专题04 二次函数的实际应用14大题型（专项训练）数学新教材北京版九年级上册

**基本信息** 聚焦二次函数实际应用，覆盖14类常考题型，通过典例呈现从几何建模到综合应用的递进逻辑，培养数学建模与问题解决能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |图形问题|4题|几何图形面积最值|从静态图形到动态运动，基础建模| |运动/拱桥/投球/喷水|各4题|动点轨迹与物理运动|实际场景抽象为抛物线模型| |销售/利润/增长率|各4题|经济问题函数关系|应用二次函数性质解决最值| |综合问题|4题|角度/相似/面积/存在性|几何与函数综合，提升综合思维|

专题04 二次函数的实际应用 常考题型·精准突破 考点一 二次函数的实际应用 题型一、图形问题 题型二、图形运动问题 题型三、拱桥问题 题型四、销售问题 题型五、投球问题 题型六、喷水问题 题型七、增长率问题 题型八、其他问题 题型九、利润问题中的捐赠问题 题型十、二次函数的角度问题 题型十一、二次函数的铅锤高、水平宽问题 题型十二、二次函数与相似三角形综合 题型十三、二次函数的面积问题 题型十四、二次函数的存在性问题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 二次函数的实际应用 ◆题型一、图形问题 1．某校计划围一个矩形小菜园作为实践基地，九年级数学学习小组以“怎样围面积最大”为主题，开展活动．在学校实验楼房一侧的空地上，计划用篱笆和楼房的一面外墙围一个矩形小菜园作为实践基地，其中篱笆长米．如果外墙长米，矩形小菜园一边靠墙，另三边用篱笆围成． 任务一： （1）小菜园的面积能达到平方米吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 任务二： （2）怎样围小菜园面积最大？请你给出设计方案并求出最大面积． 【答案】任务一：小菜园的面积能达到平方米，此时米，米； 任务二：当米，米时，小菜园面积最大，最大面积为平方米． 【分析】本题考查的知识点是一元二次方程和二次函数在实际问题中的应用，解题关键是准确构建数学模型并合理求解． 任务一：设，则，根据面积关系列出一元二次方程，求解后判断是否符合题意即可； 任务二：建立小菜园面积关于边长的二次函数模型，利用二次函数性质求解面积最大值及对应的边长． 【详解】解：依题意得：米， 任务一：设，则， 若小菜园的面积能达到平方米， 即， ， ， 解得，， 则当米时，米，符合题意； 当米时，，不符合题意； 综上，小菜园的面积能达到平方米，此时米，米． 任务二：小菜园的面积， ， 当时，取最大值，最大值为， 即当米，米时，小菜园面积最大，最大面积为平方米． 2．邻居张老汉养了一群鸡，现在要建一长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长米），墙对面有一个米宽的门，另三边（门除外）用竹篱笆围成，篱笆总长米．请同学解决以下问题： (1)若设鸡场的面积为平方米，鸡场与墙平行的一边长为米，请写出与之间的函数关系式，并写出的取值范围； (2)当鸡场的面积为平方米时，鸡场的长与宽分别是多少米？ (3)鸡场的最大面积是多少？并求出此时鸡场的长与宽分别是多少米？ 【答案】(1) (2)鸡场的长与宽分别为16米、10米； (3)鸡场的最大面积为162平方米，此时鸡场的长与宽分别为18米、9米 【分析】本题主要考查二次函数的应用； （1）用含的式子表示鸡场与墙垂直的一边长，根据矩形面积公式即可写出函数关系式； （2）根据（1）所得关系式，将代入即可求解； （3）求出函数的最大值，使得面积取最大值即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，鸡场与墙平行的一边长为米，可得鸡场与墙垂直的一边长为米，即米， ∴ ∵鸡场的一边靠墙（墙长米），墙对面有一个米宽的门， ∴ ∴ （2）令，即， 解得，（不合题意，舍去），所以． 当时， ． 所以，鸡场的长与宽分别为米、米； （3）对于，， 所以函数有最大值，当时， 函数有最大值，最大值 当时， ． 所以鸡场的最大面积为平方米，此时鸡场的长与宽分别为米、米． 3．综合与实践 汕尾市素有“中国青梅之乡”的美誉，青梅种植是本地特色农业产业．为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校结合本土特色，计划在校园西侧利用围墙（围墙不限长）和长度为的篱笆，围成一块矩形青梅种植实践基地（如图），用于开展青梅育苗与管护实践活动．该校数学兴趣小组结合实际需求设计了以下两种规划方案（除围墙外，篱笆仅围，，三边，篱笆无浪费），请根据方案完成以下探究． (1)方案一：若限定矩形实践基地的边为，则矩形实践基地的边为______，此时矩形实践基地的面积为______． (2)方案二：若要使围成的矩形实践基地面积最大，设矩形实践基地的边为，则用含的代数式表示边的长度为______；当边为多少米时，矩形实践基地的面积最大？最大为多少？ 【答案】(1)，； (2)，当时，矩形实践基地的面积最大，最大为 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据篱笆的长度直接计算即可； （2）根据二次函数的性质进行解题． 【详解】（1）解：∵篱笆的长度为， ∴， ； 故答案为：，； （2）解：， 设矩形实践基地的面积为， 由题意，得， 当时，有最大值， 即当时，矩形实践基地的面积最大，最大为. 4．如图，某酒店后面有一块梯形空地，其中，，，为缓解车位紧张，该酒店计划在这块空地上修建一个矩形停车场，其余部分铺设为草坪，为方便车辆进出，矩形停车场的一边和空地的最长边重合，、分别在边、上，设，矩形停车场的面积为． (1)用含的式子表示的长为 ； (2)的长的取值范围是 ； (3)求修建的矩形停车场的面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3)该矩形停车场的最大面积为 【分析】（1）容易判断与都是等腰直角三角形，则，结合矩形的性质可得； （2）结合图形容易判断，解不等式即可； （3）利用矩形面积公式可得关于的二次函数，再结合二次函数的性质求出面积的最大值． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴与都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：由图可知，, ∴， 解得； （3）解：， ∵， ∴该二次函数的图象开口向下， ∴当时，取得最大值． 答：该矩形停车场的最大面积为． ◆题型二、图形运动问题 5．如图，在中，，，，动点P从点B出发，沿向点A以的速度移动，动点Q从点C出发，沿向点B以的速度移动．若P、Q两点分别从B、C两点同时出发，当其中一点到达时两点同时停止运动，则的面积S与出发时间t的函数图像大致是（   ）    A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图像，正确得出函数关系式是解题关键．根据题意表示出的面积S与t的关系式，进而得出答案． 【详解】解：由题意可得， 的面积S随出发时间t的函数关系图像大致是二次函数图像，且开口向下． 故选C． 6．如图1，在中，，，动点从点开始沿边向点移动，动点从点开始沿边向点移动，两点同时出发，到达各自的终点后停止．设点运动的时间为（单位：），的面积为（单位：），与的函数图象如图2所示，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了函数图象上的动点问题．由图2得：点N到达点C所用时间为，点M到达点B所用时间为，且当时，的面积为，从而得到的面积为的面积的2倍，即可求解． 【详解】解：由图2得：点N到达点C所用时间为，点M到达点B所用时间为，且当时，的面积为， 如图， 此时， ∴的面积为的面积的2倍，即， ∴的面积为． 故选：B 7．如图，矩形中，厘米，厘米，点P从点A开始沿边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以2厘米/秒的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发． (1)经过几秒时，的面积等于8平方厘米？ (2)在运动过程中，的面积能否等于矩形的面积的四分之一？若能，求出运动时间；若不能，说明理由． (3)在移动过程中，的最大面积是多少？（提示：配方法） 【答案】(1)经过2秒或4秒时，的面积等于8平方厘米 (2)不存在，理由见解析 (3)的最大面积是9 【分析】此题考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． （1）设经过t秒时，的面积等于8平方厘米，根据题意得出，再根据三角形的面积公式即可求出答案； （2）根据三角形的面积公式和矩形的面积公式列出方程，求出方程无解，从而得出不存在的面积等于矩形的面积的四分之一的情况； （3）设经过t秒时，的面积等于S平方厘米，列出二次函数表达式并根据二次函数性质求出最值即可． 【详解】（1）解：设经过t秒时，的面积等于8平方厘米， ∵厘米，厘米，点P从点A开始沿边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以2厘米/秒的速度移动， ∴， ∴， 解得：； 答：经过2秒或4秒时，的面积等于8平方厘米； （2）不存在，理由如下： 设经过t秒时，的面积能等于矩形的面积的四分之一，则由题意得： ， 整理得：， ∵， ∴原方程无解， ∴不存在的面积等于矩形的面积的四分之一． （3）设经过t秒时，的面积为S平方厘米， ， ， ∴当时，取最大值为9， ∴的最大面积是9． 8．如图，在中，，．动点P从点C出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向终点B运动．当点P不与点B、C重合时，取线段的中点Q，过点P作，在的上方取线段，使，以为边作矩形．设点P的运动时间为t秒．矩形与重叠部分图形的面积为S． (1)线段的长为______（用含t的代数式表示）； (2)当点N在边上时，求t的值； (3)当矩形与重叠部分图形为四边形时，求S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围． 【答案】(1)； (2)2； (3)． 【分析】（1）根据时间乘以速度得，可得，再根据得出答案； （2）说明，可得答案； （3）先求出当点M在上时，，当矩形与重叠部分图形为四边形时，或，画出图形，再求出面积即可． 【详解】（1）解：根据题意可知， ∵点Q是的中点， ∴， ∴； 矩形中，； （2）解：如图，当点N在边上时， ∵ ∴. ∵， ∴， ∴， 即， 解得； （3）解：当时，； 当点M在上时，可知， ∴， 即， 解得． 当时， 根据题意，得，， ∴． ◆题型三、拱桥问题 9．如图所示的拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为，当水面离桥顶的高度为米时，水面的宽度为（    ） A．8米 B．9米 C．10米 D．11米 【答案】C 【分析】令，解方程即可求出水面的宽度． 【详解】解：根据题意，令，得： ， 解得：，， 所以水面宽为：米． 10．如图的一座拱桥，当水面宽为时，桥洞顶部离水面，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是，则选取点B为坐标原点时的抛物线顶点坐标是___． 【答案】 【详解】解：根据题意，选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是， 则选取点B为坐标原点时的抛物线相当于把原抛物线向左平移12个单位， ∵原抛物线的顶点为， ∴根据平移的性质，平移后的抛物线的顶点为． 11．某抛物线型拱桥示意图如图所示．水面宽与桥长均为米，在距离点米的处，测得桥面到桥拱的距离为米，以桥拱顶点为原点，桥面所在直线为 轴建立平面直角坐标系．如图，桥面上方有根高度均为米的支柱、、，过相邻支柱顶端的两根钢缆可以近似看做两条形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为米． (1)求拱桥和其中一条钢缆抛物线的函数解析式； (2)春节前夕，市政打算在钢缆和桥拱之间沿竖直方向装饰若干条灯带（见图），求出可以在竖直方向安装的灯带中最短的灯带长度． 【答案】(1)拱桥抛物线表达式为；右边钢缆的抛物线表达式为；左边钢缆的抛物线表达式为 (2)灯带长度的最小值是 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）设灯带长度为，则，即可得解． 【详解】（1）解：①由题意得，，右边钢缆的抛物线顶点为， 设右边钢缆的抛物线表达式为， ， ， ， ． ②由题意得，，左边钢缆的抛物线顶点为， 设左边钢缆的抛物线表达式为， ， ， ， ． 设拱桥抛物线表达式为，由题意得， ， ． ． （2）解：设灯带长度为， 则， ， 当时，有最小值为． 答：灯带长度的最小值是． 12．开封清明上河园中的虹桥是园区的核心地标，下面是虹桥及上方抛物线形框架结构的平面示意图，桥中间的大拱截面可视为抛物线的一部分，虹桥上悬挂两个灯笼． 现有以下三条素材： 素材1：整个图形是轴对称图形； 素材2：跨度米，竖直支撑米，最高点P到的距离为5米； 素材3：两灯笼，之间的水平距离为4米，点M、N均在抛物线上且关于抛物线的对称轴对称． 现以所在直线为x轴，的垂直平分线（直线）为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求虹桥上半部分所在抛物线的函数表达式；（不必写出自变量取值范围） (2)若米，求灯笼底端（点E或F）到的距离． 【答案】(1) (2)米 【分析】（1）待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）将代入抛物线的解析式，求出y的值，再根据求出结果即可． 【详解】（1）解：由题意可知，点D的坐标为，P的坐标为． 设虹桥上半部分所在抛物线的函数表达式为：， 将点代入得，， 解得， ∴虹桥上半部分所在抛物线的函数表达式为； （2）解：由题意知，，M、N关于抛物线的对称轴对称， ∴点N的横坐标为2， 当时，， ， ∴灯笼底端（点E或F）到的距离为米． ◆题型四、销售问题 13．某商场销售的一种商品的进价为30元/件，连续销售100天后，统计发现：在这100天内，①该商品每天的销售价格x（元/件）与时间（第天）满足关系式：； ②该商品的日销售量y（件）与时间t（第t天）满足一次函数关系，部分数据如下表： 时间t（第t天） 1 2 10 20 …… 日销售量y（件） 119 118 110 100 …… (1)直接写出y与t之间的函数解析式； (2)设销售该商品的日利润为w（元），请直接写出w与t之间的函数解析式，并求出在这100天内哪天的日利润最大，最大日利润是多少元？ (3)在这100天内，日利润不低于4000元的共有多少天，请直接写出结果． 【答案】(1)（，为整数）； (2)；第50天的日利润最大，最大日利润为4900元； (3)51天． 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）依据题意销售利润=销售量×（售价-进价）易得出销售利润为W（元）与t（天）之间的函数关系式， （3）根据销售利润为W（元）与t（天）之间的函数关系式，求出利润超过4000元的天数即可． 【详解】（1）解：∵销售量y（件）与时间t（第t天）满足一次函数关系， ∴设y与的一次函数关系式为：， 将，代入得， ， 解得，， ∴； （2）解：根据题意得，， 当时， ， 当时， ， ∴， 当时， ， ∵， ∴当时，W随t的增大而增大，当时，W随t的增大而减小， 时，． 当时， ， ∵， ∴W随t的增大而减小， 时，． ∵， ∴第50天日利润最大，且最大日利润为4900元； （3）解：当时，， 令， ∴， ∴，， ∴符合题意； 当时，， 令， ∴， ∴时，符合题意， ∴当时，日利润不低于4000元， ∴共有：（天）． 14．某花卉基地引进并种植了一种新型绿植，已知该绿植每棵的售价为30元时，年销售量为8万棵． (1)基地营销人员经过市场调查分析发现，价格每提高2元，销售量将相应减少万棵，设每棵定价提高到元，每年的销售总收入为万元． ①求y关于t的函数关系式； ②要使提价后每年销售的总收入为300万元，求的值． (2)该基地为提高年销售量，决定对绿植进行改良培育．设改良培育后的价格为元（），该基地投入万元作为培育费用．问该绿植的年销售量至少达到多少万棵时，才能使年销售收入不低于改良前的年销售收入与培育费用之和？ 【答案】(1)①；② (2)年销售量a至少应达到万棵时，才能使销售收入不低于培育前的年收入与培育费用之和 【分析】（1）①根据题意列出关系式即可； ②根据总收入列一元二次方程计算； （2）根据题意列出不等式，结合换元法、二次函数的性质解题． 【详解】（1）解：①由题意得，销售量为（万棵）， ∴每年的销售总收入； ②由题意得， 整理得， 解得， ， ∵， ∴； （2）解：由题意，需满足成立， 即成立， 令， 设，则， ∵， ∴， 即时，有最大值， ∴， 即年销售量a至少应达到万棵时，才能使销售收入不低于培育前的年收入与培育费用之和． 15．某校九年级开展了“手工文创作品制作·模拟营销”的项目式学习活动． 市场调查  选取两类作品：原木小件(记作A品)、滴胶花艺(记作B品)． 收集到如下信息： 信息1：制作一件A品比一件B品的成本高元，用元制作A品的件数与用元制作B品的件数相等． 信息2：当A品售价为元/件时，其销量为件，售价每涨元，销量减少件；B品售价固定为元/件． 信息3：根据市场需求，制作并销售A品和B品共件． 成本核算： (1)分别求制作一件A品和一件B品的成本． 模型建立： (2)设销售A品和B品的总利润为元，A品售价为元/件，求w关于的函数解析式(不要求写自变量的取值范围)． 方案设计： (3)若制作A品和B品的总成本不超过元，且总利润最大，请设计A品和B品的数量分配方案． 【答案】(1)制作一件A品的成本为6元，制作一件B品的成本为4元 (2) (3)制作A品100件，B品200件时，总成本不超过1400元且总利润最大 【分析】（1）设制作一件B品的成本为元，则制作一件A品的成本为元，根据“用元制作A品的件数与用元制作B品的件数相等”列出分式方程并求解即可； （2）根据“当A品售价为元/件时，其销量为件，售价每涨元，销量减少件”求出A品的销量，再根据总销量300件求出B品的销量，从而利用利润公式求出w关于的函数解析式； （3）先利用不等式求出x的取值范围，再根据二次函数的图象和性质求解即可． 【详解】（1）解：设制作一件B品的成本为元，则制作一件A品的成本为元， 由题意可知：， 解得：， 经检验：是原方程的根，符合题意， 故， 答：制作一件A品的成本为6元，制作一件B品的成本为4元； （2）解：∵当A品售价为元/件时，其销量为件，售价每涨元，销量减少件， ∴A品的销量为：(件)， ∴B品的销量为：(件)， ∴， 答：w关于的函数解析式为：； （3）解：∵制作A品和B品的总成本不超过元， ∴， 解得：， 又∵且，即， ∴， ∵，， ∴当时，w随着x的增大而减小， ∴当时，． 此时，，总成本等于1400元， 答：制作A品100件，B品200件时，总成本不超过1400元且总利润最大． 16．十一长假，博物馆成为热门打卡地，游客们感悟历史博大精深的同时，也带火了各地文创用品．某文创商店抓住商机，以50元/盒的进价购入一批文创礼品，在销售（不低于进价）的过程中发现，该商品的日销售量y（盒）是售价x（元/盒）的一次函数，部分数据如表： 售价x（元/盒） 55 60 70 80 日销售量y（盒） 90 80 60 40 请根据题意，完成下列问题： (1)求出y与x的函数关系式： (2)设该商品的日销售利润为w元，当售价为多少元时，日销售的利润最大，最大利润是多少？ (3)若要某日销售利润不低于1050元，则售价范围应该是多少？ 【答案】(1)（） (2)售价为75元时，日销售利润w最大，最大利润为1250元 (3) 【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，待定系数法求一次函数解析式，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）利用待定系数法求一次函数解析式，进行计算即可解答； （2）根据总利润单个利润总数量进行计算，即可解答； （3）根据二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数表达式为， 将，， 代入得， 解得． ∴（）； （2）解：由题意知，每件的利润为元，则： ， ∵， ∴当时，w的最大值为1250， 答：售价为75元时，日销售利润w最大，最大利润为1250元； （3）解：由（2）可知，， 当时，w随x增大而增大，当时，w随x增大而减小， 当时，， 解得：，， 答：要使销售利润不低于1050元，售价范围应该是． ◆题型五、投球问题 17．发石车（图1）是古代一种攻城器械，据《三国志》记载：曹操创制发石车，攻破袁绍军壁楼．如图2，发石车位于点O处，其前方有一堵壁楼，其防御墙的竖直截面为矩形，墙宽为2米，点B与点O的水平距离为28米，垂直距离为6米．以点O为原点，水平方向为x轴方向，建立坐标系，将石块当作一个点看，其飞行路线近似看作抛物线． (1)若发射石块在空中飞行的最大高度为10米，求函数表达式（不写x的范围）； (2)石块能否飞越防御墙？请说明理由． 【答案】(1) (2)石块能飞越防御墙； 理由如下：由题意知，点的坐标为， ； 当时，， 石块能飞越防御墙． 【分析】（1）由题意知，函数的最大值为10，即；再把原点坐标代入，即可求得函数解析式； （2）确定点C的坐标，求出函数取点C的横坐标时的函数值，与点C的纵坐标比较，若大于点C的纵坐标，则能飞越，否则不能； 【详解】（1）解：由题意得，函数的最大值为10，即， 将点代入抛物线，得， 解得， 此抛物线的表达式； （2）略 18．一位篮球运动员在距篮球框中心水平距离处起跳投篮，篮球沿抛物线运动．当球运动的水平距离为时，达到最大高度，随后准确落入篮球框．已知篮球框中心距地面，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是（    ） A．抛物线表达式为 B．篮球框中心坐标是 C．抛物线顶点坐标是 D．篮球出手时离地面高度是 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的应用，对于A，设抛物线的表达式为，依题意可知图象经过的点的坐标，由此可得a的值，据此将得到的解析式与A选项对照，即可得到其正误；对于B、C，根据函数图象判断，即可得到其正误；对于D，设这次跳投时，球出手处离地面，将代入计算即可求得结论． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的函数关系式为． ∵， ∴篮球框中心在抛物线上，故选项B错误； ∴，解得， ∴此抛物线的解析式是，故选项A正确， ∴抛物线的顶点坐标是．故选项C错误； 设篮球出手时离地面的高度是， 当时，， 所以，篮球出手时离地面的高度是，故选项D错误． 故选：A． 19．乒乓球被誉为中国国球，不仅承载着民族自豪感，更成为展现中国体育精神的文化符号．发球机成为乒乓球爱好者的热门训练器．如图，是乒乓球台的示意图，乒乓球台长为，球网高15.25cm．发球器采用“直发式”模式，球从发球机出口到第一次接触球台的运行轨迹近似为抛物线的一部分． 某次训练，发球机从球台边缘点正上方的高度处发球（即的长为），乒乓球到球台的竖直高度记为（单位：），乒乓球运行的水平距离记为（单位：），测得几组数据如下：根据以上数据，解决下列问题： 水平距离 0 10 50 90 130 170 230 竖直高度 28.75 33 45 49 33 0 (1)当乒乓球第一次落在对面球台上时，球到起始点的水平距离是_____cm，表格中的值为_____； (2)求出满足条件的函数表达式； (3)若发球机的发球高度增加，其他所有条件均不变，则乒乓球从发球机出口发出后_____落到对面球台上（填“能”或“不能”）． 【答案】(1)230，45 (2) (3)能 【分析】（1）根据表格中的数据，函数值为0时，自变量的值即为水平距离；根据对称性可得对称轴为直线，则当时的函数值与当的函数值相同，据此可得答案； （2）把解析式设为顶点式，再利用待定系数法求解即可； （3）当发球机的发球高度增加时，则此时抛物线解析式为，求出此时函数值为0时自变量的值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵当乒乓球的竖直高度为0时，水平距离为， ∴当乒乓球第一次落在对面球台上时，球到起始点的水平距离是； ∵当和当时的函数值相同， ∴对称轴为直线， ∴当时的函数值与当的函数值相同， ∴； （2）解：设， 把代入中得， 解得， ∴满足条件的函数表达式为； （3）解：当发球机的发球高度增加时，则此时抛物线解析式为， 在中，当时， 解得或， ∵， ∴乒乓球从发球机出口发出后能落到对面球台上． 20．小明是一位羽毛球爱好者，在一次单打训练中，小明对“挑球”这种击球方式进行路线分析，球被击出后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，击球点P到球网的水平距离． 小明在同一击球点练习两次，球均过网，且落在界内． 第一次练习时，小明击出的羽毛球的飞行高度y（单位：）与水平距离x（单位：）近似满足函数关系． 第二次练习时，小明击出的羽毛球的飞行高度y（单位：）与水平距离x（单位：）的几组数据如下： 水平距离 0 1 2 3 4 飞行高度 2 根据上述信息，回答下列问题： (1)直接写出第一次练习时，羽毛球飞行的最大高度； (2)求小明第二次练习时，羽毛球的飞行高度y与水平距离x满足的函数关系式； (3)设第一次、第二次练习时，羽毛球落地点与球网的距离分别为，则 （填“”，“”或“”）． 【答案】(1)第一次练习时，羽毛球飞行的最大高度 (2) (3)＜ 【分析】本题考查二次函数的应用、二次函数的性质、求二次函数的解析式等知识点，灵活运用待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）依据题意，由，再根据二次函数的性质即可解答； （2）根据表格信息，设出抛物线解析式，再利用待定系数法求解即可； （3）分别利用第一次练习和第二次练习时的抛物线解析式求出羽毛球落地点与球网的距离分别为，然后再比较即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，y取最大值，最大为， ∴第一次练习时，羽毛球飞行的最大高度． （2）解：由表格信息可知，第二次练习时，抛物线的顶点为， 设抛物线的解析式为：， 由题意可知：抛物线过点， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式为：． （3）解：第一次练习时，当时，， ∴，（舍去）， ∴， 第二次练习时，当时，， ∴，（舍去）， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． ◆题型六、喷水问题 21．公园要建造圆形的喷水池如图①，水面中心O处垂直于水面安装一个柱子，柱子顶端处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下．安装师傅调试发现，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．如图②．喷头高5m时，水柱落点距O点5m；喷头高8m时，水柱落点距O点6m．现要使水柱落点距O点8m，则喷头高应调整为______m． 【答案】16 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，则当喷头高时，可设，将代入解析式得出；喷头高时，可设；将代入解析式得，联立可求出和的值，设喷头高为时，水柱落点距点，则此时的解析式为，将代入可求出． 【详解】解：由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，即抛物线的二次项系数和一次项系数不会发生变化， 当喷头高时，可设， 将代入解析式得出， 整理得①； 喷头高时，可设； 将代入解析式得②， 联立①②可求出， 设喷头高为时，水柱落点距点， 此时的解析式为， 将代入可得， 解得， ∴喷头高应调整为。 故答案为：． 22．洒水车是城市绿化的生力军．某辆洒水车喷出水的上、下边缘分别可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，喷出水的上、下边缘的竖直高度分别为（单位；m），且分别与水平距离（单位：）近似满足二次函数关系． (1)在一次洒水作业中，水平距离与喷出水的上边缘的竖直高度的几组数据如下： 水平距离 0 1 2 3 4 5 竖直高度 ①直接写出喷出水的上边缘竖直高度的最大值； ②根据以上信息，求出与满足的函数关系式，并求出喷出水的上边缘落地点的水平距离； (2)在（1）的条件下，喷出水的下边缘的竖直高度与水平距离近似满足函数关系．记喷出水的落地区域的宽度为（单位：），当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①；②， (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，二次函数的图象与性质，待定系数法求二次函数解析式，二次函数与不等式，熟练掌握待定系数法和二次函数的图象与性质是解题关键． （1）①根据抛物线的对称性求得对称轴，进而结合表格，即可求解； ②待定系数法求得抛物线解析式，然后令即可求解； （2）由上边缘落地点的水平距离和喷出水的落地区域的宽度范围求出下边缘落地点的水平距离范围，代入临界值列不等式即可解答． 【详解】（1）解：①∵当和时，， ∴上边缘抛物线对称轴为直线， 由表格知，当时，，即喷出水的上边缘竖直高度的最大值； 故答案为：； ②由表可知，抛物线的顶点坐标为， ∴设上边缘抛物线的解析式为， ∵抛物线过点， ∴， 解得， ∴与的函数关系式为：， 令，， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴喷出水的上边缘落地点的水平距离为； （2）解：∵喷出水的下边缘的竖直高度与水平距离近似满足， 令，得， 设其正根为，则喷出水的下边缘落地点的水平距离为， ∵喷出水的上边缘落地点的水平距离为，喷出水的落地区域的宽度， ∴， 解得：， ∴当时，，解得：， 当时，，解得：， ∴． 23．要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，喷出的水呈抛物线形状，记喷出的水与池中心的水平距离为，距地面的高度为，测量得到如表数值： 0 1 2 3 3 3 小明根据学习函数的经验，发现y是x的函数，并对y随x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整： (1)在平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点，画出函数的图象，并求出该函数的解析式； (2)结合函数图象填空：出水口距地面的高度为______m，水达到最高点时与池中心的水平距离为______m； (3)水柱落地点与池中心的距离为______m，为了使水柱落地点与池中心的距离不超过，如果只调整出水口的高度，其他条件不变，出水口至少需要降低______m． 【答案】(1) 解：函数图像如图： (2)3；1 (3)； 【分析】（1）先描点、然后再用待定系数法求函数解析式即可解答；掌握待定系数法是解答本题的关键； （2）求出的函数值即可出水口距地面的高度，再根据顶点坐标即可确定水达到最高点时与地面的距离以及与池中心的水平距离，掌握二次函数图象上各点的意义是解答本题的关键； （3）先求出时自变量的取值，即可水柱落地点与池中心的距离；再求出时得函数值，即可确定出水口至少需要降低的高度． 【详解】（1）由表中数据可知，和时，相等， 则抛物线的顶点坐标为， 设该函数的解析式为， 把代入解析式可得，， 解得， 所以该函数的解析式为． （2）解：∵当时，， ∴出水口距地面的高度为， ∵抛物线顶点坐标为 ∴水达到最高点时与地面的距离为，此时与池中心的水平距离为， 故答案为：3；1． （3）解：∵当时，， 解得（舍），， ∴水柱落地点与池中心的距离为， 当时，， ∴出水口至少需要降低， 故答案为：；． 24．如图，某广场要建一个圆形喷水池，在池中心O处竖直放置一根水管，在水管的顶端A处安装一个喷水头，喷出的水柱是抛物线的一部分，已知落水点B到池中心O的距离为8米． (1)写出水柱离水面（x轴）的最大高度，并求水管的长度； (2)若在喷水池中竖直放置一盏高为米的景观射灯，且景观射灯的顶端F恰好碰到水柱，求景观射灯与池中心的水平距离； (3)现计划扩建喷水池，升高水管，使落水点到池中心的距离为10米，已知水管升高后，喷水头喷出的水柱形状和对称轴不变，求水管要升高多少米？ 【答案】(1)水管的长度为米 (2)景观射灯与池中心的水平距离为7米 (3)水管要升高米 【分析】该题考查了二次函数的应用，解决此类问题的关键是理解题目中的条件所表示的几何意义． （1）将点B的坐标代入即可求解； （2）把代入解析式，即可求解； （3）设水管要升高h米，求出扩建后抛物线的表达式，即可求解； 【详解】（1）解：由解析式得水柱离水面的最大高度为5米， 将点B的坐标代入中， 得 解得， ∴． 令，得， ∴水管的长度为米； （2）解：由题意得，令 解得，（舍去）， ∴顶端F的横坐标为， ∴景观射灯与池中心的水平距离为7米； （3）解：设水管要升高h米， ∴升高后的抛物线的解析式为． 当时，， ∴ ， ∴， 答：水管要升高米． ◆题型七、增长率问题 25．某厂加工一种产品，现在的年产量是万件，计划今后两年增加产量．如果每年的增长率都为，那么两年后这种产品的年产量（万件）与之间的函数表达式为________（要求化成一般式）． 【答案】 【分析】本题考查了根据题意列函数关系式，理解题意找到题目中的等量关系是关键． 每年的增长率都为，第一年后的产量是件，即可得第二年后的产量是，即可求解． 【详解】解：根据题意，第一年后的产量是件， 第二年后的产量．即． 故答案为：． 26．某商店进购一商品，第一天每件盈利（毛利润）10元，销售500件． (1)第二、三天该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，第三天的销售量达到605件，求第二、三天的日平均增长率； (2)经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1元，日销量将减少20件． ①现要保证每天总毛利润6000元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应涨价多少元？ ②现需按毛利润的交纳各种税费，人工费每日按销售量每件支出0.9元，水电房租费每日102元，若剩下的每天总纯利润要达到5100元，则每件涨价应为多少？ 【答案】(1) (2)①每件应张价5元；②每件涨价应为8元 【分析】（1）设第二、三天的日平均增长率为x，利用第三天的销售量=第一天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）①设每件应张价y元，则每件盈利（毛利润）为元，销售数量为件，根据每件盈利（毛利润）×销售数量＝每天总毛利润列方程求解即可； ②设每件涨价应为z元，则每天总毛利润为元，每天总纯利润为元，根据每天总纯利润要达到5100元，列方程求解即可． 【详解】（1）解： 设第二、三天的日平均增长率为x，根据题意，得 ， 解得： ， (不符合题意，舍去)， ∴， 答： 第二、三天的日平均增长率为10%． （2）解：①设每件应张价y元，根据题意，得 ， 解得：，， ∵要使顾客得到实惠， ∴， 答：每件应张价5元； ②设每件涨价应为z元，根据题意，得 ， 解得：， ∴， 答：每件涨价应为8元． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，设恰当未知数，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 27．某种商品的价格是元，准备进行两次降价．如果每次降价的百分率都是，经过两次降价后的价格（单位：元）随每次降价的百分率的变化而变化，则关于的函数解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意利用增长率公式表示出与的函数解析式进而判断即可. 【详解】解：根据题意得y=2（1-x）2， 所以y与x之间的函数解析式为y=2（1-x）2． 故选：B. 【点睛】本题考查根据实际问题列二次函数关系式，注意掌握根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定． 28．某企业在2024年1-4月的净利润见下表．经调查后发现，企业的利润数是经过月数的二次函数．（注：净利润数单位为万元；初始宣发资金可单独计算入总利润） XX企业2024年1-4月净利润表 经过月数（x） 1 2 3 4 净利润数（y） -9 -16 -24 (1)求y关于x的函数解析式（无需写定义域）； (2)补全表中的空格处并填空：本公司1-4月平均每月亏损________万元；通过技术改革，到2024年________月起，公司当月不再亏损；理论上到2025年的________月份公司可以把之前的亏损全部赚回来； (3)新年伊始，为使创新产品销量增加，政府决定资助此企业宣发资金，从2025年初启动宣发程序．已知从2025年1月起初始宣发资金是上表亏损的金额的20％，每月使用k万元进行宣发，如初始宣发资金用完，用去金额将从净利润中扣除．若因宣发每月净利润数提升k％，请直接写出k取不同值时由2024年初至2025年第一季度末的总盈亏情况．（计算时保留一位小数） 【答案】(1) (2)空格处应填；17.5；10；3 (3)当时，，盈利， 当时，不亏损也不盈利， 当时，，亏损． 【分析】本题主要考查二次函数在实际问题中的应用，应用待定系数法求解方程是解题的关键． （1）根据待定系数法求解方程即可； （2）由（1）的解析式进行代值计算即可求解； （3）根据题意得到总利润表达式，再解不等式得出结论即可． 【详解】（1）设二次函数解析式为， ， 所以函数解析式为； （2）由（1）知函数解析式为， 当时，， 故空格处应填； （万元）， 所以1-4月平均每月亏损17.5万元， 故答案为：17.5； 令，解得， 所以到2024年10月起，公司当月不再亏损， 故答案为：10； 因为，所以， 则1-9月共亏损165万元，10月份不亏损也没有盈利， 11月盈利11万元，12月盈利24万元，2025年1月盈利39万元， 2025年2月盈利56万元，2025年3月盈利75万元， 从2024年1月到2025年2月亏损35万元，到3月盈利40万元， 理论上到2025年的3月份公司可以把之前的亏损全部赚回来， 故答案为：3； （3）由（2）可知2024年总利润为万元， 初始宣发资金为（万元）， 则每月的净利润数为， 当代入求和可得2025年第一季度末的净利润为 ， 所以2024年初至2025年第一季度末的总利润为： ， 所以当时，，盈利， 当时，不亏损也不盈利，当时，，亏损． ◆题型八、其他问题 29．行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的原因，还要继续向前滑行一段距离才能停住，这段距离称为“刹车距离”．为了测定某种型号汽车的刹车性能，对这种汽车的刹车距离进行测试，测得的数据如下表 刹车时车速（千米/时） 刹车距离（米） (1)在如图所示的平面直角坐标系中，以刹车时车速为横坐标，以刹车距离为纵坐标，描出这些数据所表示的点，并用平滑的曲线连接这些点，得到某函数的大致图象； (2)结合图象，当前方障碍物与车的距离为米时，为了人与车的安全，此时该车的车速最高为________千米/时（保留整数）； (3)测量必然存在误差，通过观察图象估计函数的类型，求出一个大致满足这些数据的函数表达式； (4)一辆该型号汽车在高速公路上发生交通事故，现场测得刹车距离约为米，已知这条高速公路限速千米/时，请根据你确定的函数表达式，通过计算判断在事故发生时，汽车是否超速行驶． 【答案】(1) (2) (3) (4) 解：将刹车距离代入函数表达式， 整理得， 解得正根， ∵， ∴事故发生时汽车没有超速行驶． 【分析】（）依题意描点连线即可． （）先求刹车距离二次函数解析式，将代入解方程，取合理整数得安全最高车速； （）由图像判断为过原点二次函数，代入两组数据解方程组，求出函数关系式； （）把刹车距离代入函数算出车速，和限速对比判断是否超速． 【详解】（1）解：根据表格数据，依次描出点 ， 再用平滑曲线依次连接各点即可得到函数大致图象； （2）解：由图象形状可判断为二次函数，且时，因此设，代入、， 得：， 解得， 因此表达式为； 当时， 整理得， 解得 为保证安全，最高车速保留整数为千米/时； （3）解：由图象形状可判断为二次函数，且时，因此设，代入、， 得：， 解得， 因此表达式为； （4）略 30．某工厂响应绿色环保政策，安排60名工人在规定时段内全部参与加工A，B，C三种零件，其中A零件为可回收材料制成，B零件生产过程需节能减排，C零件为新材料研发产品．在该时段内，每名工人只能加工A零件3件，或B零件1件，或C零件1件．工厂要求加工A零件和C零件总数相等，B零件总数至少8件．若加工的零件都能销售出去，扣除各种成本，加工A零件每件获利9元，加工B零件总数为8件时，每件获利64元，每多加工1件，则所有B零件每件获利减少1元；加工C零件每件获利20元，同时每生产一件C零件可获得政府的环保研发补贴3元． （1）当安排28名工人加工B零件时，安排加工A零件的工人人数为_____ ； （2）合理安排工人分工使工厂在规定时段内获利最大时，加工B零件的人数为_____ ． 【答案】 【分析】（1）设安排加工A零件的工人人数为名，根据题意知加工C零件的工人人数为名，进而根据工人总人数为60名列方程求解即可； （2）设加工B零件的工人人数为y名，加工A零件的工人人数为x名，则加工C零件的工人人数为名，根据题意列不等式得到，且x为正整数；分别求得生产A、B、C三种零件的总利润，则可得总利润且化简为，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：（1）设安排加工A零件的工人人数为名，因为加工A零件和C零件总数相等，且每名工人只能加工A零件3件或C零件1件，所以加工C零件的工人人数为名， 由题意得，解得， 所以安排加工A零件的工人人数为8名； （2）设加工B零件的工人人数为y名，加工A零件的工人人数为x名，则加工C零件的工人人数为名， 满足：，即且， 即， 解得， 同时x为正整数； 由题意，A零件总利润：， B零件总利润：，代入，得：， C零件总利润：， 总利润W为：， 展开并整理得， 这是一个开口向下的二次函数，对称轴为直线， 此时，且，符合条件； 所以加工B零件的人数为24名． 31．为研究某种化学试剂的挥发情况，某研究团队在A、B两种不同的场景下做对比实验，分别收集了试剂挥发过程中剩余质量（克）和（克）与时间x（分钟）（）的部分数据： （分钟） 0 5 10 15 20 （克） （克） 经研究发现，可以分别用函数刻画，与x之间的关系．场景A下试剂挥发过程中的剩余质量与时间x近似满足函数关系：，与x近似满足一次函数关系，图象如图所示． (1)写出表中m的值： ，并在给定的平面直角坐标系中画出场景A下试剂挥发过程中的剩余质量（克）与时间x（分钟）的函数图象； (2)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①在场景A下，剩余质量随时间减少的变化趋势是 ； A．匀速变化 B．先快后慢 C．先慢后快 ②查阅文献可知，该化学试剂发挥作用的最低质量为3克．在上述实验中，该化学试剂在场景 （填“A”或“B”）下发挥作用的时间更长； (3)当时，两种场景下试剂挥发过程中剩余质量的差值达到最大时，此时对应的时间是第 分钟（结果保留小数点后一位）． 【答案】(1)，（克）与时间（分钟）的函数图象如图所示； (2)C； (3) 【分析】（1）直接根据表格中已知数据得出的变化规律，即可得到的值；再将表格的数据描点，并用平滑的曲线画出的函数图象即可； （2）观察表格和图象读取信息即可； （3）利用待定系数法求得、的函数关系式，进而得到的函数关系式，利用二次函数的性质即可求得最值． 【详解】（1）解：与近似满足一次函数关系，观察表格数据可知，时间每增加分钟时，剩余质量减少克， ； 则（克）与时间（分钟）的函数图象：略 （2）解：观察图象可知，在场景A下，剩余质量随时间减少的变化趋势是先慢后快； 由表格可知，当时，（克）；（克）； 而该化学试剂发挥作用的最低质量为克，故该化学试剂在场景A下发挥作用的时间更长． （3）解：将点和代入中得， ， 解得， ； 设与的函数关系式为， 将点和代入得， ， 解得， ， ， ， 抛物线开口向下， 当分钟时，取最大值，最大值为克， ∵结果保留小数点后一位 ∴ 即两种场景下试剂挥发过程中剩余质量的差值达到最大时，此时对应的时间是第分钟． 32．跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一．比赛过程分为助滑阶段，起跳后的空中飞行阶段和落地滑行阶段，今天我们一起来运用数学知识解决最具观赏性的空中飞行阶段相关问题．为了获得数据，技术人员设置了固定点进行测量，运动员起跳后的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足二次函数关系．下表记录了某运动员起跳后的与的几组数据． 水平距离（单位：） 竖直高度（单位：） 请解决以下问题： (1)在下面网格中，建立适当的平面直角坐标系，根据题中数据描点，并用平滑的曲线连接； (2)请结合图象分析，当水平距离为________时，运动员在空中达到最高点． (3)运动员水平位置为________时，运动员才能落地． (4)根据训练需要，假设运动员的起跳速度和角度没有变化，现将起跳跳台（起跳点）抬高22米，运动员落地的水平距离如何变化？变化了多少？ 【答案】(1)平面直角坐标系与曲线如图所示： (2) (3) (4)运动员落地的水平距离增加了 【分析】（1）以左下格点作为原点建立平面直角坐标系，再使用描点法画函数图象即可； （2）结合图象进行判断即可； （3）使用待定系数法求出二次函数的解析式，再将代入，求解方程即可； （4）先写出平移后的解析式，再将代入，求解方程并与第（3）问的结论对比即可． 【详解】（1）略 （2）解：由图象可知，当水平距离为时，运动员在空中达到最高点； （3）解：由图象可知，该抛物线的顶点坐标为， 设二次函数的解析式为， 将点代入，得， ∴二次函数的解析式为， 将代入，得， ， 解得或（负值，舍去）， ∴运动员水平位置为时，运动员才能落地； （4）解：由题意可知，新抛物线由抛物线向上平移个单位长度得到， ∴， 将代入，得， ， 解得或（负值，舍去）， ， ∴运动员落地的水平距离增加了． ◆题型九、利润问题中的捐赠问题 33．某公司推出一款产品，成本价元/千克，经过市场调查，该产品的日销售量（千克）与销售单价（元/千克）之间满足一次函数关系，该产品的日销售量与销售单价之间的几组对应值如下表： 销售单价（元/千克） 日销售量（千克） 注：日销售利润日销售量（销售单价成本单价） (1)求关于的函数解析式（不要求写出的取值范围）； (2)当销售价格为多少元时，日销售利润最大，最大利润是多少元； (3)该公司决定从每天的销售利润中捐赠元给“精准扶贫”对象，为了保证捐赠后每天的剩余利润不低于元，请直接写出该产品销售单价的范围_________． 【答案】(1) (2)当销售价格元时，日销售利润最大，最大值是元 (3) 【分析】本题考查一次函数的应用，二次函数的性质，能够理解题意列出合理的方程和不等式是解题的关键． （1）从表格中取点代入一次函数解析式即可求解； （2）建立与的函数关系式，利用二次函数性质求最大值即可． （3）先求捐赠后的利润为元时的销售单价，再利用二次函数的性质直接下结论即可． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为， 则解得：，， ， （2）因为， 所以当时，有最大值， 最大值为，   所以当销售价格元时，日销售利润最大，最大值是元； （3）因为， 整理得：，解得：， 所以，当时，捐赠后每天的剩余利润不低于1025元 故答案为：． 34．利民超市购进了一批某种商品，进价为20元/件．在销售过程中统计发现；日销售量y（件）与销售单价x（元/件）满足的函数关系如图所示． (1)请直接写出y关于x的函数解析式； (2)销售单价定为多少元时，所获该种商品的日销售利润w最大？最大利润是多少？ (3)超市决定每销售一件该种商品，就向社区福利院捐赠a元，捐赠后，为确保销售该商品的日最大利润满足的利润率，求a的值．（利润率） 【答案】(1)； (2)销售单价定为30元/件时，日销售利润w最大为200元 (3)a的值为4． 【分析】本题考查了二次函数的应用，一次函数的应用，分式方程的应用． （1）利用待定系数法求解即可； （2）设日销售利润为w元，根据利润单件利润销售量求出w关于x的函数表达式，然后利用二次函数的性质求解即可； （3）设日销售利润为元，根据利润单件利润销售量销售量求出w关于x的函数表达式，再利用日最大利润满足的利润率，列得分式方程，据此计算求解即可． 【详解】（1）解：设y关于x的函数解析式为， 将，代入得，，解得， ∴y关于x的函数解析式为； （2）解：设日销售利润为w元，根据题意，得： ， ∵，开口向下， ∴当时，有最大值为200， ∴该商品销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是200元； （3）解：设日销售利润元， 根据题意，得 ， ∵，开口向下，对称轴为， ∴当时，有最大值，最大值为， ∵日最大利润满足的利润率，成本为， 又∵， ∴成本为， ∴， 解得或， 经检验，是原方程的增根，舍去；是原方程的根，且符合题意， ∴a的值为4． 35．平安路上，多“盔”有你，在“交通安全宣传月”期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶40元，售价为每顶68元，平均每周可售出100顶，商店计划将头盔降价销售，每顶售价不高于58元，经调查发现：每降价1元，平均每周可多售出20顶． (1)若该商店希望平均每周获利4000元，则每顶头盔应降价多少？ (2)商店降价销售后，决定每销售1顶头盔，就向某慈善机构捐赠m元（m为整数，且），帮助做“交通安全”宣传，捐赠后发现，该商店每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大，求m的值． 【答案】(1)每顶头盔应降价20元； (2)或4． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及二次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式． （1）设每顶头盔应降价元，则每顶头盔的销售利润为元，平均每周的销售量为顶，根据每周销售头盔获得的利润每顶头盔的销售利润平均每周的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，结合每顶售价不高于58元，即可确定的值； （2）设每周扣除捐赠后可获得利润为元，每顶头盔售价为元，利用每周销售头盔获得的利润每顶头盔的销售利润平均每周的销售量，即可得出关于的函数关系式，利用二次函数的性质可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，再结合且为整数，即可得出的值． 【详解】（1）解：设每顶头盔应降价元，则每顶头盔的销售利润为元，平均每周的销售量为顶， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， ， ， ． 答：每顶头盔应降价20元； （2）解：设每周扣除捐赠后可获得利润为元，每顶头盔售价为元， 依题意得：． 抛物线的对称轴为，开口向下，当时，利润仍随售价的增大而增大， ， 解得：， 又∵，且为整数， 或． 36．厦门市夏商公司购进某种水果的成本为20元，经过市场调研发现，这种水果在未来48天的销售单价p（元）与时间t（天）之间的函数关系式为： （t为整数）且其日销售量与时间t（天）的关系如下表： 时间t（天） 1 3 6 10 20 … 日销售量 118 114 108 100 80 … (1)已知y与t之间的变化规律符合一次函数关系，试求在第30天的日销售量是多少? (2)在实际销售的前24天中，公司决定每销售水果就捐赠n元利润给“精准扶贫”对象．现发现：在前24天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求n的取值范围． 【答案】(1)60 (2) 【分析】本题考查了二次函数的应用，一次函数的应用，最值问题，分段函数等知识，正确理解题意，弄清各量间的关系，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键. （1）根据日销售量与时间t（天）的关系表，设，将表中对应数值代入即可求出k，b，从而求出一次函数关系式，再将代入所求的一次函数关系式中，即可求出第30天的日销售量； （2）根据题意列出日销售利润，此二次函数的对称轴为直线，要使W随t的增大而增大，，即可得出n的取值范围． 【详解】（1）依题意，设，将，代入中， 得：， 解得：， ∴日销售量与时间t（天）的关系． 当时，． 答：在第30天的日销售量为60千克． （2）解：依题意，得：， 该函数图象的开口向下，对称轴为直线，要使在前24天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大， 由二次函数的性质知：，解得． 又∵， ∴． ◆题型十、二次函数的角度问题 37．如图，抛物线与x轴分别交于，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)P是抛物线上的一个点，连接，，直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2)点P的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）当点P在x轴上方时，取点，连接，可证明，推出，则点P在射线上，求出直线的解析式为，联立对应的函数解析式求出点P的坐标即可；当点P在x轴下方时，取点，连接，同理可证明点P在射线上，联立对应的函数解析式求出点P的坐标即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴分别交于，两点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图所示，当点P在x轴上方时，取点，连接， 在中，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点P在射线上； 设直线的解析式为， 则， ∴， ∴直线的解析式为， 联立得，解得或， ∴点P的坐标为； 如图所示，当点P在x轴下方时，取点，连接， 同理可证明， ∴， ∵， ∴， ∴点P在射线上； 设直线的解析式为， 则， ∴， ∴直线的解析式为， 联立得，解得或， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或． 38．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)直接写出抛物线的解析式为：______； (2)点为第一象限内抛物线上的一动点，作轴于点，交于点，过点作的垂线与抛物线的对称轴和轴分别交于点，，设点的横坐标为． ①求的最大值； ②连接，若，求的值． 【答案】(1) (2)①；②1或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①先求出的长，再过点作轴于点，求出的长，然后利用二次函数的性质求解即可； ②先求出的长，再证出，则可得，然后在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：将点，代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：①∵点为第一象限内抛物线上的一动点，且其横坐标为， ∴， 将代入抛物线得：， ∴， 设直线的解析式为， 将点，代入得：，解得， ∴直线的解析式为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，即， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，且 如图，过点作轴于点，则， ∴， ∴， ∴， 由二次函数的性质可知，在内，当时，的值最大，最大值为． ②由上可得：，，，，， ∴，， ∴， 设直线的解析式为， 将点，代入得：，解得， ∴直线的解析式为， 将函数化成顶点式为， ∴点的横坐标为1， 将代入函数得：， ∴， ∴， ∵轴，， ∴，， ∵， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在中，，即， 解得或，均符合题意， ∴的值为1或． 39．如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求抛物线及直线的解析式； (2)直接写出抛物线的顶点坐标和对称轴； (3)若P为抛物线上一点，当时，求点P的横坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为，直线的解析式为； (2)顶点坐标为，对称轴为直线； (3)点的横坐标为． 【分析】（1）已知抛物线与轴交于、，可设交点式，再利用与轴交点求出；利用待定系数法求直线解析式即可． （2）把抛物线解析式化为顶点式，或直接利用顶点横坐标公式，代入求纵坐标． （3）延长交x轴于点，由可得，设点的坐标为，利用两点距离公式求出m，再用待定系数法求出直线的解析式，最后与抛物线联立求解． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于、， 设其解析式为， 抛物线与轴交于点，令得， 又此时， ， 解得：， ， 点的坐标为， 设直线解析式为， 把、，代入，得 解得， 直线的解析式为． （2）解：， 抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线． （3）解：、、， ，，， 在中，， 延长交x轴于点， ， ∴， 设点的坐标为， ， 解得， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 直线过点， ， 又直线过点， ， 解得：， 直线的解析式为， 点在抛物线上， ， 解得：（为点，舍去）或， 点的横坐标为． 40．如图，已知抛物线与x轴相交于，与y轴相交于点C，直线，垂足为C． (1)求该抛物线的表达式； (2)若直线l与该抛物线的另一个交点为D，求点D的坐标； (3)设动点在该抛物线上，当时，求m的值． 【答案】(1) (2)点D的坐标为 (3)或 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）证明，则，即，即可求解； （3）延长交直线l于点，当时，证明为等腰直角三角形，利用，即可求出点的坐标，再利用点的坐标，求出直线的解析式，再与抛物线解析式联立即可求出m的值． 【详解】（1）解：将点A、B的坐标代入抛物线的表达式得： ，解得： ∴抛物线的表达式为； （2）解：过点D作轴于点E， 而直线轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 设点，则，， ∴，解得（舍去）或， 当时，， 故点D的坐标为； （3）设直线l的表达式为 将，代入得： ，解得： ∴直线l的表达式为， 延长交直线l于点M，设点， ∵，直线， ∴为等腰直角三角形，则， ∴，解得或， ∴点M的坐标为或， 当M的坐标为时，设直线的表达式为，如图所示： 将，代入得： ，解得：， ∴直线的表达式为， 令，解得：（舍去）或， ∴点P的横坐标； 当M的坐标为时，设直线的表达式为，如图所示： 将，代入得： ，解得：， ∴直线的表达式为， 令，解得：（舍去）或， ∴点P的横坐标； 综上，或． ◆题型十一、二次函数的铅锤高、水平宽问题 41．如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A点坐标为为二次函数图象的顶点． (1)求二次函数的表达式． (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出顶点式，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出直线的解析式，过点M作y轴的平行线交于点H，利用分割法求出三角形的面积即可. 【详解】（1）解：设函数的表达式为， 将点代入得，解得， 故二次函数的表达式为， 即； （2）解：∵， ∴当时，， ． ∵A点坐标为，对称轴为直线， ， 设直线的解析式为， 把代入，得，解得， ∴直线函数表达式为， 把代入得， 过点M作y轴的平行线交于点H，则点， ∴． 42．如图，抛物线与轴相交于两点，抛物线上另一点在轴的下方，且使． (1)求线段的长度； (2)设直线与轴交于点，点是的中点，求直线和抛物线的解析式； (3)在（2）问条件下，直线的下方抛物线上是否存在一点，使得四边形的面积最大？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)直线解析式为：，抛物线解析式为： (3)存在，点的坐标为 【分析】（1）令，求出的值，确定出与坐标，根据已知相似三角形得比例，求出的长即可； （2）根据为的中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，确定出的坐标，利用待定系数法确定出直线解析式，把坐标代入抛物线求出的值，确定出二次函数解析式即可； （3）过作轴的垂线，交于点，设出与的横坐标为，分别代入抛物线与直线解析式，表示出纵坐标，相减表示出，四边形面积最大即为三角形面积最大，三角形面积等于与和横坐标之差乘积的一半，构造为二次函数，利用二次函数性质求出此时的坐标即可． 【详解】（1）解：在中，当时，， 解得：， ∴， ， ， ， ， 则（负值舍去）； （2）解：∵是的中点，即为斜边的中线， ， 过点作， ∴， ∴点的横坐标为， 又， ∴， ∵点在轴下方， ， 设直线的解析式为， 把点代入得：， 解得：， ， 又∵点在抛物线上，代入抛物线解析式得， 解得：， ∴抛物线解析式为； （3）解：点存在， 设点坐标为， 过点作轴交直线于点， 则， ， 在三个点为定点，故的面积为定值， ∴当面积最大时，四边形的面积最大， ， 当时，有最大值，四边形的面积最大，此时点的坐标为． 43．如图，抛物线与轴相交于，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，点为抛物线上第一象限内一动点，当面积最大时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）连接，，过点P作轴交于H，先求得直线的表达式为，设，则，，可得，根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴相交于，与轴交于点， ∴，解得， ∴抛物线的解析式是； （2）解：如图，连接，，过点P作轴交于H， 设直线的表达式为， 将，代入，得，解 得， ∴直线的表达式为， 设，则，， ∴， ∴， ∵，， ∴当时，最大，此时， ∴当面积最大时，点的坐标为． 44．如图，在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，过A，C两点的抛物线与x轴交于另一点，抛物线对称轴为直线l． (1)求抛物线的解析式； (2)点M为直线下方抛物线上一点，当的面积最大时，求点M的坐标； (3)在（2）的条件下，点N为y轴上一点，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由一次函数的解析式求出点A和点C的坐标，再利用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）过点M作轴，交于点D，设，则，可得，则可得到，据此可得答案； （3）作直线，且使得直线与y轴正半轴的夹角为，过点N作于点G，连接，则，可证明当三点共线（点N在上），且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为线段的长；过点M作轴，交x轴于点K，交直线于点T，求出的长，根据，求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，当时，，当时，，解得， ∴， ∵抛物线经过三点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图所示，过点M作轴，交于点D， 设，则， ∴， ∴ ， ∵， ∴当，即时，有最大值， 此时， ∴当的面积最大时，点M的坐标为； （3）解：如图3-1所示，作直线，且使得直线与y轴正半轴的夹角为，过点N作于点G，连接， 在中，， ∴， ∴， ∵垂线段最短， ∴当三点共线（点N在上），且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为线段的长； 如图3-2所示，当有最小值时，过点M作轴，交x轴于点K，交直线于点T， 由（2）得点M的坐标为， ∴； ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴的最小值为． ◆题型十二、二次函数与相似三角形综合 45．如图，已知点，，经过B，C两点的抛物线与x轴的另一个交点为A，顶点为P． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)连接，，若点N在x轴上，要使以B，P，N为顶点的三角形与相似，求满足条件的点N的坐标． 【答案】(1)该抛物线的函数表达式为 (2)点N的坐标为或 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式及二次函数与相似三角形综合，掌握求二次函数解析式和相似三角形的性质与判定是解题关键． （1）将点，，代入，用待定系数法求二次函数解析式； （2）连接，可得顶点P的坐标为，设，求出，进而得出，再分两种情况进行讨论即可得出答案． 【详解】（1）解：将点，，代入， 得解得， 该抛物线的函数表达式为． （2）解：如图，连接，顶点P的坐标为． 设， 当时，，解得，， ． ，，， ． 当时，， ，解得． 点N的坐标为． 当时，， ，解得， 点N的坐标为． 综上所述，点N的坐标为或． 46．如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，已知，． (1)求该二次函数的表达式； (2)连接，为第一象限内抛物线上一点，过点作轴，垂足为，连接，若与相似，请求出满足条件的点坐标；若没有满足条件的点，说明理由． 【答案】(1)该二次函数的表达式为； (2)满足条件的点坐标为． 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，相似三角形的性质，一元二次方程法解法，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． （1）利用待定系数法解答即可； （2）设，由题意得：，，，再利用相似三角形的性质得出比例式，解关于的方程即可得出结论． 【详解】（1）解：， ， ，， ． ，， 二次函数的图象经过点，，， ， 解得：， 该二次函数的表达式为； （2）解：设， 轴，为第一象限内抛物线上一点， ，，， ， 与相似， 或， 或． 解得：，或，． ， ． 与相似，满足条件的点坐标为． 47．如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，x轴上有一动点，过点P且垂直于x轴的直线与直线BC及抛物线分别交于点D，E．连接． (1)求抛物线的解析式． (2)点P在线段上运动时（不与点O，B重合）当时，求t的值． (3)当点P在x轴上自由运动时，是否存在点P，使？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)2 (3)）或． 【分析】（1）将代入，即可求函数的解析式； （2）由题意可求，又由，可得，能求出点，即可求t的值； （3）由题意可得，从而能求出，再由，求出t即可求P点坐标． 【详解】（1）解：代入， ∴，解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：令，则， ∴， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴t的值为2； （3）解：存在点P，使，理由如下： 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得或， ∴P点坐标为）或． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质，等腰三角形的性质是解题的关键． 48．如图，抛物线经过点、，交y轴于点C． (1)求抛物线的函数表达式； (2)Q为x轴上方的抛物线上的一个动点（不与点A、B重合），轴于点M，是否存在点Q，使得以点A、Q、M三点为顶点的三角形与相似？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点Q的坐标为 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）首先确定点坐标，进而可得，易知；设点，则，，若以点A、Q、M三点为顶点的三角形与相似，则有或，进而可得或，然后分别代入数值求解即可． 【详解】（1）解：将点A、B的坐标代入抛物线的表达式中， 得，解得， ∴抛物线的表达式为； （2）存在，理由如下： 对于抛物线，当时可得， ∴点， ∵， ∴， ∴， 设点，则，， 以点A、Q、M三点为顶点的三角形与相似， 则或， 或， 或， 当时，可得， 整理得，， 解得（舍去）或（舍去）， 当时，， 整理得，，解得或（舍去）． 综上所述，满足条件的点Q的坐标为：． ◆题型十三、二次函数的面积问题 49．在平面直角坐标系中，抛物线过两点． (1)若抛物线与y轴交于点，求此抛物线的顶点坐标； (2)如图，小敏发现所有过A、B两点的抛物线，如果与y轴负半轴交于点C，M为抛物线的顶点，那么与的面积比不变，请你求出这个比值． 【答案】(1)抛物线的顶点坐标为 (2) 【分析】（1）根据题意得到，据此求解即可； （2）用含的代数式表示和，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过， ， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：连接，由题意，得， ， ，而， ， 过M作轴于D， ∵， ． 50．如图，抛物线（为常数）经过坐标原点和点，点在轴上． (1)求抛物线顶点的坐标； (2)连接，，若点在轴下方的抛物线上，且，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）将点代入求出的值，再写出顶点的坐标即可； （2）由可得，代入即可得到点的坐标． 【详解】（1）解：将点代入，得， ∴抛物线的解析式为， ∴顶点的坐标为； （2）解： ∵，， 又∵， ∴， 解得， 将代入，得， 解得或， ∴点的坐标为或． 51．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点，抛物线经过，两点，与轴的另一交点为． (1)求抛物线解析式及点坐标； (2)若点为轴下方抛物线上一动点，连接、、，当点运动到某一位置时，四边形面积最大，求此时点的坐标及四边形的面积． 【答案】(1)， (2)当时，四边形面积最大，最大面积等于 【分析】（1）由直线求出点、坐标，用待定系数法求抛物线解析式，进而求得点坐标； （2）过点作轴于点, 设，则，根据，列出关于的二次函数解析式，根据二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：直线，时，， ， 时，解得：， ， 抛物线经过，两点， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为， 当时， 解得：，， ∴； （2）如图，过点作轴于点， ，，， ，， ， 点为轴下方抛物线上的点， 设， ， ， ， 当，即时，四边形面积最大，最大面积等于． 52．如图，抛物线与轴相交于，两点，与轴交于点，点在点的右侧，点的纵坐标为，且． (1)求该抛物线的解析式； (2)在该抛物线的对称轴上是否存在点，使得最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， (3)存在，点P的坐标为或 【分析】（1）根据点的纵坐标为得出，根据得出，利用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）由（1）中解析式可得对称轴为直线，，，连接，交直线于点，连接，可得点，，三点共线时，最小，最小值为的长，利用待定系数法求出直线的函数解析式为，把代入求出的值，即可求出点坐标． （3）根据、坐标求出，设点，根据，结合得出，解方程求出的值即可得出答案． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，点的纵坐标为， ∴当时，， ∴， ， ∴， 将点，代入解析式，得， 解得：， ∴该抛物线的解析式为． （2）解：存在，，理由如下： 由（1）知，抛物线的解析式为， ∴对称轴为直线， 当时，， 解得：，． ，， 如图，连接，交直线于点，连接， ∵点关于直线的对称点是点， ． ∴，，三点共线时，最小，最小值为的长， 设直线的函数解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的函数解析式为， 当时，， ∴． （3）解：存在点，使得，理由如下： ∵点，， ， 设点， ． ， ，即， 当时，整理得， ，方程无实数根． 当时，整理得， 解得：或， ∴点的坐标为或． 综上所述，满足条件的点的坐标为或． ◆题型十四、二次函数的存在性问题 53．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线过A，B，C三点，点A的坐标是，点C的坐标是，动点P在抛物线上． (1)_______，______，点B的坐标为______． (2)是否存在点P，使得是以边为直角边的直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，， (2)存在，P的坐标是或 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式，对称性求出点坐标即可； （2）分和两种情况进行讨论求解即可. 【详解】（1）解：把和代入得： ，解得， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴点关于对称轴的对称点为，即； （2）解：存在， 当时，设交轴于点， ∵点A的坐标是，点C的坐标是， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把代入，得， ∴， 联立，解得或， ∴； 当时，则， ∴的解析式为， 联立，解得或， ∴； 综上：或. 54．如图，已知抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点，且直线． (1)求该抛物线的表达式； (2)若点Q在直线l上移动，在x轴下方的抛物线上，是否存在点P，使得是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）设，，过点P作于点，过点A作于点N，则，证明，得出，，由此计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵抛物线过点， ∴． ∵抛物线过点，， ∴， 解得：， ∴该抛物线的表达式为； （2）解：存在． 设，， 如图①，图②，过点P作于点，过点A作于点N，则． ∵是以点P为直角顶点的等腰直角三角形， ∴，， ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，． ∵，， ∴， 解得，， ∴或． 55．如图，抛物线经过点，与轴的负半轴交于点，与轴交于点，轴，连接，交轴于点． (1)求抛物线的表达式； (2)若点在轴上，且，写出点的坐标； (3)点在抛物线上，点在抛物线的对称轴上，是否存在以点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，或或． 【分析】（1）由题意可得，再由待定系数法求解即可； （2）求出直线，则，可得为等腰直角三角形，那么由得到为等腰直角三角形，即可求解点的坐标； （3）设，，再根据平行四边形的对角线互相平分，结合中点坐标公式求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，与轴交于点，轴， ∴ 将点，分别代入，则 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：对于，令，则 解得， ∴ 设直线 则 解得 ∴直线 ∴当时， ∴ ∴，而 ∴ ∵轴， ∴ ∴为等腰直角三角形， ∵ ∴为等腰直角三角形 ∵点在轴上， ∴ ∴或； （3）解：∵点在抛物线上，点在抛物线的对称轴上， ∴设， ∵， ①当是对角线时，则是对角线， ∴， 解得， ∴； ②当是对角线时，则是对角线， ∴， 解得， ∴； ③当是对角线时，则是对角线， ∴ 解得 ∴， 综上：存在以点为顶点的四边形是平行四边形，或或． 56．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与轴交于点，且关于直线对称． (1)求该抛物线的解析式； (2)当时，的取值范围是，求的值； (3)点是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点作轴的垂线交直线于点， ①求线段的最大值， ②在轴上是否存在点，使得以为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)①；②存在，边长为或2 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）分和，两种情况，结合二次函数的增减性进行求解即可． （3）①根据题意求出点坐标，得到直线的解析式，设，则，进而可得即可；②分为菱形的边和菱形的对角线两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称， ∴，解得：， ∴； （2）∵抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上点到对称轴上的距离越远，函数值越小， ∵时，， ①当时，则：当时，函数有最大值，即：， 解得：或，均不符合题意，舍去； ②当时，则：当时，函数有最大值，即：， 解得：， 故； （3）①当时，解得：，当时，， ∴，， 设直线的解析式为，把代入，得：， ∴， 设，则：， ∴， 故线段的最大值为； ②存在； 由①知，，， 当B，C，D，E为顶点的四边形是菱形时，分两种情况： ①当为边时，则：，即， 解得：（舍去）或， 此时菱形的边长为； ②当为对角线时，则：，即：， 解得：或（舍去） 此时菱形的边长为：； 综上：存在以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形，边长为或2． 综合攻坚·知能拔高 1．如图，铅球的出手点C距地面1米，出手后的运动路线是抛物线，出手后4秒钟达到最大高度3米，则铅球落地点到出手点的时间为（     ） A． B．8 C． D．9 【答案】C 【分析】先求出抛物线的解析式，再求出它与轴的正半轴的交点的横坐标即可． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 又它与轴的交点坐标为， 所以， 解得：， 所以抛物线的解析式为， 当时，， 解得：，， 所以铅球落地点到出手点的时间为秒． 2．小明以二次函数的图象为灵感设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若，，则杯子的高为（     ） A．14 B．11 C．6 D．3 【答案】B 【分析】首先由求出点的坐标为，然后根据，可知点的横坐标为，代入抛物线解析式，得到，则，又，则可知杯子高度． 【详解】解：， 点的坐标为，抛物线的对称轴为， ， ， 点的横坐标为：， 当时，， 点纵坐标为14， 点的纵坐标为， ， ，即杯子的高度为11． 3．水上乐园是主题公园的一种，多数娱乐设施与水有关，常见的设施有：水滑梯、造浪设备、漂流河、滑板等．如图1，是水滑梯项目中的一段滑道，滑道路线可以看作是抛物线的一部分，小强从这段滑道的最高处下滑，其路线如图2所示，当他在水平方向滑行了时，下滑到最低点C处，即点C的坐标为，由于惯性再滑动一段后到达点B，从点B处落入水中．若点B的坐标为，则小强下滑前的竖直高度（即的长）为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出抛物线的解析式为：，然后把代入抛物线解析式，求出结果即可． 【详解】解：设抛物线的解析式为：，把代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：， 把代入得：， ∴． 4．赛龙舟是中国端午节的习俗之一．某地计划进行一场划龙舟比赛，图①是比赛途中经过的一座拱桥，图②是该桥露出水面的主桥拱的示意图，可看作抛物线的一部分．如图所示建立平面直角坐标系，桥拱上的点到水面的竖直高度与到点的水平距离近似满足函数关系．据调查，龙舟最高处距离水面，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少．有下列结论： ①水面宽度； ②拱桥的最大高度是； ③若每条龙舟赛道宽度为，最多可设计龙舟赛道条． 其中，正确结论的个数有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，求出的值，可判断①正确，把解析式化为顶点式，可判定②正确，令，求出的值，可得水面的安全距离为，可得设计龙舟赛道数为，即可判定③正确；综上即可得答案． 【详解】解：∵竖直高度与到点的水平距离近似满足函数关系， ∴当时，， 解得：，， ∴水面宽度，故①正确； ∵， ∴拱桥的最大高度是，故②正确； ∵龙舟最高处距离水面，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少， ∴通过拱桥时龙舟最高处到水面至少， 当时，， 解得：，， ∴水面的安全距离为， ∵每条龙舟赛道宽度为， ∴可设计龙舟赛道数为(个)， ∴最多可设计龙舟赛道条，故③正确． 综上所述：正确结论的个数有个． 5．成都低空经济示范区测试一款垂直起降配送无人机．一次试验中，该无人机从地面起飞到降落过程中，飞行高度与时间满足二次函数，其图象如图所示．根据图象，下列说法错误的是（   ） A．该图象的对称轴是直线 B．此次飞行无人机飞行的最大高度为 C．当时，该无人机飞行的高度为 D．该无人机从地面起飞到降落地面经过的时间是 【答案】C 【分析】先根据图象可得，和时，，即可求解对称轴，即可判断A；再将点代入求解抛物线表达式，继而进行判断B、C、D． 【详解】 解：由图象可得，和时，， ∴对称轴为直线，故A正确，不符合题意； 将点代入，则 解得 ∴抛物线表达式为， ∵， ∴当时，，故B正确，不符合题意； 当时，，故C错误，符合题意； 当时，则，解得或 ∴该无人机从地面起飞到降落地面经过的时间是，故D正确，不符合题意． 6．某无人驾驶出租汽车公司试运营，市场调研显示，当每辆车每公里租金（元）为3元时，每天能租出18辆；每辆车每公里租金每提高1元，每天将少租出2辆．已知每辆车每天平均行驶里程为6公里，每辆车每天公司需支付固定成本20元，则该公司每天出租汽车总利润（元）与的函数关系式为__________． 【答案】 【分析】先表示出租出的车辆数为辆，然后再表示每辆车的利润为元，再由总利润车辆数每辆车的利润建立函数关系式即可． 【详解】解：由题意得，， 整理得． 7．某温室大棚的拱架呈抛物线型（图），如图，以拱架底部的中点为原点，所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，轴与抛物线交于顶点．已知，现要在距离底部高处安装一根与平行的通风管，通风管的长度为，则拱架最高点距底部的高度为_______． 【答案】 【分析】由题意得，，求出抛物线解析式为，得，从而求出拱架最高点距底部的高度． 【详解】解：由题意得，，， 设抛物线解析式为， ∴，解得：， ∴抛物线解析式为， 当时，， ∴， ∴， ∴拱架最高点距底部的高度为米． 8．如图，在中，，，是高，矩形的顶点， 分别在，上，在 上，交于点 ，当______时，矩形的面积最大． 【答案】 【分析】先证明，由、是高，可得，设，得出，故矩形的面积为，根据二次函数最值关系即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵中，是高， ∴中，是高，且有， ∴， ∵，， 设， ∴， ∴， ∴矩形的面积为， ∴当时，矩形的面积最大． 9．如图1，汽车刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离．现通过模拟某款汽车在高速公路上以某一速度行驶，对它的刹车性能进行了测试，小组收集、整理数据，绘制如图2的函数图象．发现：开始刹车后行驶的距离y（单位：）与刹车后行驶的时间t（单位：）之间成二次函数关系．则司机踩下刹车后，汽车________后完全停下．    【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，利用待定系数法求出y关于t的二次函数关系式，汽车完全停下时y有最大值，据此结合二次函数的性质求解即可． 【详解】解：设， 根据题意可得点在二次函数的图象上， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，y有最大值， ∴司机踩下刹车后，汽车后完全停下， 故答案为：． 10．如图，某校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个的出口．若要使车棚的面积最大，则的长为___________． 【答案】12 【分析】本题主要考查了一元二次函数的应用及一元二次函数的最值，掌握一元二次函数的最值求法是解题的关键． 设车棚宽度的长为，则车棚长度为，列出一元二次函数，再求最值即可； 【详解】解：如图：设车棚宽度的长为，则车棚长度为， 则，， 所以车棚的面积 ， 所以，当，即，时，车棚的面积最大． 故答案为：12． 11．在创城活动中，某小区想借助如图所示的互相垂直的两面墙（墙体足够长），在墙角区域用长的篱笆围成一个矩形花园．设． (1)若围成花园的面积为，求的值． (2)已知在点处有一棵树，且与墙体的距离为，与墙体的距离为．如果在围建花园时，要将这棵树围在花园内（含边界上，树的粗细忽略不计），那么能围成的花园的最大面积是多少？ 【答案】(1)12或16 (2) 【分析】（1）根据题意可以列出相应的方程，再求出解即可； （2）根据题意可得到S关于x的关系式，然后化为顶点式，再根据题意列出关于x的不等式组，从而可以得到围成的花园的最大面积． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得， 即x的值是12或16； （2）解：设矩形花园的面积为，则， ， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小． 由题意，得解得． 当时，取得最大值，． 答：能围成的花园的最大面积是． 12．问题情境 新能源汽车高质量超级充电站快速发展，致力于实现“1秒钟充电1公里”．如图1，是一个新能源超级充电站，勤思小组对该超级充电站的设计方案和消防设备进行了研究． 研究步骤 如图2是该超级充电站的截面图，是安装充电桩的墙面，是充电站顶部的膜结构棚顶，可近似地看作抛物线的一部分，以点O为原点，表示地面的直线为x轴，所在的直线为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．已知，点B为所在抛物线的最高点，其坐标为． (1)求所在抛物线的函数表达式． 问题解决 如图2，点C是上干粉灭火器的安装点，是长度为的干粉灭火器装置，点D为干粉喷射点．已知干粉喷射点D距离地面时，对地面的保护半径为．对空间的保护截面可近似地看作顶点为D的抛物线与x轴组成的封闭区域．安装点C可根据需要在所在抛物线上滑动，从D点喷出的干粉形成的抛物线形状相同． (2)若干粉喷射点D距地面的高度恰好为时，灭火器喷射时能不能覆盖着火点?请说明理由． 【答案】(1) (2)解：不能覆盖着火点 理由如下，由题意得，， 对于， 令，则，解得或， ， ∴点， ∴点． 设此时抛物线的解析式为， ∵对地面的保护半径为， ∴此抛物线与x轴的两个交点为和，即和， 将代入得，解得， ∴抛物线的解析式为， 令，则， ∴点在抛物线与x轴形成的区域的外侧， ∴不能覆盖着火点. 【分析】（1）设出顶点式，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出新的抛物线的解析式，求出时的函数值，进行判断即可. 【详解】（1）解：由题意，所在抛物线的顶点坐标为，点， ∴设所在抛物线的解析式为， 将点代入得，解得， 所在抛物线的解析式为，即； （2）略 13．在蔬菜之乡寿光，高温蔬菜大棚（如图1）种植技术已十分成熟．付峰同学家建有一个长为160米的蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在离地面高1米的透明墙体A处（墙体A的一面，面向正南），另一端固定在离地面高3米的墙体处（B处为厚实土墙），现对其横截面建立如图2所示的平面直角坐标系．已知大棚上某处离地面的高度（米）与其离墙体A的水平距离（米）之间的关系满足，现测得两墙体之间的水平距离为12米． (1)直接写出的值； (2)求大棚的最高处到地面的距离； (3)付峰同学的爸爸欲在大棚内种植黄瓜，需搭建高为米的竹竿支架若干，已知大棚内可以搭建支架的土地平均每平方米需要4根竹竿，则共需要准备多少根竹竿？ 【答案】(1)； (2)大棚最高处到地面的距离为米； (3)共需要（根）竹竿． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）将（1）中函数解析式化为顶点式，然后求解即可； （3）根据题意得出，然后结合题意即可求解． 【详解】（1）解：由题意知点坐标为，点B坐标为 将、坐标代入得： 解得：； （2）解： 当时，有最大值，即大棚最高处到地面的距离为米； （3）解：当时， 解得， ∵， ∴大棚内可以搭建支架的土地的宽为（米）， 又∵大棚的长为160米， ∴需要搭建支架部分的土地面积为（平方米） ∴共需要（根）竹竿． 14．根据以下素材，探索完成任务． 如何设计高架桥的限高及车道方案？ 素材1 图1高架桥是一段抛物线结构，图2是它的示意图．经测量，高架桥跨度，最高点离地面，桥的两端点距离地面．       素材2 如图3，某道路规划部门计划在左侧公路分为非机动车道、机动车道一、机动车道二及绿化带四部分，原计划设计非机动车道宽，机动车道、宽均为．为了保证车辆的行驶安全，高架下方需要设置限高标志以警示车辆驾驶员．（限高即图中的高度，精确到）    问题解决： (1)确定模型：在图2中建立适当的平面直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式； (2)探究原计划限高：如图3，点N为高架桥的最高点，在（1）的条件下，计算确定机动车道一的限高高度． 【答案】(1)， (2)机动车道一的限高高度为 【分析】（1）根据对称性建立坐标系，利用待定系数法求函数解析式； （2）根据函数解析式求出函数值即可． 【详解】（1）解：如图，以的中点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系， 由题意得，顶点坐标为，设抛物线的函数表达式为， 由图可得，， ， 代入到， 得， 解得：， 抛物线的函数表达式为（答案不唯一）； （2）解：如图， 由题意得，， ， 点在（1）中所在坐标系的横坐标为， 当时，， ， 答：机动车道一的限高高度为． 15．行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的原因，还要继续向前滑行一段距离才能停住，这段距离称为“刹车距离”．为了测定某种型号汽车的刹车性能，对这种汽车的刹车距离进行测试，测得的数据如下表 刹车时车速（千米/时） 刹车距离（米） (1)在如图所示的平面直角坐标系中，以刹车时车速为横坐标，以刹车距离为纵坐标，描出这些数据所表示的点，并用平滑的曲线连接这些点，得到某函数的大致图象； (2)结合图象，当前方障碍物与车的距离为米时，为了人与车的安全，此时该车的车速最高为________千米/时（保留整数）； (3)测量必然存在误差，通过观察图象估计函数的类型，求出一个大致满足这些数据的函数表达式； (4)一辆该型号汽车在高速公路上发生交通事故，现场测得刹车距离约为米，已知这条高速公路限速千米/时，请根据你确定的函数表达式，通过计算判断在事故发生时，汽车是否超速行驶． 【答案】(1) (2) (3) (4) 解：将刹车距离代入函数表达式， 整理得， 解得正根， ∵， ∴事故发生时汽车没有超速行驶． 【分析】（）依题意描点连线即可． （）先求刹车距离二次函数解析式，将代入解方程，取合理整数得安全最高车速； （）由图像判断为过原点二次函数，代入两组数据解方程组，求出函数关系式； （）把刹车距离代入函数算出车速，和限速对比判断是否超速． 【详解】（1）解：根据表格数据，依次描出点 ， 再用平滑曲线依次连接各点即可得到函数大致图象； （2）解：由图象形状可判断为二次函数，且时，因此设，代入、， 得：， 解得， 因此表达式为； 当时， 整理得， 解得 为保证安全，最高车速保留整数为千米/时； （3）解：由图象形状可判断为二次函数，且时，因此设，代入、， 得：， 解得， 因此表达式为； （4）略 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 二次函数的实际应用 常考题型·精准突破 考点一 二次函数的实际应用 题型一、图形问题 题型二、图形运动问题 题型三、拱桥问题 题型四、销售问题 题型五、投球问题 题型六、喷水问题 题型七、增长率问题 题型八、其他问题 题型九、利润问题中的捐赠问题 题型十、二次函数的角度问题 题型十一、二次函数的铅锤高、水平宽问题 题型十二、二次函数与相似三角形综合 题型十三、二次函数的面积问题 题型十四、二次函数的存在性问题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 二次函数的实际应用 ◆题型一、图形问题 1．某校计划围一个矩形小菜园作为实践基地，九年级数学学习小组以“怎样围面积最大”为主题，开展活动．在学校实验楼房一侧的空地上，计划用篱笆和楼房的一面外墙围一个矩形小菜园作为实践基地，其中篱笆长米．如果外墙长米，矩形小菜园一边靠墙，另三边用篱笆围成． 任务一： （1）小菜园的面积能达到平方米吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 任务二： （2）怎样围小菜园面积最大？请你给出设计方案并求出最大面积． 2．邻居张老汉养了一群鸡，现在要建一长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长米），墙对面有一个米宽的门，另三边（门除外）用竹篱笆围成，篱笆总长米．请同学解决以下问题： (1)若设鸡场的面积为平方米，鸡场与墙平行的一边长为米，请写出与之间的函数关系式，并写出的取值范围； (2)当鸡场的面积为平方米时，鸡场的长与宽分别是多少米？ (3)鸡场的最大面积是多少？并求出此时鸡场的长与宽分别是多少米？ 3．综合与实践 汕尾市素有“中国青梅之乡”的美誉，青梅种植是本地特色农业产业．为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校结合本土特色，计划在校园西侧利用围墙（围墙不限长）和长度为的篱笆，围成一块矩形青梅种植实践基地（如图），用于开展青梅育苗与管护实践活动．该校数学兴趣小组结合实际需求设计了以下两种规划方案（除围墙外，篱笆仅围，，三边，篱笆无浪费），请根据方案完成以下探究． (1)方案一：若限定矩形实践基地的边为，则矩形实践基地的边为______，此时矩形实践基地的面积为______． (2)方案二：若要使围成的矩形实践基地面积最大，设矩形实践基地的边为，则用含的代数式表示边的长度为______；当边为多少米时，矩形实践基地的面积最大？最大为多少？ 4．如图，某酒店后面有一块梯形空地，其中，，，为缓解车位紧张，该酒店计划在这块空地上修建一个矩形停车场，其余部分铺设为草坪，为方便车辆进出，矩形停车场的一边和空地的最长边重合，、分别在边、上，设，矩形停车场的面积为． (1)用含的式子表示的长为 ； (2)的长的取值范围是 ； (3)求修建的矩形停车场的面积的最大值． ◆题型二、图形运动问题 5．如图，在中，，，，动点P从点B出发，沿向点A以的速度移动，动点Q从点C出发，沿向点B以的速度移动．若P、Q两点分别从B、C两点同时出发，当其中一点到达时两点同时停止运动，则的面积S与出发时间t的函数图像大致是（   ）    A．   B．   C．   D．   6．如图1，在中，，，动点从点开始沿边向点移动，动点从点开始沿边向点移动，两点同时出发，到达各自的终点后停止．设点运动的时间为（单位：），的面积为（单位：），与的函数图象如图2所示，则的面积为（   ） A． B． C． D． 7．如图，矩形中，厘米，厘米，点P从点A开始沿边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以2厘米/秒的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发． (1)经过几秒时，的面积等于8平方厘米？ (2)在运动过程中，的面积能否等于矩形的面积的四分之一？若能，求出运动时间；若不能，说明理由． (3)在移动过程中，的最大面积是多少？（提示：配方法） 8．如图，在中，，．动点P从点C出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向终点B运动．当点P不与点B、C重合时，取线段的中点Q，过点P作，在的上方取线段，使，以为边作矩形．设点P的运动时间为t秒．矩形与重叠部分图形的面积为S． (1)线段的长为______（用含t的代数式表示）； (2)当点N在边上时，求t的值； (3)当矩形与重叠部分图形为四边形时，求S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围． ◆题型三、拱桥问题 9．如图所示的拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为，当水面离桥顶的高度为米时，水面的宽度为（    ） A．8米 B．9米 C．10米 D．11米 10．如图的一座拱桥，当水面宽为时，桥洞顶部离水面，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是，则选取点B为坐标原点时的抛物线顶点坐标是___． 11．某抛物线型拱桥示意图如图所示．水面宽与桥长均为米，在距离点米的处，测得桥面到桥拱的距离为米，以桥拱顶点为原点，桥面所在直线为 轴建立平面直角坐标系．如图，桥面上方有根高度均为米的支柱、、，过相邻支柱顶端的两根钢缆可以近似看做两条形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为米． (1)求拱桥和其中一条钢缆抛物线的函数解析式； (2)春节前夕，市政打算在钢缆和桥拱之间沿竖直方向装饰若干条灯带（见图），求出可以在竖直方向安装的灯带中最短的灯带长度． 12．开封清明上河园中的虹桥是园区的核心地标，下面是虹桥及上方抛物线形框架结构的平面示意图，桥中间的大拱截面可视为抛物线的一部分，虹桥上悬挂两个灯笼． 现有以下三条素材： 素材1：整个图形是轴对称图形； 素材2：跨度米，竖直支撑米，最高点P到的距离为5米； 素材3：两灯笼，之间的水平距离为4米，点M、N均在抛物线上且关于抛物线的对称轴对称． 现以所在直线为x轴，的垂直平分线（直线）为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求虹桥上半部分所在抛物线的函数表达式；（不必写出自变量取值范围） (2)若米，求灯笼底端（点E或F）到的距离． ◆题型四、销售问题 13．某商场销售的一种商品的进价为30元/件，连续销售100天后，统计发现：在这100天内，①该商品每天的销售价格x（元/件）与时间（第天）满足关系式：； ②该商品的日销售量y（件）与时间t（第t天）满足一次函数关系，部分数据如下表： 时间t（第t天） 1 2 10 20 …… 日销售量y（件） 119 118 110 100 …… (1)直接写出y与t之间的函数解析式； (2)设销售该商品的日利润为w（元），请直接写出w与t之间的函数解析式，并求出在这100天内哪天的日利润最大，最大日利润是多少元？ (3)在这100天内，日利润不低于4000元的共有多少天，请直接写出结果． 14．某花卉基地引进并种植了一种新型绿植，已知该绿植每棵的售价为30元时，年销售量为8万棵． (1)基地营销人员经过市场调查分析发现，价格每提高2元，销售量将相应减少万棵，设每棵定价提高到元，每年的销售总收入为万元． ①求y关于t的函数关系式； ②要使提价后每年销售的总收入为300万元，求的值． (2)该基地为提高年销售量，决定对绿植进行改良培育．设改良培育后的价格为元（），该基地投入万元作为培育费用．问该绿植的年销售量至少达到多少万棵时，才能使年销售收入不低于改良前的年销售收入与培育费用之和？ 15．某校九年级开展了“手工文创作品制作·模拟营销”的项目式学习活动． 市场调查  选取两类作品：原木小件(记作A品)、滴胶花艺(记作B品)． 收集到如下信息： 信息1：制作一件A品比一件B品的成本高元，用元制作A品的件数与用元制作B品的件数相等． 信息2：当A品售价为元/件时，其销量为件，售价每涨元，销量减少件；B品售价固定为元/件． 信息3：根据市场需求，制作并销售A品和B品共件． 成本核算： (1)分别求制作一件A品和一件B品的成本． 模型建立： (2)设销售A品和B品的总利润为元，A品售价为元/件，求w关于的函数解析式(不要求写自变量的取值范围)． 方案设计： (3)若制作A品和B品的总成本不超过元，且总利润最大，请设计A品和B品的数量分配方案． 16．十一长假，博物馆成为热门打卡地，游客们感悟历史博大精深的同时，也带火了各地文创用品．某文创商店抓住商机，以50元/盒的进价购入一批文创礼品，在销售（不低于进价）的过程中发现，该商品的日销售量y（盒）是售价x（元/盒）的一次函数，部分数据如表： 售价x（元/盒） 55 60 70 80 日销售量y（盒） 90 80 60 40 请根据题意，完成下列问题： (1)求出y与x的函数关系式： (2)设该商品的日销售利润为w元，当售价为多少元时，日销售的利润最大，最大利润是多少？ (3)若要某日销售利润不低于1050元，则售价范围应该是多少？ ◆题型五、投球问题 17．发石车（图1）是古代一种攻城器械，据《三国志》记载：曹操创制发石车，攻破袁绍军壁楼．如图2，发石车位于点O处，其前方有一堵壁楼，其防御墙的竖直截面为矩形，墙宽为2米，点B与点O的水平距离为28米，垂直距离为6米．以点O为原点，水平方向为x轴方向，建立坐标系，将石块当作一个点看，其飞行路线近似看作抛物线． (1)若发射石块在空中飞行的最大高度为10米，求函数表达式（不写x的范围）； (2)石块能否飞越防御墙？请说明理由． 18．一位篮球运动员在距篮球框中心水平距离处起跳投篮，篮球沿抛物线运动．当球运动的水平距离为时，达到最大高度，随后准确落入篮球框．已知篮球框中心距地面，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是（    ） A．抛物线表达式为 B．篮球框中心坐标是 C．抛物线顶点坐标是 D．篮球出手时离地面高度是 19．乒乓球被誉为中国国球，不仅承载着民族自豪感，更成为展现中国体育精神的文化符号．发球机成为乒乓球爱好者的热门训练器．如图，是乒乓球台的示意图，乒乓球台长为，球网高15.25cm．发球器采用“直发式”模式，球从发球机出口到第一次接触球台的运行轨迹近似为抛物线的一部分． 某次训练，发球机从球台边缘点正上方的高度处发球（即的长为），乒乓球到球台的竖直高度记为（单位：），乒乓球运行的水平距离记为（单位：），测得几组数据如下：根据以上数据，解决下列问题： 水平距离 0 10 50 90 130 170 230 竖直高度 28.75 33 45 49 33 0 (1)当乒乓球第一次落在对面球台上时，球到起始点的水平距离是_____cm，表格中的值为_____； (2)求出满足条件的函数表达式； (3)若发球机的发球高度增加，其他所有条件均不变，则乒乓球从发球机出口发出后_____落到对面球台上（填“能”或“不能”）． 20．小明是一位羽毛球爱好者，在一次单打训练中，小明对“挑球”这种击球方式进行路线分析，球被击出后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，击球点P到球网的水平距离． 小明在同一击球点练习两次，球均过网，且落在界内． 第一次练习时，小明击出的羽毛球的飞行高度y（单位：）与水平距离x（单位：）近似满足函数关系． 第二次练习时，小明击出的羽毛球的飞行高度y（单位：）与水平距离x（单位：）的几组数据如下： 水平距离 0 1 2 3 4 飞行高度 2 根据上述信息，回答下列问题： (1)直接写出第一次练习时，羽毛球飞行的最大高度； (2)求小明第二次练习时，羽毛球的飞行高度y与水平距离x满足的函数关系式； (3)设第一次、第二次练习时，羽毛球落地点与球网的距离分别为，则 （填“”，“”或“”）． ◆题型六、喷水问题 21．公园要建造圆形的喷水池如图①，水面中心O处垂直于水面安装一个柱子，柱子顶端处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下．安装师傅调试发现，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．如图②．喷头高5m时，水柱落点距O点5m；喷头高8m时，水柱落点距O点6m．现要使水柱落点距O点8m，则喷头高应调整为______m． 22．洒水车是城市绿化的生力军．某辆洒水车喷出水的上、下边缘分别可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，喷出水的上、下边缘的竖直高度分别为（单位；m），且分别与水平距离（单位：）近似满足二次函数关系． (1)在一次洒水作业中，水平距离与喷出水的上边缘的竖直高度的几组数据如下： 水平距离 0 1 2 3 4 5 竖直高度 ①直接写出喷出水的上边缘竖直高度的最大值； ②根据以上信息，求出与满足的函数关系式，并求出喷出水的上边缘落地点的水平距离； (2)在（1）的条件下，喷出水的下边缘的竖直高度与水平距离近似满足函数关系．记喷出水的落地区域的宽度为（单位：），当时，直接写出的取值范围． 23．要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，喷出的水呈抛物线形状，记喷出的水与池中心的水平距离为，距地面的高度为，测量得到如表数值： 0 1 2 3 3 3 小明根据学习函数的经验，发现y是x的函数，并对y随x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整： (1)在平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点，画出函数的图象，并求出该函数的解析式； (2)结合函数图象填空：出水口距地面的高度为______m，水达到最高点时与池中心的水平距离为______m； (3)水柱落地点与池中心的距离为______m，为了使水柱落地点与池中心的距离不超过，如果只调整出水口的高度，其他条件不变，出水口至少需要降低______m． 24．如图，某广场要建一个圆形喷水池，在池中心O处竖直放置一根水管，在水管的顶端A处安装一个喷水头，喷出的水柱是抛物线的一部分，已知落水点B到池中心O的距离为8米． (1)写出水柱离水面（x轴）的最大高度，并求水管的长度； (2)若在喷水池中竖直放置一盏高为米的景观射灯，且景观射灯的顶端F恰好碰到水柱，求景观射灯与池中心的水平距离； (3)现计划扩建喷水池，升高水管，使落水点到池中心的距离为10米，已知水管升高后，喷水头喷出的水柱形状和对称轴不变，求水管要升高多少米？ ◆题型七、增长率问题 25．某厂加工一种产品，现在的年产量是万件，计划今后两年增加产量．如果每年的增长率都为，那么两年后这种产品的年产量（万件）与之间的函数表达式为________（要求化成一般式）． 26．某商店进购一商品，第一天每件盈利（毛利润）10元，销售500件． (1)第二、三天该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，第三天的销售量达到605件，求第二、三天的日平均增长率； (2)经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1元，日销量将减少20件． ①现要保证每天总毛利润6000元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应涨价多少元？ ②现需按毛利润的交纳各种税费，人工费每日按销售量每件支出0.9元，水电房租费每日102元，若剩下的每天总纯利润要达到5100元，则每件涨价应为多少？ 27．某种商品的价格是元，准备进行两次降价．如果每次降价的百分率都是，经过两次降价后的价格（单位：元）随每次降价的百分率的变化而变化，则关于的函数解析式是（    ） A． B． C． D． 28．某企业在2024年1-4月的净利润见下表．经调查后发现，企业的利润数是经过月数的二次函数．（注：净利润数单位为万元；初始宣发资金可单独计算入总利润） XX企业2024年1-4月净利润表 经过月数（x） 1 2 3 4 净利润数（y） -9 -16 -24 (1)求y关于x的函数解析式（无需写定义域）； (2)补全表中的空格处并填空：本公司1-4月平均每月亏损________万元；通过技术改革，到2024年________月起，公司当月不再亏损；理论上到2025年的________月份公司可以把之前的亏损全部赚回来； (3)新年伊始，为使创新产品销量增加，政府决定资助此企业宣发资金，从2025年初启动宣发程序．已知从2025年1月起初始宣发资金是上表亏损的金额的20％，每月使用k万元进行宣发，如初始宣发资金用完，用去金额将从净利润中扣除．若因宣发每月净利润数提升k％，请直接写出k取不同值时由2024年初至2025年第一季度末的总盈亏情况．（计算时保留一位小数） ◆题型八、其他问题 29．行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的原因，还要继续向前滑行一段距离才能停住，这段距离称为“刹车距离”．为了测定某种型号汽车的刹车性能，对这种汽车的刹车距离进行测试，测得的数据如下表 刹车时车速（千米/时） 刹车距离（米） (1)在如图所示的平面直角坐标系中，以刹车时车速为横坐标，以刹车距离为纵坐标，描出这些数据所表示的点，并用平滑的曲线连接这些点，得到某函数的大致图象； (2)结合图象，当前方障碍物与车的距离为米时，为了人与车的安全，此时该车的车速最高为________千米/时（保留整数）； (3)测量必然存在误差，通过观察图象估计函数的类型，求出一个大致满足这些数据的函数表达式； (4)一辆该型号汽车在高速公路上发生交通事故，现场测得刹车距离约为米，已知这条高速公路限速千米/时，请根据你确定的函数表达式，通过计算判断在事故发生时，汽车是否超速行驶． 30．某工厂响应绿色环保政策，安排60名工人在规定时段内全部参与加工A，B，C三种零件，其中A零件为可回收材料制成，B零件生产过程需节能减排，C零件为新材料研发产品．在该时段内，每名工人只能加工A零件3件，或B零件1件，或C零件1件．工厂要求加工A零件和C零件总数相等，B零件总数至少8件．若加工的零件都能销售出去，扣除各种成本，加工A零件每件获利9元，加工B零件总数为8件时，每件获利64元，每多加工1件，则所有B零件每件获利减少1元；加工C零件每件获利20元，同时每生产一件C零件可获得政府的环保研发补贴3元． （1）当安排28名工人加工B零件时，安排加工A零件的工人人数为_____ ； （2）合理安排工人分工使工厂在规定时段内获利最大时，加工B零件的人数为_____ ． 31．为研究某种化学试剂的挥发情况，某研究团队在A、B两种不同的场景下做对比实验，分别收集了试剂挥发过程中剩余质量（克）和（克）与时间x（分钟）（）的部分数据： （分钟） 0 5 10 15 20 （克） （克） 经研究发现，可以分别用函数刻画，与x之间的关系．场景A下试剂挥发过程中的剩余质量与时间x近似满足函数关系：，与x近似满足一次函数关系，图象如图所示． (1)写出表中m的值： ，并在给定的平面直角坐标系中画出场景A下试剂挥发过程中的剩余质量（克）与时间x（分钟）的函数图象； (2)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①在场景A下，剩余质量随时间减少的变化趋势是 ； A．匀速变化 B．先快后慢 C．先慢后快 ②查阅文献可知，该化学试剂发挥作用的最低质量为3克．在上述实验中，该化学试剂在场景 （填“A”或“B”）下发挥作用的时间更长； (3)当时，两种场景下试剂挥发过程中剩余质量的差值达到最大时，此时对应的时间是第 分钟（结果保留小数点后一位）． 32．跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一．比赛过程分为助滑阶段，起跳后的空中飞行阶段和落地滑行阶段，今天我们一起来运用数学知识解决最具观赏性的空中飞行阶段相关问题．为了获得数据，技术人员设置了固定点进行测量，运动员起跳后的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足二次函数关系．下表记录了某运动员起跳后的与的几组数据． 水平距离（单位：） 竖直高度（单位：） 请解决以下问题： (1)在下面网格中，建立适当的平面直角坐标系，根据题中数据描点，并用平滑的曲线连接； (2)请结合图象分析，当水平距离为________时，运动员在空中达到最高点． (3)运动员水平位置为________时，运动员才能落地． (4)根据训练需要，假设运动员的起跳速度和角度没有变化，现将起跳跳台（起跳点）抬高22米，运动员落地的水平距离如何变化？变化了多少？ ◆题型九、利润问题中的捐赠问题 33．某公司推出一款产品，成本价元/千克，经过市场调查，该产品的日销售量（千克）与销售单价（元/千克）之间满足一次函数关系，该产品的日销售量与销售单价之间的几组对应值如下表： 销售单价（元/千克） 日销售量（千克） 注：日销售利润日销售量（销售单价成本单价） (1)求关于的函数解析式（不要求写出的取值范围）； (2)当销售价格为多少元时，日销售利润最大，最大利润是多少元； (3)该公司决定从每天的销售利润中捐赠元给“精准扶贫”对象，为了保证捐赠后每天的剩余利润不低于元，请直接写出该产品销售单价的范围_________． 34．利民超市购进了一批某种商品，进价为20元/件．在销售过程中统计发现；日销售量y（件）与销售单价x（元/件）满足的函数关系如图所示． (1)请直接写出y关于x的函数解析式； (2)销售单价定为多少元时，所获该种商品的日销售利润w最大？最大利润是多少？ (3)超市决定每销售一件该种商品，就向社区福利院捐赠a元，捐赠后，为确保销售该商品的日最大利润满足的利润率，求a的值．（利润率） 35．平安路上，多“盔”有你，在“交通安全宣传月”期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶40元，售价为每顶68元，平均每周可售出100顶，商店计划将头盔降价销售，每顶售价不高于58元，经调查发现：每降价1元，平均每周可多售出20顶． (1)若该商店希望平均每周获利4000元，则每顶头盔应降价多少？ (2)商店降价销售后，决定每销售1顶头盔，就向某慈善机构捐赠m元（m为整数，且），帮助做“交通安全”宣传，捐赠后发现，该商店每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大，求m的值． 36．厦门市夏商公司购进某种水果的成本为20元，经过市场调研发现，这种水果在未来48天的销售单价p（元）与时间t（天）之间的函数关系式为： （t为整数）且其日销售量与时间t（天）的关系如下表： 时间t（天） 1 3 6 10 20 … 日销售量 118 114 108 100 80 … (1)已知y与t之间的变化规律符合一次函数关系，试求在第30天的日销售量是多少? (2)在实际销售的前24天中，公司决定每销售水果就捐赠n元利润给“精准扶贫”对象．现发现：在前24天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求n的取值范围． ◆题型十、二次函数的角度问题 37．如图，抛物线与x轴分别交于，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)P是抛物线上的一个点，连接，，直接写出点P的坐标． 38．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)直接写出抛物线的解析式为：______； (2)点为第一象限内抛物线上的一动点，作轴于点，交于点，过点作的垂线与抛物线的对称轴和轴分别交于点，，设点的横坐标为． ①求的最大值； ②连接，若，求的值． 39．如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求抛物线及直线的解析式； (2)直接写出抛物线的顶点坐标和对称轴； (3)若P为抛物线上一点，当时，求点P的横坐标． 40．如图，已知抛物线与x轴相交于，与y轴相交于点C，直线，垂足为C． (1)求该抛物线的表达式； (2)若直线l与该抛物线的另一个交点为D，求点D的坐标； (3)设动点在该抛物线上，当时，求m的值． ◆题型十一、二次函数的铅锤高、水平宽问题 41．如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A点坐标为为二次函数图象的顶点． (1)求二次函数的表达式． (2)求的面积． 42．如图，抛物线与轴相交于两点，抛物线上另一点在轴的下方，且使． (1)求线段的长度； (2)设直线与轴交于点，点是的中点，求直线和抛物线的解析式； (3)在（2）问条件下，直线的下方抛物线上是否存在一点，使得四边形的面积最大？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 43．如图，抛物线与轴相交于，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，点为抛物线上第一象限内一动点，当面积最大时，求点的坐标． 44．如图，在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，过A，C两点的抛物线与x轴交于另一点，抛物线对称轴为直线l． (1)求抛物线的解析式； (2)点M为直线下方抛物线上一点，当的面积最大时，求点M的坐标； (3)在（2）的条件下，点N为y轴上一点，求的最小值． ◆题型十二、二次函数与相似三角形综合 45．如图，已知点，，经过B，C两点的抛物线与x轴的另一个交点为A，顶点为P． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)连接，，若点N在x轴上，要使以B，P，N为顶点的三角形与相似，求满足条件的点N的坐标． 46．如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，已知，． (1)求该二次函数的表达式； (2)连接，为第一象限内抛物线上一点，过点作轴，垂足为，连接，若与相似，请求出满足条件的点坐标；若没有满足条件的点，说明理由． 47．如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，x轴上有一动点，过点P且垂直于x轴的直线与直线BC及抛物线分别交于点D，E．连接． (1)求抛物线的解析式． (2)点P在线段上运动时（不与点O，B重合）当时，求t的值． (3)当点P在x轴上自由运动时，是否存在点P，使？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 48．如图，抛物线经过点、，交y轴于点C． (1)求抛物线的函数表达式； (2)Q为x轴上方的抛物线上的一个动点（不与点A、B重合），轴于点M，是否存在点Q，使得以点A、Q、M三点为顶点的三角形与相似？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． ◆题型十三、二次函数的面积问题 49．在平面直角坐标系中，抛物线过两点． (1)若抛物线与y轴交于点，求此抛物线的顶点坐标； (2)如图，小敏发现所有过A、B两点的抛物线，如果与y轴负半轴交于点C，M为抛物线的顶点，那么与的面积比不变，请你求出这个比值． 50．如图，抛物线（为常数）经过坐标原点和点，点在轴上． (1)求抛物线顶点的坐标； (2)连接，，若点在轴下方的抛物线上，且，求点的坐标． 51．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点，抛物线经过，两点，与轴的另一交点为． (1)求抛物线解析式及点坐标； (2)若点为轴下方抛物线上一动点，连接、、，当点运动到某一位置时，四边形面积最大，求此时点的坐标及四边形的面积． 52．如图，抛物线与轴相交于，两点，与轴交于点，点在点的右侧，点的纵坐标为，且． (1)求该抛物线的解析式； (2)在该抛物线的对称轴上是否存在点，使得最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． ◆题型十四、二次函数的存在性问题 53．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线过A，B，C三点，点A的坐标是，点C的坐标是，动点P在抛物线上． (1)_______，______，点B的坐标为______． (2)是否存在点P，使得是以边为直角边的直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由． 54．如图，已知抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点，且直线． (1)求该抛物线的表达式； (2)若点Q在直线l上移动，在x轴下方的抛物线上，是否存在点P，使得是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 55．如图，抛物线经过点，与轴的负半轴交于点，与轴交于点，轴，连接，交轴于点． (1)求抛物线的表达式； (2)若点在轴上，且，写出点的坐标； (3)点在抛物线上，点在抛物线的对称轴上，是否存在以点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 56．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与轴交于点，且关于直线对称． (1)求该抛物线的解析式； (2)当时，的取值范围是，求的值； (3)点是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点作轴的垂线交直线于点， ①求线段的最大值， ②在轴上是否存在点，使得以为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由． 综合攻坚·知能拔高 1．如图，铅球的出手点C距地面1米，出手后的运动路线是抛物线，出手后4秒钟达到最大高度3米，则铅球落地点到出手点的时间为（     ） A． B．8 C． D．9 2．小明以二次函数的图象为灵感设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若，，则杯子的高为（     ） A．14 B．11 C．6 D．3 3．水上乐园是主题公园的一种，多数娱乐设施与水有关，常见的设施有：水滑梯、造浪设备、漂流河、滑板等．如图1，是水滑梯项目中的一段滑道，滑道路线可以看作是抛物线的一部分，小强从这段滑道的最高处下滑，其路线如图2所示，当他在水平方向滑行了时，下滑到最低点C处，即点C的坐标为，由于惯性再滑动一段后到达点B，从点B处落入水中．若点B的坐标为，则小强下滑前的竖直高度（即的长）为（     ） A． B． C． D． 4．赛龙舟是中国端午节的习俗之一．某地计划进行一场划龙舟比赛，图①是比赛途中经过的一座拱桥，图②是该桥露出水面的主桥拱的示意图，可看作抛物线的一部分．如图所示建立平面直角坐标系，桥拱上的点到水面的竖直高度与到点的水平距离近似满足函数关系．据调查，龙舟最高处距离水面，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少．有下列结论： ①水面宽度； ②拱桥的最大高度是； ③若每条龙舟赛道宽度为，最多可设计龙舟赛道条． 其中，正确结论的个数有（    ） A． B． C． D． 5．成都低空经济示范区测试一款垂直起降配送无人机．一次试验中，该无人机从地面起飞到降落过程中，飞行高度与时间满足二次函数，其图象如图所示．根据图象，下列说法错误的是（   ） A．该图象的对称轴是直线 B．此次飞行无人机飞行的最大高度为 C．当时，该无人机飞行的高度为 D．该无人机从地面起飞到降落地面经过的时间是 6．某无人驾驶出租汽车公司试运营，市场调研显示，当每辆车每公里租金（元）为3元时，每天能租出18辆；每辆车每公里租金每提高1元，每天将少租出2辆．已知每辆车每天平均行驶里程为6公里，每辆车每天公司需支付固定成本20元，则该公司每天出租汽车总利润（元）与的函数关系式为__________． 7．某温室大棚的拱架呈抛物线型（图），如图，以拱架底部的中点为原点，所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，轴与抛物线交于顶点．已知，现要在距离底部高处安装一根与平行的通风管，通风管的长度为，则拱架最高点距底部的高度为_______． 8．如图，在中，，，是高，矩形的顶点， 分别在，上，在 上，交于点 ，当______时，矩形的面积最大． 9．如图1，汽车刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离．现通过模拟某款汽车在高速公路上以某一速度行驶，对它的刹车性能进行了测试，小组收集、整理数据，绘制如图2的函数图象．发现：开始刹车后行驶的距离y（单位：）与刹车后行驶的时间t（单位：）之间成二次函数关系．则司机踩下刹车后，汽车________后完全停下．    10．如图，某校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个的出口．若要使车棚的面积最大，则的长为___________． 11．在创城活动中，某小区想借助如图所示的互相垂直的两面墙（墙体足够长），在墙角区域用长的篱笆围成一个矩形花园．设． (1)若围成花园的面积为，求的值． (2)已知在点处有一棵树，且与墙体的距离为，与墙体的距离为．如果在围建花园时，要将这棵树围在花园内（含边界上，树的粗细忽略不计），那么能围成的花园的最大面积是多少？ 12．问题情境 新能源汽车高质量超级充电站快速发展，致力于实现“1秒钟充电1公里”．如图1，是一个新能源超级充电站，勤思小组对该超级充电站的设计方案和消防设备进行了研究． 研究步骤 如图2是该超级充电站的截面图，是安装充电桩的墙面，是充电站顶部的膜结构棚顶，可近似地看作抛物线的一部分，以点O为原点，表示地面的直线为x轴，所在的直线为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．已知，点B为所在抛物线的最高点，其坐标为． (1)求所在抛物线的函数表达式． 问题解决 如图2，点C是上干粉灭火器的安装点，是长度为的干粉灭火器装置，点D为干粉喷射点．已知干粉喷射点D距离地面时，对地面的保护半径为．对空间的保护截面可近似地看作顶点为D的抛物线与x轴组成的封闭区域．安装点C可根据需要在所在抛物线上滑动，从D点喷出的干粉形成的抛物线形状相同． (2)若干粉喷射点D距地面的高度恰好为时，灭火器喷射时能不能覆盖着火点?请说明理由． 13．在蔬菜之乡寿光，高温蔬菜大棚（如图1）种植技术已十分成熟．付峰同学家建有一个长为160米的蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在离地面高1米的透明墙体A处（墙体A的一面，面向正南），另一端固定在离地面高3米的墙体处（B处为厚实土墙），现对其横截面建立如图2所示的平面直角坐标系．已知大棚上某处离地面的高度（米）与其离墙体A的水平距离（米）之间的关系满足，现测得两墙体之间的水平距离为12米． (1)直接写出的值； (2)求大棚的最高处到地面的距离； (3)付峰同学的爸爸欲在大棚内种植黄瓜，需搭建高为米的竹竿支架若干，已知大棚内可以搭建支架的土地平均每平方米需要4根竹竿，则共需要准备多少根竹竿？ 14．根据以下素材，探索完成任务． 如何设计高架桥的限高及车道方案？ 素材1 图1高架桥是一段抛物线结构，图2是它的示意图．经测量，高架桥跨度，最高点离地面，桥的两端点距离地面．       素材2 如图3，某道路规划部门计划在左侧公路分为非机动车道、机动车道一、机动车道二及绿化带四部分，原计划设计非机动车道宽，机动车道、宽均为．为了保证车辆的行驶安全，高架下方需要设置限高标志以警示车辆驾驶员．（限高即图中的高度，精确到）    问题解决： (1)确定模型：在图2中建立适当的平面直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式； (2)探究原计划限高：如图3，点N为高架桥的最高点，在（1）的条件下，计算确定机动车道一的限高高度． 15．行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的原因，还要继续向前滑行一段距离才能停住，这段距离称为“刹车距离”．为了测定某种型号汽车的刹车性能，对这种汽车的刹车距离进行测试，测得的数据如下表 刹车时车速（千米/时） 刹车距离（米） (1)在如图所示的平面直角坐标系中，以刹车时车速为横坐标，以刹车距离为纵坐标，描出这些数据所表示的点，并用平滑的曲线连接这些点，得到某函数的大致图象； (2)结合图象，当前方障碍物与车的距离为米时，为了人与车的安全，此时该车的车速最高为________千米/时（保留整数）； (3)测量必然存在误差，通过观察图象估计函数的类型，求出一个大致满足这些数据的函数表达式； (4)一辆该型号汽车在高速公路上发生交通事故，现场测得刹车距离约为米，已知这条高速公路限速千米/时，请根据你确定的函数表达式，通过计算判断在事故发生时，汽车是否超速行驶． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $