学易金卷：八年级数学9月学情自测卷（四川成都专用，新教材北师大版八年级上册第1～2章：勾股定理+实数）

**基本信息** 立足北师大版八年级上册第1-2章，以文化传承与现实应用为特色，通过基础巩固与创新应用梯度设计，检测实数与勾股定理掌握情况，体现数学眼光、思维与语言的核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8题32分|无理数估计、二次根式运算、勾股定理应用|第5题引用《九章算术》“折竹抵地”问题，渗透文化传承| |填空题|10题40分|实数比较、公式应用、最短路径|第12题圆柱形杯子蚂蚁爬行，体现空间观念与模型意识| |解答题|8题78分|勾股定理证明、几何综合、实际问题|第18题结合灌区水利改造情境，第24题勾股定理拼图证明与变式，培养应用能力与创新意识|

2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材北师大版八年级上册第1~2章。 A卷（共100分） 第Ⅰ部分（选择题 共32分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．估计的值在（     ） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 2．下列各式计算正确的是（     ） A． B． C． D． 3．学校即将开展班级文化月评比活动，为打造特色文化墙，某班特意定制了一块边长为的正方形装饰泡沫板．已知教室门框高，宽，泡沫板不可折叠、切割，那么下面说法正确的是（    ） A．竖直摆放可以直接进门 B．水平横放可以直接进门 C．斜着沿门框对角线能进门 D．怎么都无法进门 4．如图，在数轴上点A所对应的实数是2，过点A作且，以O为圆心，的长为半径画弧，交数轴的正半轴于点C，则点C对应的实数为（     ） A． B． C． D． 5．《九章算术》中有一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题目大意是：“如图，一根竹子高1丈（1丈尺），在点A处折断后竹子顶端点B触地，测得点B离竹子底端点C距离为3尺（即尺），问折断处离地面高为多少尺？”．设折断处离地面高为尺，可列方程为（     ） A． B． C． D． 6．如图，网格中每个小正方形的边长都是1．以点为圆心，长为半径画弧，交网格线于点，则的长为（     ） A． B． C． D． 7．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是勾股定理的经典证法之一．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，其中，，则每个直角三角形的面积为（     ） A．24 B．30 C．36 D．49 8．如图，正方形中，点P，Q分别为，上一个动点，将正方形沿折叠，点的对应点始终落在上，已知，当点为中点时，的长为（     ）    A．3 B．4 C．5 D．6 第Ⅱ部分（非选择题 共68分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分） 9．比较大小：________（填“>”“<”或“=”）． 10．若，则代数式______． 11．电流通过导线时，会产生热量，满足，其中Q为产生的热量（单位：J），I为电流（单位：A，且），R为导线电阻（单位：），t为通电时间（单位：s）．当导线电阻为，通电时间为时，所产生的热量是，这时的电流是______A． 12．如图，圆柱形杯子的高为，底面周长为，在杯内壁（杯子的厚度忽略不计）离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到达内壁处的最短距离为_____________．（假设蜂蜜不会下滑） 13．我国南宋时期的数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中提出了“三斜求积”问题，并给出三角形三边长与面积之间的关系．其关系等价表述如下：若三角形三边长分别为，，，面积为，则．已知一个三角形的最长边是，最短边是，面积是，那么它的第三边长为___________． 三、解答题（本大题共5小题，其中14题8分，15-18题，每题10分，共48分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 14．（满分8分）计算：． 15．（满分10分）已知正数的两个不相等的平方根为m和． (1)当时，求的值； (2)若，求的值． 16．（满分10分）如图，在中，于，，交与点，垂足为，连接，且． (1)求证：； (2)在中，，，，利用图中阴影部分面积的不同计算方法证明：． 17．（满分10分）综合实践课上，爱动手的小聪同学想把两个面积为的小正方形分别沿一条对角线裁剪开后拼成一个如图所示的大正方形，并沿大正方形的四边镶上一根铁丝将其固定． (1)求这根铁丝长度最少为多少厘米？ (2)现有一个长、宽之比为，且面积为的长方形，在（1）的条件下，用这根铁丝沿长方形的边去围这个长方形，这根铁丝够用吗？请通过计算说明你的判断． 18．（满分10分）根据以下素材，探索完成任务．　 板块 内容 背景阐述 灌区是人工修渠引水，浇灌大片农田的水利区域，现灌区推进农田水利升级改造，从工程测绘、荒地绿化到取水点优化，都需要运用直角三角形与勾股定理的相关知识，我们结合灌区场景开展系列探究任务． 素材一 工程测绘员用全等直角三角尺拼接绘制直角三角测绘模板（如图1），模板中，、两块三角尺的直角边分别为，斜边为c，拼接在直线上（A、E、D共线）． 素材二 灌区有一处闲置三角荒地（如图2），边界测量得，．计划对图中灰色阴影地块进行绿化种草． 素材三 灌区河道呈东西走向，河道北侧有村庄C，岸边原有取水点，现决定在河边新建取水点H（A、H．B在同一直线上），并新修一条路，使（如图3），测得千米，千米，千米． (1)任务一：请根据素材一中拼接图形的面积关系，证明勾股定理：； (2)任务二：请计算素材二中灰色阴影地块的绿化面积； (3)任务三：请计算素材三中新修道路的长度（单位：千米）． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分） 19．若，则______． 20．如图，在长方形纸片中，点为边上一点，将长方形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，点落在点处，折痕交于点．若，，，则线段的长为__________． 21．如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别记为，，，，若，，则_________． 22．对于任一个四位正整数，若各个数位上的数字均不相等，且满足千位数字减去十位数字的差等于百位数字减去个位数字的差，且都等于3，则称为“幸福数”，例如：，，，，互不相等，且，是“幸福数”．若一个正整数是另外一个正整数的平方，则称正整数为完全平方数，例如：，则4为完全平方数．若一个“幸福数”为，则____________；若是“幸福数”，记，若是一个完全平方数，则满足条件的“幸福数”的最大值与最小值的差为_____________． 23．如图1，实心长方体木块的长、宽、高分别为，，，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角，得到如图2所示的几何体，一只蚂蚁沿着图2中的几何体表面从顶点爬行到顶点的最短距离为________． 二、解答题（本大题共3小题，其中24题8分，25题10分，26题12分，共30分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 24．（满分8分）回顾人类文明历史，勾股定理所揭示的直角三角形三边关系早已被广泛应用，被认为是人类最早发现、最基本以及应用最广的数学定理之一．历史上不同时代、不同国家的人士，据统计已有数百种，其中中国历代数学家的贡献独树一帜． 【拼图证明】小湖同学对勾股定理的证明进行了再研究．他动手操作，用四张全等的直角三角形纸片（直角边分别为a、b，斜边为c）拼成如图1所示的图形．从面积的角度思考，证明了勾股定理． (1)请你根据上述思路证明：． 【图形变式】小明同学受此启发，对原图进行折叠与拼接，提出以下问题： (2)如图1，若，那么小正方形面积大正方形面积的比值等于 ． (3)如图2，小明先将图1上方的两直角三角形向内折叠，如果，那么空白部分的面积等于 ． (4)如图3，小明再将4个直角三角形紧密的拼接成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为，，求该风车状图案的面积． 25．（满分10分）阅读下列材料，回答问题． 主题 探究形如的数的整数部分与小数部分的特征 提出问题 学过“二次根式”，我们知道许多二次根式为无理数，且均可表示为整数部分与小数部分的和，即，其中为整数，．如．那么形如的数，其整数部分与小数部分各有什么特征呢？ 探究发现 小华对此展开研究，其探究过程如下： （1）； （2） ① ； （3）； （4） ② ； 据此，小华提出并证明了以下命题． 命题：若整数满足，且的整数部分为，小数部分为，则必为奇数，且． 命题证明 证明：因为， 所以，即．又因为，且， 所以． 又根据，可得． 因此， ③ ， ④ ． 又因为均为整数，所以为偶数， 故必为奇数，且． (1)补全①②③④所缺的内容； (2)解决问题1：若整数满足，那么的整数部分是否仍为奇数？证明你的结论； (3)解决问题2：若整数满足，其中为整数，且，试探究：的整数部分是奇数还是偶数？直接写出结论，不必证明． 26．（满分12分）问题提出： (1)如图1，在中，，点D为的中点，则的取值范围是 ； 问题探究： (2)如图2，正方形的边长为2，点E为的中点，平分交于点F，求的长； 问题解决： (3)如图3，公园里有一块所示的花园，在边的中点处安装一个水泵，为了便于给花浇灌，师傅想沿水泵P处修建一条路（点Q在边上），且满足路两边种花的面积相等．已知修建该路的费用为100元/米，请你帮助师傅计算修建这条路所需的总费用为多少元？ 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 11 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： A卷第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂) 一、选择题（每小题4分，共32分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 第Ⅱ卷二、填空题（每小题5分，共20分） 9．_________________ 10．___________________ 11．__________________ 12．__________________ 13.___________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（本大题共5小题，其中14题8分，15-18题，每题10分，共48分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 14．（8分）计算：． 15. （10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16. （10分） 17.（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.（10分） B卷 一、填空题（每小题4分，共20分） 19．_________________ 20．_________________ 21．________________ 22．_________，________ 23．________，________ 　　 二、解答题（本大题共3小题，其中24题8分，25题10分，26题12分，共30分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 24.（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25. （10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26. （12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材北师大版八年级上册第1~2章。 A卷（共100分） 第Ⅰ部分（选择题 共32分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．估计的值在（     ） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴估计的值在6和7之间． 2．下列各式计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依据二次根式运算法则，逐一验证各选项计算是否正确． 【详解】解：A.，故A错误． B.，故B错误． C.，故C正确． D.，故D错误． 3．学校即将开展班级文化月评比活动，为打造特色文化墙，某班特意定制了一块边长为的正方形装饰泡沫板．已知教室门框高，宽，泡沫板不可折叠、切割，那么下面说法正确的是（    ） A．竖直摆放可以直接进门 B．水平横放可以直接进门 C．斜着沿门框对角线能进门 D．怎么都无法进门 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，先排除竖直、水平摆放的错误选项，再利用勾股定理计算门框对角线长度，与正方形泡沫板边长比较即可得到结论． 【详解】解：∵ 正方形泡沫板边长为，门框高，宽， 竖直或水平摆放时，因 大于门框的高或宽，故无法进门，排除A，B， 斜着沿门框对角线摆放时，根据勾股定理，门框对角线长为： ∵ ∴ ，即泡沫板边长小于门框对角线长，只要将泡沫板倾斜，使其一边顺着门框的对角线方向穿过，可以进门， 因此C正确，D错误． 4．如图，在数轴上点A所对应的实数是2，过点A作且，以O为圆心，的长为半径画弧，交数轴的正半轴于点C，则点C对应的实数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先由点的坐标得出的长，再利用勾股定理求出的长，根据圆的半径相等得出，最后由实数与数轴上点的对应关系求解即可． 【详解】解：点所对应的实数是2， ， ， ， 在 中，，， 由勾股定理可得， 以为圆心，的长为半径画弧，交数轴的正半轴于点， 点对应的实数为． 5．《九章算术》中有一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题目大意是：“如图，一根竹子高1丈（1丈尺），在点A处折断后竹子顶端点B触地，测得点B离竹子底端点C距离为3尺（即尺），问折断处离地面高为多少尺？”．设折断处离地面高为尺，可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意得尺，尺，， 设高为尺，则尺， 由勾股定理得，即． 6．如图，网格中每个小正方形的边长都是1．以点为圆心，长为半径画弧，交网格线于点，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，利用勾股定理进行求解即可. 【详解】解：连接，由作图可知，， 在中，，， ∴. 7．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是勾股定理的经典证法之一．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，其中，，则每个直角三角形的面积为（     ） A．24 B．30 C．36 D．49 【答案】B 【分析】由题意可得，再与已知条件联立，利用完全平方公式即可求出的值，从而求出每个直角三角形的面积． 【详解】解：由勾股定理，得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴每个直角三角形的面积为． 8．如图，正方形中，点P，Q分别为，上一个动点，将正方形沿折叠，点的对应点始终落在上，已知，当点为中点时，的长为（     ）    A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】由正方形的性质得到，由中点的性质得到，，则，由折叠可得，再利用勾股定理运算求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵点为中点， ∴， 设，则， ∵折叠， ∴， ∴在中，， ∴， 解得：， ∴． 第Ⅱ部分（非选择题 共68分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分） 9．比较大小：________（填“>”“<”或“=”）． 【答案】 【分析】将整数化为立方根形式，通过比较被开方数的大小即可得到结果． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， ∴． 10．若，则代数式______． 【答案】 【分析】几个非负数的和为，则每个非负数都为，据此求出，，的值，代入代数式计算即可． 【详解】解：∵ 算术平方根、平方数、绝对值都是非负数，且 ∴ 每个非负数都等于，可得： ，解得 ，解得 ，解得 将，，代入得： 11．电流通过导线时，会产生热量，满足，其中Q为产生的热量（单位：J），I为电流（单位：A，且），R为导线电阻（单位：），t为通电时间（单位：s）．当导线电阻为，通电时间为时，所产生的热量是，这时的电流是______A． 【答案】 【分析】将已知的，，代入公式，变形后结合计算出即可. 【详解】解：把，，代入公式，得， 整理得，即， ∵， ∴. 12．如图，圆柱形杯子的高为，底面周长为，在杯内壁（杯子的厚度忽略不计）离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到达内壁处的最短距离为_____________．（假设蜂蜜不会下滑） 【答案】20 【分析】将圆柱侧面展开为矩形，作点关于杯口上沿的对称点，连接即为最短路径，确定直角三角形的两条直角边长，利用勾股定理求解； 【详解】解：如图，将圆柱侧面展开，作点关于杯口上沿的对称点，连接， 由对称性可得， ， 线段的长即为蚂蚁从外壁处到达内壁处的最短距离， 由题意得，，，， ， 在中，由勾股定理得． 13．我国南宋时期的数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中提出了“三斜求积”问题，并给出三角形三边长与面积之间的关系．其关系等价表述如下：若三角形三边长分别为，，，面积为，则．已知一个三角形的最长边是，最短边是，面积是，那么它的第三边长为___________． 【答案】 【分析】根据，确定最长边，最短边，所求第三边为，将已知条件代入给定公式求解，舍去负根即可． 【详解】解：三角形三边长满足，最长边为，最短边为， ∴，， ∵，， ∴， 解得：， ∵边长为正数， ∴， ∵，符合条件， ∴它的第三边长为． 三、解答题（本大题共5小题，其中14题8分，15-18题，每题10分，共48分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 14．（满分8分）计算：． 【答案】 【详解】解：， ， ， ． 15．（满分10分）已知正数的两个不相等的平方根为m和． (1)当时，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正数的两个不相等的平方根互为相反数，结合的值求出，再计算． （2）利用平方根的平方等于原数，代入等式化简求得． 【详解】（1）解：正数的两个不相等的平方根为和， ，，， ， ， ， ， ． （2）把，代入得： ， ， ， ， 为正数， ． 16．（满分10分）如图，在中，于，，交与点，垂足为，连接，且． (1)求证：； (2)在中，，，，利用图中阴影部分面积的不同计算方法证明：． 【答案】(1) 证明：， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ． (2) 证明：； ， ， ． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理的证明等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质、掌握利用面积法证明勾股定理是解题的关键． （1）由、，得到、，进而得到，根据即可证明结论． （2）利用和列关于a、b、c的等式即可证明结论． 【详解】（1）略 （2）略 17．（满分10分）综合实践课上，爱动手的小聪同学想把两个面积为的小正方形分别沿一条对角线裁剪开后拼成一个如图所示的大正方形，并沿大正方形的四边镶上一根铁丝将其固定． (1)求这根铁丝长度最少为多少厘米？ (2)现有一个长、宽之比为，且面积为的长方形，在（1）的条件下，用这根铁丝沿长方形的边去围这个长方形，这根铁丝够用吗？请通过计算说明你的判断． 【答案】(1)80 (2)铁丝够用． 理由：设长方形纸片的长为，宽为，长方形的周长为． 依题意得：， 解得：， ， ， 长方形的周长为， ， ， 用这根的铁丝沿长方形的边去围这个长方形，铁丝够用． 【分析】本题考查了图形的剪拼、正方形的面积、算术平方根的实际应用等知识． （1）根据题意得到大正方形面积，然后求出边长即可解决问题； （2）设长方形纸片的长为，宽为，根据面积为可得，则长方形的周长为，再根据可得，由此即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意得大正方形的面积为， 设大正方形的边长为， 则， ∴（舍去负值）， ∴大正方形的边长为． ∴这根铁丝长度最少为． （2）略 18．（满分10分）根据以下素材，探索完成任务．　 板块 内容 背景阐述 灌区是人工修渠引水，浇灌大片农田的水利区域，现灌区推进农田水利升级改造，从工程测绘、荒地绿化到取水点优化，都需要运用直角三角形与勾股定理的相关知识，我们结合灌区场景开展系列探究任务． 素材一 工程测绘员用全等直角三角尺拼接绘制直角三角测绘模板（如图1），模板中，、两块三角尺的直角边分别为，斜边为c，拼接在直线上（A、E、D共线）． 素材二 灌区有一处闲置三角荒地（如图2），边界测量得，．计划对图中灰色阴影地块进行绿化种草． 素材三 灌区河道呈东西走向，河道北侧有村庄C，岸边原有取水点，现决定在河边新建取水点H（A、H．B在同一直线上），并新修一条路，使（如图3），测得千米，千米，千米． (1)任务一：请根据素材一中拼接图形的面积关系，证明勾股定理：； (2)任务二：请计算素材二中灰色阴影地块的绿化面积； (3)任务三：请计算素材三中新修道路的长度（单位：千米）． 【答案】(1)证明：， ， ， ， ， ∴， ， ， ， 即； (2)24 (3)1.2千米 【分析】（1）根据三角形全等以及可得，再由三角形面积公式可分别求解出、与的面积，再由梯形面积公式求解出梯形的面积，由此可证勾股定理； （2）根据勾股定理可求解的长度，再由勾股定理逆定理可得为90度，分别计算与的面积即可求解阴影面积； （3）设，在中由勾股定理表示，在中由勾股定理表示，列式求解x的值，再回代求即可． 【详解】（1）略； （2）解：，，， ， ，， ， ， ， 答：阴影部分面积为24； （3）解：设千米，则千米， ， ， 在中，， 在中，， ，即， 整理得，， 解得，， 千米， （千米）， 答：新修路的长为1.2千米． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分） 19．若，则______． 【答案】2027 【分析】首先根据二次根式的意义确定m的取值范围，进而确定出的符号，然后对条件中的等式化简整理即可得解． 【详解】由 有意义，得， ， . ， 可化简为， ，即． 20．如图，在长方形纸片中，点为边上一点，将长方形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，点落在点处，折痕交于点．若，，，则线段的长为__________． 【答案】 【分析】由折叠的性质得出，，，，，由勾股定理求出，进而得出，证明，由全等三角形的性质得出，， 由线段的和差关系得出，，设，则， 由勾股定理得出，代入求解即可． 【详解】解：由折叠的性质可知：，，，，， ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，， 设，则， 在中，， 即， 解得：， 即． 21．如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别记为，，，，若，，则_________． 【答案】 【分析】连接，根据正方形的面积公式推出，根据勾股定理可得，据此代入求值即可． 【详解】解：如图所示，连接， 由题意得，，，，， ∵，， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴或（舍去）． 22．对于任一个四位正整数，若各个数位上的数字均不相等，且满足千位数字减去十位数字的差等于百位数字减去个位数字的差，且都等于3，则称为“幸福数”，例如：，，，，互不相等，且，是“幸福数”．若一个正整数是另外一个正整数的平方，则称正整数为完全平方数，例如：，则4为完全平方数．若一个“幸福数”为，则____________；若是“幸福数”，记，若是一个完全平方数，则满足条件的“幸福数”的最大值与最小值的差为_____________． 【答案】 【分析】第一空根据“幸福数”的定义求出，再计算；第二空根据“幸福数”的定义表示出，化简后结合完全平方数和数位数字的要求，找出所有符合条件的“幸福数”，计算最大值与最小值的差． 【详解】解：∵“幸福数”满足千位数字与十位数字之差、百位数字与个位数字之差都为， ∴， 解得， ∴； 设四位“幸福数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为， 根据定义得十位数字，个位数字， ∵，是数位上的数字，需满足，，且，， ∴，，即，， ， ∵是完全平方数， ∴设，其中为正整数， 代入得， 化简得， 由，，得，即， 整理得，符合条件的正整数对应的为，，，，， 对应分别为，，，，， 当时，，，，，四个数字，，，均不相等，符合条件，得； 当时，，，，，四个数字，，，均不相等，符合条件，得； 当时，，，得，不符合数位要求，舍去； 当时，，，，，数字重复，不符合要求，舍去； 当时，，，，，四个数字，，，均不相等，符合条件，得； ∴符合条件的中，最大值为，最小值为，差为． 23．如图1，实心长方体木块的长、宽、高分别为，，，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角，得到如图2所示的几何体，一只蚂蚁沿着图2中的几何体表面从顶点爬行到顶点的最短距离为________． 【答案】 【分析】根据四种不同情况，利用勾股定理分别计算顶点爬行到顶点的距离，比较大小，从而确定最短距离． 【详解】解：从顶点爬行到顶点共四种情况： 第一种情况：从剪掉一角露出来的截面上的顶点爬行到上面的顶点，将这两个平面展开，如下图所示，连接交于点E， ∵，， ∴是线段的垂直平分线， 即，， ∵长方体， ∴， 又∵， ∴， 在中，，根据勾股定理得，， ∴， ∵，， 在中，根据勾股定理得， ， ∴（cm）， 第二种情况：从前面的顶点爬行到上面的顶点，将这两个平面展开，如下图所示，连接， ∵，， ∴在中，根据勾股定理得，（cm）， 第三种情况：从前面的顶点爬行到左面的顶点，将这两个平面展开，如下图所示，连接， ∵，， ∴在中，根据勾股定理得，（cm）， 第四种情况：从底面的顶点爬行到左面的顶点，将这两个平面展开，如下图所示， 连接， ∵，， ∴在中，根据勾股定理得，（cm）， 综上所述，从顶点爬行到顶点的最短距离为 cm． 二、解答题（本大题共3小题，其中24题8分，25题10分，26题12分，共30分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 24．（满分8分）回顾人类文明历史，勾股定理所揭示的直角三角形三边关系早已被广泛应用，被认为是人类最早发现、最基本以及应用最广的数学定理之一．历史上不同时代、不同国家的人士，据统计已有数百种，其中中国历代数学家的贡献独树一帜． 【拼图证明】小湖同学对勾股定理的证明进行了再研究．他动手操作，用四张全等的直角三角形纸片（直角边分别为a、b，斜边为c）拼成如图1所示的图形．从面积的角度思考，证明了勾股定理． (1)请你根据上述思路证明：． 【图形变式】小明同学受此启发，对原图进行折叠与拼接，提出以下问题： (2)如图1，若，那么小正方形面积大正方形面积的比值等于 ． (3)如图2，小明先将图1上方的两直角三角形向内折叠，如果，那么空白部分的面积等于 ． (4)如图3，小明再将4个直角三角形紧密的拼接成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为，，求该风车状图案的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3) (4) 【分析】（1）根据大正方形面积个小三角形面积+小正方形面积，即可得证． （2）求出小正方形的面积，大正方形的面积即可； （3）根据空白部分的面积为小正方形的面积两个三角形的面积，计算即可， （4）可设，根据勾股定理列出方程可求x，再根据直角三角形面积公式计算即可求解． 【详解】（1）证明：∵大正方形面积个小三角形面积+小正方形面积， ∴，即， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∴小正方形面积大正方形面积， 故答案为：； （3）根据题意得， ∵空白部分的面积为小正方形的面积两个三角形的面积， ∴空白部分的面积． （4）如图， 根据题意得，， 设，则，， 在中，， 即， 解得， ∴， ∴该风车状图案的面积． 25．（满分10分）阅读下列材料，回答问题． 主题 探究形如的数的整数部分与小数部分的特征 提出问题 学过“二次根式”，我们知道许多二次根式为无理数，且均可表示为整数部分与小数部分的和，即，其中为整数，．如．那么形如的数，其整数部分与小数部分各有什么特征呢？ 探究发现 小华对此展开研究，其探究过程如下： （1）； （2） ① ； （3）； （4） ② ； 据此，小华提出并证明了以下命题． 命题：若整数满足，且的整数部分为，小数部分为，则必为奇数，且． 命题证明 证明：因为， 所以，即．又因为，且， 所以． 又根据，可得． 因此， ③ ， ④ ． 又因为均为整数，所以为偶数， 故必为奇数，且． (1)补全①②③④所缺的内容； (2)解决问题1：若整数满足，那么的整数部分是否仍为奇数？证明你的结论； (3)解决问题2：若整数满足，其中为整数，且，试探究：的整数部分是奇数还是偶数？直接写出结论，不必证明． 【答案】(1)①；②；③；④． (2)不是奇数，证明如下： ，， ，即． 又 ，且， ． 又 ， ， ， ． 故． 又 ，均为整数， 为偶数，故不是奇数． (3)当为偶数，且时，为奇数；当为奇数，且时，为偶数． 【分析】（1）根据题意求解即可； （2）先求出，根据，且，得到，由可得，则，求出，即可判断； （3）由（1）知，，根据，得到，进而得到，推出，即可判定． 【详解】（1）解： ， ①； ， ②； ， ， ，即③ ，即④； （2）略 （3）由（1）知，， ，其中为整数，且， ， ， ， ， 当为偶数，且时，为奇数， 为偶数， 为奇数，即为奇数； 当为奇数，且时，为偶数， 为偶数， 为偶数，即为偶数， 综上，当为偶数，且时，为奇数；当为奇数，且时，为偶数． 26．（满分12分）问题提出： (1)如图1，在中，，点D为的中点，则的取值范围是 ； 问题探究： (2)如图2，正方形的边长为2，点E为的中点，平分交于点F，求的长； 问题解决： (3)如图3，公园里有一块所示的花园，在边的中点处安装一个水泵，为了便于给花浇灌，师傅想沿水泵P处修建一条路（点Q在边上），且满足路两边种花的面积相等．已知修建该路的费用为100元/米，请你帮助师傅计算修建这条路所需的总费用为多少元？ 【答案】(1) (2) (3)6500元 【分析】（1）延长至点E，使，连接，可证，则，在中由即可求解； （2）延长至H，使得，连接，过点F作于点G，进而可证，得到A、B、H三点共线，由角平分线性质定理可设，再分别在、中利用勾股定理求解即可； （3）取中点为点Q，连接，过点P作交于点E，过点P作交于点F，延长至点M，使得，连接，过点M作交的延长线于点H，则将四边形面积平分，则四边形是平行四边形，得到，同理：，同（1）可证：，因此， 下面推导出，则，，故在中，由勾股定理得，则，因此总费用为：（元）． 【详解】（1）解：延长到点E，使，则， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴； （2）解：延长至H，使得，连接． ∵点E是的中点， ∴． 在与中， ∴， ∴， ∴A、B、H三点共线． 过点F作于点G． ∵平分， ∴， ∴， ∴． 在中，， 由勾股定理，得 ∴， 在中，， 由勾股定理得， ∴， ∴； （3）解：取的中点Q，连接，则将四边形的面积平分， 过点P作交于点E，过点P作交于点F，延长至点M，使得，连接， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． 同理：． 在与中， ， ∴， ∴，． 又∵， ∴， ∴． 过点M作交的延长线于点H， ∴， ∴， ∴． 在中，由勾股定理得， ∴， ∴总费用（元）， ∴师傅修建这条路所需的总费用为6500元． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材北师大版八年级上册第1~2章。 A卷（共100分） 第Ⅰ部分（选择题 共32分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．估计的值在（     ） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 2．下列各式计算正确的是（     ） A． B． C． D． 3．学校即将开展班级文化月评比活动，为打造特色文化墙，某班特意定制了一块边长为的正方形装饰泡沫板．已知教室门框高，宽，泡沫板不可折叠、切割，那么下面说法正确的是（    ） A．竖直摆放可以直接进门 B．水平横放可以直接进门 C．斜着沿门框对角线能进门 D．怎么都无法进门 4．如图，在数轴上点A所对应的实数是2，过点A作且，以O为圆心，的长为半径画弧，交数轴的正半轴于点C，则点C对应的实数为（     ） A． B． C． D． 5．《九章算术》中有一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题目大意是：“如图，一根竹子高1丈（1丈尺），在点A处折断后竹子顶端点B触地，测得点B离竹子底端点C距离为3尺（即尺），问折断处离地面高为多少尺？”．设折断处离地面高为尺，可列方程为（     ） A． B． C． D． 6．如图，网格中每个小正方形的边长都是1．以点为圆心，长为半径画弧，交网格线于点，则的长为（     ） A． B． C． D． 7．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是勾股定理的经典证法之一．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，其中，，则每个直角三角形的面积为（     ） A．24 B．30 C．36 D．49 8．如图，正方形中，点P，Q分别为，上一个动点，将正方形沿折叠，点的对应点始终落在上，已知，当点为中点时，的长为（     ）    A．3 B．4 C．5 D．6 第Ⅱ部分（非选择题 共68分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分） 9．比较大小：________（填“>”“<”或“=”）． 10．若，则代数式______． 11．电流通过导线时，会产生热量，满足，其中Q为产生的热量（单位：J），I为电流（单位：A，且），R为导线电阻（单位：），t为通电时间（单位：s）．当导线电阻为，通电时间为时，所产生的热量是，这时的电流是______A． 12．如图，圆柱形杯子的高为，底面周长为，在杯内壁（杯子的厚度忽略不计）离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到达内壁处的最短距离为_____________．（假设蜂蜜不会下滑） 13．我国南宋时期的数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中提出了“三斜求积”问题，并给出三角形三边长与面积之间的关系．其关系等价表述如下：若三角形三边长分别为，，，面积为，则．已知一个三角形的最长边是，最短边是，面积是，那么它的第三边长为___________． 三、解答题（本大题共5小题，其中14题8分，15-18题，每题10分，共48分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 14．（满分8分）计算：． 15．（满分10分）已知正数的两个不相等的平方根为m和． (1)当时，求的值； (2)若，求的值． 16．（满分10分）如图，在中，于，，交与点，垂足为，连接，且． (1)求证：； (2)在中，，，，利用图中阴影部分面积的不同计算方法证明：． 17．（满分10分）综合实践课上，爱动手的小聪同学想把两个面积为的小正方形分别沿一条对角线裁剪开后拼成一个如图所示的大正方形，并沿大正方形的四边镶上一根铁丝将其固定． (1)求这根铁丝长度最少为多少厘米？ (2)现有一个长、宽之比为，且面积为的长方形，在（1）的条件下，用这根铁丝沿长方形的边去围这个长方形，这根铁丝够用吗？请通过计算说明你的判断． 18．（满分10分）根据以下素材，探索完成任务．　 板块 内容 背景阐述 灌区是人工修渠引水，浇灌大片农田的水利区域，现灌区推进农田水利升级改造，从工程测绘、荒地绿化到取水点优化，都需要运用直角三角形与勾股定理的相关知识，我们结合灌区场景开展系列探究任务． 素材一 工程测绘员用全等直角三角尺拼接绘制直角三角测绘模板（如图1），模板中，、两块三角尺的直角边分别为，斜边为c，拼接在直线上（A、E、D共线）． 素材二 灌区有一处闲置三角荒地（如图2），边界测量得，．计划对图中灰色阴影地块进行绿化种草． 素材三 灌区河道呈东西走向，河道北侧有村庄C，岸边原有取水点，现决定在河边新建取水点H（A、H．B在同一直线上），并新修一条路，使（如图3），测得千米，千米，千米． (1)任务一：请根据素材一中拼接图形的面积关系，证明勾股定理：； (2)任务二：请计算素材二中灰色阴影地块的绿化面积； (3)任务三：请计算素材三中新修道路的长度（单位：千米）． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分） 19．若，则______． 20．如图，在长方形纸片中，点为边上一点，将长方形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，点落在点处，折痕交于点．若，，，则线段的长为__________． 21．如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，面积分别记为，，，，若，，则_________． 22．对于任一个四位正整数，若各个数位上的数字均不相等，且满足千位数字减去十位数字的差等于百位数字减去个位数字的差，且都等于3，则称为“幸福数”，例如：，，，，互不相等，且，是“幸福数”．若一个正整数是另外一个正整数的平方，则称正整数为完全平方数，例如：，则4为完全平方数．若一个“幸福数”为，则____________；若是“幸福数”，记，若是一个完全平方数，则满足条件的“幸福数”的最大值与最小值的差为_____________． 23．如图1，实心长方体木块的长、宽、高分别为，，，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角，得到如图2所示的几何体，一只蚂蚁沿着图2中的几何体表面从顶点爬行到顶点的最短距离为________． 二、解答题（本大题共3小题，其中24题8分，25题10分，26题12分，共30分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 24．（满分8分）回顾人类文明历史，勾股定理所揭示的直角三角形三边关系早已被广泛应用，被认为是人类最早发现、最基本以及应用最广的数学定理之一．历史上不同时代、不同国家的人士，据统计已有数百种，其中中国历代数学家的贡献独树一帜． 【拼图证明】小湖同学对勾股定理的证明进行了再研究．他动手操作，用四张全等的直角三角形纸片（直角边分别为a、b，斜边为c）拼成如图1所示的图形．从面积的角度思考，证明了勾股定理． (1)请你根据上述思路证明：． 【图形变式】小明同学受此启发，对原图进行折叠与拼接，提出以下问题： (2)如图1，若，那么小正方形面积大正方形面积的比值等于 ． (3)如图2，小明先将图1上方的两直角三角形向内折叠，如果，那么空白部分的面积等于 ． (4)如图3，小明再将4个直角三角形紧密的拼接成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为，，求该风车状图案的面积． 25．（满分10分）阅读下列材料，回答问题． 主题 探究形如的数的整数部分与小数部分的特征 提出问题 学过“二次根式”，我们知道许多二次根式为无理数，且均可表示为整数部分与小数部分的和，即，其中为整数，．如．那么形如的数，其整数部分与小数部分各有什么特征呢？ 探究发现 小华对此展开研究，其探究过程如下： （1）； （2） ① ； （3）； （4） ② ； 据此，小华提出并证明了以下命题． 命题：若整数满足，且的整数部分为，小数部分为，则必为奇数，且． 命题证明 证明：因为， 所以，即．又因为，且， 所以． 又根据，可得． 因此， ③ ， ④ ． 又因为均为整数，所以为偶数， 故必为奇数，且． (1)补全①②③④所缺的内容； (2)解决问题1：若整数满足，那么的整数部分是否仍为奇数？证明你的结论； (3)解决问题2：若整数满足，其中为整数，且，试探究：的整数部分是奇数还是偶数？直接写出结论，不必证明． 26．（满分12分）问题提出： (1)如图1，在中，，点D为的中点，则的取值范围是 ； 问题探究： (2)如图2，正方形的边长为2，点E为的中点，平分交于点F，求的长； 问题解决： (3)如图3，公园里有一块所示的花园，在边的中点处安装一个水泵，为了便于给花浇灌，师傅想沿水泵P处修建一条路（点Q在边上），且满足路两边种花的面积相等．已知修建该路的费用为100元/米，请你帮助师傅计算修建这条路所需的总费用为多少元？ 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 答题卡 日 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 ==▣===-====。。=-。====-。一=▣。■ 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×][][/] A卷第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题4分，共32分） 1.[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 4A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 6.[A][B][CJ[D] 7.A][B][C][D] 8.[A][B][CJ[D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题5分，共20分） 9. 10. 11. 12. 13 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（本大题共5小题，其中14题8分，15-18题，每题10分，共48分.解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤) 14.(8分)计算：-27+3-V5-(V5-8+V5. 15.（10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(10分) A F ◇E B D 17.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 18.(10分) B卷 一、填空题（每小题4分，共20分） 19. 20. 21. 22. 23. 二、解答题（本大题共3小题，其中24题8分，25题10分，26题12分，共30分.解答应写出文字 说明，证明过程或演算步骤) 24.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26.(12分) A】 P D 图1 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 参考答案 A卷（共100分) 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题 目要求的) 4 6 B D B 二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分，请把正确的答案填写在答题卡相应的位置。） 9.>10.9311.312.2013.2/10 三、解答题（本大题共5小题，其中14题8分，1518题，每题10分，共48分.解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤) 14.【详解】解：3-27+3-5引-9-8}+5， =-3+3-V5-3-2}2+5, =-3+3-V5-1+V5, =-1.(8分) 15.【详解】(1)解：.‘正数x的两个不相等的平方根为m和m+n, .m+m+n=0,m2=x,m+n=x, ∴.2m+n=C, .n=16, .2m+16=(, ∴.m=-￡，(3分) ∴.x=m2=-82=64.(4分) 学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 (2)把m2=x,m+n}2=x代入mx+m+nx=32得： x2+x2=32, 2x2=32, ∴.x2=16,(7分) .∴.X=±4， ,X为正数， .x=4.(10分) 16.【详解】(1) 证明： A(, A(, ∠ B/, D1, ∠， A1, ∠ B上，(3分) 在△ABC与△DEC中， AC BA, AB=DE .△ ABC≌AAS4.(6分) (2) 证明：Sam-5am+5om号+b 2 5a=5uo5a生平中cDF-R方年，分) 2 .a2+b2=c2.(10分) 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 17.【详解】(1)解：由题意得大正方形的面积为2×200=400cm, 设大正方形的边长为acm, 则a2=400, ∴.a=20(舍去负值)，(2分) .大正方形的边长为20cm. .∴，这根铁丝长度最少为20cm×4=80cm.(4分) (2)铁丝够用.(5分) 理由：设长方形纸片的长为5xcm,宽为3xcm,长方形的周长为2×(5x+3x)=16xcm. 依题意得：5x3x=360, 解得：x=±V24, .x>0, X=V24,(8分) 长方形的周长为2×(5x+3x)=16xcm=16V24cm, .V24<V25=5, .1624<80, .∴.用这根80cm的铁丝沿长方形的边去围这个长方形，铁丝够用.(10分) 18.【详解】(1)证明：，Rt△ ∠ AI, A=, DI, ∠ DI, ∴.∠BEC=90,(2分) 1 SABEC+SAABE+SADEC= xcxc+ xaxb+1 c2 ×ab= +ab, 2 5+btab. 1 2 +brab-c rab, 2 2 即a2+b2=c2；(4分) 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 (2)解：. A],AD=4,CD=3, ∴.AC=/CD2+AD2=32+4=5, .AB=13,BC=12, .AC2+BC2=AB2,(5分) ∠， ∴5e=56e5am3×5×2-7X3x424.6分 1 答：阴影部分面积为24： (3)解：设AH=x千米，则BH=1.4-x千米， CI, ∠ CI. ∴.在Rt△AHC中，CH=AC2-AH2, 在Rt△BHC中，CH=BC2-BH2, ∴.AC2-AH=BC2-BH,即1.32-x2=1.52-1.4-x2, 整理得，2.8x=1.4, 解得，x=0.5,(8分) ∴.AH=0.5千米， ∴.CH=AC2-AH=1.32-0.52=1.2(千米)， 答：新修路CH的长为1.2千米.(10分) B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分） 1920272082197236 565623.9V2+9V11 二、解答题（本大题共3小题，其中24题8分，25题10分，26题12分，共30分.解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤) 24.【详解】(1)证明：，大正方形面积=4个小三角形面积+小正方形面积， 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ab4号b+e,即a2+b+2ah-2ab+d, a2+b2=c2.(2分) (2)解：：c=Va2+b,b=2a, ..c=V5a, ∴小正方形面积：大正方形面积=5a2:3a2=5:9, 故答案为：5：9：(4分) (3)根据题意得c=a2+b2=32+52=34, ,空白部分的面积为=小正方形的面积一两个三角形的面积， :空白部分的面积=V34-2××3×5=19.(5分) (4)如图， A B 根据题意得AB+AC=28÷4=7,OB=0C=2, 设AC=X,则OA=2+X,AB=7-X, 在Rt△ABC中，OA2+OB2=AB2, 即x+2}+22=7-xP, 解得x 18 :0A=77 18, (7分) ·该风车状图案的面积=45A0B=4x号0A-0B=22× 77154 189- .(8分) 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 25.【详解】(1)解：(2+12=3+22=5+22-2， .①5： :22+2}=12+8V2=23+82-11, ∴.②82-11： .'0<2a-b<1, ∴.0<92a-b2<1, ∴.m=4a2+2b2-1,即③4a2+2b2-1 .n=1-2a-b2,即④1-2a-bP:(3分) (2)m不是奇数，证明如下：(4分) .'V2a+bP=2a2+22ab+b2,2ab2=2a2-2V2ab+b2, .2a+b}+V2a-bP-4a2+2b2,即V2a+b?=4a2+2b2-2a-b2. 又'.RV2a+b=m+n,且0<n<1, .4a2+2b2-V2a-b2=m+n.5分) 又1<2a-b<V2, .1<V2a-b2<2, .n=2-R2a-b, .m+n=4a2+2b2-2+2-RV2a-b2. 故m=4a2+2b2-2. 又.'a,b均为整数， ∴.4a2+2b2-2为偶数，故m不是奇数.(6分) (3)由(1)知，4a2+2b2-2a-b=m+n, 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ,V亚<V2a-b<Vk+1,其中k为整数，且k22, ∴.k<2a-b}2<k+1, .n=k+1-2a-b2, .m+n=4a2+2b2-/2a-b月 ∴.m+n=4a2+2b2-k+1+k+1-9V2a-b7 ∴.m+n=4a2+2b2-k+1+n, .m=4a2+2b2-k+1,(8分) 当k为偶数，且k22时，k+1为奇数， .4a2+2b为偶数， ∴.4a2+2b-k+1为奇数，即m为奇数；(9分) 当k为奇数，且k≥2时，k+1为偶数， .4a2+2b2为偶数， ∴.4a2+2b2-k+1为偶数，即m为偶数， 综上，当k为偶数，且k≥2时，m为奇数：当k为奇数，且k≥2时，m为偶数.(10分) 26.【详解】(1)解：延长AD到点E,使DE=AD,则AE=2AD, D 在△ADC和△EDB中， 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 AD=ED AD CD=BD .△ ADC≌ △EI,(2分) ∴.BE=AC=6. 在△ABE中，BE-AB<AE<BE+AB, .2<2AD<10, ∴.1<AD<5;(3分) (2)解：延长DE至H,使得EH=DE,连接BH,EH. H ,点E是BC的中点， ∴.BE=CE 在△CDE与△BME中， CE=BE ∠ DE DE-EH ∴△ C,(4分) ∴.DC=BH=2∠ DCB=∠ I, ∴A、B、H三点共线 过点F作FG⊥DM于点G. DF平分∠ Al, ∴.FG=AF=X, .'.FB=2-x, .HF=BH+BF=4-x. 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 在Rt△DEC中，DC=2,EC=1, 由勾股定理，得DE=V5(6分) ∴.HE=DE=V5,EG=5-2 在Rt△FGH中，HF=4-x,FG=x,HG=HE+EG=2V5-2, 由勾股定理得，2V5-2}+x2=4-x月 .x=5-1, AF=5-1:(7分) (3)解：取BC的中点Q,连接PQ,则PQ将四边形ABCD的面积平分， 过点P作PE‖AB交BC于点E,过点P作PF‖CD交BC于点F,延长PQ至点M,使得QM=PQ,连接 MQ, ∠ B=∠ PEQ,. ADl “.四边形ABEP是平行四边形， ∴.AB=PE=70m. 同理：PF=CD=50V2m. 在△PQF与△MQ中， PQ=QM PQ, FQ=EQ .△PQF≌ △ MC,(9分) .PF=EM=50P2m,∠ PE. 又，∠ B1, ∠ PE, ∠ PEM=∠ 过点M作MH⊥PE交PE的延长线于点H, 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 AP D B E F M .∠ M, .'EH=MH=50m, .PH=PE+EH=70+50=120m, 在Rt△PHM仲，由勾股定理得PM=2PQ=120+50=130m, .P0=65m, ∴.总费用=65×100=6500（元）， ∴.师傅修建这条路所需的总费用为6500元.(12分)