第二十五章 一元二次方程专题02利用一元二次方程的解求值--逢解必带 训练 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程解的应用，以“逢解必带”为核心，通过定义法、换元法等6类题型构建系统性解题方法体系，强化运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |定义法|4题|直接将根代入方程求参数|基于方程解的定义，构建“根→代入→求解”基础逻辑| |换元法|4题|通过变量替换转化方程结构|发展模型意识，实现方程形式的等价转化| |比较系数|4题|利用系数关系判定定根|深化根与系数的逻辑推理，建立参数与根的关联| |比较系数综合题|4题|多结论辨析强化推理严谨性|整合根的性质与判别式，提升综合论证能力| |整体法|4题|将方程变形后代入代数式|培养整体思维，简化复杂代数式求值| |降次法|4题|用方程表达式降幂化简|体现转化思想，降低代数式次数实现求值|

专题02 利用一元二次方程的解求值--逢解必带 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 【题型1 逢解必带-定义法】 1．已知关于x的方程的一个根是1，则m的值是（     ） A．1 B．2 C． D． 2．若是关于x的方程的解，则a的值为（   ） A． B． C． D． 3．已知是一元二次方程的一个根，则的值为（     ） A．或2 B． C．2 D．0 4．已知关于的方程有一个根为，则的值为___________． 【题型2 逢解必带-换元法】 5．若关于的一元二次方程（）有一个实数根为，则一元二次方程必有一个实数根为___________． 6．若关于的一元二次方程（）有一个根为，则方程必有一根为______． 7．已知关于的方程（、、为常数，）的解是，，那么方程的解为_______． 8．小安同学发现：关于的两个一元二次方程：①，②（，，均为常数，且）的解存在某个数量关系．若已知的解为，，则方程的解为（   ） A．， B．， C．， D．， 【题型3 含参定根-比较系数】 9．关于的方程中，若满足和，则该方程的根是（    ） A． B． C． D．无法确定 10．若关于的一元二次方程中的，，满足，则方程必有根（    ） A． B． C． D． 11．已知关于的一元二次方程，若，则它的一个根是（   ） A． B． C． D． 12．若关于x的一元二次方程，系数a，b，c满足，，则一元二次方程的根为（    ） A．， B．， C．， D．， 【题型4 含参定根-比较系数综合题】 13．对于一元二次方程（），下列说法中正确的是（     ） ①若，则方程有一根为； ②若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若，则方程有两个不相等的实数根． A．②③④ B．①②④ C．①③④ D．①②③ 14．对于一元二次方程，正确的结论是（　　） ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是一元二次方程的根，则． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 15．已知一元二次方程和它的两个实数根为，下列说法： ①若a，c异号，则方程一定有实数根； ②若，则方程一定有两异实根； ③若，则方程一定有两实数根； ④若，由根与系数的关系可得 其中正确的结论是：（    ） A．①③ B．①②③ C．②③④ D．②③ 16．已知关于x的一元二次方程．下列说法中正确的有（    ） ①若，则方程有一个根是1； ②若方程的两根为和2，则有成立； ③若c是方程的一个根，则有成立； A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【题型5 逢解必带-整体法】 17．如果a是方程的一个实数根，则的值为________． 18．已知是方程的一个根，则代数式的值为________． 19．若是关于的方程的一个根，代数式的值为__________． 20．已知，是方程的两个根，则_______． 【题型6 逢解必带-降次法】 21．已知是方程的一个根，则____________． 22．如果m是方程的一个根，那么代数式的值为______． 23．已知a是一元二次方程的一个根，则_____． 24．已知是方程的一个根，试求的值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 利用一元二次方程的解求值--逢解必带 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 【题型1 逢解必带-定义法】 1．已知关于x的方程的一个根是1，则m的值是（     ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】将已知根代入原方程，构建关于m的一元一次方程求解． 【详解】解：将代入，得，解得． 2．若是关于x的方程的解，则a的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：把代入方程，得，即， 解得． 3．已知是一元二次方程的一个根，则的值为（     ） A．或2 B． C．2 D．0 【答案】A 【分析】根据一元二次方程根的定义，将已知根代入方程得到关于的方程，求解后再结合一元二次方程的定义排除不符合条件的值，即可得到结果. 【详解】解：是一元二次方程的一个根， ， 解得或， 又原方程是一元二次方程， 二次项系数，即， 而和都满足， 因此的值为或. 4．已知关于的方程有一个根为，则的值为___________． 【答案】3 【分析】方程的根满足原方程的等式关系，将已知根代入原方程即可计算出的值. 【详解】解：∵是方程的根， ∴将代入原方程得， 整理得，即， 解得. 【题型2 逢解必带-换元法】 5．若关于的一元二次方程（）有一个实数根为，则一元二次方程必有一个实数根为___________． 【答案】 【分析】根据题意可得，设，可得关于的一元二次方程（）有一个实数根为，则，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 设， 则方程可化为 ∵关于的一元二次方程（）有一个实数根为， ∴关于的一元二次方程（）有一个实数根为， ∴， ∴， ∴一元二次方程必有一个实数根为． 6．若关于的一元二次方程（）有一个根为，则方程必有一根为______． 【答案】 【分析】把化为再结合题意得到解出即可． 【详解】解：， ． 令，则 ∵方程（）有一个根为， 方程有一根为， 有一根为， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的含义，掌握利用整体未知数求解方程的根是解此题的关键． 7．已知关于的方程（、、为常数，）的解是，，那么方程的解为_______． 【答案】， 【分析】将所求方程变形后，利用整体换元思想，结合已知原方程的解得到关于x的一次方程，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵的解是，， ∴或， 解得，． 8．小安同学发现：关于的两个一元二次方程：①，②（，，均为常数，且）的解存在某个数量关系．若已知的解为，，则方程的解为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】利用换元法和方程的解的定义求解，设，由的解为，得到一元二次方程的解，再把方程变形为，令，可得，通过对应关系求出方程的解． 【详解】解：设， ∵ 的解为，， ∴ ，， 即的解为，， 对方程两边同乘，得， 即， 令，可得， ∴ 该方程的解为，， 即，， 解得，． 【题型3 含参定根-比较系数】 9．关于的方程中，若满足和，则该方程的根是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】根据方程根的定义，能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根，将题目给出的等式与一元二次方程的一般形式对比，即可得到对应满足方程的x的值． 【详解】解：∵ 方程为 当时，代入方程左边得， 由题可知， ∴ 是方程的根， 当时，代入方程左边得， 由题可知， ∴ 是方程的根 ∴方程的根为． 10．若关于的一元二次方程中的，，满足，则方程必有根（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据方程根的定义，只需将选项中的值代入方程左边，验证是否能得到的形式，结合已知条件，即可判断方程必有的根． 【详解】解：当时，代入方程左边得： ， ， 满足方程，因此方程必有一根为． 11．已知关于的一元二次方程，若，则它的一个根是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵一元二次方程为 ， 把代入方程左边，得， 又∵已知， ∴当时，方程左右两边相等， ∴是该一元二次方程的一个根． 12．若关于x的一元二次方程，系数a，b，c满足，，则一元二次方程的根为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据，，得到当时，满足一元二次方程，即可得出结果. 【详解】解：∵系数a，b，c满足，， ∴当时，使一元二次方程成立， 即方程的解为，. 【题型4 含参定根-比较系数综合题】 13．对于一元二次方程（），下列说法中正确的是（     ） ①若，则方程有一根为； ②若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若，则方程有两个不相等的实数根． A．②③④ B．①②④ C．①③④ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的根的定义和根的判别式的应用，解题关键是利用根的定义代入验证，结合根的判别式的符号判断每个结论的正确性，逐一定证即可． 【详解】解：①将代入方程，得，已知，因此，即是方程的根，故①正确； ②若方程有两个不相等的实数根，其判别式，对于方程，其判别式，因为，，因此，方程必有两个不相等的实数根，故②正确； ③若是方程的根，代入得，整理得，当时，等式不一定成立，故③错误； ④已知，代入方程的判别式得： ， 若，需且，可得，与题设矛盾，因此恒成立，方程有两个不相等的实数根，故④正确； 综上，①②④正确． 14．对于一元二次方程，正确的结论是（　　） ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是一元二次方程的根，则． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】C 【分析】利用得到，则，于是可对①进行判断；利用根的判别式可对②进行判断；根据一元二次方程的解的定义可对③进行判断． 【详解】解：①， 一元二次方程有一解为， ，故①不正确，不合题意； ②方程有两个不相等的实根， ， ， 方程必有两个不相等的实根，故②正确，符合题意； ③是一元二次方程的根， ， ， ， ， ，故③正确，符合题意； 综上分析可知，正确的是②③． 故选：C． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式是解决本题的关键． 15．已知一元二次方程和它的两个实数根为，下列说法： ①若a，c异号，则方程一定有实数根； ②若，则方程一定有两异实根； ③若，则方程一定有两实数根； ④若，由根与系数的关系可得 其中正确的结论是：（    ） A．①③ B．①②③ C．②③④ D．②③ 【答案】B 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解题的关键是先通过根的判别式判断一元二次方程根的情况，若，，是一元二次方程的两根时，，．当a、c异号时，，则根据判别式的意义可对①进行判断；当时，，可判断方程一定有两异实数根，则可对②进行判断；当时，则，则根据判别式的意义可对③进行判断；若，计算出，根据根与系数的关系，对④进行判断． 【详解】解：∵， ∴当a、c异号时，， ∴， ∴此时方程一定有实数根，故①正确； 当，若a、c异号时，则，此时方程一定有两个不相等的实数根，若a、c同号或c为0时，则，此时方程一定有两个不相等的实根，故②正确； 若时，，则方程一定有两实数根，故③正确； 若， ， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴，故④错误． 综上分析可知：正确的有①②③． 故选：B． 16．已知关于x的一元二次方程．下列说法中正确的有（    ） ①若，则方程有一个根是1； ②若方程的两根为和2，则有成立； ③若c是方程的一个根，则有成立； A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的根，一元二次方程的根与系数的关系等知识．熟练掌握一元二次方程的根，一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键． 当时，，则方程有一个根是1；可判断①的正误；由方程的两根为和2，可得，即，可判断②的正误；由c是方程的一个根，可得，即，由，可得，则，可判断③的正误． 【详解】解：当时，， ∴方程有一个根是1；正确，故①符合要求； ∵方程的两根为和2， ∴，即，正确，故②符合要求； ∵c是方程的一个根， ∴，即， ∵， ∴， ∴，正确，故③符合要求； 故选：D． 【题型5 逢解必带-整体法】 17．如果a是方程的一个实数根，则的值为________． 【答案】2027 【分析】根据方程根的定义可推出，然后整体代入式子即可解答． 【详解】解：∵a是方程的一个实数根， ∴， ∴， ∴． 18．已知是方程的一个根，则代数式的值为________． 【答案】/ 【分析】根据一元二次方程的根满足方程得到，进而整体代入求值即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴，即， ∴． 19．若是关于的方程的一个根，代数式的值为__________． 【答案】 【分析】先由方程根的定义，得到，再化简所求代数式，将整体代入计算即可得到答案． 【详解】解：是关于的方程的一个根， ，则， ． 20．已知，是方程的两个根，则_______． 【答案】12 【分析】根据一元二次方程根的定义，可得，满足方程，由此求出和的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：因为，是方程的两个根， 将代入方程得， 整理得 ． 将代入方程得 ，整理得． 将，代入所求代数式 得： ． 【题型6 逢解必带-降次法】 21．已知是方程的一个根，则____________． 【答案】－2026 【分析】因为a是方程的根，所以可将a代入方程得到关于a的等式，作为化简代数式的核心依据．利用得到的等式对代数式的前两项进行降次化简．利用得到的等式变形得到的表达式，代入分式中化简，最后合并化简后的两部分结果． 【详解】解：∵是方程的根， ∴ ， ∴， 对所求式前两项提取公因式： ∵， 代入分式部分： ∵， ∴等式两边同除以得： ， ∴， 将以上结果代入原式： ． 22．如果m是方程的一个根，那么代数式的值为______． 【答案】36 【分析】利用m是方程的一个根，求得，将原式整理得到，再整体代入求解即可． 【详解】解：∵m是方程的一个根， ∴，即， ∴ ． 23．已知a是一元二次方程的一个根，则_____． 【答案】2 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，已知一元二次方程的一个解，则这个解一定满足方程，将其代入方程去推理、判断． 将a代入可得，则， ，代入要求的代数式，整理化简即可求解． 【详解】解：∵a是一元二次方程的一个根， ∴， ∴，， ∴ ． 故答案为：2． 24．已知是方程的一个根，试求的值． 【答案】 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴，， ∴． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 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