河南周口颍河高级中学2027届高三上学期入学考试数学试题

**基本信息** 2027届高三入学数学卷以“基础巩固-能力提升-创新应用”为梯度，通过复数、向量等基础题与概率统计、导数综合题，考查数学抽象、逻辑推理与数据意识，适配开学学情诊断需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|复数实部、向量运算、双曲线离心率、概率|第8题羽毛球比赛概率结合实际情境，考查数据意识| |填空题|3/15|函数求值、立体几何轨迹、新定义数列|第14题“绝对差分数列”创新定义，考查创新意识| |解答题|5/77|立体几何面面角、解三角形、导数零点与不等式|导数题三问设计（判断零点、证明不等式、求最值），体现逻辑推理|

2027届高三入学考试 数学 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．复数的实部为（    ） A． B． C． D． 2．已知向量,则实数（     ） A．-1 B．0 C． D．3 3．设，，则（     ） A． B． C． D． 4．已知数列满足，则等于（ ） A． B． C． D． 5．已知两个线性相关变量x，y的统计数据如下表所示，其经验回归方程为，则下列说法正确的是（    ） x 1 2 4 5 8 y 11 15 25 m 45 A． B．样本相关系数 C．经验回归直线必过点 D．当时，残差为1 6．设双曲线的中心为点，若有且只有一对相交于点、所成的角为的直线和，使，其中和分别是这对直线与双曲线的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．若定义上的函数满足：对任意且有若的最大值和最小值分别为，则的值为（    ） A．2026 B．2027 C．4054 D．4052 8．甲、乙两人进行羽毛球比赛，约定打6局，每局必分胜负，无平局.每局比赛中，获胜方得1分，失败方得0分.已知甲在每局比赛中获胜和失败的概率均为，且各局结果相互独立.在整个比赛过程中，甲的累计得分始终不小于乙的累计得分的概率是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A． B．直线是函数图象的一条对称轴 C．将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象 D．若函数在上恰有3个零点，则实数的取值范围是 10．已知圆，则下列说法正确的有（    ） A．圆心在曲线上 B．存在两个不同的实数，使圆过点 C．存在四个不同的实数，使圆与直线相切 D．存在两个不同的实数，满足直线平分圆的面积 11．如图， 正方体的棱长为2，，分别是，的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为（   ） A．存在点， 使得平面 B．异面直线与所成的角的大小为 C．过三点的平面截正方体所得截面图形是平行四边形 D．若平面，则点的轨迹的长度为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．设，则______． 13．已知正四棱柱的体积为，，且底面内（包含边界）一动点P满足，则点P的轨迹长度为______． 14．给定有穷数列，定义数列的绝对差分数列，，…，，其中．若数列是单调不减的，即，则称数列是数列．已知各项均为整数的数列，，…，满足，并且其差分数列是等差数列，若，，则的所有可能值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，三棱锥是底面边长为的正三棱锥． (1)证明：； (2)若平面与平面夹角的余弦值为，求． 16．记的内角、、的对边分别为、、，已知的面积为，且. (1)求角； (2)若，，求的周长． 17．小王同学参加一个投篮测试，其规则是：有5次投篮机会，若连续投中两次则通过测试并结束测试；若未通过测试，将继续投篮直至5次投篮机会用完；第5次投篮后，不论通过与否均结束测试.现假定小王同学每次投篮结果相互独立，命中率均为，记为小王同学测试结束时投篮的次数. (1)求的分布列及数学期望； (2)若在通过测试的条件下，小王同学恰好投篮2次的概率大于，求的取值范围. 18．已知椭圆的离心率为，且过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)设直线与椭圆交于两点，为坐标原点，的面积为． （i）求弦长的最小值； （ii）已知直线过点，且以线段为直径的圆经过坐标原点，求． 19．已知函数. (1)判断的零点个数; (2)若，且，求证: ; (3)若，且，求的最大值. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三入学考试 数学 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．复数的实部为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，可得复数的实部为. 2．已知向量,则实数（     ） A．-1 B．0 C． D．3 【答案】C 【详解】向量,所以,解得. 3．设，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据三角函数的诱导公式可得：， ，， 因此集合，根据交集的定义可得：. 4．已知数列满足，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以，， ，，……，所以数列为周期数列，周期为， 又因为，所以. 5．已知两个线性相关变量x，y的统计数据如下表所示，其经验回归方程为，则下列说法正确的是（    ） x 1 2 4 5 8 y 11 15 25 m 45 A． B．样本相关系数 C．经验回归直线必过点 D．当时，残差为1 【答案】C 【详解】对于选项C：，经验回归直线必过样本中心点，代入回归方程得，因此样本中心点为，C说法正确；对于选项A，再由，解得，A说法错误；对于选项B：经验回归方程斜率为，说明与正相关，因此样本相关系数，B说法错误；对于选项D：当时，预测值， 所以残差，因此D说法错误. 6．设双曲线的中心为点，若有且只有一对相交于点、所成的角为的直线和，使，其中和分别是这对直线与双曲线的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意，不妨设双曲线的方程为，而双曲线的弦和都过双曲线的中心，且，由双曲线的对称性，得直线和关于轴对称，不妨令点在第一象限，又直线和的夹角为，则直线的倾斜角为或，而符合要求的直线和有且只有一对，则只有倾斜角为的直线与双曲线有两交点，因此双曲线的渐近线的倾斜角满足：，则，，所以该双曲线的离心率的取值范围是. 7．若定义上的函数满足：对任意且有若的最大值和最小值分别为，则的值为（    ） A．2026 B．2027 C．4054 D．4052 【答案】D 【详解】对任意有，则令，令，，， 令，则，故为上的奇函数，则有， 所以，故，故选D. 8．甲、乙两人进行羽毛球比赛，约定打6局，每局必分胜负，无平局.每局比赛中，获胜方得1分，失败方得0分.已知甲在每局比赛中获胜和失败的概率均为，且各局结果相互独立.在整个比赛过程中，甲的累计得分始终不小于乙的累计得分的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】情况一：甲赢3局，乙赢3局，且甲的累计得分始终不小于乙的累计得分，符合题意的获胜情况有：甲乙甲乙甲乙、甲乙甲甲乙乙、甲甲乙乙甲乙、甲甲乙甲乙乙、甲甲甲乙乙乙共5种，此时概率； 情况二：甲赢4局，乙赢2局，从6局中选4局甲赢，有种，其中不符合题意的获胜情况有：乙乙甲甲甲甲、 乙甲乙甲甲甲、乙甲甲乙甲甲、乙甲甲甲乙甲、乙甲甲甲甲乙、甲乙乙甲甲甲共6种， 则符合题意的获胜情况有9种，此时概率； 情况三：甲赢5局，乙赢1局，符合题意的情况有种，此时概率； 情况四：甲赢6局，乙赢0局，此时概率； 综上，概率． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A． B．直线是函数图象的一条对称轴 C．将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象 D．若函数在上恰有3个零点，则实数的取值范围是 【答案】AC 【详解】A选项，由图可知：，解得：，所以A选项正确；B选项，由图可知：，，且，则，其中， 解得：，又因为，所以，则，将代入得：，由三角函数图像性质得不是正弦函数的对称轴，所以B选项错误； C选项，函数的图象向左平移个单位长度为， 所以C选项正确； D选项，令，得：，求的零点，当时，，当时，，当时，，当时，，零点依次为：第3个零点必须在内， 第4个零点不能在区间内，所以，所以D选项错误. 10．已知圆，则下列说法正确的有（    ） A．圆心在曲线上 B．存在两个不同的实数，使圆过点 C．存在四个不同的实数，使圆与直线相切 D．存在两个不同的实数，满足直线平分圆的面积 【答案】ABD 【详解】因为圆，所以圆心为，满足，所以即，选项A正确；若圆过点，则， 设函数，其函数图象连续不断，且， ，，根据零点存在性定理可知方程恰有两个实数根，选项B正确；若圆与直线相切，则圆心到直线的距离等于半径， 即，化简得，即或者，令，则，令得所以在单调递减，在单调递增，所以，所以方程有唯一解，方程有两个解，所以存在三个不同的实数，使圆与直线相切，选项错误；直线平分圆的面积，等价于直线过圆心，即，令函数，则，令得，所以在单调递减，在单调递增， 且，，，函数图象连续，由零点存在性定理，共有两个零点，所以存在两个不同的实数，满足直线平分圆的面积，所以选项正确. 11．如图， 正方体的棱长为2，，分别是，的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为（   ） A．存在点， 使得平面 B．异面直线与所成的角的大小为 C．过三点的平面截正方体所得截面图形是平行四边形 D．若平面，则点的轨迹的长度为 【答案】ABD 【详解】A选项，取的中点，连接，因为，分别是，的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面，因为，同理可得平面，因为，平面，所以平面平面， 故当在线段上时，满足平面，A正确； B选项，由A知，且，所以，故为直线与所成角或其补角， 连接，则， 所以为等边三角形，故，异面直线与所成的角的大小为，B正确； C选项，连接，由A知，，又，所以，所以四边形即为过，，三点的平面截正方体所得截面图形，因为，所以四边形为梯形，C错误； D选项，连接，因为，平面，平面，所以平面， 又，同理可得平面，又，平面， 所以平面平面，故当在线段上时，平面，所以平面， 所以若平面，则点的轨迹的长度为，D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．设，则______． 【答案】5 【详解】，，， 则，所以，原式. 13．已知正四棱柱的体积为，，且底面内（包含边界）一动点P满足，则点P的轨迹长度为______． 【答案】 【详解】设正四棱柱的高为，则，解得，即侧棱. 易知为直角三角形，所以，所以点在底面上的轨迹是以为圆心、半径的圆的一部分.底面是边长为2的正方形，因为， 所以点的轨迹圆与底面的交点在，上，设为，， 则.在中，，则， 同理可得，所以点的轨迹是圆在正方形内的一段弧，圆心角为， 所以弧长为.故点P的轨迹长度为. 14．给定有穷数列，定义数列的绝对差分数列，，…，，其中．若数列是单调不减的，即，则称数列是数列．已知各项均为整数的数列，，…，满足，并且其差分数列是等差数列，若，，则的所有可能值为________． 【答案】12或39 【详解】因为，所以其差分数列；又因为数列的各项均为整数，所以数列的各项均为整数；易知数列的公差为，且，易知,累加可得；当时，，即，所以；且；因此当时，，此时, 因此；当时，，此时,因此；综上可知，的所有可能值为12或39. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，三棱锥是底面边长为的正三棱锥． (1)证明：； (2)若平面与平面夹角的余弦值为，求． 【答案】（1）略(2)或 【详解】(1)证明：如图，取的中点，连接，由三棱锥是正三棱锥，可得， 所以，因为平面，所以平面， 因为平面，所以，因为在平行四边形中，所以． （2）在线段上取点，使得，连接，则为三棱锥的高， 以为原点，直线为轴，过点与平行的直线为轴， 直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 因为是边长为的正三角形，所以， 设，则， 所以， 设平面的法向量，则，即，取，得， 设平面的法向量，则，即，取，得， 设平面与平面的夹角为，则， 解得或，所以或． 16．记的内角、、的对边分别为、、，已知的面积为，且. (1)求角； (2)若，，求的周长． 【答案】(1)(2)周长为 【详解】（1）由三角形面积公式可得；由余弦定理，， 代入，可得，因为，所以，因为，所以. （2）由结合正弦定理，因为，所以， 又因为，所以，，所以.因为，由正弦定理， 所以， .所以周长为. 17．小王同学参加一个投篮测试，其规则是：有5次投篮机会，若连续投中两次则通过测试并结束测试；若未通过测试，将继续投篮直至5次投篮机会用完；第5次投篮后，不论通过与否均结束测试.现假定小王同学每次投篮结果相互独立，命中率均为，记为小王同学测试结束时投篮的次数. (1)求的分布列及数学期望； (2)若在通过测试的条件下，小王同学恰好投篮2次的概率大于，求的取值范围. 【答案】(1)分布列为： 2 3 4 5 数学期望(2) 【详解】（1）的所有可能取值为：2，3，4，5. 有. . . . 可得的分布列为： 2 3 4 5 可得. （2）设事件：小王同学通过测试，事件：小王同学恰好投篮次. 因为投篮5次通过的概率为. 则. .则在通过测试的条件下，小王同学恰好投篮次的概率为. 又由，可化为，可化为，又由，解得.故的取值范围为. 18．已知椭圆的离心率为，且过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)设直线与椭圆交于两点，为坐标原点，的面积为． （i）求弦长的最小值； （ii）已知直线过点，且以线段为直径的圆经过坐标原点，求． 【答案】(1)；(2)（i）；（ii）. 【详解】（1）由题意，所以，则椭圆方程为， 又椭圆过点，所以，解得，所以椭圆方程为； （2）（i）直线斜率存在时，设直线方程为，显然，设， 由得，，， ，， ，原点到直线的距离为 所以，化简得，满足()， 所以， ，则，，所以， 直线斜率不存在时，设直线方程为，显然，由得，， ，，所以，综上，所以的最小值是； （ii）以线段为直径的圆经过坐标原点，则， 由（i）知，， ，化简得，又由（i）知，即，所以，解得. 19．已知函数. (1)判断的零点个数; (2)若，且，求证: ; (3)若，且，求的最大值. 【答案】(1)在上有且仅有个零点； (2)由基本不等式，两边取对数得.      由知， .      即，所以， 于是，.      另解: 由基本不等式，两边取对数得.      由知， . 再由知， . 于是，． (3)． 【详解】（1）当时，. 当时，由知， ，故. 当时，因为单调递增，单调递增， 所以由单调递增，以及知，存在唯一，使得. 当时，，而，所以，无零点， 综上所述，在上有且仅有个零点.      另解: 由的零点个数即函数与的图象的交点个数，结合下图 知在上有且仅有个零点. （2）略． （3）因为，且， 所以， 所以，不妨设， 并令，由知， 所以， 由于 ， 均为正，所以： 正弦函数在 上严格单调递增，所以，所以. 又因为，可得：， 于是，且， 于是，，且.      再由(2)知，        ， 解得，其中取等条件为. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $