边经过点P(－eq \r(3)，m)(m≠0)，且sin α＝eq \f(\r(2)m,4)，则cos α＝________，tan α＝________. [解析]　设P(x，y)．由题意知x＝－eq \r(3)，y＝m，所以r2＝OP2＝(－eq \r(3))2＋m2(O为坐标原点)，即r＝eq \r(3＋m2)，所以sin α＝eq \f(m,r)＝eq \f(\r(2)m,4)＝eq \f(m,2\r(2)).所以r＝eq \r(3＋m2)＝2eq \r(2)，即3＋m2＝8，解得m＝±eq \r(5).当m＝eq \r(5)时，cos α＝－eq \f(\r(6),4)，tan α＝－eq \f(\r(15),3)，当m＝－eq \r(5)时，cos α＝－eq \f(\r(6),4)，tan α＝eq \f(\r(15),3). [答案]　－eq \f(\r(6),4)　±eq \f(\r(15),3) (2)[多选]角α的终边上一点P(a,2a)(a≠0)，则2sin α－cos α的值可取(　　) A.eq \f(\r(5),5) B．－eq \f(\r(5),5)　 C.eq \f(3\r(5),5) D．－eq \f(3\r(5),5) [解析]　∵P(a,2a)为角α的终边上一点，且a≠0， ∴当a＞0时，sin α＝eq \f(2a,\r(a2＋2a2))＝eq \f(2a,\r(5)a)＝eq \f(2\r(5),5)， cos α＝eq \f(a,\r(a2＋2a2))＝eq \f(\r(5),5)，∴2sin α－cos α＝eq \f(3\r(5),5)； 当a＜0时，sin α＝－eq \f(2\r(5),5)，cos α＝－eq \f(\r(5),5)， ∴2sin α－cos α＝－eq \f(3\r(5),5). 综上可知，2sin α－cos α＝±eq \f(3\r(5),5). [答案]　CD ►[角度2]　判断三角函数值的符号　 [例3－2]　(1) [多选]下列各选项中正确的是(　　) A．sin 300°<0 B．cos(－305°)>0 C．taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(22,3)π))>0 D．sin 10>0 [解析]　300°＝360°－60°，则300°是第四象限角，故sin 300°<0，－305°＝－360°＋55°，则－305°是第一象限角，故cos(－305°)>0，而－eq \f(22,3)π＝－8π＋eq \f(2π,3)，所以－eq \f(22,3)π是第二象限角，故taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(22π,3)))<0，因为3π<10<eq \f(7π,2)，所以10是第三象限角，故sin 10<0. [答案]　AB (2)若sin αtan α<0，且eq \f(cos α,tan α)<0，则角α是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 [解析]　由sin αtan α<0可知sin α，tan α异号，则α为第二或第三象限角．由eq \f(cos α,tan α)<0可知cos α，tan α异号，则α为第三或第四象限角．综上可知，α为第三象限角． [答案]　C 三角函数定义问题的解题策略 (1)已知角α终边上一点P的坐标，可求角α的三角函数值．先求P到原点的距离，再用三角函数的定义求解． (2)已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值(如例3－1)． (3)已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标． 1．已知角α的终边经过点(3，－4)，则sin α＋eq \f(1,cos α)等于(　　) A．－eq \f(1,5) B.eq \f(37,15) C.eq \f(37,20) D.eq \f(13,15) 解析：D　[因为角α的终边经过点(3，－4)，所以sin α＝－eq \f(4,5)，cos α＝eq \f(3,5)，所以sin α＋eq \f(1,cos α)＝－eq \f(4,5)＋eq \f(5,3)＝eq \f(13,15).] 2．[多选]若角α＝3 rad(rad为弧度制单位)，则下列说法正确的是(　　) A．sin α>cos α B．α是第三象限角 C．sin α>0 D．tan α>0 解析：AC　[因为1 rad≈57.3°，所以α＝3 rad≈171.9°为第二象限角，所以sin α>0，cos α<0，tan α<0，即B，D都错，A，C正确．] $