第21章 二次函数与反比例函数 单元练习 2026-2027学年沪科版九年级数学上册

**基本信息** 沪科版九上数学第21章二次函数与反比例函数单元练习卷，通过基础巩固与情境应用结合，适配单元复习，覆盖函数图像、性质及实际应用，培养抽象能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|10|函数图像上点的坐标、反比例函数性质、二次函数增减性等|结合图像辨析基础概念，如判断函数经过点| |填空题|8|二次函数顶点坐标、反比例函数象限分布、抛物线增减性等|聚焦核心公式应用，如顶点式求坐标| |解答题|5|函数图像探究、反比例与一次函数综合、二次函数实际应用（喷水池、斜坡小球）|创设喷水池水流、斜坡小球等真实情境，考查模型意识与应用能力，如通过二次函数求水流水平距离|

2026-2027学年九上数学沪科版第21章二次函数与反比例函数单元练习卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下列函数的图象经过点的是（    ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，反比例函数的图象在其所在的每个象限内随的增大而减小，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 3．已知反比例函数，下列结论中，不正确的是（   ） A．图象必经过点 B．图象在第二、四象限内 C．若，则 D．当时，y随x的增大而减小 4．已知点在反比例函数的图像上，则 与的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法确定 5．若点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 6．如图，点的坐标是，是等边三角形，点在第一象限．若反比例函数的图象经过点，则的值是（  ） A．1 B．2 C． D． 7．小北在公园进行摄影学习，发现某广场有一喷水池所喷出的水流形状像一条抛物线，他将其拍下来，发现水流喷出的高度（）与水平距离（）之间的关系满足，当水流喷出的高度为时，喷出水流的水平距离为（   ） A． B． C． D． 8．抛物线，其中，a，b，c能决定抛物线的增减性的是（     ） A． B． C． D． 9．在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（  ） A．   B．   C．   D．   10．二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③当时，y随x的增大而减小．其中正确的有（     ） A．0个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题 11．二次函数的顶点坐标为________． 12．反比例函数图象位于第二、四象限，则k的取值范围是___________． 13．抛物线在y轴右侧的部分是_____（填“上升”或“下降”）． 14．已知点、在二次函数的图象上，若，则___（填“”、“”或“”）． 15．飞机着陆后滑行的距离s（单位：米）关于滑行的时间t（单位：秒）的函数解析式是．则飞机从着陆滑行到停止需要_______秒． 16．如图，直线与反比例函数的图象相交于点，与反比例函数的图象相交于点，且线段被轴平分，则的值为___________． 17．如图，在平面直角坐标系中，过点分别作轴于点轴于点，反比例函数的图象分别与，相交于两点，连接．若四边形的面积为4，则的值为______． 18．如图所示是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，对称轴为经过点（1，0）且垂直于x轴的直线．给出四个结论：①abc＞0；②当x＞1时，y随x的增大面减小；③4a﹣2b+c＞0；④3a+c＞0．其中正确的结论是_____（写出所有正确结论的序号） 三、解答题 19．某班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．    x … 0 1 2 3 … y … 2 m 2 … (1)上表是x与y的几组对应值，其中，m=______； (2)根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分； (3)观察函数图象，写出2条函数图象的性质：①______；②______． (4)进一步探究函数图象：当一条平行于x轴的直线与函数的图象有4个交点时，直接写出a的取值范围． 20．已知反比例函数的图象经过点． (1)求反比例函数表达式； (2)若点在该函数图象上，求m的值． (3)请直接写出当时的取值范围是_______． 21．如图，直线y=2x+4与反比例函数的图象相交于A(-3，a)和B两点． (1)求k的值； (2)直线与直线相交于点，与反比例函数的图象相交于点N．若MN=4，求m的值； (3)直接写出不等式的解集． 22．如图，抛物线与x轴正半轴交于点，与y轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P为直线下方抛物线上一动点，过点P作轴，垂足为交于点D，当点D是的三等分点时，求点P的坐标． 23．在如图所示的平面直角坐标系中，有一斜坡，从点O处抛出一个小球，落到点处．小球在空中所经过的路线是抛物线的一部分． (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线最高点的坐标； (3)斜坡上点B处有一棵树，点B的三等分点（且靠近点），小球恰好越过树的顶端C，求这棵树的高度． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《2026-2027学年九上数学沪科版第21章二次函数与反比例函数单元练习卷》 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B B B D C C A C C 1．B 【分析】本题主要考查函数图象上点的坐标特点，将点代入各个函数解析式进行判断即可． 【详解】解：A.把代入得，所以，函数的图象不经过点，故选项A不符合题意； B. 把代入得，所以，函数的图象经过点，故选项B符合题意； C. 把代入得，所以，函数的图象不经过点，故选项C不符合题意； D. 把代入得，所以，函数的图象不经过点，故选项D不符合题意； 故选：B． 2．B 【分析】根据反比例函数的性质可得k+5＞0，再解不等式即可． 【详解】∵反比例函数的图象在所在的每个象限内y都是随着x的增大而减小， ∴k+5>0， 解得：k>-5， 故选B. 【点睛】此题考查反比例函数的性质，解题关键在于掌握其性质. 3．B 【分析】本题考查了反比例函数的性质，当时，图象位于第一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小；当时，图象位于第二、四象限． 根据反比例函数的性质判断各选项即可． 【详解】解：∵反比例函数，， ∴图象位于第一、三象限，故选项B错误； 当时，，则点在图象上，故选项A正确； 当时，，故选项C正确； 当时，图象在第三象限，y随x的增大而减小，故选项D正确． 故选：B． 4．B 【分析】根据反比例函数的增减性求解即可． 【详解】解：∵点在反比例函数的图像上， ∴点在反比例函数第二象限的双曲线上，且y随x的增大而增大， ∵， ∴． 5．D 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，根据二次函数解析式，分别计算三个点的纵坐标，再比较大小． 【详解】解：点，，都在二次函数的图象上， 对于点 ，， 对于点 ，， 对于点 ，， ， . 故选：D． 6．C 【分析】首先过点作垂直于，根据，是等边三角形，得出点坐标，进而求出反比例函数解析式． 【详解】解：过点作垂直于， 点的坐标是， ， 是等边三角形， ，， 点的坐标是， 把代入， 得． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的综合应用、等边三角形的性质以及图象上点的坐标特点等知识，根据已知表示出点坐标是解题关键． 7．C 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意；将代入抛物线方程，得到关于x的一元二次方程，求解后得到两个解，但水平距离不能为负，因此舍去负值解，选择正值解，然后问题可求解． 【详解】解：由题意可把代入得：， 解得：（负根舍去）； 故选C． 8．A 【分析】本题考查二次函数的性质，需明确抛物线增减性的影响因素，抛物线增减性由开口方向和对称轴位置共同决定，根据二次函数性质分析各参数的作用即可得到结果； 【详解】解：∵抛物线的开口方向由决定，开口方向决定整体增减趋势；抛物线的对称轴为直线，对称轴位置由和共同决定；抛物线的增减性以对称轴为分界，因此增减性由共同决定；只决定抛物线与轴的交点位置，仅上下平移抛物线，不改变开口方向和对称轴位置，不影响增减性∴能决定抛物线增减性的是． 9．C 【分析】根据各选项图象判断的取值范围求解即可得到答案． 【详解】解：A．由直线可知，由抛物线开口向上，，抛物线与轴的交点得出，故选项不符合题意； B．由直线可知，由抛物线开口向下，，抛物线与轴的交点得出，故选项不符合题意； C．由直线可知，由抛物线开口向上，，抛物线与轴的交点得出，故选项符合题意； D． 由直线可知，由抛物线开口向下，，抛物线与轴的交点得出，故选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的性质，解题的关键是掌握函数图象与系数的关系． 10．C 【详解】解：①∵抛物线开口向上，且与y轴交于负半轴， ，结论①正确； ②∵抛物线对称轴为直线， ， ． ∵抛物线经过点， ， ，即，结论②正确； ③∵抛物线开口向上，且抛物线对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小，结论③错误． 综上，正确的有①②，共2个， 故选C． 11． 【分析】根据二次函数顶点式的顶点坐标为解答即可． 【详解】解：二次函数符合顶点式的形式， ∴二次函数的顶点坐标为． 12． 【分析】根据的图像位于第二、四象限，比例系数，计算即可求出k的取值范围． 【详解】∵ 位于第二、四象限， ∴ 即． 13．下降 【分析】抛物线的对称轴为y轴，且开口向下，故在y轴右侧，y随x的增大而减小，据此即可解答． 【详解】解：由抛物线解析式可知：抛物线对称轴为y轴，且开口向下， ∴在y轴右侧的部分是下降． 14．< 【分析】先确定二次函数的开口方向与对称轴，再根据二次函数的增减性，结合比较与的大小． 【详解】二次函数 中，二次项系数，因此抛物线开口向上， 该抛物线的对称轴为直线 ， 根据二次函数的性质，当 时， 随 的增大而减小， 已知 ，所以 ． 15．15 【分析】本题考查了二次函数的应用，飞机停止滑行时，其滑行距离达到最大值，因此本题即求二次函数达到最大值时的取值，把二次函数解析式转化为顶点式，求出二次函数的最大值对应的时间t，即可求解，掌握配方法是解题的关键． 【详解】解：， ∵， ∴当时，滑行距离达到最大值，故所求时间为15秒， 故答案为：15． 16．5 【分析】本题主要考查了反比例函数的综合应用，解题的关键是先联立，求出，，设点C的坐标为，根据线段被轴平分，求出，得出点C的坐标，最后求出k的值即可． 【详解】解：联立， 解得：，， ∴，， 设点C的坐标为， ∵线段被轴平分， ∴， 解得：， ∴， ∴． 故答案为：5． 17． 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质、矩形的判定与性质，熟练掌握反比例函数的应用是解题关键．先求出，四边形是矩形，再根据反比例函数的几何意义可得，然后根据计算即可得． 【详解】解：∵过点分别作轴于点，轴于点， ∴，四边形是矩形， ∵反比例函数的图象分别与，相交于两点， ∴， ∵四边形的面积为4， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 18．②④． 【分析】由图象可知a＜0，c＞0，对称轴x＝﹣=1＞0，b＞0，即可知abc＜0；由图可知当x＞1时，y随x的增大面减小；x=-2时，函数值小于0；由2a＝﹣b及x＝﹣1时，y＞0即可求出a﹣b+c与0的大小. 【详解】解：①由图象可知：a＜0，c＞0， ∵对称轴x＝﹣＞0， ∴b＞0， ∴abc＜0，故①错误； ②由图象可知：当x＞1时，y随x的增大而减小，故②正确； ③当x＝﹣2时，y＜0， ∴4a﹣2b+c＜0，故③错误； ④∵＝1， ∴2a＝﹣b， ∵当x＝﹣1时，y＞0， ∴a﹣b+c＝a+2a+c＝3a+c＞0，故④正确； 故答案为②④． 【点睛】此题主要考查二次函数的图像，解题的关键是熟知各系数所代表的含义. 19．(1) (2) 图象如图所示     ； (3)①函数图象关于轴对称②当时，随的增大而增大（答案不唯一）； (4)． 【分析】（1）代入相关数据求解即可； （2）描点、连线画出图形即可； （3）①写函数的对称轴；②确定一个范围写增减性问题； （4）观察图象，确定其a的值即可． 【详解】（1）解：当时，， 故答案为：； （2）略 （3）解：①函数图象关于轴对称； ②当时，随的增大而增大（答案不唯一）； （4）解：观察图象，当一条平行于x轴的直线与函数的图象有4个交点时，如图，   的取值范围为：． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质，根据题意画出图形，利用数形结合解决问题是解题的关键． 20．(1)； (2)或． (3) 【分析】本题主要考查了反比例函数图像上点的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数图像上点的特征． （1）将点代入求解即可； （2）将点代入（1）求出的表达式中即可求出的值； （3）当时，，根据函数图象，即可求解． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过， ∴将代入，得， ∴反比例函数解析式为； （2）解：∵点在这个函数图像上， ∴把代入得， 解得：或， ∴的值为或． （3）解：∵，当时，， 又∵反比例函数的图象在一、三象限， ∴当时的取值范围是 21．(1)-6 (2)m=2或6+ (3)x<-1或5<x<6 【分析】（1）把A（-3，a）代入y=2x+4即可求出a=-2，把A（-3，-2）代入求得k=6； （2）联立方程组，求出M、N的坐标，根据MN=4，即可求出m的值； （3）令可求出函数y=x和的交点坐标，从图象中可求的解集． 【详解】（1）解：把A（-3，a）代入y=2x+4，得a=-2， ∴A（-3，-2） 把A（-3，-2）代入，得k=6； （2）∵M是直线y=m与直线AB的交点 ∴M（，m） 同理，N（，m） ∴MN=｜｜=4 ∴ 解得m=2或-6或6± ∵m>0 ∴m=2或6+ （3） 函数y=x和的交点坐标为：（6，6）（-1，-1） 由图象可知， 当x<-1或5<x<6时，． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 22．(1) (2)点P的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出直线的解析式，然后设，则，然后再分情况或，分别计算即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴正半轴交于点，与y轴交于点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：设直线的解析式为， 将分别代入， 得，解得， 直线的解析式为， 设，则， 为的三等分点， 或， 即或， 解得（不符合题意，舍去）或（不符合题意，舍去） 当时，， 当时，， 点P的坐标为或． 23．(1) (2) (3)这棵树的高为2 【分析】本题考查了二次函数的应用，其中涉及到待定系数法求二次函数的解析式，二次函数顶点坐标的求解方法，相似三角形的判定和性质，难度适中利用数形结合与方程思想是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）配成顶点式，利用二次函数的性质即可求解； （3）过点A、B分别作x轴的垂线，证明，利用相似三角形的性质求得，，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵点是抛物线上的一点， 把点代入中，得：， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：由（1）得：， ∴抛物线最高点对坐标为； （3）解：过点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别是点E、D， ∵，， ∴， ∴， 又∵点B是的三等分点， ∴， ∵， ∴，， ∴， 解得， ∴， 解得， ∴点C的横坐标为1， 将代入中，， ∴点C的坐标为， ∴， ∴， 答：这棵树的高为2． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $