7.1天体运动 模型归类（专题训练）【五大重要题型】-2027届高考物理一轮复习

**基本信息** 以五大模型为核心，系统覆盖天体运动全考点，通过选择、填空、解答题递进训练，实现从概念到应用的逻辑建构。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |行星的运动|3选择+5填空|结合航天情境，考查开普勒定律及物理学史|从日心说/地心说到开普勒三定律，构建行星运动规律认知| |万有引力定律应用|6选择+1解答|涉及重力加速度、密度、自转影响等计算|以万有引力提供向心力为核心，推导地表与高空重力加速度关系| |宇宙速度|5选择+1填空|对比地球与其他天体第一宇宙速度，辨析宇宙速度含义|基于万有引力定律推导第一宇宙速度，延伸至第二、三宇宙速度| |同步与近地卫星|7选择+2多选+3填空|对比同步卫星、近地卫星及赤道物体的运动参量|围绕卫星轨道特性，建立周期、速度、加速度与轨道半径的关系| |双星与多星|4选择+3多选+3解答|涵盖双星、三星、六星系统模型|从两体到多体，应用万有引力合力提供向心力，拓展天体系统模型|

7.1天体运动——模型归类（专题训练）【五大重要题型】 【考点1 】行星的运动 1 【考点2 】万有引力定律应用 2 【考点3 】宇宙速度 4 【考点4 】同步与近地卫星 6 【考点5 】双星与多星 9 【考点1：行星的运动】 一、单选题 1．年月日时分，搭载神舟二十二号飞船的长征二号遥二十二运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火发射，进入预定轨道后，按照预定程序与空间站组合体进行自主快速交会对接。如图所示，为椭圆轨道Ⅰ与地球的切点（近地点），P为椭圆轨道Ⅰ与圆形轨道Ⅱ的切点（远地点）。已知圆形轨道Ⅱ的半径为，地球半径为，地球表面的重力加速度为，引力常量为。下列说法正确的是（     ） A．神舟二十二号飞船的发射速度大于 B．神舟二十二号飞船在轨道Ⅰ上经过点的速率为 C．神舟二十二号飞船在轨道Ⅰ上点的加速度大于在轨道Ⅱ上点的加速度 D．神舟二十二号飞船在轨道Ⅰ的运行周期和在轨道Ⅱ的运行周期之比为 2．已知某行星绕太阳做匀速圆周运动，其轨道半径为地球绕太阳公转轨道半径的4倍。若地球绕太阳的公转周期为，则该行星的公转周期为（     ） A． B． C． D． 二、多选题 3．在物理学发展的过程中，许多物理学家的科学发现推动了人类历史的进步，以下关于物理学史的叙述正确的是（　　） A．亚当斯和勒维耶利用万有引力定律预言了海王星的存在，后来被证实，显示了理论对实践的巨大指导作用 B．哥白尼提出了“日心说”，认为太阳是宇宙的中心，所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆 C．开普勒接受了哥白尼的“日心说”观点，并对第谷观测的行星数据进行了多年研究，得出了行星运动定律 D．卡文迪什在前人研究基础上总结出万有引力定律，并巧妙地运用扭秤测出引力常量 三、知识点填空题 一、古人对行星运动规律的认识 4．地心说：认为_____________是宇宙的中心，是静止不动的，太阳、月球以及其他星体都绕_____________运动。它符合人们的直接经验。 5．日心说：认为_____________是静止不动的，地球和其他行星都绕_____________运动，似乎与人们的生活经验不相符合。 二、开普勒定律 6．开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是_____________，太阳处在_____________上。 7．根据开普勒第一定律，行星与太阳间的距离是不变的吗？ 8．开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内_____________相等。 9．开普勒第三定律：所有行星轨道的__________________________跟它的_____________的比都相等。 【考点2：万有引力定律应用】 一、单选题 1．地球可看作质量分布均匀的球体，不考虑地球自转，设地球半径为，地球表面的重力加速度为，若高空中某处的重力加速度为，则该处距地球表面的高度为（     ） A． B． C． D． 2．已知质量分布均匀的球壳对壳内任一质点的万有引力为零，将地球看成半径为R、质量分布均匀的球体，忽略地球的自转，北斗导航系统中的一颗卫星的轨道距离地面的高度为h，“蛟龙号”下潜的深度为d，则该卫星所在处的重力加速度与“蛟龙号”所在处的重力加速度的大小之比为（     ） A． B．（）2 C． D． 3．我国计划在月球表面建立长期驻留的太空基地，在基地建设前对月球相关物理量进行探测。已知月球半径为，环绕月球表面运行的近月卫星的周期为，引力常量为，地球表面的重力加速度为，忽略地球、月球自转影响。根据以上提供的物理量进行相关推导计算，下面推导计算结果错误的是（     ） A．月球的质量为 B．月球的密度为 C．月球表面的重力加速度为 D．质量为的物体在月球表面受到的重力为 4．将火星视为质量分布均匀的球体，已知火星的质量为，半径为，自转周期为，引力常量为，则火星两极处的重力加速度大小与火星赤道处的重力加速度大小的比值为（     ） A． B． C． D． 5．在2023年“中国航天日”主场活动启动仪式上，国家航天局和中国科学院联合发布了中国首次火星探测火星全球影像图。若在火星上将一小球以大小为v0的速度竖直向上抛出，经时间t小球落回原处，已知火星的半径为R，引力常量为G，不考虑火星的自转，不计空气阻力，则下列说法正确的是（     ） A．火星表面的重力加速度为 B．火星的质量为 C．火星的平均密度为 D．环绕火星表面运行的卫星的周期为 6．已知某卫星绕月球做椭圆运动，周期为T，该卫星在近月点所受的月球引力为其在月球表面附近的，在远月点所受的月球引力为其在月球表面附近的。万有引力常量为，不考虑地球和太阳对卫星的影响，则月球的密度为（     ） A． B． C． D． 二、解答题 7．2021年2月10日，“天问一号”顺利进入大椭圆环火轨道，并于5月15号成功着陆火星，迈出了我国星际探测征程的重要一步，标志着我国的航天事业迈入了发展的快车道。假设“天问一号”沿圆轨道绕火星运行，其轨道半径为r，周期为T。已知火星的半径为R，万有引力常量为G。根据这些条件，求： (1)火星的质量M； (2)火星表面的重力加速度g。 【考点3：宇宙速度】 一、单选题 1．海王星的质量是地球的17倍，它的半径是地球的4倍。已知地球的第一宇宙速度为7.9km/s，则海王星的第一宇宙速度约为（    ） A．1.9km/s B．3.8km/s C．16.3km/s D．33.6km/s 2．“嫦娥五号”探测器绕月球做匀速圆周运动时，轨道半径为r，速度大小为，已知月球半径为R，引力常量为G，忽略月球自转的影响。下列选项正确的是（     ） A．“嫦娥五号”运动的线速度比月球的第一宇宙速度大 B．月球的第一宇宙速度为 C．月球表面重力加速度为 D．月球平均密度为 3．关于宇宙速度，下列说法正确的是（     ） A．第一宇宙速度是人造卫星沿圆轨道运行时的最大速度 B．第一宇宙速度是地球同步卫星的发射速度 C．人造地球卫星运行时的速度介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间 D．第三宇宙速度是物体脱离地球的最小发射速度 4．把地球和火星均看作质量分布均匀的球体。已知地球质量约为火星质量的9倍，地球半径约为火星半径的2倍，由这些数据可知（　　） A．地球表面和火星表面重力加速度之比为9∶2 B．地球表面和火星表面重力加速度之比为3∶2 C．地球上和火星上的第一宇宙速度之比为3∶ D．地球上和火星上的第一宇宙速度之比为3∶2 5．2021年12月14日，风云四号C星由长征三号乙运载火箭成功发射，该卫星最终定点于地球静止轨道，关于该卫星，下列说法正确的是（     ） A．该卫星的发射速度等于 B．该卫星的发射速度等于 C．该卫星在地球静止轨道上处于平衡状态 D．该卫星的运行速度大于月球的运行速度 二、知识点填空题 6．宇宙速度 宇宙速度 数值 含义 第一宇宙速度 ①________ 物体在地球附近绕地球做匀速圆周运动的速度 第二宇宙速度 ②________ 当飞行器的发射速度③_____________时，它就会克服地球的引力，永远离开地球 第三宇宙速度 ④________ 当飞行器的发射速度⑤_____________时，它就能挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系外 【考点4：同步与近地卫星】 一、单选题 1．如图中的圆a，b，c，其圆心均在地球的自转轴线上，对卫星环绕地球做匀速圆周运动而言（　　） A．卫星的轨道只可能为a B．卫星的轨道可能为b C．卫星的轨道不可能为c D．同步卫星的轨道一定为b 2．我国空间站离地面高度约为400km，已知地球同步卫星、空间站沿圆轨道运行的向心加速度和地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度大小分别为、、，它们运行的速率分别为、、，则（     ） A． B． C． D． 3．如图所示，是静止在赤道上的物体，随地球做匀速圆周运动；、是赤道平面内人造卫星，是地球静止同步卫星。、、的线速度大小分别为、、，周期分别为，则（     ） A． B． C． D． 4．有a、b、c、d四颗地球卫星，a还未发射，在赤道表面上随地球一起转动，b是近地轨道卫星，c是地球同步卫星，d是高空探测卫星，它们均做匀速圆周运动，各卫星排列位置如图所示，则（    ） A．c的向心加速度小于d的向心加速度 B．c在4小时内转过的圆心角是，a在1小时内转过的圆心角是 C．b的周期一定小于d的周期，d的周期一定小于24小时 D．在相同时间内b转过的弧长最长，a、c转过的弧长对应的角度相等 5．有、、、四颗地球卫星，还未发射，在地球赤道上随地球表面一起转动，处于地面附近的近地轨道上正常运动，是地球同步卫星，是高空探测卫星，各卫星排列位置如图，则有（　　） A．的向心加速度等于重力加速度 B．在相同时间内转过的弧长最长 C．在4小时内转过的圆心角是 D．的运动周期有可能是20小时 6．同学A位于北纬45°的某位置的教室内安静学习，小型卫星B在高度为6R的地球静止同步轨道上运行。已知地球半径为R，下列说法正确的是（　　） A．二者的角速度大小满足 B．二者的向心加速度大小满足 C．二者的线速度大小满足 D．卫星B可能会在某个时刻出现在同学A的正上方 7．如图所示，甲是地球赤道上的一个物体，乙是“神舟十号”宇宙飞船（周期约90min），丙是地球的同步卫星，它们运行的轨道示意图如图所示，它们都绕地心做匀速圆周运动。下列有关说法中正确的是（　　） A．它们运动的线速度大小关系是 B．它们运动的向心加速度大小关系是 C．它们运动的角速度大小关系是 D．卫星乙的运行速度大小大于地球的第一宇宙速度 二、多选题 8．我国将在2030年前后实施火星采样返回。若a为火星表面赤道上的物体，b为轨道在火星赤道平面内的近火星表面卫星，c为在赤道上空的火星同步卫星，卫星c和卫星b的轨道半径之比为，两卫星的绕行方向相同，下列说法正确的是（　　） A．卫星和卫星绕火星运动的周期之比8：1 B．的线速度大小关系为 C．的向心加速度大小关系为 D．的角速度大小关系为 9．如图所示，卫星A是我国成功发射的遥感三十五号04组卫星之一，卫星B是地球同步卫星，若它们均可视为绕地球做匀速圆周运动，卫星P是地球赤道上还未发射的卫星，关于三颗卫星A、B、P下列说法正确的是（     ） A．速度大小满足关系： B．速度大小满足关系： C．加速度大小满足关系： D．加速度大小满足关系： 三、知识点填空题 10．1970年4月24日，我国第一颗人造地球卫星“_____________”发射成功，开创了中国航天史的新纪元。 11．科学家_____________被誉为“中国航天之父”。 12．地球同步卫星位于_____________高度约_____________处，周期与地球_____________相同。其中一种的轨道平面与赤道平面成0度角，运动方向与地球自转方向相同。因其相对地面静止，也称_____________。 【考点5：双星与多星】 一、单选题 1．如图所示，真空中两个可视为点电荷的带电小球A、B，质量分别为2m和m，带电荷量分别为和，相距为L，仅在库仑力作用下绕它们连线上的某点O做匀速圆周运动。已知静电力常量为k，不计小球间的万有引力，不考虑电荷运动的电磁能量辐射。则两小球做圆周运动的周期为（　　） A． B． C． D． 2．如图所示，有三颗质量都为的恒星A、B、C在一条直线上，其中两颗恒星A、C绕恒星B在同一半径为的轨道上做匀速圆周运动，忽略其他星体对这三颗恒星的影响（万有引力常量为G），则（　　） A．恒星A和恒星C做圆周运动的向心加速度相同 B．恒星A和恒星C做圆周运动的周期不相同 C．恒星A所受合外力为 D．恒星B所受合外力为 3．如图，、、三颗赤道上方的卫星位于正三角形的三个顶点上恰好能实现环赤道全球通信。卫星的转动方向与地球自转方向相同。已知地球半径为，地球表面两极处的重力加速度为（仅考虑地球对卫星的作用力）。则该三颗卫星绕地球转动的周期为（　　） A． B． C． D． 4．天文观测中观测到有三颗星位于边长为l的等边三角形三个顶点上，并沿等边三角形的外接圆做周期为T的匀速圆周运动。已知引力常量为G，不计其他星体对它们的影响，关于这个三星系统，下列说法正确的是（　　） A．三颗星的质量可能不相等 B．某颗星的质量为 C．它们的线速度大小均为 D．它们两两之间的万有引力大小为 二、多选题 5．“双星系统”是宇宙中常见的天体运行模型，由两颗相距较近的恒星组成，每个恒星的半径远小于两星之间的距离，双星系统一般远离其他天体，仅在相互间的万有引力作用下绕某一点做匀速圆周运动。如题图所示为某双星系统甲、乙两星绕其连线上的点做匀速圆周运动的示意图，已知甲、乙两星质量分别为、，则（     ） A．甲、乙两星转动的半径之比为 B．甲、乙两星转动的向心加速度之比为 C．甲、乙两星转动的线速度大小之比为 D．甲、乙两星转动的动能之比为 6．在浩瀚宇宙中存在着很多稳定的天体系统，整个系统由两个以上的天体组成。例如三星系统，质量相等的三个天体分别位于等边三角形的三个顶点，且绕同一个点做匀速圆周运动，已知相邻两星体的距离为r，整个系统的运行周期为T，不考虑系统外星体的作用力，引力常量为G，下列分析正确的是（　　） A．三个星体的质量均为 B．相邻两个星体之间的万有引力大小为 C．星体运行的线速度大小为 D．若三个星体质量增大，系统稳定存在且周期不变，则相邻两星体距离r变大 7．如图所示，若宇宙中存在一个稳定的六星系统，由六颗质量均为的恒星组成，它们位于正六边形的六个顶点上，每颗恒星均在万有引力作用下绕正六边形的中心做匀速圆周运动。已知正六边形边长为，引力常量为，忽略其他天体的影响。关于该六星系统，下列说法正确的是（     ） A．每颗恒星做圆周运动的向心力大小均为 B．每颗恒星做圆周运动的向心力大小均为 C．若恒星质量不变，正六边形的边长变大，则每颗恒星的公转周期变小 D．若恒星质量不变，正六边形的边长变大，则每颗恒星的公转周期变大 三、解答题 8．如图所示，在天体运动中，将两颗距离较近的行星称为双星，由于两星间的引力而使它们在运动中保持距离不变，已知两个行星的质量分别为M1和M2，相距为L，求它们的角速度。 9．从动力学规律来看，地月系统可以等效为双星系统，它们在彼此的万有引力作用下，围绕连线上某点各自做匀速圆周运动。如图所示，地球与月球绕连线上的O点做周期相同的匀速圆周运动。若地球的质量为m1，月球的质量为m2，地球做匀速圆周运动的半径为r1，地球、月球均可视为质点。求： (1)月球做匀速圆周运动的半径r2； (2)在相等时间内，地球与O点、月球与O点的连线扫过的面积之比S1∶S2。 10．如图所示，三颗质量均为的星球位于边长为的等边三角形的三个顶点上。如果它们中的每一颗都在相互的引力作用下沿外接于等边三角形的圆轨道运行而保持等边三角形不变，已知引力常量为，求： (1)其中一个星球受到另外两个星球的万有引力的合力大小 (2)它们运行的速度大小 第 一 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.1天体运动——模型归类（专题训练）【五大重要题型】 【考点1 】行星的运动 1 【考点2 】万有引力定律应用 2 【考点3 】宇宙速度 4 【考点4 】同步与近地卫星 6 【考点5 】双星与多星 9 【考点1：行星的运动】 一、单选题 1．年月日时分，搭载神舟二十二号飞船的长征二号遥二十二运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火发射，进入预定轨道后，按照预定程序与空间站组合体进行自主快速交会对接。如图所示，为椭圆轨道Ⅰ与地球的切点（近地点），P为椭圆轨道Ⅰ与圆形轨道Ⅱ的切点（远地点）。已知圆形轨道Ⅱ的半径为，地球半径为，地球表面的重力加速度为，引力常量为。下列说法正确的是（     ） A．神舟二十二号飞船的发射速度大于 B．神舟二十二号飞船在轨道Ⅰ上经过点的速率为 C．神舟二十二号飞船在轨道Ⅰ上点的加速度大于在轨道Ⅱ上点的加速度 D．神舟二十二号飞船在轨道Ⅰ的运行周期和在轨道Ⅱ的运行周期之比为 【答案】D 【详解】A．飞船进入绕地运行轨道时，发射速度小于第二宇宙速度，故A错误； B．设地球质量为、飞船质量为，由地球表面物体所受万有引力等于重力，得 圆形轨道Ⅱ上飞船在点做匀速圆周运动，有 解得 在椭圆轨道Ⅰ上，为远地点，为近地点。由开普勒第二定律得 再由机械能守恒定律得 联立两式得 因，故，故B错误； C．飞船在两条轨道的点与地心的距离均为，且均只受万有引力作用，其加速度大小均为，故C错误； D．设椭圆轨道Ⅰ和圆形轨道Ⅱ的运行周期分别为和，椭圆轨道Ⅰ的半长轴为 由开普勒第三定律得 整理得，故D正确。 故选D。 2．已知某行星绕太阳做匀速圆周运动，其轨道半径为地球绕太阳公转轨道半径的4倍。若地球绕太阳的公转周期为，则该行星的公转周期为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】开普勒第三定律表明，绕同一中心天体运行的行星，轨道半长轴的三次方与公转周期的二次方之比相等，即 设地球绕太阳的轨道半径为，公转周期为，则地球满足 该行星的轨道为圆轨道，半径为，周期为，则该行星满足 联立两式得 整理得 周期取正值，所以 故选C。 二、多选题 3．在物理学发展的过程中，许多物理学家的科学发现推动了人类历史的进步，以下关于物理学史的叙述正确的是（　　） A．亚当斯和勒维耶利用万有引力定律预言了海王星的存在，后来被证实，显示了理论对实践的巨大指导作用 B．哥白尼提出了“日心说”，认为太阳是宇宙的中心，所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆 C．开普勒接受了哥白尼的“日心说”观点，并对第谷观测的行星数据进行了多年研究，得出了行星运动定律 D．卡文迪什在前人研究基础上总结出万有引力定律，并巧妙地运用扭秤测出引力常量 【答案】AC 【详解】A．英国的亚当斯和法国的勒维耶利用万有引力定律各自独立计算出海王星的轨道，德国的加勒在勒维耶预言的位置附近发现了海王星，显示了理论对实践的巨大指导作用，故A正确； B．哥白尼提出了日心说，认为太阳是宇宙的中心，一切行星围绕太阳做圆周运动，故B错误； C．开普勒通过整理研究第谷的行星观测记录，总结出行星运动定律，故C正确； D．牛顿在前人研究基础上总结出万有引力定律，1798年，卡文迪什利用扭秤装置，第一次在实验室里比较准确地测出了引力常量，故D错误。 故选AC。 三、知识点填空题 一、古人对行星运动规律的认识 4．地心说：认为_____________是宇宙的中心，是静止不动的，太阳、月球以及其他星体都绕_____________运动。它符合人们的直接经验。 5．日心说：认为_____________是静止不动的，地球和其他行星都绕_____________运动，似乎与人们的生活经验不相符合。 【答案】4． 地球 地球 5． 太阳 太阳 二、开普勒定律 6．开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是_____________，太阳处在_____________上。 7．根据开普勒第一定律，行星与太阳间的距离是不变的吗？ 8．开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内_____________相等。 9．开普勒第三定律：所有行星轨道的__________________________跟它的_____________的比都相等。 【答案】6． 椭圆 椭圆的一个焦点 7．不是，行星沿椭圆轨道绕太阳运动，行星到太阳的距离会随位置变化，在近日点距离最小，远日点距离最大。 8．扫过的面积 9． 半长轴的三次方 公转周期的二次方 【详解】6．这是开普勒第一定律（轨道定律）的基础定义，打破了此前天体轨道为正圆的认知，明确行星轨道为椭圆，太阳位于椭圆的其中一个焦点上，而非椭圆中心。 7．由于轨道是椭圆，太阳处于椭圆的焦点而非中心，因此行星运动过程中和太阳的距离会随轨道位置发生变化。 8．这是开普勒第二定律（面积定律）的核心表述，该定律也直接说明行星在轨道上的运动速度是变化的：离太阳越近时运动越快，离太阳越远时运动越慢。 9．这是开普勒第三定律（周期定律）的内容，对应的公式为，其中为轨道半长轴，为公转周期，常量仅和中心天体（太阳）的质量有关，和行星自身属性无关。 【考点2：万有引力定律应用】 一、单选题 1．地球可看作质量分布均匀的球体，不考虑地球自转，设地球半径为，地球表面的重力加速度为，若高空中某处的重力加速度为，则该处距地球表面的高度为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设地球的质量为，物体质量为，物体距地面的高度为，由万有引力近似等于重力有， 联立解得。 故选A。 2．已知质量分布均匀的球壳对壳内任一质点的万有引力为零，将地球看成半径为R、质量分布均匀的球体，忽略地球的自转，北斗导航系统中的一颗卫星的轨道距离地面的高度为h，“蛟龙号”下潜的深度为d，则该卫星所在处的重力加速度与“蛟龙号”所在处的重力加速度的大小之比为（     ） A． B．（）2 C． D． 【答案】C 【详解】卫星在距离地面高度为处受到的重力，即为它在该处受到的万有引力，有 设地球表面的重力加速度为，根据万有引力等于重力，有 设地球的密度为，根据密度公式，有，其中 联立得， 依题意，质量分布均匀的球壳对壳内任一质点的万有引力为零，在深度为的地球内部，“蛟龙号”受到地球的万有引力等于其在半径为的球体表面的重力，根据前面的分析，可知“蛟龙号”在海里所处位置的重力加速度 联立，得 则 故选C。 3．我国计划在月球表面建立长期驻留的太空基地，在基地建设前对月球相关物理量进行探测。已知月球半径为，环绕月球表面运行的近月卫星的周期为，引力常量为，地球表面的重力加速度为，忽略地球、月球自转影响。根据以上提供的物理量进行相关推导计算，下面推导计算结果错误的是（     ） A．月球的质量为 B．月球的密度为 C．月球表面的重力加速度为 D．质量为的物体在月球表面受到的重力为 【答案】D 【详解】AB．环绕月球表面运行的近月卫星的轨道半径为，由万有引力提供向心力，有 解得月球质量 月球密度的定义式为，月球体积为。代入前述结果得，故AB正确； CD．取月球表面的物体为研究对象，物体重力等于它与月球间的万有引力，有 整理得 由前述已推得的月球质量，且仍在月球表面条件下，得，故C正确，D错误。 本题选择错误的，故选D。 4．将火星视为质量分布均匀的球体，已知火星的质量为，半径为，自转周期为，引力常量为，则火星两极处的重力加速度大小与火星赤道处的重力加速度大小的比值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】火星两极处物体无需随火星自转做圆周运动，万有引力完全等于重力 可得两极重力加速度 赤道处的物体随火星自转做匀速圆周运动，万有引力的一部分提供自转向心力，剩余部分表现为重力 整理得赤道重力加速度 将两式作比 化简后得到 5．在2023年“中国航天日”主场活动启动仪式上，国家航天局和中国科学院联合发布了中国首次火星探测火星全球影像图。若在火星上将一小球以大小为v0的速度竖直向上抛出，经时间t小球落回原处，已知火星的半径为R，引力常量为G，不考虑火星的自转，不计空气阻力，则下列说法正确的是（     ） A．火星表面的重力加速度为 B．火星的质量为 C．火星的平均密度为 D．环绕火星表面运行的卫星的周期为 【答案】D 【详解】A．根据题意可知，小球竖直上抛落回原处的总时间为，上升与下落时间对称，上升时间为，则有 解得火星表面的重力加速度为，故A错误； B．不考虑火星自转时，表面物体万有引力等于重力，即 可得火星的质量为，故B错误； C．火星体积 火星的平均密度，故C错误； D．环绕火星表面运行的卫星，轨道半径为，万有引力提供向心力有 代入 解得，故D正确。 故选D。 6．已知某卫星绕月球做椭圆运动，周期为T，该卫星在近月点所受的月球引力为其在月球表面附近的，在远月点所受的月球引力为其在月球表面附近的。万有引力常量为，不考虑地球和太阳对卫星的影响，则月球的密度为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题可知，在月球表面附近 在月球近月点则有 在月球远月点 联立可得轨道半长轴 椭圆轨道与半径为的圆轨道周期相同，万有引力提供向心力，则 解得 月球的密度 故选C。 二、解答题 7．2021年2月10日，“天问一号”顺利进入大椭圆环火轨道，并于5月15号成功着陆火星，迈出了我国星际探测征程的重要一步，标志着我国的航天事业迈入了发展的快车道。假设“天问一号”沿圆轨道绕火星运行，其轨道半径为r，周期为T。已知火星的半径为R，万有引力常量为G。根据这些条件，求： (1)火星的质量M； (2)火星表面的重力加速度g。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设“天问一号”的质量为，绕火星做半径为的匀速圆周运动时，由万有引力提供向心力，有 解得火星质量 （2）设火星表面物体的质量为，由火星对物体的万有引力等于物体重力，有 解得火星表面重力加速度 代入小问（1）所得火星质量，有 【考点3：宇宙速度】 一、单选题 1．海王星的质量是地球的17倍，它的半径是地球的4倍。已知地球的第一宇宙速度为7.9km/s，则海王星的第一宇宙速度约为（    ） A．1.9km/s B．3.8km/s C．16.3km/s D．33.6km/s 【答案】C 【详解】设星球的第一宇宙速度为v，根据万有引力提供向心力有 解得 则海王星的第一宇宙速度为 故选C。 2．“嫦娥五号”探测器绕月球做匀速圆周运动时，轨道半径为r，速度大小为，已知月球半径为R，引力常量为G，忽略月球自转的影响。下列选项正确的是（     ） A．“嫦娥五号”运动的线速度比月球的第一宇宙速度大 B．月球的第一宇宙速度为 C．月球表面重力加速度为 D．月球平均密度为 【答案】C 【详解】AB．设月球质量为，探测器质量为。探测器做半径为的匀速圆周运动，万有引力提供向心力，有 整理得 月球表面的近地卫星运行速度即月球第一宇宙速度，有 题设探测器在月球表面外运行，故第一宇宙速度大于探测器的线速度，故AB错误； CD．由上述推导得到的月球质量相关结果仍适用。月球表面质量为的物体所受万有引力等于重力，有 将上述结果代入得 月球的平均密度为 选项D的表达式漏掉了轨道半径，故C正确，D错误。 故选C。 3．关于宇宙速度，下列说法正确的是（     ） A．第一宇宙速度是人造卫星沿圆轨道运行时的最大速度 B．第一宇宙速度是地球同步卫星的发射速度 C．人造地球卫星运行时的速度介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间 D．第三宇宙速度是物体脱离地球的最小发射速度 【答案】A 【详解】A．根据万有引力提供向心力，可知 求得卫星圆轨道环绕速度 第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度，此时轨道半径近似等于地球半径，是所有圆轨道卫星中最小的，对应环绕速度最大，因此第一宇宙速度是人造卫星沿圆轨道运行时的最大速度，故A正确； B．第一宇宙速度是人造卫星的最小发射速度，地球同步卫星轨道高度远大于近地卫星，发射过程需要克服更多引力做功，发射速度大于第一宇宙速度，故B错误； C．人造地球卫星仍受地球引力束缚，运行速度小于第二宇宙速度，沿圆轨道运行的卫星速度不超过第一宇宙速度，故C错误； D．第二宇宙速度是物体脱离地球引力束缚的最小发射速度，第三宇宙速度是物体脱离太阳引力束缚的最小发射速度，故D错误。 故选A。 4．把地球和火星均看作质量分布均匀的球体。已知地球质量约为火星质量的9倍，地球半径约为火星半径的2倍，由这些数据可知（　　） A．地球表面和火星表面重力加速度之比为9∶2 B．地球表面和火星表面重力加速度之比为3∶2 C．地球上和火星上的第一宇宙速度之比为3∶ D．地球上和火星上的第一宇宙速度之比为3∶2 【答案】C 【详解】AB．根据地球表面万有引力近似等于重力，有 解得 由题意可知，地球质量约为火星质量的9倍，地球半径约为火星半径的2倍，则地球表面和火星表面的重力加速度之比为9∶4，故AB错误； CD．根据万有引力提供向心力，有 解得第一宇宙速度 则地球和火星的第一宇宙速度之比为，故C正确，D错误。 故选C。 5．2021年12月14日，风云四号C星由长征三号乙运载火箭成功发射，该卫星最终定点于地球静止轨道，关于该卫星，下列说法正确的是（     ） A．该卫星的发射速度等于 B．该卫星的发射速度等于 C．该卫星在地球静止轨道上处于平衡状态 D．该卫星的运行速度大于月球的运行速度 【答案】D 【详解】A．是第一宇宙速度，是卫星绕地球做圆周运动的最大运行速度，也是卫星发射的最小速度，地球静止轨道卫星要发射到较高轨道，发射速度大于，故A错误； B．是第二宇宙速度，是卫星脱离地球引力束缚的最小发射速度，该卫星未脱离地球引力，发射速度小于，故B错误； C．该卫星在地球静止轨道上做匀速圆周运动，引力提供向心力，速度不断变化，不是处于平衡状态，故C错误； D．卫星绕地球做圆周运动，由万有引力提供向心力 得 可知，轨道半径越小，线速度越大，该卫星轨道半径小于月球轨道半径，所以其运行速度大于月球的运行速度，故D正确。 故选D。 二、知识点填空题 6．宇宙速度 宇宙速度 数值 含义 第一宇宙速度 ①________ 物体在地球附近绕地球做匀速圆周运动的速度 第二宇宙速度 ②________ 当飞行器的发射速度③_____________时，它就会克服地球的引力，永远离开地球 第三宇宙速度 ④________ 当飞行器的发射速度⑤_____________时，它就能挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系外 【答案】 7.9km/s 11.2km/s 11.2km/s 16.7km/s 16.7km/s 【详解】[1]第一宇宙速度是近地卫星绕地球做匀速圆周运动的速度，由万有引力提供向心力有 又由近地表面重力关系有 联立可得第一宇宙速度为 代入，得 [2]第二宇宙速度是飞行器克服地球引力、永远离开地球所需的最小发射速度，其数值为 [3]当发射速度满足时，飞行器能脱离地球引力束缚 [4]第三宇宙速度是飞行器从地球发射并挣脱太阳引力束缚所需的最小发射速度，其数值为 [5]当发射速度满足时，飞行器能飞到太阳系外 【考点4：同步与近地卫星】 一、单选题 1．如图中的圆a，b，c，其圆心均在地球的自转轴线上，对卫星环绕地球做匀速圆周运动而言（　　） A．卫星的轨道只可能为a B．卫星的轨道可能为b C．卫星的轨道不可能为c D．同步卫星的轨道一定为b 【答案】B 【详解】ABC．卫星运动过程中的向心力由万有引力提供，故地球必定在卫星轨道的中心，即地心为圆周运动的圆心，故轨道a是不可能的，而轨道b、c均是可能的轨道，故AC错误，B正确； D．同步卫星运动周期和地球的自转周期相同，其轨道一定在赤道上空，故轨道可能为b，故D错误。 故选B。 2．我国空间站离地面高度约为400km，已知地球同步卫星、空间站沿圆轨道运行的向心加速度和地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度大小分别为、、，它们运行的速率分别为、、，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】AB．由于同步卫星与地球自转周期相同，根据可知，由万有引力为其做圆周运动提供向心力有 同步卫星的轨道半径大于空间站的轨道半径，则有，三者加速度的关系为，所以A正确，B错误； CD．由于同步卫星与地球自转周期相同，根据可知，由 得，可知，三者的速度关系为，故C、D错误。 故选A。 3．如图所示，是静止在赤道上的物体，随地球做匀速圆周运动；、是赤道平面内人造卫星，是地球静止同步卫星。、、的线速度大小分别为、、，周期分别为，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】赤道上的物体和地球静止同步卫星的转动周期相同，有 由圆周运动中周期和线速度的关系，又，可知 对于卫星B、C，万有引力充当向心力有，，整理得， 又，可知， 综上， 故选B。 4．有a、b、c、d四颗地球卫星，a还未发射，在赤道表面上随地球一起转动，b是近地轨道卫星，c是地球同步卫星，d是高空探测卫星，它们均做匀速圆周运动，各卫星排列位置如图所示，则（    ） A．c的向心加速度小于d的向心加速度 B．c在4小时内转过的圆心角是，a在1小时内转过的圆心角是 C．b的周期一定小于d的周期，d的周期一定小于24小时 D．在相同时间内b转过的弧长最长，a、c转过的弧长对应的角度相等 【答案】D 【详解】A．根据万有引力提供向心力有 解得 由于c的轨道半径小于d的轨道半径，则c的向心加速度大于d的向心加速度，故A错误； B．c在4小时内转过的圆心角是，a在1小时内转过的圆心角是，故B错误； C．根据万有引力提供向心力有 解得 又有 则b的周期一定小于d的周期，d的周期一定大于c的周期，大于24小时，故C错误； D．根据题意可知，a、c的角速度相同，则在相同时间内a、c转过的弧长对应的角度相等；由可知， 根据万有引力提供向心力有 解得 则有 则在相同时间内b转过的弧长最长，故D正确。 故选D。 5．有、、、四颗地球卫星，还未发射，在地球赤道上随地球表面一起转动，处于地面附近的近地轨道上正常运动，是地球同步卫星，是高空探测卫星，各卫星排列位置如图，则有（　　） A．的向心加速度等于重力加速度 B．在相同时间内转过的弧长最长 C．在4小时内转过的圆心角是 D．的运动周期有可能是20小时 【答案】B 【详解】A．在地球赤道上随地球自转，是同步卫星，二者周期相同，则角速度相同。由向心加速度可知，的向心加速度小于的向心加速度； 卫星绕地球运动，万有引力提供向心力，即，则的向心加速度小于的向心加速度； 又是近地卫星，满足，即 因此，故A错误； B．是近地卫星，卫星绕地球做圆周运动的线速度满足 解得 因此轨道半径越小，线速度越大，是近地卫星，轨道半径最小，因此线速度最大，在相同时间内转过的弧长最长，故B正确； C．是同步卫星，周期为，内转过的圆心角为，故C错误； D．的轨道半径大于同步卫星，由开普勒第三定律可知，周期大于，故D错误。 故选B。 6．同学A位于北纬45°的某位置的教室内安静学习，小型卫星B在高度为6R的地球静止同步轨道上运行。已知地球半径为R，下列说法正确的是（　　） A．二者的角速度大小满足 B．二者的向心加速度大小满足 C．二者的线速度大小满足 D．卫星B可能会在某个时刻出现在同学A的正上方 【答案】B 【详解】A．地球静止同步卫星的角速度等于地球自转的角速度，同学A随地球自转的角速度与卫星B相同，即，故A错误； B．根据向心加速度公式，角速度相同时，有 同学A处于北纬45°，所以A的轨道半径 同时卫星B的轨道半径，所以，故B正确； C．根据线速度公式，所以，故C错误； D．地球静止同步卫星轨道在赤道平面，同学A位于北纬45°，卫星B的投影始终在赤道，不可能出现在A的正上方，故D错误。 故选B。 7．如图所示，甲是地球赤道上的一个物体，乙是“神舟十号”宇宙飞船（周期约90min），丙是地球的同步卫星，它们运行的轨道示意图如图所示，它们都绕地心做匀速圆周运动。下列有关说法中正确的是（　　） A．它们运动的线速度大小关系是 B．它们运动的向心加速度大小关系是 C．它们运动的角速度大小关系是 D．卫星乙的运行速度大小大于地球的第一宇宙速度 【答案】A 【详解】A．设地球质量为、半径为，乙、丙的轨道半径分别为，。由万有引力提供向心力，乙、丙分别满足， 从而， 由，整理得 因，所以，进而。甲随地球自转，丙为同步卫星，二者角速度同为，且，所以 因此，故A正确； B．由万有引力公式及向心力方程 甲、丙角速度同为，且 故 乙、丙均为绕地球运行的卫星，由前述万有引力方程得， 结合，得 所以正确大小规律为，故B错误； C．甲随地球自转，丙为同步卫星，因此 乙的周期约为，故。由角速度定义 整理得，故C错误； D．第一宇宙速度是物体在地球表面附近做圆周运动的速度。由万有引力提供向心力，在地球表面有 整理得 乙的轨道半径，由前述万有引力方程得，故D错误。 故选A。 二、多选题 8．我国将在2030年前后实施火星采样返回。若a为火星表面赤道上的物体，b为轨道在火星赤道平面内的近火星表面卫星，c为在赤道上空的火星同步卫星，卫星c和卫星b的轨道半径之比为，两卫星的绕行方向相同，下列说法正确的是（　　） A．卫星和卫星绕火星运动的周期之比8：1 B．的线速度大小关系为 C．的向心加速度大小关系为 D．的角速度大小关系为 【答案】AD 【详解】A．根据万有引力提供向心力得 解得 火星静止卫星c和卫星b的轨道半径之比为4：1，卫星c和卫星b的周期之比为，故A正确； BCD．火星静止卫星的角速度等于火星自转角速度，则知a与c的角速度大小相等，即 根据 因卫星c的轨道半径大于火星的半径，可知 根据 因卫星c的轨道半径大于火星的半径，可知 对于卫星b与c，根据万有引力提供向心力可得 可得，， 因卫星b的轨道半径小于卫星c的轨道半径，则，， 由上分析可知，三者的线速度大小关系为 角速度大小关系为 向心加速度大小关系为，故BC错误，D正确。 故选AD。 9．如图所示，卫星A是我国成功发射的遥感三十五号04组卫星之一，卫星B是地球同步卫星，若它们均可视为绕地球做匀速圆周运动，卫星P是地球赤道上还未发射的卫星，关于三颗卫星A、B、P下列说法正确的是（     ） A．速度大小满足关系： B．速度大小满足关系： C．加速度大小满足关系： D．加速度大小满足关系： 【答案】AC 【详解】AB．对于卫星B和P而言，二者具有共同的角速度，即 由于轨道半径 根据 可知 对卫星A、B运行过程中，万有引力提供向心力，则有 解得 结合题意可知 则有 因此，三颗卫星A、B、P的速度大小满足关系：，故A正确，B错误； CD．同理可知，对于卫星B和P而言，其加速度 结合上述分析可知 对卫星A、B则有 解得 结合题意可知 则有 因此，三颗卫星A、B、P的加速度大小满足关系：，故C正确，D错误。 故选AC。 三、知识点填空题 10．1970年4月24日，我国第一颗人造地球卫星“_____________”发射成功，开创了中国航天史的新纪元。 11．科学家_____________被誉为“中国航天之父”。 12．地球同步卫星位于_____________高度约_____________处，周期与地球_____________相同。其中一种的轨道平面与赤道平面成0度角，运动方向与地球自转方向相同。因其相对地面静止，也称_____________。 【答案】10．东方红一号 11．钱学森 12． 赤道上方 自转周期 静止卫星 【详解】10．1970年4月24日，我国第一颗人造地球卫星“东方红一号”发射成功，开创了中国航天史的新纪元。 11．钱学森对我国火箭、导弹和航天事业作出奠基性贡献，被誉为“中国航天之父”。 12．[1]同步卫星相对地面静止，其轨道平面应与赤道平面重合，因此它位于赤道上空。 [2]同步卫星距地面高度约为。 [3]由同步卫星相对地球自转同步可知，其周期与地球自转周期相同。 [4]这种相对地面静止的同步卫星也称静止卫星。 【考点5：双星与多星】 一、单选题 1．如图所示，真空中两个可视为点电荷的带电小球A、B，质量分别为2m和m，带电荷量分别为和，相距为L，仅在库仑力作用下绕它们连线上的某点O做匀速圆周运动。已知静电力常量为k，不计小球间的万有引力，不考虑电荷运动的电磁能量辐射。则两小球做圆周运动的周期为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设两小球做匀速圆周运动的半径分别为、，则有 两小球做匀速圆周运动的周期相同，设为，由库仑力提供向心力列向心力方程有， 联立解得 故选C。 2．如图所示，有三颗质量都为的恒星A、B、C在一条直线上，其中两颗恒星A、C绕恒星B在同一半径为的轨道上做匀速圆周运动，忽略其他星体对这三颗恒星的影响（万有引力常量为G），则（　　） A．恒星A和恒星C做圆周运动的向心加速度相同 B．恒星A和恒星C做圆周运动的周期不相同 C．恒星A所受合外力为 D．恒星B所受合外力为 【答案】C 【详解】A．恒星A和恒星C做圆周运动的向心加速度大小相等，方向不相同，故A错误； B．有三颗质量都为的恒星A、B、C在一条直线上，其中两颗恒星A、C绕恒星B在同一半径为的轨道上做匀速圆周运动，所以恒星A和恒星C做圆周运动的周期相同，故B错误； C．恒星A所受合外力为，故C正确； D．恒星B所受合外力为零，故D错误。 故选C。 3．如图，、、三颗赤道上方的卫星位于正三角形的三个顶点上恰好能实现环赤道全球通信。卫星的转动方向与地球自转方向相同。已知地球半径为，地球表面两极处的重力加速度为（仅考虑地球对卫星的作用力）。则该三颗卫星绕地球转动的周期为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】三颗卫星位于正三角形三个顶点，地球赤道截面为该正三角形的内切圆，内切圆半径为地球半径R，正三角形顶点到地心的距离为卫星轨道半径r。 由正三角形性质：内切圆半径为外接圆半径的一半，得 地球表面两极处，物体重力等于万有引力，有 卫星绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，有 解得 故选B。 4．天文观测中观测到有三颗星位于边长为l的等边三角形三个顶点上，并沿等边三角形的外接圆做周期为T的匀速圆周运动。已知引力常量为G，不计其他星体对它们的影响，关于这个三星系统，下列说法正确的是（　　） A．三颗星的质量可能不相等 B．某颗星的质量为 C．它们的线速度大小均为 D．它们两两之间的万有引力大小为 【答案】B 【详解】ABD．轨道半径等于等边三角形外接圆的半径， 根据题意可知其中任意两颗星对第三颗星的合力指向圆心，所以这两颗星对第三颗星的万有引力等大，由于这两颗星到第三颗星的距离相同，故这两颗星的质量相同，所以三颗星的质量一定相同，设为m，则 解得 它们两两之间的万有引力 A、D错误，B正确； C．线速度大小为，C错误。 故选B。 二、多选题 5．“双星系统”是宇宙中常见的天体运行模型，由两颗相距较近的恒星组成，每个恒星的半径远小于两星之间的距离，双星系统一般远离其他天体，仅在相互间的万有引力作用下绕某一点做匀速圆周运动。如题图所示为某双星系统甲、乙两星绕其连线上的点做匀速圆周运动的示意图，已知甲、乙两星质量分别为、，则（     ） A．甲、乙两星转动的半径之比为 B．甲、乙两星转动的向心加速度之比为 C．甲、乙两星转动的线速度大小之比为 D．甲、乙两星转动的动能之比为 【答案】CD 【详解】A．双星系统甲、乙两星运动的角速度相同都为，以甲为研究对象，设其圆周运动的轨道半径为，两星的距离为，根据两星球的引力提供向心力得 以乙为研究对象，设其圆周运动的轨道半径为，根据两星球的引力提供向心力得 整理得甲、乙两星转动的半径之比，故A错误； B．根据 可得甲、乙两星转动的向心加速度之比，故B错误； C．根据 可得甲、乙两星转动的线速度大小之比，故C正确； D．根据 可得甲、乙两星转动的动能之比，故D正确。 故选CD。 6．在浩瀚宇宙中存在着很多稳定的天体系统，整个系统由两个以上的天体组成。例如三星系统，质量相等的三个天体分别位于等边三角形的三个顶点，且绕同一个点做匀速圆周运动，已知相邻两星体的距离为r，整个系统的运行周期为T，不考虑系统外星体的作用力，引力常量为G，下列分析正确的是（　　） A．三个星体的质量均为 B．相邻两个星体之间的万有引力大小为 C．星体运行的线速度大小为 D．若三个星体质量增大，系统稳定存在且周期不变，则相邻两星体距离r变大 【答案】CD 【详解】AB．轨道半径等于等边三角形外接圆的半径，根据几何关系可得 解得 根据题意可知，三颗星的质量相同，设为m，根据牛顿第二定律可得 联立解得 所以两个星体间的万有引力大小为，故AB错误； C．线速度大小为，故C正确； D．由以上分析可知 若三个星体质量增大，系统稳定存在且周期不变，则相邻两星体距离r变大，故D正确。 故选CD。 7．如图所示，若宇宙中存在一个稳定的六星系统，由六颗质量均为的恒星组成，它们位于正六边形的六个顶点上，每颗恒星均在万有引力作用下绕正六边形的中心做匀速圆周运动。已知正六边形边长为，引力常量为，忽略其他天体的影响。关于该六星系统，下列说法正确的是（     ） A．每颗恒星做圆周运动的向心力大小均为 B．每颗恒星做圆周运动的向心力大小均为 C．若恒星质量不变，正六边形的边长变大，则每颗恒星的公转周期变小 D．若恒星质量不变，正六边形的边长变大，则每颗恒星的公转周期变大 【答案】AD 【详解】AB．每颗恒星做圆周运动的向心力由合外力提供，对单个恒星有，故A正确，B错误； BD．对单个恒星有 整理得 可知若恒星质量不变，正六边形的边长变大，则每颗恒星的公转周期变大，故C错误，D正确。 故选AD。 三、解答题 8．如图所示，在天体运动中，将两颗距离较近的行星称为双星，由于两星间的引力而使它们在运动中保持距离不变，已知两个行星的质量分别为M1和M2，相距为L，求它们的角速度。 【答案】 【详解】如图所示 设M1的轨道半径为r1，M2的轨道半径为r2，两个行星都绕O点做匀速圆周运动的角速度为ω，由于两个行星之间的万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律，对M1，有 对M2，有 又 联立可得 9．从动力学规律来看，地月系统可以等效为双星系统，它们在彼此的万有引力作用下，围绕连线上某点各自做匀速圆周运动。如图所示，地球与月球绕连线上的O点做周期相同的匀速圆周运动。若地球的质量为m1，月球的质量为m2，地球做匀速圆周运动的半径为r1，地球、月球均可视为质点。求： (1)月球做匀速圆周运动的半径r2； (2)在相等时间内，地球与O点、月球与O点的连线扫过的面积之比S1∶S2。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）地球、月球间万有引力提供彼此向心力；二者角速度相等；轨道半径之和等于 地月间距 对地球： 对月球：· 联立可得 解得 （2）质点绕圆心匀速圆周运动，时间内扫过的扇形面积可表示为 设在这一时间内地球与月球扫过面积分别为、 则， 故 把代入上式，可得 10．如图所示，三颗质量均为的星球位于边长为的等边三角形的三个顶点上。如果它们中的每一颗都在相互的引力作用下沿外接于等边三角形的圆轨道运行而保持等边三角形不变，已知引力常量为，求： (1)其中一个星球受到另外两个星球的万有引力的合力大小 (2)它们运行的速度大小 【答案】(1) (2) 【详解】（1）根据万有引力定律，任意两颗星球之间的万有引力，方向沿着它们的连线 则一个星球受到另外两个星球的万有引力的合力大小 （2）设它们运行的轨道半径为r，根据几何关系有 解得 根据万有引力提供向心力有 解得 学科网（北京）股份有限公司 $