福建省福州市某校2026-2027学年高一上学期尖子生暑期自学质量检测数学试题

**基本信息** 2026级新高一开学数学检测，覆盖直线斜率、轨迹方程、概率统计等初高中衔接知识点，通过扇形环面应用题（题8）、反射问题（题10）等考查几何直观与推理能力，适配暑期自学效果评估。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10题/50分|直线与方程、概率、椭圆初步|题8结合企业铭牌扇形环面，通过长度关系构建函数模型，体现模型意识| |填空题|10题/50分|排列组合、二项式定理、距离坐标|题19定义“距离坐标”，考查空间观念与创新意识，呼应数学眼光|

2026级新高一暑期自学质量检测（数学） 一、单选题（每题5分，共50分） 1．图中的直线的斜率分别为，则有（     ） A． B． C． D． 2．设甲：，乙：，则（     ） A．甲能推出乙，但乙推不出甲 B．甲推不出乙，但乙能推出甲 C．甲与乙能互推 D．甲推不出乙，且乙也推不出甲 3．已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（     ） A．（） B．（） C．（） D．（） 4．方程的解集是（     ） A． B． C． D． 5．直线绕原点逆时针旋转，再向右平移1个单位，所得到的直线为（     ） A． B． C． D． 6．已知角第二象限角，且，则角是（     ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 7．若多项式，则 （     ） A．9 B．10 C．-9 D．-10 8．某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面(由扇形挖去扇形后构成). 已知米，米，线段、线段､弧､弧的长度之和为米，圆心角为弧度，则关于的函数解析式是（     ） A． B． C． D． 9．有一四边形，对于其四边，按顺序分别抛掷一枚质量均匀的硬币：如硬币正面朝上，则将其擦去；如硬币反面朝上，则不擦去．最后，以A为起点沿着尚未擦去的边出发，可以到达C点的概率为（     ） A． B． C． D． 10．已知长方形的四个顶点、、、，一质点从的中点沿与的夹角的方向射到上的点后，依次反射到、和上的点、和（入射角等于反射角）．若与重合，则（     ） A． B． C． D． 二、填空题（每题5分，共50分） 11．在平面直角坐标系中，点到直线的距离为____________. 12．4个家长和2个儿童去爬山，6个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列个数有_________种． 13．求直线与直线的夹角为________. 14．直线与椭圆有两个不同的交点，则的取值范围为_____________． 15. 如图所示，把椭圆的长轴分成等份，过每个分点作轴的垂线，分别交椭圆上半部分于七个点，是椭圆的左焦点，则_______________. 16．已知(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则(a0＋a2＋a4)(a1＋a3＋a5)的值等于________． 17．某国际科研合作项目成员由11个美国人、4个法国人和5个中国人组成从中随机选出两位作为成果发布人，则此两人不属于同一个国家的概率为____________．（结果用分数表示） 18. 已知点为椭圆上的一个动点，点的坐标为，则的最大值为____________. 19．如图，平面中两条直线和相交于点O.对于平面上任意一点M，若p､q分别是M到直线和的距离，则称有序非负实数对是点M的“距离坐标”. 根据上述定义，“距离坐标”是的点的个数是___________. 20．在中，，，．已知点，，分别为椭圆的上、下、右顶点，以及两个焦点中的三点，则椭圆的离心率为__________． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026级新高一暑期自学质量检测（数学） 一、单选题（每题5分，共50分） 1．图中的直线的斜率分别为，则有（     ） A． B． C． D． 【答案】C 2．设甲：，乙：，则（     ） A．甲能推出乙，但乙推不出甲 B．甲推不出乙，但乙能推出甲 C．甲与乙能互推 D．甲推不出乙，且乙也推不出甲 【答案】B 【详解】当时，例如但，即推不出； 当时，，即能推出. 3．已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（     ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【答案】A 【详解】设点，则，因为为的中点，所以，即， 又在圆上，所以，即，即点的轨迹方程为. 4．方程的解集是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】原方程可化为,即,. 5．直线绕原点逆时针旋转，再向右平移1个单位，所得到的直线为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当直线绕原点逆时针旋转时，所得直线斜率为，此时，该直线方程为，再将该直线向右平移1个单位可得：，即. 6．已知角第二象限角，且，则角是（     ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】C 【详解】因为角第二象限角，所以， 所以， 当是偶数时，设，则，此时为第一象限角； 当是奇数时，设，则，此时为第三象限角.； 综上所述：为第一象限角或第三象限角，因为，所以，所以为第三象限角． 7．若多项式，则 （     ） A．9 B．10 C．-9 D．-10 【答案】D 【详解】多项式，等号右侧只有最后一项的展开式中含有，并且的系数为，等号左侧的系数是1， ∴; 又的系数在右侧后两项中，的系数为，左侧的系数是0， ∴， ∴. 8．某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面(由扇形挖去扇形后构成). 已知米，米，线段、线段､弧､弧的长度之和为米，圆心角为弧度，则关于的函数解析式是答（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据题意，利用弧长公式可知弧（米），弧（米）， , 整理得：. 9．有一四边形，对于其四边，按顺序分别抛掷一枚质量均匀的硬币：如硬币正面朝上，则将其擦去；如硬币反面朝上，则不擦去．最后，以A为起点沿着尚未擦去的边出发，可以到达C点的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意，对于其四边，按顺序分别抛掷一枚质量均匀的硬币， 共有种情况，要从A出发沿着尚未擦去的边能到达点C， 若保留两条边，则可保留也可擦去，共有种情况； 若保留两条边，则可保留也可擦去，共有种情况（其中有一种情况与上面重复）， 则要从A出发沿着尚未擦去的边能到达点C，共有种情况，所以可以到达C点的概率为. 10．已知长方形的四个顶点、、、，一质点从的中点沿与的夹角的方向射到上的点后，依次反射到、和上的点、和（入射角等于反射角）．若与重合，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如下图所示： 由题意可知点，取点、，则、、三点共线，、、三点共线， 且直线的倾斜角为，直线的倾斜角为， 所以，直线的方程为，直线的方程为， 联立，解得，即点， 因为点在直线上，所以，，解得. 二、填空题（每题5分，共50分） 11．在平面直角坐标系中，点到直线的距离为____________. 【答案】 【详解】根据点到直线的距离公式可得. 12．4个家长和2个儿童去爬山，6个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列个数有_________种． 【答案】288 【详解】先选两位家长排在首尾有种排法；再排对中的四人有种排法， 故有种排法. 13．求直线与直线的夹角为________. 【答案】 【详解】直线的斜率不存在，倾斜角为，直线的斜率为，倾斜角为，故直线与直线的夹角为， 14．直线与椭圆有两个不同的交点，则的取值范围为_____________． 【答案】 【详解】由题意， ∵此方程有两个不相等实根，∴，∴． 15. 如图所示，把椭圆的长轴分成等份，过每个分点作轴的垂线，分别交椭圆上半部分于七个点，是椭圆的左焦点，则_______________. 【答案】35 16．已知(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则(a0＋a2＋a4)(a1＋a3＋a5)的值等于________． 【答案】－256 【详解】令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝0， 令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝25＝32，两式相加可得2(a0＋a2＋a4)＝32， 两式相减可得2(a1＋a3＋a5)＝－32，则a0＋a2＋a4＝16，a1＋a3＋a5＝－16， 所以(a0＋a2＋a4)(a1＋a3＋a5)＝－256. 17．某国际科研合作项目成员由11个美国人、4个法国人和5个中国人组成从中随机选出两位作为成果发布人，则此两人不属于同一个国家的概率为____________．（结果用分数表示） 【答案】 【详解】由题意知本题是一个古典概型, 试验发生的所有事件是从20人中选2个人共有种结果, 而满足条件的事件是此两人不属于同一个国家的对立事件是此两人属于同一个国家, 此两人属于同一个国家共有, 由对立事件的概率公式得到 18. 已知点为椭圆上的一个动点，点的坐标为，则的最大值为____________. 【答案】 19．如图，平面中两条直线和相交于点O.对于平面上任意一点M，若p､q分别是M到直线和的距离，则称有序非负实数对是点M的“距离坐标”.根据上述定义，“距离坐标”是的点的个数是___________. 【答案】4 【详解】 作直线，与直线平行，且与直线的距离为1，作直线，与直线平行，且与直线的距离为2， 由图可得，，，，有4个交点，即“距离坐标”是的点个数为4. 20．在中，，，．已知点，，分别为椭圆的上、下、右顶点，以及两个焦点中的三点，求椭圆的离心率__________． 【答案】 【详解】因为， 根据对称性可知：点其中一个为上下顶点，一个为右顶点，一个为焦点，不妨取上顶点. ①当点中一个为上顶点，一个为右顶点，一个为左焦点，如图1 则或，解得或无解； ②当点中一个为上顶点，一个为右顶点，一个为右焦点，如图2， 则或，方程组均无解； 综上所述：，，，所以离心率. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $